ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh
27
CHUYÊNĐỀ3.GIÁTRỊLỚNNHẤTVÀGIÁTRỊNHỎNHẤTCỦAHÀMSỐ
I.KIẾNTHỨCCƠBẢN
Địnhnghĩa:Chohàmsố
y f(x), x D=Î
a) Số
M
đglgiátrịlớnnhấtcủahàmsố
yf(x)=
trêntập
D
nếu
f(x) M£
,
xD"Î
vàtồntại
0
xDÎ
saocho
0
f(x ) M=
.
Kíhiệu:
D
Mmaxf(x)=
b) Số
m
đglgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố
yf(x)=
trêntập
D
nếu
f(x) m³
,
xD"Î
vàtồntại
0
xDÎ
saocho
0
f(x ) m=
.
Kíhiệu:
D
Mminf(x)=
II.PHÂNDẠNGBÀITẬP
Dạng1:Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsốbằngphươngphápđạohàm.
Bàitập1.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
2
x
y4x
=+
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D
=
+Tacó
()
2
2
2
4x
y' y' 0 x 2
4x
-
===
+
+Tacóbảngbiếnthiên:
x
-¥
2-
2
+¥
y'
-
0
+
0
-
y
0
1
4
1
4
-
0
+Dựavàobảngbiếnthiêntacó: 1
max f(x) 4
=khi
x2=
; 1
min f(x) 4
=- khi
x2=-
ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh
28
Bàitập2.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
()()()()
y x 1x 2x 3x 4=- - - -
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D=
+Tacó
()()( )( )
()()
22
y x 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 4 x 5x 6=- - - -= -+ -+
+Đặt
2
2
59 9
tx 5x4 x24 4
æö
÷
ç÷
=-+=- -³-
ç÷
ç÷
ç
èø
.Hàmsốcódạng
2
f(t) t 2t=+
với 9
t4
³-
Tacó
f'(t) 2t 2 f'(t) 0 t 1=+ ==-
.Bảngbiếnthiên:
t
-¥
9
4
-
1-
+¥
f'(t)
-
0
+
f(t)
9
16
+¥
1-
+Dựavàobảngbiếnthiêntacó:
min f(x) 1=-
khi
x1=-
vàhàmsốkhôngcócựcđại.
Bàitập3.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố yx 12x=+ -
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
1
D;
2
æù
çú
=-¥
ç
çú
ç
èû
+Tacó
()
12x
f'(x) 1 f'(x) 0 x 0
12x 12x 12x 1
-
=- = = =
---+
+Dựavàobảngbiếnthiêntacó
1
;2
max f(x) f(0) 1
æù
çú
ç-¥
çú
ç
èû
==
Bàitập4.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
3
2
x1
yx3x
3
+
=+-
trênđoạn
0; 2
éù
êú
ëû
.
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
D=
+Tacó
2
x1
y' x 2x 3 y' 0 x20;2
é=
ê
=+-=
êéù
=- Ï
êêú
ëû
ë
ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh
29
+Tacó
0;2
0;2
1
f(0) 35
min f(x) f(1)
52
f(1) 2max f(x) f(2) 1
f(2) 1
éù
êú
ëû
éù
êú
ëû
ì
ï
ï=
ï
ïì
ï
ïï
ï==-
ï
ï
ïï
=-
íí
ïï
==
ïï
ïï
=
ïï
î
ï
ï
ï
ï
î
Bàitập5.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
ysin2xx=-
trênđoạn
;
22
pp
éù
êú
-
êú
ëû
.
Hướngdẫn:
+Tacó
1
2
xk
16
y' 2cos2x 1 y' 0 cos2x 2xk
6
pp
pp
é
ê=- +
ê
=-==
ê
ê=+
ê
ë
+Xét
1
xk
6
pp=- + vì
12
x; k k
22 2 6 2 3 3
pp p p p
p
éù
êú
Î- - £- + £ - £ £
êú
ëû
.
Do
1
kk0x
6
p
Î= =-.Tươngtựtacó
2
x6
p
=
+Tacó
;
22
;
22
y22
3min y y
y22
626
3max y y
y22
626
y22
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
pp
éù
êú
-
êú
ëû
éù
êú
-
êú
ëû
ìæö
ï÷
ïç÷
-=
ïç ÷
ç
ï÷
ç
èø
ï
ïìæö
ï
ï÷
æö ïç
ï÷
==-
ïç
÷
ç
ï÷
֍
ï
-=- +
ç
ï÷
ç
÷èø
ï
ç
ï÷
çï
èø
ïï
íí
æö
ïï
æö ÷
ç
ïï
÷
ç÷
=- =
ç
÷
ïï
=+
ç÷
֍
ïï
ç÷
ç
÷
çèø
ïèø
ïî
ïæö
ï÷
ç
ï÷=-
ç
ï÷
ç
ï÷
ç
èø
ï
î
ï
ï
ï
Bàitập6.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
3
yx3x2=-+trênđoạn
3; 0
éù
-
êú
ëû
.
