Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 7-Bài 3: Đạo hàm cấp hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 7-Bài 3: Đạo hàm cấp hai" là tài liệu hỗ trợ học sinh lớp 11 ôn luyện kiến thức. Bài ôn tập này cung cấp tóm tắt lý thuyết về định nghĩa đạo hàm cấp hai, cách tính đạo hàm cấp hai và ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp hai là gia tốc, kèm theo bài tập trắc nghiệm và hướng dẫn giải chi tiết. Tài liệu này giúp học sinh hiểu rõ khái niệm và ứng dụng của đạo hàm cấp hai. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 7-Bài 3: Đạo hàm cấp hai

BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP HAI • CHƯƠNG 7. ĐẠO HÀM PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. ĐỊNH NGHĨA Kiến thức trọng tâm Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm y  = f  ( x) tại mọi điểm x  (a; b) . Nếu hàm số y  = f  ( x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f ( x) tại x , kí hiệu là y  hoặc f  ( x) . Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x) = x 4 − 4 x 2 + 3 . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x bất kì. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x0 = −1 . Giải a) Ta có: f  ( x) = 4 x3 − 8 x và f  ( x) = 12 x 2 − 8 . b) Vì f  ( x) = 12 x 2 − 8 nên f  (−1) = 12  (−1)2 − 8 = 4 . 1 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x) = . x+2 a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x  −2 . b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x0 = 2 . Giải a) Với x  −2 , ta có:    1  ( x + 2) −1 f ( x) =   =− =  x+2 ( x + 2) ( x + 2) 2 2    −1  ( x + 2)  2( x + 2) 2  f ( x) =  =   = = 2 2 .  ( x + 2)  ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)3 4 4 2 2 1 b) Vì f  ( x) = nên f  (2) = = . ( x + 2) 3 (2 + 2) 3 32 II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Kiến thức trọng tâm Đạo hàm cấp hai s (t ) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t ) tại thời điểm t . Ví dụ 3. Xét dao động điều hoà có phương trình chuyển động s(t ) = A cos(t +  ) , trong đó A, , là các hằng số. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động đó. Giải Gọi v(t ) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta có: v(t ) = s (t ) = [ A cos(t +  )] = − A sin(t +  ). Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là: s (t ) = v (t ) = [− A sin(t +  )] = − A 2 cos(t +  ). PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) Dạng 1. Tính đạo hàm cấp hai Câu 1. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin3x . Câu 2. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: Trang 1
1 a) y = 2x + 3 b) y = log3 x ; c) y = 2 x . Câu 3. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: a) y = 3x 2 − 4 x + 5 tại điểm x0 = −2 ; b) y = log3 (2 x + 1) tại điểm x0 = 3 ; c) y = e 4 x +3 tại điểm x0 = 1 ;   d) y = sin  2 x +  tại điểm x0 = ;    3 6  e) y = cos  3x −  tại điểm x0 = 0 .    6 Câu 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:  a) y = 2 cos  4 t +     3 2 −x b) y = x e Câu 5. ( ) Cho hàm số f ( x) = ln x + 1 + x 2 . Tính f  (0) . Câu 6. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 4 x a) y = − 2x2 + 1 4 2x +1 b) y = x −1 Câu 7. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = ln | 2x −1| ;  b) y = tan  x +     3 Cho hàm số f ( x) = xe x + ln( x + 1) . 2 Câu 8. Tính f  (0) và f  (0) . Cho f ( x) = ( x 2 + a ) + b ( a, b là tham số). Biết f (0) = 2 và f  (1) = 8 , tìm a và b . 2 Câu 9. Câu 10. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = 3x3 − x 2 + 3x − 1; b) y = cos 2 x . Câu 11. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = x sin 2x ; b) y = cos 2 x ; c) y = x 4 − 3x3 + x 2 − 1 . Câu 12. Cho hàm số f ( x) = x 2 + 2 x − 1. a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x0 = 0, x0 = 1 . Trang 2
