zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chia sẻ: Abcdef_6 Abcdef_6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Báo xấu

301
lượt xem 87
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tài liệu luyện thi đại học, đề cương ôn thi sinh học, bài tập sinh học, toán di truyền, công thức sinh học: bài tập trắc nghiệm, tài liệu ôn thi đại học, ngân hàng đề thi trắc nghiệm, ôn tập sinh học, sổ tay sinh học

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com CHƯƠNG I: KHẢO SÁT HÀM SỐ. Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. I. LÝ THUYẾT: 1. Định nghĩa: cho hàm y=f(x) xác định trên (a; b). - Hàm y=f(x) tăng( đồng biến) trong (a; b)  x1 , x2  (a; b) : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . - Hàm y=f(x) giảm( nghịch biến) trong (a; b)  x1 , x2  (a; b) : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . - Hàm số hoặc đồng biến hoặc nghịch biến được gọi là hàm số đơn điệu. 2. Định lý: cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a, b). - f(x) đồng biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm). - f(x) nghịch biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). ( dấu = xảy ra ở một số hữu hạn điểm). 3. Điểm tới hạn: là điểm xo  (a, b) : f ' ( x0 )  0   f ' ( xo ). 4. Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của hàm số: - Tìm TXĐ D. - Tính y'. Giải phương trình y'=0. (để tìm điểm tới hạn). - Lập bảng biến thiên: + xét dấu y', suy ra tính đồng biến, nghịch biến của hàm số. 5. Chú ý: - Đa thức bậc 3 chỉ đổi dấu ở nghiệm đơn và nghiệm bội 3. Tại nghiệm bội 2 không đổi dấu. - Dấu của vùng cuối cùng luôn cùng dấu với hệ số cao nhất. II. BÀI TẬP: 1. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 3 a. y  x 2  2 x  3 b. y  3x  5 x 1 3 3x  1 c. y  x  3x2  7 x  1 d.y  1 x 3 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: x 2  3x  1 a. y  2 x  x 2 b. y  x  1  5  x c. y  x3 Dạng 1: Bài toán đồng biến, nghịch biến đối với hàm có chứa tham số . 1.- f(x) đồng biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). - f(x) nghịch biến trên (a,b)  f '( x)  0, x  (a, b). 2. Xét f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) Page 1 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com a  0  f ( x)  0, x     0 a  0  f ( x)  0, x     0 + Để hàm số f(x) không đổi dấu trên toàn R là   0 . 3. Thông thường dẫn đến việc so sánh các nghiệm của tam thức với các số  . 1.x1    x2  a. f ( )  0    0  2.x1  x2    a. f ( )  0 S   2    0  3.  x1  x2  a. f ( )  0 S   2 4. f ( x)  0, x  xo  f ( x)  0, x  ( f ( x) liên tuc)  f ( )  0 5.a  0 : f ( x)  0, x  ( ,  )    f ( )  0 1 Bài 1: Cho hàm y  (m  1) x3  mx 2  (3m  2) x (1) . Tìm m để hàm số (1) đồng biến 3 trên tập xác định của nó. HD: (1) đồng biến trên R  y '  0, x   m  2. x  2mx  m  2 2 Bài 2: Tìm m sao cho hàm số y  đồng biến trên từng khoảng xác định. xm  m  1 HD:  m  2 Bài 3: định m để hàm số y  mx 2  (m  6) x  3 nghịch biến trên (1, ) . Bài 4: tìm m để hàm số y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 (Cm ) đồng biến trên (2, ) Hd: m  1 . Bài 5: tìm m để hàm số y  x 4  2mx 2  3m  1 đồng biến trên (1, 2). m  0 : y '  0, x  m  0 Hd: m  0: y'  0  0  m 1 Vậ y m  1 . Page 2 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com 1 , (,1) . Bài 6: tìm m để hàm số y  x3  2 x 2  mx  2 đồng biến trên 3 y '  x2  4 x  m Hd: y '  0, x  1  x 2  4 x  m  0, x  1  m   x 2  4 x Vậ y m  3 . Bài 2: CỰC ĐẠI- CỰC TIỂU. I. LÝ THUYẾT: 1. Lân cận của xo : 2. Cực đại, cực tiểu: Định lý 1: '( x)  0, x  ( xo  h, xo ) f  xo là điểm cực đại của f(x). a.  '( x)  0, x  ( xo , xo  h) f '( x)  0, x  ( xo  h, xo ) f  xo là điểm cực tiểu của f(x). b.  '( x)  0, x  ( xo , xo  h) f c. Các điểm cực đại, cực tiểu gọi là cực trị. Định lý Ferma: nếu hàm số y=f(x) coa đạo hàm tại xo và đạt cực trị tại xo thì f '( xo )  0 . Mọi điểm cực trị đều là điểm tới hạn. Quy tắc: - Tìm TXĐ D. - Tính y'. giải phương trình y'=0 tìm điểm tới hạn. - Lập bảng biến thiên. Định lý 2:  f '( x)  0  xo là điểm cực tiểu của f(x) a.   f ''( x)  0  f '( x)  0  xo là điểm cực đại của f(x) b.   f ''( x)  0 Quy tắc: - Tìm TXĐ D. - Tính y'. giải pt y'=0 để tìm điểm tới hạn xi . - Tính y'' và thế xi vào y''. từ đó áp dụng định lý 2. II. BÀI TẬP: Bài 1: tìm cực trị của hàm số: Page 3 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com x 1 a. y  f ( x)  x2  x  1 b. y  x 3 (1  x) 2 Bài 2: xác định m để y  x3  3mx 2  (m2  1) x  2 đạt cực đại tại x=2. Chú ý: nếu dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu tam thức bậc 2 thì ta lập luận : hàm số có cực trị khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt. 1 Bài 3: (A-2005) Cho hàm số y  mx  . Tìm m để hàm số có cực trị và tìm tọa độ các x điểm cực trị. Bài 4: tìm m để y  f ( x)  x3  2 x 2  mx  1 có cực trị. 1 Bài 5: cho hàm số y  x3  mx 2  (m2  m  1) x  1 . Với giá trị nào của m thì hàm đạt cực 3 tiểu tại x=1. Chú ý: nếu f '( x0 )  0 thì x0 chưa hẳn là cực trị . Lúc này x0 là cực trị thì đạo hàm cấp 1 phải đổi dấu hoặc f ''( x0 )  0 . x 2  mx  1 Bài 6: tìm m để hàm số y  f ( x)  đạt cực đại tại x=2. xm  x  m  1 Hd: f '( x)  0   , lập bảng biến thiên: m=-3.  x  m  1 Chú ý: khi làm việc với tam thức bậc 2 có chứa m, nên lập  . Nếu  là bình phương của một biểu thức thì tam thức có nghiệm đẹp. Hãy lấy nghiệm và làm việc theo nghiệm. x 2  mx  2 Bài 7: tìm m để y  f ( x)  có 2 cực trị. x 1 Bài 8: (B-2002) tìm m để hàm số y  mx 4  9(m 2  9) x 2  10 có 3 cực trị.  m  3 Hd:  0  m  3 Bài 9: tìm m để đồ thị hàm số y   x3  (2m  1) x 2  (m2  3m  2) x  4 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung. Hd: 1
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com u ( x) Nhận xét: cho hàm số f ( x)  đạt cực trị tại xo thì giá trị cực trị tại đó là v( x) u '( xo ) f ( xo )  . v '( xo ) m 1 3 Bài 11: tìm m để đồ thị hàm số y  x  mx 2  mx  1 không có cực trị. 3 Đs: m  0 2 m2 Bài 12: tìm m để hàm số y  x 4  x3  x 1. 3 2 a. Chỉ có 1 cực trị. b. Có 3 cực trị. c. Có cực đại. d. Có cực tiểu, không có cực đại. Chú ý: - hàm bậc 3 hoặc đổi dấu 1 lần, hoặc đổi dấu 3 lần. - Hàm bậc 3 đổi dấu 3 lần khi có 3 nghiệm phân biệt. Bài 13: cho hàm số y  x3  mx 2  2 . Tìm m để hàm số có CĐ, CT, đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị nằm 2 phía đối với trục Ox. Dạng 2: viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu( cực trị). I. Hàm bậc 3: Xét y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d y '  f '( x)  3ax 2  2bx  c B1: điều kiện để có cực trị là y'=0 có 2 nghiệm phân biệt. B2: chia đa thức y cho y'. kết quả có dạng: y  ( x   ). y '  x   B3: giả sử có 2 nghiệm xCD , xCT thì: yCD   xCD   , yCT   xCT   B4: kết luận: đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: y   x   Nhận xét: nếu hàm số có cực đại, cực tiểu thì tọa độ các điểm cực trị là:  x1  x2 A: B:  y1   x1    y2   x2   Ví dụ 1: cho hàm số y  x3  3mx 2  9 x  3m  5 . Định m để hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị ấy. Hd: y  2(3  m2 ) x  6m  5 Ví dụ 2: cho hàm số f ( x)  x3  mx  2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. a. Đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox. Page 5 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com b. Đồng thời 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với M(1, 1) nằm trên một đường thẳng. Hd: chia y cho y' a. f ( x1 ). f ( x2 )  0  m  3 ( sử dụng viet) Ví dụ 3: (B-2007)Tìm m để hàm số y  f ( x)   x3  3 x 2  3(m2  1) x  3m 2  1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị cách đều gốc tọa độ. 1 Hd: tìm tọa độ cực trị, sử dụng công thức OA=OB. Đs: m   . 