zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chia sẻ: Lê Ngọc Sơn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Báo xấu

512
lượt xem 70
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp cho các em học sinh đang ôn thi Đại học đạt được điểm cao ở môn Toán, mời các em tham khảo tài liệu "Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số" để nâng cao kiến thức của mình thêm nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh CHUYÊN ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x), x Î D a) Số M đgl giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) £ M , "x Î D và tồn tại x0 Î D sao cho f(x 0 ) = M . Kí hiệu: M = max f(x) D b) Số m đgl giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ³ m , "x Î D và tồn tại x0 Î D sao cho f(x 0 ) = m . Kí hiệu: M = min f(x) D II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp đạo hàm. x  Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 4 + x2  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  4 - x2 + Ta có y ' =  y ' = 0  x = 2 (4 + x ) 2 2 + Ta có bảng biến thiên: x -¥ -2 2 +¥ y' - 0 + 0 - 1 0 4 y 1 - 0 4 1 1 + Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f(x) = khi x = 2 ; min f(x) = - khi x = -2 4 4 27
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  ( + Ta có y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = x 2 - 5x + 4 x 2 - 5x + 6 )( ) 2 æ 5ö 9 9 9 + Đặt t = x 2 - 5x + 4 = ç x - ÷ - ³ - . Hàm số có dạng f(t) = t2 + 2t với t ³ - ç ÷ ÷ ç è ÷ 2ø 4 4 4 Ta có f '(t) = 2t + 2  f '(t) = 0  t = -1 . Bảng biến thiên: 9 t -¥ - -1 +¥ 4 f '(t) - 0 + 9 +¥ f(t) 16 -1 + Dựa vào bảng biến thiên ta có: min f(x) = -1 khi x = -1 và hàm số không có cực đại.  Bài tập 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 - 2x  Hướng dẫn: æ 1ù + Tập xác định D = ç-¥; ú ç ç è 2 úû 1 -2x + Ta có f '(x) = 1 - =  f '(x) = 0  x = 0 1 - 2x 1 - 2x ( 1 - 2x + 1 ) maxù f(x) = f(0) = 1 + Dựa vào bảng biến thiên ta có æ ç 1 ç-¥; ú ç ç è 2 úû x3 + 1  Bài tập 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = + x 2 - 3x trên đoạn éêë0;2ùúû . 3  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  éx = 1 + Ta có y ' = x 2 + 2x - 3  y ' = 0  êê é ù êë x = -2 Ï êë0;2úû 28
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh ì ï ïf(0) = 1 ï ï 3 ì ï ï ï ïmin f(x) = f(1) = - 5 ï ï 5 + Ta có íf(1) = -  ï éêë0;2ùúû í 2 ï ï 2 ïmax f(x) = f(2) = 1 ï é ù ïf(2) = 1 ï ï ï î êë0;2úû ï ï ï ï î é p pù  Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = sin 2x - x trên đoạn ê- ; ú . ê 2 2ú ë û  Hướng dẫn: é ê x = - p + kp 1 + Ta có y ' = 2 cos 2x - 1  y ' = 0  cos 2x =  êê 1 6 2 ê x = p + kp ê 2 ë 6 p é p pù p p p 1 2 + Xét x1 = - + kp vì x Î ê- ; ú  - £ - + kp £  - £ k £ . 6 ê 2 2ú 2 6 2 3 3 ë û p p Do k Î   k = 0  x1 = - . Tương tự ta có x 2 = 6 6 ì æ pö p ï ç ïy ç- ÷ = ï ÷ ÷ ï ç ï è 2÷ 2 ï ø ï æ ì ï æ ö ï ö ïmin y = y ç p ÷ = - p ïy ç- p ÷ = - 3 + p ï ç ÷ ï ïéê- p ; p ùú ç ÷ ç2÷ ï ç 6÷ ÷ 2 6 ïê ú è ÷ ø 2 è ø + Ta có ï í  ïë 2 2 û í ï ï æ ö ï æp÷ö ïy ç ÷ = 3 p + ïmax y = y ç- p ÷ = p ïé ù ç ÷ ç ÷ ï ç ø ï ê- p ; p ú ç ÷ ÷ ï è6÷ ï 2 6 ï ï è 2ø 2 ï æ ö î êë 2 2 úû ï ï ï çp÷÷ p ïy ç ÷ = - ï ç2÷ ï î è ø 2  Bài tập 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x 3 - 3x + 2 trên đoạn éêë-3;0ùúû .  Hướng dẫn: Xét hàm số g(x) = x 3 - 3x + 2 trên đoạn éêë-3;0ùúû . Ta có g(x) = 0  x = -2 g '(x) = 3x 2 - 3  g '(x) = 0  x = 1 + Ta có bảng biến thiên của g(x) : x -¥ -3 -2 -1 +¥ 1 g '(x) + + 0 - 0 g(x) 4 0 29