Câu 13. Cho hàm số g ( x) = cos x . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = . 6 Câu 14. Cho hàm số h( x) = ln x, x  0 . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = 2 . Câu 15. Cho hàm số k ( x) = sin x  cos x . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = . 3 Câu 16. Cho hàm số f ( x) = x 2 − 4 x . Giải phương trình f  ( x) = f  ( x) . Câu 17. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: 1 a) f ( x) = 3x + 5 b) g ( x) = 2x+3 x 2 Câu 18. Cho hàm số f ( x) = sin x  cos x  cos 2x . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = . 6 Câu 19. Cho hàm số f ( x) = x3 + 4 x 2 + 5 . Giải bất phương trình f  ( x) − f  ( x)  0 . Dạng 2. Ứng dụng Câu 20. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình 1 chuyển động s = gt 2 , trong đó g là gia tốc rơi tự do, g  9,8 m / s 2 . 2 a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2( s ) . b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2( s ) . Câu 21. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t ) = t 3 − 3t 2 + 8t + 1 , trong đó t  0 , t tính bằng giây và s(t ) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất điểm: a) Tại thời điểm t = 3( s) ; b) Tại thời điểm mà s(t ) = 7( m) . Câu 22. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7 , có phương trình chuyển động x(t ) = 4sin t , trong đó t tính bằng giây và x(t ) tính bằng centimét. Trang 3
a) Tìm phương trình theo thời gian của vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc. 2 b) Tính vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t = ( s ) . Tại thời điểm đó, 3 con lắc di chuyển theo chiều dương hay chiều âm của trục Ox ? Câu 23. Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí)   được cho bởi phương trình sau: x(t ) = 4cos  2 t +  , ở đó x tính bằng centimét và thời gian t tính  3 bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).   Câu 24. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức s(t ) = 15 + 2 sin  4 t +  , 6  trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Câu 25. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t ) = −2t 2 + 15t + 3 , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2. Câu 26. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s = 100 + 2t − t 2 trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét. a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0 ? b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 s . Câu 27. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t ) = −2t 3 + 75t + 3 , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3. 1 Câu 28. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t ) = t 3 − 3t 2 + 5t + 4 , trong đó t  0, t tính 3 bằng giây, s(t ) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3( s) . Trang 4
 Câu 29. Một chất điểm có phương trình chuyển động s(t ) = 6sin  3t +  , trong đó t  0, t tính bằng    4  giây, s(t ) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = ( s) . 6 1 Câu 30. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t ) = t 3 − 3t 2 + 8t + 2 , trong đó t  0, t tính 3 bằng giây, s(t ) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm: a) Tại thời điểm t = 5( s) . b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng −1m / s .  Câu 31. Một chất điểm có phương trình chuyển động s(t ) = 3sin  t +  , trong đó t  0, t tính bằng    3  giây, s(t ) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = ( s) . 2 Trang 5
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP HAI • CHƯƠNG 7. ĐẠO HÀM PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ) 1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá Cho hàm số y = x − 3x + x + 1 với x  . Đạo hàm y  của hàm số là 5 4 Câu 1. A. y = 5 x − 12 x + 1 . B. y = 5 x − 12 x . 3 2 4 3 C. y = 20 x − 36 x . D. y = 20 x − 36 x . 2 3 3 2  Câu 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = −3cos x tại điểm x0 = . 2         A. y   = −3 . B. y   = 5 . C. y   = 0 . D. y   = 3 . 2 2 2 2 Cho hàm số f ( x ) = ( 3x − 7 ) . Tính f  ( 2) . 