2 Ví dụ 4: định m để đồ thi hàm số y  2 x3  3(m  1) x 2  6(m  2) x  1 có 2 cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y=x. Hd: m=2 hoặc m=4. II. Hàm hữu tỷ: u ( x) Xét hàm số y  f ( x)  v( x) B1: điều kiện để có cực trị y'=0 có hai nghiệm phân biệt. u '( xo ) B2: giá trị cực trị là f ( xo )  v '( xo ) u '( x) B3: đường thẳng qua hai điểm cực trị là y  v '( x) x 2  (m  1) x  m  1 Ví dụ : cho hàm số y  xm a. C/m rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. b. Định m để giá trị cực đại, cực tiểu trái dấu. viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. III. Hàm trùng phương: Xét hàm số y  ax 4  bx 2  c 1. Hàm số có 1 cực trị  a.b  0 2. Hàm số có 3 cực trị  a.b  0 2 Ví dụ: cho hàm số y  x 4  2mx  2m  m 4 . Định m để hàm số có cực trị và đồng thời các điểm cực trị lập thành một tam giác đều. Hd: nêu tọa độ cực trị A(0, 2m  m 4 ), B( m , m 4  m 2  2m), C ( m , m 4  m 2  2m) . Hàm số là hàm chẵn, nên B, C đối xứng qua trục tung, tức AB=AC. Tam giác ABC đều khi và chỉ khi AB=BC. Bài toán tìm quỹ tích các điểm cực trị ( tìm tập hợp điểm)  x  g ( m) (1) B1: tìm tọa độ điểm cực trị M :   y  f ( x, m) (2) B2: khử m. Rút m từ (1) rồi thê vào (2), ta được phương trình quỹ tích y=F(x). Page 6 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com B3: giới hạn quỹ tích, dựa vào điều kiện của tham số m, suy ra điều kiện x, y. Ví dụ 1: cho (Cm ) : y  x3  3mx 2  1 . Tìm quỹ tích các điểm cực đại của đồ thị hàm số. Hd: xét m=0. Ví dụ 2: cho hàm số (Cm ) : y  2 x3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1 .tìm quỹ tích các điểm cực tiểu của hàm số. Bài 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT. I. LÝ THUYẾT: 1. Cho hàm số y=f(x) xác định trên D.  f ( x)  D, x  D M  max f ( x)   xo : f ( xo )  M D  f ( x)  D, x  D m  m inf ( x)   xo : f ( xo )  m D 2. Cần phân biệt các cặp khái niệm: - Giá trị lớn nhất và giá trị cực đại. - Giá trị bế nhất và giá trị cực tiểu. 3. Tìm GTLL, GTNN: a. Trên khoảng (a, b)( sử dụng bảng biến thiên): lập bảng xét dấu của y' và yCD là GTLL nếu cực đại là duy nhất, yCT là GTNN nếu cực tiểu là duy nhất. b. Trên đoạn [a, b]( áp dụng đối với hàm số phức tạp, lượng giác): giải phương trình y'=0 có nghiệm x1 , x2 ,...  [a, b]. Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f (a), f (b) . Số lớn nhất là GTLL, số nhỏ nhất là GTNN. II. BÀI TẬP: Tìm GTLL, GTNN của: Bài 1: y  f ( x)  x 4  2 x 2  3 trên [-3, 4].  Bài 2: y  f ( x)  2cos2 x  4sin x trên [0, ] . 2 4 Bài 3: y  f ( x)  2sin x  sin 3 x trên [0,  ] . 3  x Bài 4: y  f ( x)   sin 2 x trên [ , ] . 2 22 x 1 Bài 5: (D-03) y  f ( x)  trên [-1, 2]. x2  1 Bài 6: (B-03) y  f ( x)  x  4  x 2 Bài 7: y  sin 20 x  cos 20 x Page 7 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com Hd: đặt t  sin 2 x, 0  t  1 . x y Bài 8: cho x>0,y>0 thỏa điều kiện x+y=1. Tìm GTLN, GTNN của P   . y 1 x 1 sin 4 x  cos 4 x Bài 9: y  f ( x)  sin 6 x  cos 6 x 1 Hd: đặt t  sin 2 x.cos 2 x , 0  t  4 1 Bài 10: cho x>0, y>0 thỏa x+y=1. Tìm GTNN của P  xy  . xy Bài 4: TIỆM CẬN. Cho hàm số y=f(x). 