Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán theo chương trình GDPT 2018

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:242

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán theo chương trình GDPT 2018 là tài liệu giúp học sinh lớp 12 hệ thống hóa kiến thức toán học theo định hướng phát triển năng lực, bám sát cấu trúc đề thi và chương trình giáo dục phổ thông mới. Nội dung bao gồm các chuyên đề trọng tâm như: hàm số, mũ – logarit, nguyên hàm – tích phân, hình học không gian, xác suất và thống kê, kèm theo bài tập luyện tập và đề thi minh họa. Tài liệu hỗ trợ học sinh ôn luyện hiệu quả, chuẩn bị vững vàng cho kỳ thi tốt nghiệp THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán theo chương trình GDPT 2018

y 2 O S −1 1 x −2 c6 c5 c1 c4 c2 c3 O LaTeX hoá sách ÔN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Môn Toán THEO CHƯƠNG TRÌNH GIÁO DỤC PHỔ THÔNG 2018
Mục lục I ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ 1 1 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6 VECTƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN . . . . . . . . . . . 105 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7 MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8 MỘT SỐ YẾU TỐ XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 i
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 B MỘT SỐ VÍ DỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 II MỘT SỐ ĐỀ MINH HỌA 169 Đề số 001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Đề số 002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Đề số 003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Đề số 004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Đề số 005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Đề số 006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 NHÓM VN - MATHS & LTEX A A NHÓM VN - MATHS & L TEX − ii − Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
1 Phần I ÔN TẬP THEO CHỦ ĐỀ ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN
A NHÓM VN - MATHS & LTEX
CHỦ ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản a) Phương trình sin x = m (1) • Với |m| > 1, phương trình (1) vô nghiệm. π π • Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn − ; sao cho sin x = m. 2 2 ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN  x = α + k2π Khi đó, ta có sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔  (k ∈ Z). x = π − α + k2π Chú ý: - Ta có một số trường hợp đặc biệt của phương trình sin x = m sau: π • sin x = 1 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z); 2 π • sin x = −1 ⇔ x = − + k2π (k ∈ Z); 2 • sin x = 0 ⇔ x = kπ(k ∈ Z). - Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sin x = sin a◦ như sau  ◦ x = a◦ + k360◦ sin x = sin a ⇔  (k ∈ Z). x = 180◦ − a◦ + k360◦ b) Phương trình cos x = m (2) • Với |m| > 1, phương trình (2) vô nghiệm. • Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn [0; π] sao cho cos α = m.  x = α + k2π Khi đó, ta có cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔  (k ∈ Z). x = −α + k2π Chú ý: - Ta có một số trường hợp đặc biệt của phương trình cos x = m sau: • cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z); • cos x = −1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ Z); π • cos x = 0 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). 