zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình kiểu k-Hessian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu này phân tích điều kiện tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến kiểu k-Hessian. Bằng cách sử dụng các kỹ thuật giải tích hiện đại như bất đẳng thức Sobolev, phương pháp tiệm cận và ánh xạ đơn điệu, các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu và mạnh được chứng minh. Công trình đồng thời khảo sát tính chất hình học và điều kiện biên ảnh hưởng đến cấu trúc nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình kiểu k-Hessian

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KIỂU K-HESSIAN Nguyễn Hữu Thọ Trường Đại học Thủy lợi, email: nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Dấu () trong vế trái của (1) để đảm bảo tính Báo cáo này dành cho việc bày về sự tồn elliptic suy biến của phương trình. Một số tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán vấn đề cơ bản về nghiệm nhớt, về hàm tiếp Dirichlet đối với phương trình kiểu k - Hessian xúc từ phía trên, tiếp xúc từ bên dưới được trong miền bị chặn với dữ kiện không nhất trích dẫn từ [1], [2]. 1 thiết trơn, đây là một mở rộng của các kết Đặt: H k ( 1 , n )   k ( 1 , n ) k quả trong [2], [3]. và: Fk ( x, v, Dv, D v)   H k   ( D v   ( x, v, Dv))  2 2 2. NỘI DUNG BÁO CÁO  f  x, v, Dv  . 2.1. Đặt vấn đề Khi đó phương trình (1) trở thành: Xét    là miền mở, bị chặn,  n n Fk ( x, v, Dv, D 2v)  0, x  . là tập các ma trận đối xứng cỡ n  n với Xét bài toán Dirichlet sau: chuẩn được cho bởi X  max xij . Ta hiểu Fk ( x, v, Dv, D 2v)  0, x   (3) X , Y   , X  Y nghĩa là: n v( x)   ( x), x  , i  i , i  1,2,..., n ở đây  là hàm liên tục cho trước xác định trong đó 1  2   n và 1  2   n là trên ; F :      n   n là hàm thực các giá trị riêng tương ứng của X , Y và I là liên tục và thỏa mãn: ma trận đơn vị cấp n . F ( x, t , p, X )  F ( x, t , p, Y ), X  Y (4) Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (điều kiện này cho ta tính elliptic suy biến k  Hessian dạng sau, ( k  1,2,, n ): của F ) và: F ( x, t , p, X )  F ( x, s, p, X ),  1   2    k  ( D v   ( x, v, Dv))  k   ( x, p, X )     n   n , t  s. (5)     f ( x, v, Dv)  0, x   (1) (đây là tính tăng theo biến thứ hai). v( x)   ( x), x   (2) Một điều kiện đủ của (5) là: với mỗi  0  R   , tồn tại hằng số CR  0 sao cho:   F ( x, t , p, X )  F ( x, s, p, X )  CR (t  s ), (6) ở đây  :    n  n và f :      n   với mọi x, y , R  t  s   R, p n , X  n . là các hàm liên tục, f  0,  ( X )   1 , n  Với mỗi 0  R   , tồn tại hàm thực không là các giá trị riêng của X   n và: giảm  R thỏa mãn  R ( )  0 khi   0 sao  k ( 1 ,, n )   i1  ik 1i1 ik  n cho: F ( x, t , p, X )  F ( y , t , p, X )   R  x  y (1  p )  (7) là các đa thức đối xứng cơ bản bậc k ;  là hàm liên tục cho trước xác định trên  . với x, y  , t  R, p   n , X   n . 98
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5 Ta nói rằng hàm  tiếp xúc với hàm v từ Một số điều kiện sau được áp lên  và f , phía trên (t.ư. từ bên dưới) tại x0   nếu đây là các điều kiện quan trọng nhằm đạt v   đạt cực đại (t.ư. cực tiểu) tại x0 và được kết quả mong đợi của báo cáo này. v( x0 )   ( x0 ). (H1) Với mọi R  0 , tồn tại hàm liên tục, không giảm   ,R sao cho: Các tác giả trong [4] đã đạt được kết quả quan trọng sau đối với bài toán (3):  ( x, t , p )   ( y, t , p )    , R  x  y (1  p )  I , Định lý 1.1([4]) Giả sử F thỏa mãn các với x, y  , t  R, p   n . điều kiện (4), (6) và (7). Nếu phương trình (H2)  ( x, t , p )   ( x, s, p ) (3) có có nghiệm nhớt dưới v1 và nghiệm với ( x, t , p ),( x, s, p)   n     n , t  s . nhớt trên v2 là các hàm liên tục Lipschitz địa (H3) Tồn tại hằng số dương C f , R và tồn phương trong  , v1  v2   trên  thì khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm nhớt của bài tại hàm số thực không tăng  * f , R liên tục phải toán (3). tại 0 sao cho: f ( x, t , p)  f ( x, s, p )  C f , R (t  s ) 2.2. Kết quả chính với x  , R  t  s   R, p   n . Mục này sẽ trình bày kết quả chính của báo cáo. Ta đặt: (H4) f ( x, t, p)  f ( y, t, p)   * f ,R  x  y (1  p )   k :    n  j (  )  0, j  1, 2,..., k .  