1. Tiệm cận đứng: Nếu xảy ra một trong 4 trường hợp sau lim  , lim  , lim  , lim   thì x a xa xa x a x=a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. u ( x) 2. Chú ý: xét y  , nếu a là nghiệm của mẫu thì x=a là tiệm cận đứng của đồ thị. v( x) Ví dụ: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số: 2x 1 x3 x3 x2  6 x  5 a. f ( x)  b. f ( x)  2 c. f ( x)  d.y  2 x2 x  5x  4 x  4x  3 x 1 3. Tiệm cận ngang: đồ thị hàm số y=f(x) nhận đường thẳng y=b làm tiệm cận ngang khi xảy ra một trong hai trường hợp sau: lim f ( x)  b, lim f ( x)  b x  x  4. Chú ý: đồ thì hàm số hữu tỷ có đường tiệm cận ngang khi bậc tử  bậc mẫu. Ví dụ: tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: 2x 1 x 1 x2  x  1  x 2  3x  2 a. y  f ( x)  b. y  2 c. y  d.y  . 3x  4 x  3x  4 2x 1 2x  5 Bài 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước giải bài toán: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x). 1. Tìm tập xác định D ( tính chẵn, lẻ nếu có) 2. Chiều biến thiên: - Tìm các giới hạn ở vô tận. - Tìm các đường tiệm cận( nếu có). - Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tới hạn. Xét dấu y' để tìm khoảng tăng, giảm và tìm cực trị( nếu có) của hàm số. - Lập bảng biến thiên. 3. Vẽ đồ thị: Page 8 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com - Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị: + Các điểm cực trị. + Giao điểm của đồ thị với trục Oy, Ox. - Vẽ đường tiệm cận. - Vẽ đồ thị. I. Hàm bậc ba : y  f ( x)  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) Khảo sát tổng quát: - D . - Tiệm cận- giới hạn: , a0 lim f ( x)   , a0 x  , a0 lim f ( x)   , a0 x  y '  3ax 2  2bx  c . - b y ''  6ax  2b  0  x  - : hoành độ của điểm uốn . 3a Điểm uốn của đồ thị là điểm ngăn cách giữa phần lồi và phần lõm của đồ thị. Khi đó tiếp tuyến đâm xuyên qua đồ thị. Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. - Bảng biến thiên: có 6 trường hợp. - Đồ thị: có 6 dạng. Caùc daïng ñoà thò: 12 10 *a>0: 8 1. y'=0 có 2 nghiệm phân biệt: 6 4 14 2 12 -15 -10 -5 5 10 15 10 -2 8 -4 6 3. y'=0 vô nghiệm: 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 2.y'=0 có nghiệm kép: Page 9 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com 12 8 10 6 4 8 2 6 -15 -10 -5 5 10 15 4 -2 2 -4 -15 -10 -5 5 10 15 -6 -2 -8 6.y'=0 vô nghiệm: -4 8 Ví dụ 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 6 y  f ( x)  x3  3x 2  2 4 2 Ví dụ 2: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x3  3x 2  3x  1 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -4 -6 *a0 a
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com y'=0 có 8 8 một 6 6 nghiệm 4 4  ab  0 2 2 -15 -10 -5 5 10 15 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 Ví dụ 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  x 4  2 x 2  1 . Ví dụ 2: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  2 x 4  4 x 2  8 . ax  b III. Hàm số nhất biến y (c  0, ad  bc  0) cx  d  d Tập xác định D  \   -  c d a Tiệm cận đứng x   , tiệm cận ngang y  . - c c - Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. - Các dạng đồ thị: *ad-bc0: 8 6 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -4 -6 -8 Page 11 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com x 1 Ví dụ 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  . x2 2x 1 Ví dụ 2: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  . x 1 Dạng 3: vẽ đồ thị có chứa dấu trị tuyệt đối: Xét hàm số y=f(x) có đồ thị (C) 1. Hàm số y=|f(x)|: - Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên trục hoành, bỏ phần đồ thị nằm dưới trục hoành. - Lấy đối xứng phần đồ thị bỏ đi qua trục hoành. 