2 A NHÓM VN - MATHS & L TEX −3− Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cos x = cos a◦ như sau  ◦ x = a◦ + k360◦ cos x = cos a ⇔  (k ∈ Z). x = −a◦ + k360◦ c) Phương trình tan x = m π π Gọi α là số thực thuộc khoảng − ; sao cho tan α = m. Khi đó, ta có 2 2 tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z). Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tan x = tan a◦ như sau tan x = tan a◦ ⇔ x = a◦ + k180◦ (k ∈ Z). NHÓM VN - MATHS & LTEX d) Phương trình cot x = m A Gọi α là số thực thuộc khoảng (0; π) sao cho cot α = m. Khi đó, ta có cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z). Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cot x = cot a◦ như sau cot x = cot a◦ ⇔ x = a◦ + k180◦ (k ∈ Z). 2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản  f (x) = g(x) + k2π • sin f (x) = sin g(x) ⇔  (k ∈ Z). f (x) = π − g(x) + k2π  f (x) = g(x) + k2π • cos f (x) = cos g(x) ⇔  (k ∈ Z). f (x) = −g(x) + k2π • Với phương trình sin2 u(x) = sin2 v(x), cos2 u(x) = cos2 v(x), sin2 u(x) = cos2 v(x), ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình dạng cos f (x) = cos g(x). • Với một phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để đưa về phương trình dạng tích A(x) · B(x) = 0. II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1. Phương trình mũ Với a > 0, a = 1 thì • af (x) = b ⇔ f (x) = loga b với b > 0. • af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x). A NHÓM VN - MATHS & L TEX −4− Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
2. Phương trình lôgarit Với a > 0, a = 1 thì • loga f (x) = b ⇔ f (x) = ab .  f (x) = g(x) • loga f (x) = loga g(x) ⇔ f (x) > 0 hoặc g(x) > 0. 3. Bất phương trình mũ Với a > 0, a = 1 thì ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN a) Xét bất phương trình af (x) > b. • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f (x). • Nếu b > 0, a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > loga b. • Nếu b > 0, 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về f (x) < loga b. b) Xét bất phương trình af (x) > ag(x) . • Nếu a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > g(x). • Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về f (x) < g(x). Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự. 4. Bất phương trình lôgarit Với a > 0, a = 1 thì a) Xét bất phương trình loga f (x) > b. • Nếu a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > ab . • Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về 0 < f (x) < ab . b) Xét bất phương trình loga f (x) > loga g(x). • Nếu a > 1 thì bất phương trình đưa về f (x) > g(x) > 0. • Nếu 0 < a < 1 thì bất phương trình đưa về 0 < f (x) < g(x). Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án. A NHÓM VN - MATHS & L TEX −5− Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