5 Câu 3. A. f  ( 2 ) = 0 . B. f  ( 2 ) = 20 . C. f  ( 2) = − 180 . D. f  ( 2) = 30 . Câu 4. Cho y = 2 x − x 2 , tính giá trị biểu thức A = y 3 . y '' . A. 1 . B. 0 . C. −1 . D. Đáp án khác. 3x + 1 Câu 5. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = là x+2 10 5 5 10 A. y = B. y = − C. y = − D. y = − ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) 2 4 3 3 Câu 6. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos 2 x là A. y = −2cos 2x . B. y = −2sin 2x . C. y = 2cos 2 x . D. y = 2sin 2x . Câu 7. Cho hàm số y = x − 3x + x + 1 . Phương trình y = 0 có nghiệm. 3 2 A. x = 2 . B. x = 4 . C. x = 1 . D. x = 3 . Câu 8. Cho hàm số y = sin 2 x . Khi đó y ''( x) bằng 1 A. y '' = cos 2 x . B. P = 2sin 2 x . 2 C. y '' = 2cos 2 x . D. y '' = 2cos x . 1 Câu 9. Cho hàm số y = − . Đạo hàm cấp hai của hàm số là x ( 2) 2 ( 2) −2 ( 2) −2 ( ) 2 A. y = 3 . B. y = 2 . C. y = 3 . D. y = 2 . x x x x2 2 Câu 10. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = . 1+ x 4 4 2 2 A. y = . B. y = − . C. y = − . D. y = . (1+ x ) (1+ x ) (1+ x ) (1+ x ) 3 3 3 3 2 Câu 11. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = . x −1 2 4 2 4 A. y = − . B. y = − . C. y  = . D. y  = . ( x − 1)3 ( x − 1)3 ( x − 1)3 ( x − 1)3 Trang 1
1 Câu 12. Cho hàm số f ( x ) = . Tính f  ( 1) . 2x −1 8 2 8 4 A. f  ( −1) = − . B. f  ( −1) = . C. f  ( −1) = . D. f  ( −1) = − . 27 9 27 27 Câu 13. Hàm số y = sin 2 x có đạo hàm cấp hai bằng? A. y = 2sin 2x . B. y = 2cos 2 x . C. y = sin 2x . D. y = cos 2 x . Câu 14. Cho hàm số f ( x ) = x3 + 2 x , giá trị của f  (1) bằng A. 6 . B. 8 . C. 3 . D. 2 . Câu 15. Cho hàm số f ( x ) = 1 . Tính f ( −1) . 2x −1 8 8 4 A. − B. 2 . C. D. − . 27 9 27 27 Câu 16. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = tan x . 2sin x sin x sin x 2sin x A. y = 3 . B. y = − . C. y = . D. y = − . cos x cos3 x cos3 x cos3 x Câu 17. Cho hàm số f ( x ) = 2 x − 1 . Tính S. 1 1 A. −1. . B. − C. . D. 0 . 4 4 Câu 18. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = x + 3x − 1 là 4 3 A. 4x3 + 9x2 . B. 12x2 + 18x . C. x3 + 3x2 . D. x2 + 3x . Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) = x4 − 2 x2 + 3 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. f  ( 0 ) = 0 . B. f  (1) = 0 . C. f  ( 0 ) = −4 . D. f  (1) = −4 . Câu 20. Cho hàm số y = sin 2 x . Hãy chọn hệ thức đúng. A. 4 y − y = 0 . B. y 2 + ( y) = 4 . C. 4 y + y = 0 . D. y = y tan 2 x . 2 f ( x ) = x3 + 2 x f  (1) Câu 21. Cho hàm số , giá trị của bằng A. 8 . B. 6 . C. 3 . D. 2 . Câu 22. Cho hàm số f ( x) = x ( x  0 ) Tính f ''(1). 1 1 A. f ''(1) = 4 . B. f ''(1) = 2 . . C. f ''(1) = D. f ''(1) = . 2 4 Câu 23. Cho hàm số y = x − 3x + 2021. Tìm tập nghiệm của bất phương trình y ''  0 . 3 2 A. 1;+  ) . B.  0;2 . C. ( 0;2) . D. (1; +  ) . Câu 24. Đạo hàm cấp 2 của hàm số y = 2 x + 5 là 1 1 A. y = − . B. y = . (2 x + 5) 2 x + 5 (2 x + 5) 2 x + 5 1 1 C. y = . D. y = − . 2x + 5 2x + 5 f ( x ) = ( x − 2) f  ( 3) 5 Câu 25. Cho . Tính . A. −20 . B. 20 . C. 27 . D. −27 . f ( x ) = 2x −1 f  (1) Câu 26. Cho hàm số . Tính .. 3 A. −1 . B. −1 . C. . D. 0 . 2 Trang 2
  Câu 27. Cho hàm số y = cos 2 x . Khi đó y ''   bằng: 3 A. −2 . B. 2 . C. 1 . D. −2 3 . 1 Câu 28. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = x 2 1 1 2 A. y '' = − 3 . B. y '' = − 2 . C. y '' = . D. y '' = . x x x2 x3 Câu 29. Hàm số y = tan x có đạo hàm cấp hai bằng: 2sin x 1 2sin x 1 A. y = − . B. y = − . C. y = . D. y = . cos3 x 2 cos x cos3 x cos 2 x 1 Câu 30. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f ( x) = x3 + 3x 2 − 2020 . 3 A. f  ( x ) = 2 x + 6 . B. f  ( x ) = x + 6 x . 2 C. f  ( x ) = x2 − 3x − 5 . D. f  ( x ) = 2 x + 3 .   Câu 31. Cho hàm số y = tan x . Tính y ''   được kết quả bằng: 4 A. 3 B. 3,5 C. 4 D. 2 3 2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi Câu 32. Cho hàm số y = 1 + 3x − x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ( y ) + y. y = −1 . B. ( y ) + 2 y. y = 1 . C. y. y − ( y ) = 1 . D. ( y ) + y. y = 1 . 