2. Hàm số y=f(|x|): - Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục tung, bỏ phần đồ thị nằm bên trái trục tung. - Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ lại qua trục tung. Ví dụ 1: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C): y  f ( x)  x3  3x 2  6 . Từ đó suy ra đồ thị hàm số (C'): y  f ( x) | x3  3x 2  6 | . 2x Ví dụ 2: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C): y  f ( x)  . Từ đó suy ra đồ thị hàm số x 1 2| x| (C'): y  f ( x)  . | x | 1 2x Ví dụ 3: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C): y  f ( x)  . Từ đó suy ra đồ thị hàm số x 1 2| x| (C'): y  f ( x)  . x 1 2x Ví dụ 4: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C): y  f ( x)  . Từ đó suy ra đồ thị hàm số x 1 2x (C'): y  f ( x)  | x  1| Dạng 4: biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Xét phương trình F(x, m)=0. - Tách m sang một vế: f(x)=g(m). trong đó y=f(x) là hàm số đã khảo sát. - Dựa vào sự tương giao của hai đường này để biện luận (số nghiệm= số điểm chung). Ví dụ 1: cho hàm số y  f ( x)  x3  3x  1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x  m  0 Ví dụ 2: cho hàm số y  f ( x)   x3  3 x  1 c. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. d. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x  m  4  0 Page 12 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com Ví dụ 3: (A-2006) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  2 x3  9 x 2  12 x  4 . b. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2 | x |3 9 x 2  12 | x | m . Ví dụ 4: (B-2009) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  f ( x)  2 x 4  4 x 2 . b. Tìm m để phương trình x 2 | x 2  2 | m có 6 nghiệm phân biệt. Ví dụ 5: ( đề thi thử Quốc Học Huế-2010) Cho hàm số y  2 x 2  x 4 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm tất cả các số thực m đrrt phương trình | x | (2 x  x3 )  m có đứng 1 nghiệm thực. Dạng 5: bài toán tìm quỹ tích ( tìm tập hợp điểm)  x  g ( m) (1) B1: tìm tọa độ điểm M :   y  f ( x, m) (2) B2: khử m. Rút m từ (1) rồi thê vào (2), ta được phương trình quỹ tích y=F(x). B3: giới hạn quỹ tích, dựa vào điều kiện của tham số m, suy ra điều kiện x, y. Chú ý: nếu bài toán chỉ hỏi điểm M chạy trên đường nào, thì chỉ cần chỉ ra phương trình F(x, y)=0. Không cần tìm giới hạn của quỹ tích. Ví dụ 1: cho hàm số y  f ( x)  x3  3mx 2  2 x  3m  1 (Cm ) . Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm ) . (m  1) x  1 Ví dụ 2: cho hàm số y  f ( x)  (Cm ) . Tìm quỹ tích tâm đối xứng của (Cm ) . mx  1 3x  2 Ví dụ 3: cho hàm số y  (C ) . x 1 a. Cm rằng m  thì đường thẳng  m : y  2 x  m luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB. b. Tính độ dài AB theo m. Tìm m để AB nhỏ nhất. Dạng 6: phương trình tiếp tuyến. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C). 1. Tiếp tuyến của (C) tại M ( x0 , y0 ) .  : y  f '( xo )( x  xo )  yo (1) 2. Tiếp tuyến (C) biết hệ số góc k: - Gọi tiếp điểm M ( x0 , y0 ) . Giải phương trình f '( xo )  k để tìm tiếp điểm M ( x0 , y0 ) . - - Sử dụng phương trình (1). 3. Tiếp tuyến của (C) đi qua( xuất phát) từ M ( x0 , y0 ) . Page 13 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com Gọi k là hệ số góc của d đi qua M ( x0 , y0 ) . d : y  k ( x  xo )  yo - - d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  f ( x)  k ( x  xo )  yo nghiệm của phương trình chính là hoành độ tiếp điểm.   f '( x)  k Tìm k. Chú ý: 1. Cho hàm số y=f(x) (C) và y=g(x) (C'). (C) tiếp xúc với (C') khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm  f ( x)  g ( x) ( điều kiện tiếp xúc)   f '( x)  g '( x) 2.Neáu (C1): y = px+q vaø (C2): y  ax 2  bx  c thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc nhau phöông trình ax 2  bx  c  px  q coù nghieäm keùp. 3. Hệ số góc k của tiếp tuyến d có thể cho gián tiếp: - d tạo với trục hoành một góc  thì k=tan  . - d song song với đường thẳng d':y=ax+b thì k=a. 1 - d vuông góc với đường thẳng d': y=ax+b thì k   . a |k a|  tan  - d tạo với đường thẳng d': y=ax+b một góc  thì |1  ka | Bài tập: Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tt đi qua A. Với a.