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh -16 2 + Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = g(x) = x 3 - 3x + 2 x -¥ -3 -2 -1 +¥ 1 g '(x) - + 0 - 0 16 4 g(x) 0 2 + Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f(x) = 16 khi x = -3 ; min f(x) = 0 khi x = -2  Bài tập áp dụng  Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 3x 2 + 2 trên đoạn éêë-1;1ùúû . x - m2 + m  Bài tập 2 (TN_2012). Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn éêë0;1ùúû x +1 bằng - 2 . 4  Bài tập 3 (TN 03‐04). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2 sin x - sin 3 x trên đoạn 3 é0; p ù . êë úû 2x - 1  Bài tập 4 (TN 08‐2). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = trên đoạn éêë0;2ùúû . x-3  Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: 2 x 2 - 3x + 3 a) y = b) y = , x Î (2; +¥ ) 2 + x4 x-2 1 1 c) y = x + 1 + , x Î (0; +¥) d) y = x + 1 - , x Î (2; +¥) x x  Bài tập 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: x +1 a) y = x 3 - 3x2 + 1, x Î éêë-2; 3ùúû b) y = , x Î éêë2; 3ùúû x -1 c) y = 1 + 9 - x 2 , x Î éêë-3; 3ùúû d) y = 3 + x2 - 2x + 5 é 3p ù é p pù e) y = 2 sin x + sin 2x, x Î ê0; ú g) y = 5 cos x - cos 5x, x Î ê- ; ú ê 2ú ê 4 4ú ë û ë û  Bài tập 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: x 2 + 2x + 3 2x 2 - x + 1 x 2 - 8x + 7 a) y = b) y = c) y = x 2 - 2x + 3 2x2 + x + 1 x2 + 1  Bài tập 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: 30
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh sin x + cos x 2 sin x - cos x sin x + cos x a) y = b) y = c) y = sin x - cos x + 2 sin x - 2 cos x - 2  Bài tập 9 (TN_2012). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 3 - x ln x trên đoạn é1;2ù êë úû CHUYÊN ĐỀ 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Định nghĩa 1. Đường thẳng y = y0 đgl tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim f(x) = y0 hoặc lim f(x) = y0 x+¥ x-¥ Định nghĩa 2. Đường thẳng x = x 0 đgl tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = +¥; lim f(x) = +¥ x  x- x x+ 0 0 lim f(x) = +¥; - lim f(x) = +¥ + xx0 x x 0 2x - 1  Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x+2  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  \ {-2} 31
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh + Ta có lim y = 2 và lim y = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x+¥ x-¥ + Ta có lim- y = +¥ và lim+ y = -¥ nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x -2 x -2 x2 + 1  Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  \ {0} 1 1 x 1+ -x 1 + 2 + Ta có lim y = lim x 2 = 1 và lim y = lim x = -1 nên đồ thị hàm số có 2 x +¥ x +¥ x x-¥ x -¥ x tiệm cận ngang là y = 1 x2 + 1 x2 + 1 + Ta có lim y = lim = +¥ và lim y = lim = -¥ nên đồ thị hàm số có tiệm + x0 + x 0 x x 0- x 0- x cận đứng là x = 0 . 2. Đường tiệm cận xiên Định nghĩa 3. Đường thẳng y = ax + b (a ¹ 0) đgl tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim éêf(x) - (ax + b)ùú = 0 hoặc lim éê f(x) - (ax + b)ùú = 0 x +¥ ë û x -¥ ë û  Chú ý: Để xác định các hệ số a, b trong phương trình tiệm cận xiên ta có thể áp dụng các công thức sau: é êa = lim f(x) ; b = lim éê f(x) - ax ùú ê x +¥ x x +¥ ë û ê êa = lim f(x) ; b = lim éf(x) - ax ù ê x -¥ x x -¥ ê ë úû ë  Nếu a = 0 ta có tiệm cận ngang. x3  Ví dụ 3. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x2 - 1  Hướng dẫn: + Ta có f(x) x3 a = lim = lim = 1 x +¥ x x +¥ ( x x2 - 1 ) 32
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh æ x3 ö ÷ x ç b = lim êëé f(x) - x úûù = lim ç 2 ÷ - x÷ = lim 2 = 0 x +¥ ç x - 1 ç ÷ x+¥ x - 1 x +¥ è ø f(x) + Ta cũng có a = lim = 1; b = lim éêëf(x) - x ùúû = 0 x -¥ x x -¥ Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là y = x  Ghi nhớ: ax + b d a  Đồ thị y = có tiệm cận đứng x = - , tiệm cận ngang y = cx + d c c ax 2 + bc + c r q  Đồ thị y = = mx + n + có tiệm cận đứng x = - và có tiệm cận xiên px + q px + q p y = mx + n  Đồ thị y = mx + n + ax2 + bx + c (a > 0) có các đường tiệm cận là: b y = mx + n - a x + 2a  Không thể tồn tại cùng một lúc cả tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.  Bài tập 1. Tìm các đường tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: 2x - 3 x2 - 2x + 3 a) y = b) y = x +1 x +2  Hướng dẫn: 2x - 3 a) Ta có lim y = lim = 2 nên đồ thị có tiệm cận ngang y = 2 x ¥ x ¥ x +1 2x - 3 2x - 3 Ta có lim- y = lim- = +¥ và lim+ y = lim+ = -¥ nên đồ thị có tiệm cận x - 1 x - 1 x +1 x -1 x -1 x +1 đứng là x = -1 x2 - 2x + 3 11 b) y = = x-4+ x +2 x +2 11 + Ta có lim éê y - (x + 4 )ùú = lim = 0 nên đồ thị có tiệm cận xiên là y = x + 4 x ¥ ë û x ¥ x + 2 + Ta có lim+ y = -¥ và lim- y = +¥ nên đồ thị có tiệm cận đứng là x = -2 x -2 x -2  Bài tập 2. Tìm các đường tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: 1 a) y = x - 7 + 9x2 + 1 b) y = x + x2 + 1 33