2 2 2 2 1 1 Câu 33. Cho hàm số f ( x ) = . Tính f    x ( 2 − 2x) 2 A. 24. B. 16. C. 48. D. 32. 4 f ( x)   Câu 34. Cho hàm số f ( x ) = sin 2 x . Đặt g ( x ) = . Tính g   . f  ( x ) 6   3     3   A. g   = − . B. g   = −1 . C. g   = . D. g   = 1 . 6 2 6 6 2 6 Câu 35. Cho hàm số y = sin 2 x . Hãy tìm khẳng định đúng. A. y 2 + ( y ) = 4 . B. 4 y − y = 0 . C. 4 y + y = 0 . D. y = y 'tan 2x . 2 Câu 36. Cho hàm y = x cos ( ln x ) + s in ( ln x )  . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. x 2 y + xy − 2 y + 4 = 0 . B. x 2 y − xy − 2 xy = 0 . C. 2 x 2 y + xy + 2 y − 5 = 0 . D. x 2 y − xy + 2 y = 0 . Câu 37. Cho hàm số f ( x ) = e x − x . Biết phương trình f  ( x ) = 0 có hai nghiệm x1 , x2 . Tính x1.x2 . 2 1 3 A. x1.x2 = − B. x1.x2 = 1 C. x1.x2 = D. x1.x2 = 0 4 4 Câu 38. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t ) = 2t 3 − 3t 2 + 4t , trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm gia tốc bằng 0 là A. −2,5m / s . B. 4m / s . C. 2,5m / s . D. 8,5m / s . Câu 39. Cho hàm số f ( x ) = x − 3x + 2 x + 1 . Bất phương trình f  ( x )  0 có tập nghiệm là 3 2 A. (1;+ ) . B. ( −;0 ) . C. ( −;1)  (1; + ) . D. ( −;0)  (1; + ) . Trang 3
f ( x ) = ( x + 10 ) . f  ( 2) . 6 Câu 40. Cho hàm số Tính A. f  ( 2) = 622080 . B. f  ( 2) = 1492992 . C. f  ( 2) = 124416 . D. f  ( 2) = 103680 . Câu 41. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s ( t ) = 3sin 2t + cos 2t với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Gia tốc  tức thời tại thời điểm t = giây của chuyển động bằng 4 A. −16 m s 2 . B. −12 m s 2 . C. 0 m s 2 . D. 12 m s 2 . Câu 42. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S ( t ) = t 3 + 3t 2 − 9t + 27 . Trong đó t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là A. 0 m /s 2 . B. 6 m /s 2 . C. 24 m /s 2 . D. 12 m/s 2 . Câu 43. Cho chuyển động xác định bởi phương trình S ( t ) = t 3 − 3t 2 − 9t , trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là A. −6m/s2 . B. −12m/s2 . C. 6m/s2 . D. 12m/s2 . Câu 44. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f ( x ) = x sin x − 3 là biểu thức nào trong các biểu thức sau? A. f  ( x ) = 2cos x − x sin x . B. f  ( x ) = − x sin x . C. f  ( x ) = sin x − x cos x . D. f  ( x ) = 1 + cos x . 2x +1 Câu 45. Cho hàm số y = f ( x ) = . Phương trình f ' ( x ) + f '' ( x ) = 0 có nghiệm là: 1− x 1 1 A. x = 3. B. x = − 3. C. x = − . D. x = . 2 2 Câu 46. Đạo hàm cấp hai của hàm số f ( x ) = ( 3x + 1) là 6 A. f  ( x ) = 30 ( 3x + 1) . B. f  ( x ) = 90 ( 3x + 1) . 4 4 C. f  ( x ) = 270 ( 3x + 1) . D. f  ( x ) = 540 ( 3x + 1) . 4 4 Câu 47. Cho hàm số y = f ( x ) = x3 − 3x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x0 thỏa mãn f '' ( x0 ) = 0 A. 3x + y + 2 = 0 . B. 3x + y − 2 = 0 . C. x + 3 y − 2 = 0 . D. −3x + y + 2 = 0 .  x4 x2  Câu 48. Biết  + x3 − + x − 2019  = ax 2 + bx + c . Tính S = a + b + 5c .  4 2  A. 30 . B. 4 . C. 40 . D. −4 . Câu 49. Cho hàm số y = sin x + cos x . Phương trình y " = 0 có bao nhiêu nghiệm trong đoạn 0;3  . A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 50. Cho hàm số y 3cosx sin x x2 2021x 2022. Số nghiệm của phương trình y '' 0 trong đoạn 0;4 là A. 1. . B. 2. . C. 0. . D. 3. Trang 4
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP HAI • CHƯƠNG 7. ĐẠO HÀM PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. ĐỊNH NGHĨA Kiến thức trọng tâm Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm y  = f  ( x) tại mọi điểm x  (a; b) . Nếu hàm số y  = f  ( x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f ( x) tại x , kí hiệu là y  hoặc f  ( x) . Ví dụ 1. Cho hàm số f ( x) = x 4 − 4 x 2 + 3 . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x bất kì. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x0 = −1 . Giải a) Ta có: f  ( x) = 4 x3 − 8 x và f  ( x) = 12 x 2 − 8 . b) Vì f  ( x) = 12 x 2 − 8 nên f  (−1) = 12  (−1)2 − 8 = 4 . 