Chuyên đề MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chia sẻ: Ngô Lê Phương Trinh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

579
lượt xem 143
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI. Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI. Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ (1) (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế (a + b + c) a3 b3 c3 (1) ⇔ + + ≥ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ⎛ ⎞ ⎛ a + b ⎞ ⎛ a + c ⎞ 3a a3 a3 a+b a+c ⎟⎜ ≥ 33 ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎟ + + ⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎟⎜ ⎜(a + b)(a + c)⎠ ⎜ 8 ⎠ ⎜ 8 ⎠ ⎟ ⎜ ⎟⎝ (a + b ) ( a + c ) 8 8 4 ⎝ Chứng minh tương tự ta cũng được: ⎛ ⎞ ⎛ b + c ⎞⎛ b + a ⎞ 3b b3 b3 b+c b+a ⎟ ≥ 33 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ + + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜(b + c)(b + a )⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ ⎜ ⎟⎝ (b + c)(b + a ) 8 8 4 ⎝ ⎛ ⎞ ⎛ c + a ⎞ ⎛ c + b ⎞ 3c c3 c3 c+a c+b ⎟⎜ ≥ 33 ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ + + ⎜(c + a )(c + b)⎠ ⎜ 8 ⎠⎝ 8 ⎠ = 4 ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎟ ⎟ ⎜ ( c + a ) (c + b) 8 8 ⎝ Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: a3 b3 c3 a+b+c 3 + + ≥ = (đpcm) (a + b)(a + c) (b + c)(b + a ) (c + a )(c + b) 4 4 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1
Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ a + bc b + ca c + ab 4 Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: a2 b2 c2 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Bài toán có liên quan: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 3 +3 +3 ≥ a ( b + c ) b ( c + a ) c (a + b ) 2 3 Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≥ 2 (a + b) 4 (b + c) 2 (c + a ) Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 + + ≥ 1 (1) b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải: Sử dụng giả thiết a + b + c = 3 để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế a3 b3 c3 a+b+c (1) ⇔ + + ≥ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
⎛ 9a 3 ⎞ 9a 3 ⎟ + 3b + (2c + a ) ≥ 3 3 ⎜ ⎟ ⎜ b (2c + a )⎠ (3b)(2c + a ) = 9a ⎜ ⎟ ⎟ b (2c + a ) ⎝ Chứng minh tương tự ta cũng được: ⎛ 9b3 ⎞ 9b3 ⎟ ⎜ ⎟ + 3c + (2a + b) ≥ 3 3 ⎜ ⎜ c (2a + b)⎠ (3c)(2a + b) = 9b ⎟ ⎟ ⎜ c (2a + b) ⎝ ⎛ 9c3 ⎞ 9c 3 ⎟ ⎜ ⎟ + 3a + (2b + c) ≥ 3 3 ⎜ ⎜ a (2b + c)⎠ (3a )(2b + c) = 9c ⎟ ⎟ ⎜ a (2b + c) ⎝ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: ⎡ ⎤ a3 b3 c3 9⎢ ⎥ + 6 (a + b + c) ≥ 9 (a + b + c) + + ⎢ b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) ⎥ ⎣ ⎦ a3 b3 c3 a+b+c ⇒ + + ≥ =1 b (2c + a ) c (2a + b) a (2b + c) 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3 Bài giải: Sử dụng giả thiết a 2 + b2 + c2 = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế a3 b3 c3 a 2 + b2 + c 2 (1) ⇔ + + ≥ b + 2c c + 2a a + 2b 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 9a 3 9a 3 + a ( b + 2c ) ≥ 2 .a (b + 2c) = 6a 2 (b + 2c) b + 2c Chứng minh tương tự ta cũng được: 9b 3 9b3 .b (c + 2a ) = 6b2 + b (c + 2a ) ≥ 2 (c + 2a ) c + 2a 9c3 9c3 + c (a + 2b) ≥ 2 .c (a + 2ab) = 6c2 (a + 2b) (a + 2b) Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt:
⎛ a3 c3 ⎞ b3 ⎟ ⎜ ⎟ + 3 (ab + bc + ca ) ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 ) + + 9⎜ ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ ⎛ a3 c3 ⎞ b3 ⎟ ⎜ ⎟ ≥ 6 (a 2 + b2 + c2 ) − 3 (ab + bc + ca ) ≥ 3 (a 2 + b2 + c2 ) ⇒ 9⎜ + + ⎟ ⎜ b + 2c c + 2a a + 2b ⎠ ⎝ a3 b3 c3 a 2 + b 2 + c2 1 ⇒ + + ≥ = b + 2c c + 2a a + 2b 3 3 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Bài tập tương tự Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 + + ≥ a+b b+c c+a 2 Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≤ (1) 2 2 2 2 1+a 1+b 1+c Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải: Sử dụng giả thiết ab + bc + ca = 1 để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1⎛ a a⎞ a a a a ⎟ ≤⎜ = = + . ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜a + b a + c⎠ ⎝ a+b a+c 2 2 1+a a + ab + bc + ca Chứng minh tương tự ta cũng được: 1⎛ b b⎞ b ⎟ ⎜ ≤⎜ + ⎟ ⎟ 2 ⎜b + c b + a⎠ ⎝ 2 1+b 1⎛ c c⎞ c ⎟ ≤⎜ ⎜c + a + a + b⎠⎟ ⎜ ⎟ 2⎝ 2 1+c Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: 1 ⎛a + b b + c c + a ⎞ 3 a b c ⎟= ≤⎜ + + + + ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜a + b b + c c + a ⎠ 2 ⎝ 2 2 2 1+a 1+ b 1+ c 3 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3
Bài 5: Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ac S= + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài giải: Ta lần lượt có: ⎧ ⎪ ab ⎛ 1 1⎞ ab ab ab ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ ⎪ 2c + ab = c (a + b + c) + ab = (c + a )(c + b) ≤ 2 ⎜ c + a + c + b ⎠ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ 1⎞ ⎪ bc bc bc bc ⎜ 1 ⎪ ⎟ = = ≤ + ⎨ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜a + b a + c⎠ ⎪ 2a + bc ⎝ a (a + b + c) + bc (a + b)(a + c) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ca ⎛ 1 1⎞ ca ca ca ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ 2b + ac = b (a + b + c) + ca = (b + c)(b + a ) ≤ 2 ⎜ b + c + b + a ⎠ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎪ ⎪ ⎩ bc + ca bc + ab ca + ab a+b+c ⇒S≤ + + = =1 2 (a + b) 2 (c + a ) 2 (c + b) 2 2 Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Vậy Max S = 1 . Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a + b + c = 2 Chứng minh rằng: ab bc ac 1 + + ≤ c + ab a + bc b + ac 2 Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ. Dạng 1: 1) ∀x, y > 0 ta luôn có: ⎛1 1⎞ ⎟ ⎜ ( x + y)⎜ + ⎟ ≥ 4 ⎟ ⎜x y⎠ ⎝ Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y 2) ∀x, y, y > 0 ta luôn có: ⎛1 1 1⎞ ( x + y + x )⎜ + + ⎟ ≥ 9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝x y y⎠ Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z
Dạng 2: 1) ∀x, y > 0 ta luôn có: 11 4 +≥ x y x+y Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y 2) ∀x, y, z > 0 ta luôn có: 111 9 ++≥ x y z x+y+z Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: a+b+c ab bc ca + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 1⎛ 1 1⎞ ab 1 ⎟ ≤ ab. ⎜ = ab. + ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎜a + c b + c⎠ ⎝ (a + c) + (b + c) a + b + 2c Tương tự ta cũng được: 1⎛ 1 1⎞ bc 1 ⎟ ≤ bc. ⎜ = bc. + ⎟ ⎜ ⎟ 4 ⎜b + a c + a ⎠ ⎝ (b + a ) + (c + a ) b + c + 2a 1⎛ 1 1⎞ ca 1 ⎟ ⎜ = ca. ≤ ca. ⎜ ⎜c + b + a + b⎠ ⎟ ⎟ 4⎝ (c + b) + (a + b) c + a + 2b Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 1 ⎛ bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ab bc ca ⎟= ≤⎜ + + + + ⎟ ⎜ ⎟ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 ⎜ a + b ⎝ a+c ⎠ b+c 4 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 2: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: a+b+c ab bc ca + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6 Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 1⎛ 1 1⎞ ab 1 1 ⎟ ≤ ab. ⎜ = ab. ⎜ a + c + b + c + 2b ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ 9⎝ (a + c) + (b + c) + 2b a + 3b + 2c Tương tự ta cũng được: 1⎛ 1 1⎞ bc 1 1 ⎟ ≤ bc. ⎜ = bc. ⎜ b + a + c + a + 2c ⎠ ⎟ ⎜ ⎟ 9⎝ (b + a ) + (c + a ) + 2c b + 3c + 2a 1⎛ 1 1⎞ ca 1 1 ⎟ ⎜ = ca. ≤ ca. ⎜ + +⎟ ⎟ 9 ⎜ c + b a + b 2a ⎠ ⎝ (c + b) + (a + b) + 2a c + 3a + 2b