√ π 3 Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình sin x + =− là 3 2 2π π π A. x = − + k2π và x = π + k2π (k ∈ Z). B. x = − + k2π và x = + k2π (k ∈ Z). 3 3 3 π 5π C. x = k2π và x = π + k2π (k ∈ Z). D. x = − + k2π và x = + k2π (k ∈ Z). 2 3 Lời giải. √ π 3 sin x + =− 3 2 π π ⇔ sin x + = sin − 3 3 π π  x + = − + k2π ⇔   3 3 π π x+ =π− − + k2π  3 3 2π x = − 3 + k2π ⇔  (k ∈ Z). x = π + k2π NHÓM VN - MATHS & LTEX A Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 −2x Ví dụ 2. Tổng các nghiệm của phương trình 3x = 81 là A. 4. B. −4. C. −2. D. 2. Lời giải. x2 −2x x2 −2x 4 2 Ta có 3 = 81 ⇔ 3 = 3 ⇔ x − 2x − 4 = 0. Phương trình x2 − 2x − 4 = 0 có hệ số a, c trái dấu nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Viète, suy ra tổng hai nghiệm bằng 2. Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình log16 (x + 5) = là 2 A. 3. B. −1. C. −3. D. 27. Lời giải. 1 Ta có x + 5 = 16 2 ⇔ x + 5 = 4 ⇔ x = −1. Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình log2 (x − 4) = log2 (x2 − 5x + 4) là A. 1. B. 2. C. 0. D. 3.  Lời giải. x > 4     x − 4 > 0 Điều kiện xác định của phương trình ⇔ x < 1 ⇔ x > 4. x2 − 5x + 4 > 0    x>4  Ta có  x=2 log2 (x − 4) = log2 (x2 − 5x + 4) ⇔ x − 4 = x2 − 5x + 4 ⇔ x2 − 6x + 8 = 0 ⇔  x = 4. A NHÓM VN - MATHS & L TEX −6− Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
So sánh với điều kiện ta thấy không có nghiệm nào thỏa mãn. Suy ra phương trình vô nghiệm. Vậy số nghiệm của phương trình là 0. Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng II. Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. π π Ví dụ 5. Cho phương trình sin2 2x + = cos2 x + . 4 2 π 1 + cos 4x + a) Hạ bậc hai vế ta được phương trình 2 = 1 − cos (2x + π) . 2 2 b Ta có cos (2x + π) = − cos 2x. ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN π c Phương trình đã cho đưa về dạng cos 4x + = cos 2x. 2 π π π d) Nghiệm của phương trình đã cho là x = − + kπ và x = + k (k ∈ Z). 4 12 3 Lời giải. Ta có π π sin2 2x + = cos2 x + 4 2 π 1 − cos 4x + ⇔ 2 = 1 + cos (2x + π) 2 2 π ⇔ − cos 4x + = cos (2x + π) 2 π ⇔ − cos 4x + = − cos 2x 2 π ⇔ cos 4x + = cos 2x 2 π  4x + = 2x + k2π ⇔  2  π 4x + = −2x + k2π 2 π  x = − + kπ ⇔ 4 π (k ∈ Z) .   π x=− +k 12 3 a) Sai. Hạ bậc phương trình, ta được π 1 − cos 4x + 1 + cos (2x + π) 2 = . 2 2 b) Đúng. Ta có cos(2x + π) = − cos(−2x) = − cos 2x. c) Đúng. π Sau khi hạ bậc và rút gọn, phương trình đã cho đưa về dạng cos 4x + = cos 2x. 2 d) Sai. π π π Nghiệm của phương trình đã cho là x = − + kπ và x = − + k (k ∈ Z). 4 12 3 A NHÓM VN - MATHS & L TEX −7− Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
Chọn đáp án a sai b đúng c đúng d sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ x2 −4x √ 5−2x Ví dụ 6. Cho bất phương trình 3 − 2 2 > 3+2 2 . √ √ −1 a Ta có 3 + 2 2 = 3 − 2 2 . b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình x2 − 4x > 2x − 5. c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5. d Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 9. Lời giải. Ta có √ x2 −4x √ 5−2x 3−2 2 > 3+2 2 √ −(x2 −4x) √ 5−2x ⇔ 3+2 2 > 3+2 2 ⇔ − x2 − 4x > 5 − 2x ⇔ x2 − 4x < 2x − 5 NHÓM VN - MATHS & LTEX ⇔ x2 − 6x + 5 < 0 ⇔ 1 < x < 5. A Các nghiệm nguyên của bất phương trình là {2; 3; 4}. Tổng các nghiệm nguyên là 2 + 3 + 4 = 9. a) Đúng. √ √ √ 2 √ √ −1 Vì 3 + 2 2 · 3 + 2 2 = 32 − 2 2 = 1 nên 3 + 2 2 = 3 − 2 2 . b) Sai. Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình x2 − 4x < 2x − 5. c) Sai. Phương trình đã cho có tập nghiệm S = (1; 5) nên số nghiệm nguyên là 3. d) Đúng. Tổng các nghiệm nguyên của phương trình là 2 + 3 + 4 = 9. Chọn đáp án a đúng b sai c sai d đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ví dụ 7. Cho bất phương trình log√2−1 (2x2 − 2) ≥ log√2−1 (5x + 5). √ a Ta có 0 < 2 − 1 < 1.  2x2 − 2 ≤ 5x + 5 b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình 5x + 5 > 0. c Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2. d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0. Lời giải. Ta có log√2−1 2x2 − 2 ≥ log√2−1 (5x + 5) A NHÓM VN - MATHS & L TEX −8− Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
 2x2 − 2 ≤ 5x + 5 ⇔ 2x2 − 2 > 0  2x2 − 5x − 7 ≤ 0 ⇔ 2x2 − 2 > 0  −1≤x≤ 7  2    ⇔  x < −1     x>1 7 ⇔ 1 0 x + 1 > 0 2 c) Đúng. Phương trình có đúng 2 nghiệm nguyên là x = 2 và x = 3. d) Sai. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là x = 2. Chọn đáp án a đúng b sai c đúng d sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dạng III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Ví dụ 8. Hằng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h (m) của π mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức h = 16 + 7 sin t với 12 0 ≤ t ≤ 24. Tìm thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất. Đáp án: 6 Lời giải. Ta có π −1 ≤ sin t ≤1 12 π ⇔ 16 − 7 ≤ 16 + 7 sin t ≤ 16 + 7 12 ⇔ 9 ≤ h ≤ 23. Vậy mực nước tại cảng cao nhất bằng 23 m khi π sin t =1 12 π π ⇔ t = + 2kπ 12 2 A NHÓM VN - MATHS & L TEX −9− Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
⇔ t = 6 + 24k (k ∈ Z) . Vì 0 ≤ t ≤ 24 nên t = 6. Vậy thời điểm mà mực nước tại cảng cao nhất là lúc 6 (giờ). T −S Ví dụ 9. Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau : kt = ln trong đó t T0 − S là số giờ trôi qua, T0 là nhiệt độ lúc đầu, T là nhiệt độ sau t giờ, S là nhiệt độ môi trường (T0 , T , S theo cùng một đơn vị đo), k là một hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ 96◦ C, sau 2 phút nhiệt độ giảm còn 90◦ C. Biết nhiệt độ phòng là 24◦ C. Tính nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Đáp án: 70,6 Lời giải. 1 1 90 − 24 Thay t = 2 phút = giờ , T = 90, T0 = 96, S = 24 ta có k = ln . 30 30 96 − 24 11 Do đó k = 30 ln . 12 1 Sau t = 10 phút = giờ . NHÓM VN - MATHS & LTEX 6 1 11 T − 24 11 T − 24 Ta có · 30 ln = ln ⇔ 5 ln = ln . A 6 12 96 − 24 12 72 5 5 T − 24 11 11 Suy ra = ⇔ T = 72 + 24 ≈ 70,6. 72 12 12 Vậy nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút là khoảng 70,6◦ C. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án. π Câu 1. Các nghiệm của phương trình sin − x = 0 là 5 π 2π A. x = − + kπ (k ∈ Z). B. x = + kπ (k ∈ Z). 5 5 π π C. x = − + k2π (k ∈ Z). D. x = + kπ (k ∈ Z). 5 5 Lời giải. π π π π Ta có sin − x = 0 ⇔ sin x − = 0 ⇔ x − = kπ ⇔ x = + kπ, (k ∈ Z). 5 5 5 5 Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 2. Các nghiệm của phương trình 2 sin 3x + 2 = 0 là π 2π 3π 2π π 2π 5π 2π A. x = +k và x = + k (k ∈ Z). B. x = − + k và x = + k (k ∈ Z). 12 3 12 3 12 3 12 3 π 2π π 2π π 2π 3π 2π C. x = +k và x = − + k (k ∈ Z). D. x = − + k và x = + k (k ∈ Z). 12 3 12 3 12 3 12 3 Lời giải. √ 2 sin 3x + √ = 0 2 2 ⇔ sin 3x = − 2 π ⇔ sin 3x = sin − 4 π  3x = − + k2π ⇔   4 π 3x = π + + k2π 4 A NHÓM VN - MATHS & L TEX − 10 − Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