1 Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x) = . x+2 a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x  −2 . b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x0 = 2 . Giải a) Với x  −2 , ta có:    1  ( x + 2) −1 f ( x) =   =− =  x+2 ( x + 2) ( x + 2) 2 2    −1  ( x + 2)  2( x + 2) 2  f ( x) =  =   = = 2 2 .  ( x + 2)  ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2)3 4 4 2 2 1 b) Vì f  ( x) = nên f  (2) = = . ( x + 2) 3 (2 + 2) 3 32 II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Kiến thức trọng tâm Đạo hàm cấp hai s (t ) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t ) tại thời điểm t . Ví dụ 3. Xét dao động điều hoà có phương trình chuyển động s(t ) = A cos(t +  ) , trong đó A, , là các hằng số. Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động đó. Giải Gọi v(t ) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t , ta có: v(t ) = s (t ) = [ A cos(t +  )] = − A sin(t +  ). Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là: s (t ) = v (t ) = [− A sin(t +  )] = − A 2 cos(t +  ). PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) Dạng 1. Tính đạo hàm cấp hai Câu 1. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = sin3x . Lời giải   y = sin 3x  y = 3  cos3x  y = −9  sin 3x Trang 1
Câu 2. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: 1 a) y = 2x + 3 b) y = log3 x ; c) y = 2 x . Lời giải a)   1  2 y =  =−  2x − 3  (2 x − 3) 2 ( )      2   1  (2 x − 3) 2 2  (2 x − 3)  2  y = − 2  =  −2  2  = −2 = −2  (2 x − 3)   (2 x − 3)  (2 x − 3) (2 x − 3) 4 4 8 =− (2 x − 3)3 b) 1 y  = ( log 3 x ) =  x ln 3   1  ( x ln 3) ln 3 ln 3 1  y  =   =− =− =− =−  x ln 3  ( x ln 3) 2 ( x ln 3) 2 ( x ln 3) 2 x  ln 3 c) ( )  y = 2 x = 2 x  ln 2  y = (2 )   x  ln 2 = 2 x  ln 2  ln 2 = 2 x  (ln 2) 2 Câu 3. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tính đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: a) y = 3x 2 − 4 x + 5 tại điểm x0 = −2 ; b) y = log3 (2 x + 1) tại điểm x0 = 3 ; c) y = e 4 x +3 tại điểm x0 = 1 ;   d) y = sin  2 x +  tại điểm x0 = ;    3 6   e) y = cos  3x −  tại điểm x0 = 0 .  6 Lời giải    a) y = 6 x − 4  y = 6 . Tại x0 = −2  y (−2) = 6 b) 2 y = (2 x + 1) ln 3   1  ((2 x + 1) ln 3)  y = 2  = −2   ((2 x + 1) ln 3)  ((2 x + 1) ln 3) 2 2 ln 3 −4 ln 3 = −2 = ((2 x + 1) ln 3) 2 ((2 x + 1) ln 3) 2 −4 ln 3 −4 ln 3 −4 Tại x0 = 3  y  (3) = = = ((2.3 + 1) ln 3) 2 (7 ln 3) 2 49 ln 3  4 x +3  4 x +3 c) y = 4e  y = 16e . Tại x0 = 1  y (1) = 16  e 4.1+3 = 16  e7            d) y = 2cos  2 x +   y = −4sin  2 x +  . Tại x0 =  y   = −4sin  2  +  = −2 3 3  3 6 6  6 3    Trang 2
     −9 3 e) y = −3  sin  3x −   y = −9  cos  3x −  . Tại x0 = 0  y  (0) = −9  cos  3.0 −  =      6  6  6 2 Câu 4. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:  a) y = 2 cos  4 t +     3 2 −x b) y = x e Giải a) Ta có:        y = − 2 sin  4 t +  4 t +  = −4 2 sin  4 t +    3  3  3        y  = −4 2 cos  4 t +  4 t +  = −16 2 2 cos  4 t +   3  3  3 b) Ta có: ( ) ( )   y = x 2 e − x + x 2 e − x = 2 xe − x − x 2e − x = ( 2 x − x ) e + ( 2 x − x )( e )   y  2 −x 2 −x = (2 − 2 x)e − ( 2 x − x ) e −x 2 −x = ( x − 4x + 2) e 2 −x Câu 5. ( Cho hàm số f ( x) = ln x + 1 + x 2 . Tính f  (0) . ) Giải Ta có: (1 + x )  2 x ( )=  x + 1 + x2 1+ 1+ 2 1 + x2 = 1 + x2 = 1 + x2 + x 1 f  ( x) = = x + 1 + x2 x + 1+ x2 x + 1+ x2 x + 1 + x2 1 + x2 1+ x2 ( ) ( ) = − 1  (1 + x )   1 + x2 2 x f ( x) = −  =− ( 1+ x ) 1+ x 2 1+ x (1 + x ) 2 2 2 2 2 1 + x2 Thay x = 0 vào biểu thức trên ta được f  (0) = 0 . Câu 6. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: x4 a) y = − 2x2 + 1 4 2x +1 b) y = x −1 Lời giải  a) y = 3x − 4 2 6 b) y  = ( x − 1)3 Câu 7. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = ln | 2x −1| ;   b) y = tan  x +   3 Trang 3