(C ) : y   x 3  3x 2  2, A(2, 4) . 3x  4 b.(C ) : y  , A(2,3) . x 1 3x  2 Bài 2: viết pttt của (C) y  , biết tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox một góc x 1   450 . x3 Bài 3: Viết pttt của (C) y  f ( x)   2 x 2  x  4 , biết tt tạo với đường thẳng d:y=3x+7 3 một góc   45 . 0 x3 Bài 4: viết pttt của (C ) : y  f ( x)   2 x 2  3x  1 , biết tt: 3 a. song song với đường thẳng d: y=3x+2. x b. Vuông góc với đường thẳng d : y    2 8 3x  3 Bài 5: cho hàm số y  (C ) x2 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). Page 14 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(0, 3). c. Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ nguyên. 2 x 2  3x  1 Bài 5': tìm các điểm trên (C) của hàm số y  có tọa độ nguyên. 3x  1 Bài 6: cho hàm số y  x3 +3x 2 +1 (C ) a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b. Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). Viết pttt đó. Bài 7: cho hàm số y  f ( x)  4 x3  3 x (C ), d : y  g ( x)  k ( x  1)  1 . Tìm k để d tiếp xúc với (C). Bài 8: (D-2002) (2m  1) x  m 2 Cho hàm số y  (Cm ) x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=-1. b. Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với đường thẳng y=x Bài 9: (D-2005) 1 m2 1 Cho hàm số y  x3  x (Cm ) 3 2 3 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=-2. b. Gọi M  (Cm ) có hoành độ -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại M song song với đường thẳng 5x-y=0 Bài 10: (D-2010) Cho hàm số y  f ( x)   x 4  x 2  6 (C ) a. Khảo sát và vẽ (C). b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 y x  1. 2 Bài 11:(cao đẳng A-2010) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) y  x3  3 x 2  1 . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1. Dạng 7: Tìm các điểm trên đường thẳng d cho trước để từ đó kẻ được 1, 2,3,... tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C): y=f(x). Giả sử d: ax+by+c=0, M ( xo , yo )  d . - Gọi d' là đường thẳng đi qua M, có hệ số góc k. PT d': y  k ( x  xo )  yo .  f ( x)  k ( x  xo )  yo (1) d' là tiếp tuyến của (C)  hệ sau có nghiệm:  -  f '( x)  k (2) Thế k từ (2) vào (1), ta được f ( x)  ( x  xo ) f '( x)  yo (3) - Page 15 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com - Số tiếp tuyến vẽ từ M = số nghiệm của (3). Bài tập: Bài 1: tìm các điểm trên đồ thị (C ) : y  f ( x)   x3  3x 2  2 mà từ đó vẽ được một tiếp tuyến đến (C). Bài 2:tìm các điểm trên đường thẳng d:y=2x+1 để từ đó vẽ được một tiếp tuyến đến đồ x3 thị (C ) : y  . x 1 Bài 3: tìm các điểm trên đường thẳng d: y=2, để từ đó vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x)   x3  3x 2  2 . Bài 4: Từ điểm A(-2, 5) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C ) : y  x 3  9 x 2  17 x  2 . Bài 5: cho hàm số y  x3  3x 2  4 (C ) . Chứng minh rằng từ một điểm trên đường thẳng x=1, ta luôn vẽ được duy nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Dạng 8: tìm những điểm mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C):y=f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. Gọi M ( xo , yo ) - Gọi d' là đường thẳng đi qua M, có hệ số góc k. PT d': y  k ( x  xo )  yo .  