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Hướng dẫn: a) Tập xác định D =   đồ thị không có tiệm cận đứng Ta có: f(x) x - 7 + 9x 2 + 1 + lim = lim = 4 và lim éêë f(x) - 4x ùúû = -7 nên y = 4x - 7 là một x x +¥ x +¥ x x+¥ tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. f(x) x - 7 + 9x 2 + 1 + lim = lim = -2 và lim éêë f(x) + 2x ùúû = -7 nên y = -2x + 7 là x x -¥ x -¥ x x -¥ một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị có 2 tiệm cận xiên 1 b) y = = x - x 2 + 1 : đồ thị không có tiệm cận đứng x + x2 + 1 Tương tự trên ta có: đồ thị có tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận xiên y = -2x  Nhận xét: Xét đồ thị hàm số y = mx + n + ax 2 + bx + c (a > 0) :  Nếu m = a thì đồ thị có một tiệm cận ngang và một tiệm cận xiên  Nếu m ¹ a thì đồ thị có 2 tiệm cận xiên  Nếu a < 0 thì đồ thị không có tiệm cận x 2 + mx - 1  Bài tập 3 (ĐH Y Hà Nội 2001). Cho hàm số y = có đồ thị (C m ) . Tìm m sao cho x -1 đường tiệm cận xiên của đồ thị (C m ) cắt các trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho SDOAB = 18 .  Hướng dẫn: x 2 + mx - 1 m + Ta có y = = x +m +1+  Để có tiệm cận xiên thì m ¹ 0 . Khi đó phương x -1 x -1 trình tiệm cận xiên là d : y = x + m + 1 . Để tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ thì m + 1 ¹ 0  m ¹ -1 ìd Ç Ox = A (-m - 1; 0) ï 1 1 + Ta có ï  S DOAB = OAOB = (m + 1) 2 í . ïd Ç Oy = B (0; m + 1) ï 2 2 ï î 1 ém = 5 (m + 1) = 18  êêm = -7 2 Theo giả thiết S DOAB = 18  2 êë  Bài tập 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau: x -2 1 x 2 - 3x + 4 x +2 a) y = b) y = x + 2 - c) y = d) y = 2 3x + 2 x -3 2x + 1 x -1 34
Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh x 2x - 1 x3 + 2 x3 + x +1 e) y = 3 f) y = + x - 3 g) y = h) y = x +1 x2 x 2 - 2x x2 -1 x2 + x + 1 i) y = k) y = x 2 - 1 l) y = 2x + x 2 - 1 m) y = x + x 2 + 1 -5x 2 - 2x + 3 4  Bài tập 2. Cho M là một điểm thay đổi trên đồ thị (C ) : y = 2x + 3 + . Chứng minh tích x -1 các khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận của (C ) là một số không đổi.  Bài tập 3. Tìm m sao cho tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 2x 2 + mx - 2 y= có diện tích bằng 4 . x -1  Bài tập 4. Cho hàm số y = ( mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3 ) . Tìm m để khoảng cách từ O đến x +1 tiệm cận xiên nhỏ nhất x 2 + (m + 2) x + m2 - 4m + 3  Bài tập 5. Cho hàm số y = . Tìm m để khoảng cách từ O đến mx + 1 tiệm cận xiên nhỏ nhất  Bài tập 6. Cho hàm số y = ( mx 2 + 3m 2 - 2 x - 2 ) có đồ thị (C m ) x + 3m a) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận bằng 450 b) Tìm m để đồ thị (Cm ) có tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho SDOAB = 4 (m - 1) x 2 + (m + 1) x - 2m + 3  Bài tập 7. Cho hàm số y = có đồ thị (Cm ) x - 2m c) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận bằng 450 d) Tìm m để đồ thị (Cm ) có tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho SDOAB = 4 x2 + x + 1  Bài tập 8. Cho hàm số y = có đồ thị (C) x -1 a) Tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai tiệm cận không đổi b) Không có tiếp tuyến nào đi qua giao điểm của hai tiệm cận -x2 + x + a  Bài tập 9. Tìm a để y = có tiệm cận xiên đi qua A (2; 0) x+a x 2 + mx + 1  Bài tập 10. Cho hàm số y = . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với hai x -1 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 x 2 + 3x - 1  Bài tập 11. Lấy bất kì điểm M Î (C) : y = . CMR: Tích các khoảng cách từ M đến 2 x-2 tiệm cận của (C) luôn không đổi 35

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.