với x, y  , t  R, p   n . Để ý rằng: các điều kiện (H1)-(H4) sẽ thỏa Dễ thấy mãn nếu    ( x) I , f  f  x  ,  ( x), f ( x) là  n     n :  j  0, j  1,2,...n , các hàm thực, liên tục Lipschitz và dương i   j , i  j. trên ,  ( x)  f ( x)  1. Điều này chứng tỏ Toán tử k  Hessian H   ( D 2v)  là elliptic rằng các điều kiện (H1)-(H4) là hiện hữu. Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm suy biến trên  k . Để đạt được tính ellipctic nhớt của bài toán (1)-(2) được phát biểu suy biến của hàm Fk chúng ta cần xét hàm trong định lý sau: thử   C 2 () sao cho: Định lý 2.1 Cho f là một hàm dương, liên   D 2 ( x)   ( x, ( x), D ( x))    k . tục. Giả sử các điều kiện (H1)-(H4) được thỏa mãn. Nếu phương trình (1) có nghiệm Chính điều này nên chúng ta cần mở rộng nhớt dưới v1 và nghiệm nhớt trên v2 là các tính k  lồi thành tính ( , k )  lồi như dưới hàm liên tục Lipschitz địa phương trong  , đây, khái niệm này là một mở rộng khái kiệm khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm nhớt tính k  lồi trong [2], [3]. ( , k )  lồi của bài toán (1)-(2). Định nghĩa 2.1: Cho trước cặp ( , k ) . Chứng minh. Chúng ta sẽ trình bày các Hàm v  C () được gọi là ( , k )  lồi trên  bước biến đổi chính trong chứng minh, các nếu với mỗi hàm   C 2 () ,  tiếp xúc v từ tính toán trung gian dành cho bạn đọc. Tính bên dưới tại x0   , ta có: elliptic suy biến được khẳng định như ở trên.   D 2 ( x0 )   ( x0 , ( x0 ), D ( x0 ))    k . Còn lại, ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện (6) và (7), khi đó kết quả sẽ được suy ra từ Định Dễ thấy rằng, nếu v  C 2 () và v là lý 1.1. Thật vậy, từ (H2), tính elliptic suy ( , k )  lồi trên  thì biến của H k và (H3) ta có:   D 2v( x)   ( x, v( x), Dv( x))    k , x  , Fk ( x, t , p, X )  Fk ( x, s, p, X )  C f , R (t  s ) . và với hàm thuộc lớp C 2 , tính (0, n)  lồi Hơn nữa, với: chính là tính lồi thông thường. 0  R  , x, y  , t  R, p   n , X   n 99
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5 Từ (H4) ta có: 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO Fk ( x, t , p, X )  Fk ( y, t , p, X ) [1] M.G. Crandall, H. Ishii và P.L.Lions, (1992),   C  k n  ,R   f ,R   x  y (1  p ) . User’s guide to viscosity solutions of secon order partial differential equations, Bull. Am. Bằng cách sử dụng tính lồi, tính thuần nhất Math. Soc, Vol 27, No. 1, pp. 1-67. của H k , (H1) và: [2] A. Colesanti, P. Salani, (1999), Hessian X   ( x, t , p )  X   ( y , t , p ) equations in non-smooth domain, Nonlinear     , R x  y 1  p  I  Anal., Vol. 38, No. 6, Ser.A: Theory Methods, pp. 803-812. Suy ra: [3] F. Jiang, N.S. Trudinger and X.P. Yang, H k   ( X   ( x, t , p ))   H k   ( X   ( y , t , p ))  (2015), On the Dirichlet problem for a class of augmented Hessian equations. J. Differ.  Cn   , R  x  y (1  p )  . k Equ. Vol. 258, pp. 1548-1576. Đặt  R  Cn   , R   f , R ta sẽ được: k [4] H. Ishii and P.L. Lions, (1990), Viscosity solution of full nonlinear second-order Fk ( x, t , p, X )  Fk ( y, t , p, X ) elliptic PDEs, Vol. 83, No. 1, J. of   R  x  y (1  p )  . Differential equations, pp. 26-78. Như vậy định lý được chứng minh. 3. KẾT LUẬN Báo cáo này nghiên cứu về bài toán Dirichlet đối với phương trình kiểu k  Hessian, ở đây khái niệm k  lồi trong những nghiên cứu trước đó được mở rộng thành ( , k )  lồi, và từ đó đạt được kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm nhớt cho bài toán được xét. 100

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.