f ( x)  k ( x  xo )  yo (1) d' là tiếp tuyến của (C)  hệ sau có nghiệm:  -  f '( x)  k (2) - Thế k từ (2) vào (1), ta được f ( x)  ( x  xo ) f '( x)  yo (3) - Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  (3) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . - Hai tiếp tuyến vuông góc  f '( x1 ). f '( x2 )  1 . - Từ đó tìm được M. Chú ý: qua M kẻ được 2 tiếp tuyến nằm 2 phía đối với trục hoành (3) co 2 nghiêm x1 , x2   f ( x1 ). f ( x2 )  0 Mọi đường thẳng song song với trục Oy không phải là tiếp tuyến. Bài 1: tìm những điểm trên trục hoành để từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) y  x3  3 x 2 , và hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. x2 Bài 2: tìm m để từ A(0, m) kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C ) : y  sao cho 2 tiếp tuyến x 1 đó nằm về hai phía đối với trục hoành. Bài 3: tìm các điểm trên trục hoành để từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến đến (C ) : y  x3  3x 2 , sao cho có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. Page 16 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com Dạng 9: các bài toán khác của tiếp tuyến. Bài 1: (A-2009) x2 Cho hàm số y  (1) 2x  3 a. Khảo sát và vẽ (1). b. Viết pttt của đồ thị (1), biết tiếp tuyến cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho tam giác OAB cân tại O. Hd: tiếp tuyến sẽ vuông góc với 2 đường phân giác y   x . Bài 2: (D-2007) 2x Cho hàm số y  (1). x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (1). b. Tìm tọa độ M  (1) , biết tiếp tuyến của (1) tại M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B 1 và tam giác OAB có diện tích bằng . 4 Hd: viết phương trình tt tại M. tìm tọa độ A, B. Bài 2': cho hàm số y  x3  1  m( x  1) (Cm ) . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục tung, tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. x Bài 3: cho hàm số y  (C ) . x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Viết pttt d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành tam giác cân. Hd: từ đồ thị, ta thấy tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài  kd  1 . Bài 4: cho hàm số y  f ( x)  x3  3x 2  2 (C ) a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). b. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 2x 1 Bài 5: cho hàm số y  f ( x)  (C ), M  (C ) . Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận. x 1 tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận lần lượt tại A, B. a. Cm rằng M là trung điểm AB. b. Cm diện tích tam giác IAB là hằng số. c. Tìm điểm M để chu vi tam giác IAB là nhỏ nhất. 2 xo  1 2 xo ), B(2 xo  1, 2) . Hd: M ( xo , ), A(1, xo  1 xo  1 Bài 6: tìm M  (C ) : y  2 x3  3x 2  12 x  1 , sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ. Hd: Giải hệ M(-1, 12). Page 17 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com Dạng 10: sự tương giao giữa các đồ thị. Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C), y=g(x) có đồ thị (C'). (C) cắt (C')  phương trình sau có nghiệm f(x)=g(x) (*)( pt hoành độ giao điểm). Số nghiệm của (*)  số giao điểm của 2 đồ thị. Chú ý: đồ thị hàm số bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  phương trình ax 3  bx 2  cx  d  0 có 3 nghiệm phân biệt.  hàm số y=ax 3  bx 2  cx  d có CĐ, CT sao cho yCD . yCT  0 . Bài tập: Bài 1: tìm m để đồ thị hàm số. a. y  x3  3x 2  mx  2m , y=-x+2 cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. b. y  ( x  1)( x 2  mx  m2  3) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. c. y  x 4  2 x 2  1, y  m cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. d. y  x 4  (2m  3) x 2  m 2  3m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Bài 2: tìm m để đồ thị hàm số: 3x  1 a. y  , y  x  2m cắt nhau tại 2 điểm A, B phân biệt. Tìm m để AB ngắn nhất. x4 4x 1 b. y  , y   x  m cắt nhau tại 2 điểm A, B phân biệt. Tìm m để AB ngắn nhất. 2 x Bài 3: tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3(m  1) x 2  2(m 2  4m  1) x  4m(m  1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.  