Lời giải 4 a) y  = − ; (2 x − 1) 2     1   b) y = tan  x +  = = 1 + tan 2  x +   3    3 cos 2  x +   3    2 tan  x +         3 y  = 2 tan  x +   tan  x +   =  3   3    cos 2  x +   3 Cho hàm số f ( x) = xe x + ln( x + 1) . 2 Câu 8. Tính f  (0) và f  (0) . Lời giải Ta có: ( ) f  ( x) = 1 + 2 x 2 e x + 1 2 x +1 ( ) f  ( x) = 6 x + 4 x3 e x − 1 2 ( x + 1) 2 Thay x = 0 ta được f  (0) = 2 và f  (0) = −1 . Cho f ( x) = ( x 2 + a ) + b ( a, b là tham số). Biết f (0) = 2 và f  (1) = 8 , tìm a và b . 2 Câu 9. Lời giải Tính đạo hàm cấp hai ta được f ( x) = 12 x + 4a . Từ đó có f  (1) = 12 + 4a = 8 nên a = −1 . Mặt khác,  2 f (0) = a 2 + b = 2 . Thay a = −1 ta được b = 1 . Vậy a = −1 , b = 1 là các giá trị cần tìm. Câu 10. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = 3x3 − x 2 + 3x − 1; b) y = cos 2 x . Giải a) y = 3.3x 2 − 2 x + 3 = 9 x 2 − 2 x + 3, y = 9.2 x − 2 = 18 x − 2 . b) Đặt u = cos x thì y = u 2 .   Ta có u x = − sin x và yu = 2u .    Suy ra yx = yu  u x = 2u  (− sin x) = −2 cos x  sin x = − sin 2 x . y = −(2 x)  cos 2 x = −2cos 2 x . Câu 11. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) y = x sin 2x ; b) y = cos 2 x ; c) y = x 4 − 3x3 + x 2 − 1 . Lời giải a) y = 4cos 2 x − 4 x sin 2 x ; b) y = −2cos 2 x ; c) y = 12 x 2 − 18 x + 2 . Câu 12. Cho hàm số f ( x) = x 2 + 2 x − 1. a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm x0 = 0, x0 = 1 . Giải Trang 4
a) Ta có: f  ( x) = 2 x + 2 và f  ( x) = (2 x + 2) = 2 . b) Vì f  ( x) = 2 nên f  (0) = f  (1) = 2 . Câu 13. Cho hàm số g ( x) = cos x . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = . 6 Giải a) Ta có: g  ( x) = − sin x, g  ( x) = (− sin x) = − cos x .    3 b) Vì g  ( x) = − cos x nên g    = − cos = − . 6 6 2 Câu 14. Cho hàm số h( x) = ln x, x  0 . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = 2 . Giải  1 1 1 a) Ta có: h ( x) = , h ( x) =   = − 2 .  x  x x 1 1 1 b) Vì h ( x) = − 2 nên h ( 2) = − =− . x ( 2)2 2 Câu 15. Cho hàm số k ( x) = sin x  cos x . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = . 3 Giải 1 a) Ta có: k ( x) = sin 2 x , suy ra k  ( x) = cos 2 x, k  ( x) = (cos 2 x) = −2sin 2 x . 2   b) Vì k  ( x) = −2sin 2 x nên k    = −2sin  2   = − 3 .     3  3 Câu 16. Cho hàm số f ( x) = x 2 − 4 x . Giải phương trình f  ( x) = f  ( x) . Giải Ta có: f  ( x) = 2 x − 4, f  ( x) = 2 . Khi đó, ta có phương trình f  ( x) = f  ( x)  2 x − 4 = 2  x = 3. Câu 17. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau: 1 a) f ( x) = 3x + 5 b) g ( x) = 2x+3 x 2 Lời giải  (3 + 5) −3 a) Ta có: f  ( x) = − = , (3x + 5) 2 (3 x + 5) 2   (−3) (3x + 5) 2 − (3x + 5) 2  (−3)   18 f ( x) = = . (3x + 5) 4 (3x + 5)3 b) Ta có: g  ( x) = ( x + 3x 2 ) ln 2  2 x +3 x = (6 x + 1) ln 2  2 x +3 x ,  2 2 Trang 5
  2 ( g  ( x) = ln 2 (6 x + 1)  2 x+3 x + (6 x + 1)  2 x+3 x  2    ) = 6ln 2  2 x +3 x + [(6 x + 1) ln 2]2  2 x +3 x . 2 2 Câu 18. Cho hàm số f ( x) = sin x  cos x  cos 2x . a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại x0 = . 6 Lời giải 1 1 a) Ta có: f ( x) = sin x  cos x  cos 2 x = sin 2 x  cos 2 x = sin 4 x . 2 4 1 Khi đó, f  ( x) = (4 x) cos 4 x = cos 4 x, f  ( x) = (4 x) (− sin 4 x) = −4sin 4 x . 4   b) Vì f  ( x) = −4sin 4 x nên f    = −4sin  4   = −2 3 .     6  6 Câu 19. Cho hàm số f ( x) = x3 + 4 x 2 + 5 . Giải bất phương trình f  ( x) − f  ( x)  0 . Lời giải   Ta có: f ( x) = 3x + 8 x, f ( x) = 6 x + 8 . 2  x  −2 Khi đó, f ( x) − f ( x) = 3x + 8 x − 6 x − 8  0  3x + 2 x − 8  0     2 2 x  4  3 Dạng 2. Ứng dụng Câu 20. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình 1 chuyển động s = gt 2 , trong đó g là gia tốc rơi tự do, g  9,8 m / s 2 . 2 a) Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2( s ) . b) Tính gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t0 = 2( s ) . Lời giải a) Vận tốc của vật là: v(t ) = gt  v(2)  9,8.2  19,6( m / s) b) Gia tốc của vật là: a(t ) = g  a(2)  9,8 ( m / s 2 ) Câu 21. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t ) = t 3 − 3t 2 + 8t + 1 , trong đó t  0 , t tính bằng giây và s(t ) tính bằng mét. Tính vận tốc tức thời, gia tốc tức thời của chất điểm: a) Tại thời điểm t = 3( s) ; b) Tại thời điểm mà s(t ) = 7( m) . Lời giải  Vận tốc tức thời tại thời điểm t : v(t ) = s (t ) = 3t 2 − 6t + 8 Gia tốc tức thời tại thời điểm t: a(t ) = v (t ) = 6t − 6 a) Tại thời điểm t = 3( s) - Vận tốc tức thời là: v(3) = 3.32 − 6.3 + 8 = 17( m / s) - Gia tốc tức thời là: a(3) = 6.3 − 6 = 12 ( m / s 2 ) b) Tại thời điểm chất điểm di chuyển được 7( m) ta có: Trang 6