π 2π  x=− +k ⇔   12 3 (k ∈ Z). 5π 2π x= +k 12 3 Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π 1 Câu 3. Các nghiệm của phương trình cos x + = là 6 2 π π π π A. x = + k2π và x = − + k2π (k ∈ Z). B. x = − + k2π và x = + k2π (k ∈ Z). 6 2 6 2 π π π C. x = k2π và x = − + k2π (k ∈ Z). D. x = + kπ và x = − + kπ (k ∈ Z). 3 6 2 Lời giải. Ta có ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN π 1 cos x + = 6 2 π π ⇔ cos x + = cos 6 3 π π  x + = + k2π ⇔   6 3 π π x + = − + k2π 6 3 π  x = + k2π ⇔   6 (k ∈ Z). π x = − + k2π 2 Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 4. Các nghiệm của phương trình sin2 2x = 1 là π π π A. x = + k (k ∈ Z). B. x = k (k ∈ Z). 4 2 2 π π π C. x = + kπ (k ∈ Z). D. x = + k (k ∈ Z). 2 8 2 Lời giải. Ta có sin2 2x = 1 ⇔ cos2 2x = 0 ⇔ cos 2x = 0 π ⇔ 2x = + kπ 2 π π ⇔ x = + k (k ∈ Z). 4 2 Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π √ Câu 5. Các nghiệm của phương trình tan x − = 3 là 3 2π A. x = + k2π (k ∈ Z). B. x = kπ (k ∈ Z). 3 2π 2π C. x = + kπ (k ∈ Z). D. x = − + kπ (k ∈ Z). 3 3 Lời giải. A NHÓM VN - MATHS & L TEX − 11 − Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
Ta có π √ tan x −= 3 3 π π ⇔ tan x − = tan 3 3 π π ⇔ x − = + kπ 3 3 2π ⇔ x= + kπ (k ∈ Z). 3 Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π Câu 6. Các nghiệm của phương trình cot 3x + = −1 là 4 π π π A. x = + kπ (k ∈ Z). B. x = − + k (k ∈ Z). 6 6 3 π π π π C. x = − + k (k ∈ Z). D. x = + k (k ∈ Z). 6 6 6 2 Lời giải. Ta có NHÓM VN - MATHS & LTEX π A = −1 cot 3x + 4 π π ⇔ cot 3x + = cot − 4 4 π π ⇔ 3x + = − + kπ 4 4 π π ⇔ x = − + k (k ∈ Z). 6 3 Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Câu 7. Các nghiệm của phương trình sin x + 3 cos x = 0 là π π A. x = − + kπ (k ∈ Z). B. x = + kπ (k ∈ Z). 6 3 π π C. x = + kπ (k ∈ Z). D. x = − + kπ (k ∈ Z). 6 3 Lời giải. Ta có √ sin x + 3 cos x = 0 √ 1 3 ⇔ sin x + cos x = 0 2 2 π π ⇔ sin x cos + sin cos x = 0 3 3 π ⇔ sin x + =0 3 π ⇔ x + = kπ 3 π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z). 3 Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Câu 8. Các góc lượng giác x sao cho cos (x − 15◦ ) = − là 2 ◦ ◦ ◦ ◦ A. x = 165 + k360 và x = −135 + k360 (k ∈ Z). B. x = 165◦ + k180◦ và x = −135◦ + k180◦ (k ∈ Z). A NHÓM VN - MATHS & L TEX − 12 − Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
C. x = 135◦ + k360◦ và x = −105◦ + k360◦ (k ∈ Z). D. x = 135◦ + k180◦ và x = −105◦ + k180◦ (k ∈ Z). Lời giải. Ta có 1 cos (x − 15◦ ) = − 2 ⇔ cos (x − 15◦ ) = cos 120◦  x − 15◦ = 120◦ + k360◦ ⇔  x − 15◦ = −120◦ + k360◦  x = 135◦ + k360◦ ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN ⇔  (k ∈ Z). x = −105◦ + k360◦ Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 9. Các góc lượng giác x sao cho tan (2x + 27◦ ) = tan 35◦ là A. x = 4◦ + k180◦ (k ∈ Z). B. x = −4◦ + k180◦ (k ∈ Z). C. x = −4◦ + k90◦ (k ∈ Z). D. x = 4◦ + k90◦ (k ∈ Z). Lời giải. Ta có tan (2x + 27 ) = tan 35 ⇔ 2x + 27 = 35◦ + k180◦ ⇔ x = 4◦ + k90◦ (k ∈ Z). ◦ ◦ ◦ Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 10. Các góc lượng giác x sao cho sin 2x = sin(36◦ − x) là A. x = 12◦ + k120◦ và x = 144◦ + k360◦ (k ∈ Z). B. x = 12◦ + k120◦ và x = 48◦ + k120◦ (k ∈ Z). C. x = 12◦ + k360◦ và x = 144◦ + k120◦ (k ∈ Z). D. x = 36◦ + k360◦ và x = 144◦ + k360◦ (k ∈ Z). Lời giải. sin 2x = sin(36◦ − x)  2x = 36◦ − x + k360◦ ⇔  2x = 180◦ − (36◦ − x) + k360◦  3x = 36◦ + k360◦ ⇔  2x = 180◦ − 36◦ + x + k360◦  x = 12◦ + k120◦ ⇔  (k ∈ Z). ◦ ◦ x = 144 + k360 Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3π 9π Câu 11. Số nghiệm của phương trình cos x = 1 (∗) trên khoảng − ; là 4 2 A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. A NHÓM VN - MATHS & L TEX − 13 − Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
Lời giải. Ta có cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ Z). 3π 9π Vì x ∈ − ; nên 4 2 3π 9π −
5π 5π Vậy phương trình (∗) có 5 nghiệm trên khoảng − ; . 2 2 Chọn đáp án B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Câu 13. Các nghiệm của phương trình cos2 x − sin2 x = 0 là π π π A. x = + k (k ∈ Z). B. x = + kπ (k ∈ Z). 4 2 4 π π C. x = + k2π (k ∈ Z). D. x = − + kπ (k ∈ Z). 4 4 Lời giải. Ta có cos2 x − sin2 x = 0 ÔN T P KỲ THI THPT QG 2025 - MÔN TOÁN ⇔ cos 2x = 0 π ⇔ 2x = + kπ 2 π π ⇔ x= +k (k ∈ Z). 4 2 Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π Câu 14. Số nghiệm của phương trình cos 2x − = cos 6x là 2 2π π π A. x = − + k2π và x = π + k2π (k ∈ Z). B. x = − + k2π và x = + k2π (k ∈ Z). 3 3 3 π π π π π C. x = k2π và x = + k2π (k ∈ Z). D. x = − + k và x = + k (k ∈ Z). 3 8 2 16 4 Lời giải. Ta có π cos 6x = cos 2x − 2 π  6x = 2x − + k2π ⇔  2  π 6x = −2x + + k2π 2 π  4x = − + k2π ⇔  2  π 8x = + k2π 2 π π  x=− +k ⇔ 8 2 π (k ∈ Z)   π x= +k 16 4 π π  x=− +k ⇔ 8 2 π (k ∈ Z).   π x= +k 16 4 Chọn đáp án D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 3 4 Câu 15. Nghiệm của phương trình = là 2 9 √ √ A. x = −2. B. x = − 2. C. x = 2. D. x = 2. Lời giải. A NHÓM VN - MATHS & L TEX − 15 − Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025
Ta có x 3 4 = 2 9 x −2 3 3 ⇔ = 2 2 ⇔ x = −2. Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 −x Câu 16. Nghiệm của phương trình 2x = 4 là A. x = −1 và x = 2. B. x = 0 và x = 1. C. x = 1 và x = −2. D. x = 0 và x = 2. Lời giải. Ta có 2 −x 2x =4 NHÓM VN - MATHS & LTEX 2 −x ⇔ 2x = 22 A ⇔ x2 − x − 2 = 0  x = −1 ⇔  x = 2. Chọn đáp án A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 −3x Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình 5x = 10 là A. −3. B. log5 10. C. 3. D. − log5 10. Lời giải. Ta có 2 −3x 5x = 10 ⇔ x2 − 3x = log5 10 ⇔ x2 − 3x − log5 10 = 0. 3 Vì phương trình có a · c = 1 · (− log5 10) < 0 nên có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = = 3. 1 Chọn đáp án C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3−2x 1 Câu 18. Nghiệm của phương trình = 5x+3 là 25 A. x = −3. B. x = 5. C. x = −5. D. x = 3. Lời giải. Ta có 3−2x 1 = 5x+3 25 ⇔ 54x−6 = 5x+3 ⇔ 4x − 6 = x + 3 A NHÓM VN - MATHS & L TEX − 16 − Ôn tập kỳ thi THPT QG 2025