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 1 ⎜ a + b + c bc + ca ca + ab ab + bc ⎞ a + b + c ⎛ ab bc ca ⎟ + + ≤⎜ + + + ⎟= ⎟ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 9 ⎜ ⎝ a+c ⎠ a+b b+c 2 6 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 3: 111 + + = 4 .Chứng minh rằng: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn abc 1 1 1 + + ≤1 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c Bài giải: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 1⎛ 1 1⎞ ⎟ ≤ 1 ⎛ 2 + 1 + 1⎞ 1 1 ⎟ ⎜ ⎜ = ≤⎜ + ⎟ ⎟ ⎜ 2a + b + c (a + b) + (a + c) 4 ⎝ a + b a + c ⎠ 16 ⎜ a b c ⎠ ⎟ ⎟ ⎝ 1⎛ 1 1⎞ 1 ⎛ 1 2 1⎞ 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ = ≤⎜ + ⎟ ≤ 16 ⎝ a + b + c ⎠ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ a + 2b + c (a + b) + (b + c) 4 ⎝ a + b b + c ⎠ ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 1 2⎞ 1 1 1⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ = ≤⎜ + ⎟ ≤ 16 ⎜ a + b + c ⎠ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a + b + 2c (a + c) + (b + c) 4 ⎝ a + c b + c ⎠ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 1 ⎛ 1 1 1⎞ 1 1 1 1 ⎟ ⎜ + + ≤ ⎜ + + ⎟ = .4 = 1 ⎟ 2a + b + 2c a + 2b + c a + b + 2c 4 ⎝ a b c ⎠ 4 3 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = 4 Bài 4: Cho a,b là các số dương thỏa mãn a + b < 1 .Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ≥ 1−a 1− b a + b 2 Nhận xét : (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) = 2 Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: 1 1 1 9 2 + + ≥ = (đpcm) 1 − a 1 − b a + b (1 − a ) + (1 − b) + (a + b) 9 1 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = 3 Bài toán có liên quan: Cho a,b là các số dương thỏa mãn a + b < 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 1 S= + +a+b+ 1−a 1− b a+b 5 Kết quả: min S = 2
Bài 5: Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 .Chứng minh rằng: 1 1 1 9 + + ≥ 1+a 1+b 1+c 4 Nhận xét : (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) = 4 Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: 1 1 1 9 9 + + ≥ = (đpcm) 1 + a 1 + b 1 + c (1 + a ) + (1 + b) + (1 + c) 4 1 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = . 3 Bài toán có liên quan: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c S= + + a +1 b +1 c +1 3 Kết quả: Max S = 4 Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba: 3 (a + b)(a 2 + ab + b2 ) a 3 + b3 (a 2 + b2 ) 3 ab (a + b) ⎛ a + b ⎞ ⎟≤ ≤⎜ ≤ ≥ (1) ⎟ ⎜2⎠ ⎟ ⎝ 3 (a + b) 2 6 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: b+c c+a a+b + + ≤2 a + 3 4 (b + c ) b + 3 4 (c + a ) c + 3 4 (a 3 + b3 ) 3 3 3 3 Bài giải: 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 3 Do đó: 4 (b 3 + c 3 ) ≥ b + c ⇒ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) ≥ a + b + c 3 b+c b+c 1 1 ⇒ ≤ ⇒ ≤ a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a + 3 4 (b 3 + c 3 ) a + b + c a+b+c Chứng minh tương tự ta cũng được: c+a c+a ≤ b + 3 4 (c + a ) a + b + c 3 3 a+b a+b ≤ c + 3 4 (a + b ) a+b+c 3 3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2 (a + b + c ) b+c c+a a+b + + ≤ =2 a + 3 4 (b3 + c 3 ) b + 3 4 (c3 + a 3 ) c + 3 4 (a 3 + b3 ) a+b+c Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 +3 +3 ≤ 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có a 3 + b3 ≥ ab (a + b) Do đó: 1 1 a 3 + b3 + abc ≥ ab (a + b + c) ⇒ ≤ a + b + abc ab (a + b + c) 3 3 Chứng minh tương tự ta cũng được: 1 1 ≤ b + c + abc bc (a + b + c) 3 3 1 1 ≤ c + a + abc ca (a + b + c) 3 3 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt ⎛1 1⎞ 1 1 1 1 1 1 ⎟ ⎜+ +3 +3 ≤ ⎜ ab bc + ca ⎠ = abc ⎟ ⎟ ⎝ 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 S= 3 +3 +3 a + b + 1 b + c + 1 c + a3 + 1 3 2 Kết quả: Max S = 1 Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng: a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 +2 +2 ≥2 a 2 + ab + b2 b + bc + c2 c + ca + a 2 Bài giải: a 2 + b2 a+b ≥ Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 2 2 a + ab + b 3 Suy ra:
a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 a+b b+c c+a 2 2 = (a + b + c) ≥ 3. 3 abc = 2 +2 +2 ≥ + + 2 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a 3 3 3 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài toán có liên quan: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng: x 9 + y9 y 9 + z9 z9 + x 9 +6 +6 ≥2 x 6 + x 3 y 3 + y9 y + y 3 z3 + z6 z + z3 x 3 + x 6 Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ Bài 1: Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng: 1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2 + + ≥3 3 ab bc ca Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab (Tạm gọi là bđt phụ trợ) 1 + a 3 + b3 3 Suy ra: 1 + a 3 + b3 ≥ 3 3 1.a 3 .b3 = 3ab ⇒ ≥ ab ab Chứng minh tương tự ta cũng được: 1 + b3 + c3 3 ≥ bc bc 1 + c3 + a 3 3 ≥ ca ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 1 + a 2 + b2 1 + b2 + c 2 1 + c2 + a 2 3 3 3 3 3 3 + + ≥ + + ≥ 33 =3 3 . . ab bc ca ab bc ca ab bc ca Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Bài 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 2a 2b 2c 1 1 1 +3 +3 ≤ 2+ 2+ 2 3 2 2 2 a +b b +c c +a a b c Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b 2a 1 Suy ra: a 3 + b2 ≥ 2 a 3 b2 = 2ab b ⇒ 3 ≤ 2 a +b ab Chứng minh tương tự ta cũng được:
2b 1 ≤ 3 2 b +c bc 2c 1 ≤ 3 2 c +a ca Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 2a 2b 2c 1 1 1 1 1 1 +3 +3 ≤ + + ≤ 2+ 2+ 2 3 2 2 2 a +b b +c c +a ab bc ca a b c Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 3: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 +2 +2 ≥1 a 2 + 2bc b + 2ca c + 2ab Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức : b2 + c2 ≥ 2bc Ta có : a2 a2 1 1 b2 + c2 ≥ 2bc ⇒ a 2 + 2bc ≤ a 2 + b2 + c2 ⇒ ≥2 ⇒2 ≥2 a 2 + 2bc a + b2 + c2 a + 2bc a + b2 + c2 Chứng minh tương tự ta cũng được: b2 b2 ≥2 b2 + 2ca a + b2 + c2 c2 b2 ≥ c2 + 2ab a 2 + b2 + c2 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt a2 b2 c2 a2 b2 c2 +2 +2 ≥2 +2 +2 =1 a 2 + 2bc b + 2ca c + 2ab a + b2 + c2 a + b2 + c2 a + b2 + c2 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài 4: 3 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = . Chứng minh bất đẳng thức: 4 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 3 Bài giải: a + 3b + 1 + 1 a + 3b + 2 a + 3b = 3 (a + 3b).1.1 ≤ = Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 3 3 3 Chứng minh tương tự ta cũng được: b + 3c + 2 b + 3c ≤ 3 3 c + 3a + 2 c + 3a ≤ 3 3 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 4 (a + b + c ) + 6 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ =3 3 3
1 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c = 4 Bài 5: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a+b+c ab bc ca + + ≤ a+b b+c c+a 2 Bài giải: a+b ab 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : a + b ≥ 2 ab ⇒ (a + b) ≥ 4ab ⇒ ≥ a+b 4 Chứng minh tương tự ta cũng được: b+c bc ≥ b+c 4 c+a ca ≥ c+a 4 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt a+b b+c c+a a+b+c ab bc ca + + ≤ + + = a+b b+c c+a 4 4 4 2 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c > 0 Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab bc ca S= + + a+b b+c c+a 3 Kết quả: Max S = 2 Bài 6: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a3 b3 c3 + +3 3 ≥1 3 b3 + (c + a )3 a 3 + (b + c ) c + (a + b ) Bài giải: 1 + x + 1 − x − x2 x2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 1 + x 3 ≥ (1 + x )(1 − x + x 2 ) ≤ = 1+ 2 2 Vận dụng bđt trên ta sẽ được: a3 a2 1 1 1 3= ≥ 2≥ 2= 2 b +c a 3 + (b + c) a 2 + b2 + c 2 1 ⎛b + c⎞ 3 ⎛b + c⎞ ⎟ 1+ ⎜ 1+ ⎟ ⎜ ⎟ 1+⎜ 2⎜ a ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 2 a ⎝a⎠ Chứng minh tương tự ta cũng được: b3 b2 ≥2 b3 + (c + a )3 a + b2 + c 2 c3 c2 ≥2 3 a + b2 + c 2 c 3 + (a + b )
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt: a3 b3 c3 a2 b2 c2 + +3 ≥2 +2 +2 =1 3 3 b3 + (c + a )3 a + b 2 + c 2 a + b 2 + c 2 a + b 2 + c2 a 3 + (b + c ) c + (a + b) Ngày soạn 30/04/2009. -------------------Hết------------------