t 3 − 3t 2 + 8t + 1 = 7  t 3 − 3t 2 + 8t − 6 = 0  t 3 − 3t 2 + 8t − 6 = 0  t =1 Với t = 1 Vận tốc tức thời là: v(1) = 3.12 − 6.1 + 8 = 5( m / s) Gia tốc tức thời là: a(1) = 6.1 − 6 = 0 ( m / s 2 ) Câu 22. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như Hình 7 , có phương trình chuyển động x(t ) = 4sin t , trong đó t tính bằng giây và x(t ) tính bằng centimét. a) Tìm phương trình theo thời gian của vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc. 2 b) Tính vận tốc tức thời và gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t = ( s ) . Tại thời điểm đó, 3 con lắc di chuyển theo chiều dương hay chiều âm của trục Ox ? Lời giải  a) Vận tốc tức thời tại thời điểm t : v(t ) = x = 4 cos t Gia tốc tức thời tại thời điểm t : a(t ) = v (t ) = −4sin t 2 b) Tại thời điểm t = ( s) 3  2  2 - Vận tốc tức thời là: v   = 4cos = −2  3  3 2 2 - Gia tốc tức thời là: a   = −4sin   = −2 3  3  3 - Tại thời điểm đó, con lắc đang di chuyển theo hướng ngược chiều dương Câu 23. Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí)   được cho bởi phương trình sau: x(t ) = 4cos  2 t +  , ở đó x tính bằng centimét và thời gian t tính  3 bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Giải Trang 7
       Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t ) = x (t ) = −  2 t +   4sin  2 t +  = −8 sin  2 t +  .   3  3  3 Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t        là a(t ) = v (t ) = −8  2 t +   cos  2 t +  = −16 2 cos  2 t +  .   3  3  3 Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là    a(5) = −16 2 cos 10 +  = −16 2 cos  −79 ( cm / s 2 ) .  3 3  Câu 24. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức s(t ) = 15 + 2 sin  4 t +  ,    6 trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất). Lời giải  Gia tốc của hạt tại thời điểm t là: a(t ) = s (t ) = −16 2 2 sin  4 t +  . Tại thời điểm t = 3 giây, gia    6 tốc của hạt là:   a = −16 2 2 sin 12 +   −111, 7 m / s 2  6 Câu 25. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t ) = −2t 2 + 15t + 3 , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2. Giải Ta có s (t ) = −2.2t + 15 = −4t + 15 , suy ra s (t ) = −4 . Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 lần lượt là s (2) = 7 m / s và s (2t ) = −4 m / s 2 . Câu 26. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s = 100 + 2t − t 2 trong đó thời gian được tính bằng giây và s được tính bằng mét. a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0 ? b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 s . Lời giải  a) s (t ) = 2 − 2t s (t ) = 0  2 − 2t = 0  t = 1. Vận tốc chất điểm bằng 0 khi t = 1 s . b) Khi t = 3 s . s (3) = 2 − 2.3 = −4( m / s); s (3) = −2  a(3) = −2 m / s 2 . Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của vật là −4 m / s . Gia tốc của vật là −2 m / s 2 . Câu 27. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t ) = −2t 3 + 75t + 3 , trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3. Lời giải   Ta có s (t ) = −6t + 75 suy ra s (t ) = −12t . 2 Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 3 là s (3) = 21 và s (3) = −36 . Trang 8