Hướngdẫn:Xéthàmsố
3
g(x) x 3x 2=-+
trênđoạn
3; 0
éù
-
êú
ëû
.Tacó
g(x) 0 x 2==-
2
g'(x) 3x 3 g'(x) 0 x 1=- ==
+Tacóbảngbiếnthiêncủa
g(x)
:
x
-¥
3-
2-
1-
1
+¥
g'(x)
+
+
0
-
0
g(x)
4
0
ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh
30
16-
2
+Từđótacóbảngbiếnthiêncủahàmsố
3
yg(x)x3x2==-+
x
-¥
3-
2-
1-
1
+¥
g'(x)
-
+
0
-
0
g(x)
16
4
0
2
+Dựavàobảngbiếnthiêntacó:
max f(x) 16=
khi
x3=-
;
min f(x) 0=
khi
x2=-
Bàitậpápdụng
Bàitập1.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
32
yx 3x 2=+ +
trênđoạn
1; 1
éù
-
êú
ëû
.
Bàitập2(TN_2012).Tìm
m
đểgiátrịnhỏnhấtcủahàmsố
2
xm m
yx1
-+
=+
trênđoạn
0;1
éù
êú
ëû
bằng
2-
.
Bàitập3(TN03‐04).Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
3
4
y 2 sin x sin x
3
=- trênđoạn
0; p
éù
êú
ëû
.
Bàitập4(TN08‐2).Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố 2x 1
yx3
-
=-trênđoạn
0; 2
éù
êú
ëû
.
Bàitập5.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
a)
4
2
y2x
=+
b)
()
2
x3x3
y,x2;
x2
-+
=Î+¥
-
c)
()
1
yx1 ,x 0;
x
=++ Î +¥ d)
()
1
yx1 ,x 2;
x
=+- Î +¥
Bàitập6.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
a)
32
yx 3x 1,x 2;3
éù
=- + Î-
êú
ëû
b)
x1
y,x2;3
x1
+éù
=Î
êú
ëû
-
c)
2
y1 9x,x 3;3
éù
=+ - Î-
êú
ëû
d)
2
y3 x 2x5=+ - +
e)
3
y 2 sin x sin 2x, x 0; 2
p
éù
êú
=+ Î
êú
ëû
g)
y5cosxcos5x,x ;
44
pp
éù
êú
=- Î-
êú
ëû
Bàitập7.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
a)
2
2
x2x3
yx2x3
++
=-+
b)
2
2
2x x 1
y2x x 1
-+
=++
c)
2
2
x8x7
yx1
-+
=+
Bàitập8.Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủacáchàmsốsau:
ChuyênđềGiảiTíchlớp12 LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh
31
a)
sin x cos x
ysin x cos x 2
+
=-+
b) 2sinx cosx
ysin x 2
-
=- c) sin x cos x
ycos x 2
+
=-
Bàitập9(TN_2012).Tìmgiátrịlớnnhất,nhỏnhấtcủahàmsố
2
yx3xlnx=+-
trênđoạn
1;2
éù
êú
ëû
CHUYÊNĐỀ4.ĐƯỜNGTIỆMCẬNCỦAĐỒTHỊHÀMSỐ
I.KIẾNTHỨCCƠBẢN
1.Đườngtiệmcậnđứngvàtiệmcậnngang
Địnhnghĩa1.Đườngthẳng
0
yy=
đgltiệmcậnngangcủađồthịhàmsố
yf(x)=
nếu:
0
x
lim f(x) y
+¥
=
hoặc
0
x
lim f(x) y
-¥
=
Địnhnghĩa2.Đườngthẳng
0
xx=
đgltiệmcậnngangcủađồthịhàmsố
yf(x)=
nếuítnhấtmột
trongcácđiềukiệnsauđượcthỏamãn:
00
00
xx xx
xx xx
lim f(x) ; lim f(x)
lim f(x) ; lim f(x)
-+
-+
=+¥ =+¥
=+¥ =+¥
Vídụ1.Tìmtiệmcậnngangvàtiệmcậnđứngcủađồthịhàmsố
2x 1
yx2
-
=+
Hướngdẫn:
+Tậpxácđịnh
{}
D\2=-