1 m  Đs:  2 m  1  Bài 4: tìm m để đồ thị hàm số y  x3  m( x 2  1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 33 Đs: | m | . 2 Bài 5: tìm m để đồ thị hàm số y  x3  mx 2  (2m  1) x  m  2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương. Đs: m  7 . 1 2 Bài 6: tìm m để đồ thị hàm số y  x3  mx 2  x  m  cắt trục hoành tại 3 điểm phân 3 3 biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12  x2 2  x32  15 . Đs: | m | 1 . Bài 7: (A-2010) cho hàm số y  x3  2 x 2  (1  m) x  m (1) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1). b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn điều kiện x12  x2 2  x32  4 . Page 18 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com Bài 8: (D-2009) cho hàm số y  x 4  (3m  2) x 2  3m (1) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y=-1 tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 2x 1 Bài 9: cho hàm số y  (1) x 1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1). b. Tìm m để đường thẳng y=3x+m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (1) tại A, B song song với nhau. Dạng 11: đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3, 4 điểm lập thành một cấp số cộng. Bài 1: tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3 x 2  9 x  m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Hd: phương trình x3  3x 2  9 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt xo  d , xo , xo  d (d  0) .sử dụng đồng nhất hệ số, đs: m=11. 3 1 Bài 2: tìm m để đồ thị hàm số y  x3  mx 2  m3 cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm phân 2 2 biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. Đs: m=1. Bài 3: tìm m để đồ thị hàm số y   x 4  2(m  1) x 2  2m  1 cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. m  4 Đs:  . m   4  9 Nhận xét: để đồ thị hàm trùng phương cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành 1CSC( chắn theo 3 đoạn thẳng bằng nhau) thì phương trình trung gian bậc 2 theo t có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa t1  9t2 . Sau đó ta có hệ:  t1  2t2   b t1  t2    m  ? a   c t1.t2  a  Sau đó thử lại. Bài 4: tìm m để đường thẳng y=m chắn trên đồ thị hàm số (C) y  x 4  2 x 2  1 thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. Page 19 Giáo viên: Nguyễn Thị Lành‐ THPT Nguyễn Trường Tộ‐ Huế.
Chuyên đề: KHẢO SÁT HÀM SỐ www.VNMATH.com 34 Đs: m   . 25 Dạng 12: bài toán cực trị. Bài 1: (B-2007) Cho hàm số y   x3  3x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1 . Tìm m để hàm số có CĐ, CT và các điểm cực trị cách đều gốc tọa độ. 1 Đs: m   . 2 Bài 2: (B-2002). Tìm m để đồ thị hàm số y  mx 4  (m 2  9) x 2  10 có ba điểm cực trị.  m  3 Đs:  0  m  3 Bài 3: cho hàm số y  x3  2(m  1) x 2  (m2  4m  1) x  2(m 2  1) . Tìm m để hàm số đạt cực 111   ( x1  x2 ) trị tại x1 , x2 thỏa x1 x2 2 Đs: m=1 hoặc m=5. 1 3 Bài 4: cho hàm số y  x 4  mx 2  . Tìm m để đường cong có cực tiểu, không có cực 4 2 đại. Đs: m  0 . 1 Bài 5: cho hàm số y  x3  (m  2) x 2  (5m  4) x  3m  1 . Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 3 x1 , x2 thỏa điều kiện x1  2  x2 . Hd: x1  2  x2  ( x2  2)( x1  2)  0 .đs: m

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.