1 Câu 28. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t ) = t 3 − 3t 2 + 5t + 4 , trong đó t  0, t tính 3 bằng giây, s(t ) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3( s) . Giải Ta có: s (t ) = t 2 − 6t + 5 . Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t ( s) là: s (t ) = 2t − 6. Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3( s) là: ( ) s (3) = 2  3 − 6 = 0 m / s 2 .  Câu 29. Một chất điểm có phương trình chuyển động s(t ) = 6sin  3t +  , trong đó t  0, t tính bằng    4  giây, s(t ) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = ( s) . 6 Giải  Ta có: s (t ) = 18cos  3t +  .    4  Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t ( s) là: s (t ) = −54sin  3t +  .  4  Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = ( s) là: 6      ( s   = −54sin  3  +  = −27 2 cm / s 2 . 6  6 4 ) 1 Câu 30. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t ) = t 3 − 3t 2 + 8t + 2 , trong đó t  0, t tính 3 bằng giây, s(t ) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm: a) Tại thời điểm t = 5( s) . b) Tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng −1m / s . Lời giải   Ta có: s (t ) = t − 6t + 8, s (t ) = 2t − 6 . 2 a) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 5 (s) là: s (5) = 4 ( m / s 2 ) . b) Theo giả thiết, s (t ) = t 2 − 6t + 8 = −1  t = 3 (s). Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 3 (s) là: s (3) = 0 ( m / s 2 ) .  Câu 31. Một chất điểm có phương trình chuyển động s(t ) = 3sin  t +  , trong đó t  0, t tính bằng    3  giây, s(t ) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = ( s) . 2 Lời giải  Ta có: s (t ) = −3sin  t +  .    3  Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = (s) là: 2       −3 s   = −3sin  +  = 2 2 3 2 ( cm / s 2 . ) Trang 9
BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP HAI • CHƯƠNG 7. ĐẠO HÀM PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ) 1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá Cho hàm số y = x − 3x + x + 1 với x  . Đạo hàm y  của hàm số là 5 4 Câu 1. A. y = 5 x − 12 x + 1 . B. y = 5 x − 12 x . 3 2 4 3 C. y = 20 x − 36 x . D. y = 20 x − 36 x . 2 3 3 2 Lời giải Chọn D Ta có y = x − 3x + x + 1  y = 5 x 4 − 12 x3 + 1  y = 20 x3 − 36 x 2 . 5 4  Câu 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = −3cos x tại điểm x0 = . 2         A. y   = −3 . B. y   = 5 . C. y   = 0 . D. y   = 3 . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C y = −3cos x  y = 3sin x; y = 3cos x .   y   = 0 . 2 Cho hàm số f ( x ) = ( 3x − 7 ) . Tính f  ( 2) . 5 Câu 3. A. f  ( 2 ) = 0 . B. f  ( 2 ) = 20 . C. f  ( 2) = − 180 . D. f  ( 2) = 30 . Lời giải Chọn C f ( x ) = ( 3x − 7 ) 5 f  ( x ) =15 ( 3x − 7 ) . 4 f  ( x ) = 180 ( 3x − 4 ) . 3 Vậy f  ( 2) = − 180 . Câu 4. Cho y = 2 x − x 2 , tính giá trị biểu thức A = y 3 . y '' . A. 1 . B. 0 . C. −1 . D. Đáp án khác. Lời giải Chọn C 1− x −1 Ta có: y ' = , y '' = ( ) 3 2 x − x2 2x − x2 Do đó: A = y 3 . y '' = −1 . Trang 1
3x + 1 Câu 5. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = là x+2 10 5 5 10 A. y = B. y = − C. y = − D. y = − ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) ( x + 2) 2 4 3 3 Lời giải Chọn D 5 5 10 Ta có y = 3 −  y = ; y = − x+2 ( x + 2) ( x + 2) 2 3 Câu 6. Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos 2 x là A. y = −2cos 2x . B. y = −2sin 2x . C. y = 2cos 2 x . D. y = 2sin 2x . Lời giải Chọn A y ' = 2cos x. ( − sin x ) = − sin 2x  y = −2cos2x . Câu 7. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + x + 1 . Phương trình y = 0 có nghiệm. A. x = 2 . B. x = 4 . C. x = 1 . D. x = 3 . Lời giải Chọn C TXĐ D = Ta có y = 3x 2 − 6 x + 1 , y = 6x − 6  y = 0  x = 1 Câu 8. Cho hàm số y = sin 2 x . Khi đó y ''( x) bằng 1 A. y '' = cos 2 x . B. P = 2sin 2 x . 2 C. y '' = 2cos 2 x . D. y '' = 2cos x . Lời giải Chọn C y = sin 2 x  y ' = 2sin x.cosx = sin 2 x  y '' = 2cos 2x 1 Câu 9. Cho hàm số y = − . Đạo hàm cấp hai của hàm số là x ( 2) 2 ( 2) −2 ( 2) −2 ( ) 2 A. y = 3 . B. y = 2 . C. y = 3 . D. y = 2 . x x x x2 Lời giải Chọn C 1 ( x ) 2x 2 2 ' Ta có: y ' = 2 nên y ( 2) = − 4 = − 4 = − 3 . x x x x 2 Câu 10. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số y = . 1+ x 4 4 2 2 A. y = . B. y = − . C. y = − . D. y = . (1+ x ) (1+ x ) (1+ x ) (1+ x ) 3 3 3 3 Lời giải Trang 2