KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - SỐ 24 QUÝ 1/2023 63
ABSTRACT
In the theory of first-order differential equations, the Cauchy problem is a problem of great interest to many au-
thors, indicating the existence and uniqueness of solutions. The problem is stated as follows: Find the solution of
the equation x
1
=f(t,x) and satisfy the given initial condition
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY
EXISTENCE AND UNIQUE SOLUTION OF CAUCHY'S PROBLEM
Thạc sĩ: Phạm Kim Phượng
ộ môn toán, Khoa Cơ sở-Cơ bản, Đại Học Hàng Hải Việt Nam
Email: phamkimphuong@vimaru.edu.vn
Tel:09839833998
Tóm tắt
Trong lý thuyết phương trình vi phân cấp một, bài toán Cauchy là bài toán được rất nhiều tác giảquan tâm, chỉ
ra vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm. Bài toán được phát biểu như sau : Tìm nghiệm của phương trình 𝑥𝑥′=
𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)(1) và thỏa mãn điều kiện đầu cho trước 𝑥𝑥(𝑡𝑡0)= 𝑥𝑥0
(2)
Năm 1885, Peano đưa ra kết quả đầu tiên vềsựtồn tại nghiệm địa phương của bài toán Cauchy khi f là hàm liên
tục. Năm 1918, Carathéodory giảm nhẹ điều kiện liên tục của bài toán, chỉra sựtồn tại nghiệm địa phương hầu
khắp nơi của bài toán trên. Vào năm 1968, G.S Goodman đã cải thiện kết quảcủa Carathéodory bằng cách chỉ
ra tồn tại nghiệm lớn nhất. Trong bài báo này, tác giảnghiên cứu chỉra sựtồn tại và duy n ất nghiệm của bài
toán Cauchy trên khi lớp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
Từ khóa Không gian Banach, định lý Picard, định lý Lebesgue, điều kiện Lipschitz.
Abstract
In the theory of first-order differential equations, the Cauchy problem is a problem of great interest to many
authors, indicating the existence and uniqueness of solutions. The problem is stated as follows: Find the solution
of the equation 𝑥𝑥′=𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)and satisfy the given initial condition 𝑥𝑥(𝑡𝑡0)= 𝑥𝑥0.In 1885, Peano gave the first
result of the experimental local existence of the Cauchy problem when f is a continuous function. In 1918,
Carathéodory slightly reduced the continuity condition of the problem, pointing out the existence of almost
everywhere local solutions to the above problem. In 1968, G.S. Goodman improved Carathéoodory's result by
showing that there exists a maximum solution. In this paper, the author shows the existence and unique solution
of the above Cauchy problem when the class of function f satisfies the Lipschitz condition.
Keywords: Banach space, Picard theorem, Lebesgue theorem, Lipschitz condition.
Đặt vấn đề
Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa
một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân cấp
1 giải được đối với đạo hàm là phương trình có dạng
𝑥𝑥′=𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) (1.1.1)
Trong đó: 𝑓𝑓:𝐺𝐺⊂ℝ2→ℝ
Đối với phương trình vi phân, người ta thường quan tâm đến bài toán với điều kiện ban đầu cho trước. Trong bài
báo này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát biểu như sau:
Tìm nghiệm của phương trình
{𝑥𝑥′ =𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
𝑥𝑥(𝑡𝑡) =𝑥𝑥0
. In 1885, Peano gave the first result
of the experimental local existence of the Cauchy problem when f is a continuous function. In 1918, Carathéodory
slightly reduced the continuity condition of the problem, pointing out the existence of almost everywhere local solu-
tions to the above problem. In 1968, G.S. Goodman improved Carathéoodory’s result by showing that there exists a
maximum solution. In this paper, the author shows the existence and unique solution of the above Cauchy problem
when the class of function f satisfies the Lipschitz condition.
Keywords: Banach space, Picard theorem, Lebesgue theorem, Lipschitz condition.
Received: 01/10/2022; Accepted: 15/01/2023; Published: 28/02/2023
Phạm Kim Phượng*
*Trường Đại học Hàng hải Việt Nam
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY
1. Đặt vấn đề
Phương trình vi phân hay phương trình sai phân
là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối
quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc
nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau).
Phương trình vi phân cấp 1 giải được đối với đạo
hàm là phương trình có dạng x
1
=f(t,x)
(1.1.1)
Trong đó:
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY
EXISTENCE AND UNIQUE SOLUTION OF CAUCHY'S PROBLEM
Thạc sĩ: Phạm Kim Phượng
ộ môn toán, Khoa Cơ sở-Cơ bản, Đại Học Hàng Hải Việt Nam
Email: phamkimphuong@vimaru.edu.vn
Tel:09839833998
Tóm tắt
Trong lý thuyết phương trình vi phân cấp một, bài toán Cauchy là bài toán được rất nhiều tác giảquan tâm, chỉ
ra vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm. Bài toán được phát biểu như sau : Tìm nghiệm của phương trình 𝑥𝑥′=
𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)(1) và thỏa mãn điều kiện đầu cho trước 𝑥𝑥(𝑡𝑡0)= 𝑥𝑥0(2)
Năm 1885, Peano đưa ra kết quả đầu tiên vềsựtồn tại nghiệm địa phương của bài toán Cauchy khi f là hàm liên
tục. Năm 1918, Carathéodory giảm nhẹ điều kiện liên tục của bài toán, chỉra sựtồn tại nghiệm địa phương hầu
khắp nơi của bài toán trên. Vào năm 1968, G.S Goodman đã cải thiện kết quảcủa Carathéodory bằng cách chỉ
ra tồn tại nghiệm lớn nhất. Trong bài báo này, tác giảnghiên cứu chỉra sựtồn tại và duy n ất nghiệm của bài
toán Cauchy trên khi lớp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
Từ khóa Không gian Banach, định lý Picard, định lý Lebesgue, điều kiện Lipschitz.
Abstract
In the theory of first-order differential equations, the Cauchy problem is a problem of great interest to many
authors, indicating the existence and uniqueness of solutions. The problem is stated as follows: Find the solution
of the equation 𝑥𝑥′=𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)and satisfy the given initial condition 𝑥𝑥(𝑡𝑡0)= 𝑥𝑥0.In 1885, Peano gave the first
result of the experimental local existence of the Cauchy problem when f is a continuous function. In 1918,
Carathéodory slightly reduced the continuity condition of the problem, pointing out the existence of almost
everywhere local solutions to the above problem. In 1968, G.S. Goodman improved Carathéoodory's result by
showing that there exists a maximum solution. In this paper, the author shows the existence and unique solution
of the above Cauchy problem when the class of function f satisfies the Lipschitz condition.
Keywords: Banach space, Picard theorem, Lebesgue theorem, Lipschitz condition.
Đặt vấn đề
Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa
một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân cấp
1 giải được đối với đạo hàm là phương trình có dạng
𝑥𝑥′=𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) (1.1.1)
Trong đó: 𝑓𝑓:𝐺𝐺⊂ℝ2→ℝ
Đối với phương trình vi phân, người ta thường quan tâm đến bài toán với điều kiện ban đầu cho trước. Trong bài
báo này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát biểu như sau:
Tìm nghiệm của phương trình
{𝑥𝑥′ =𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
𝑥𝑥(𝑡𝑡) =𝑥𝑥0
Đối với phương trình vi phân, người ta thường
quan tâm đến bài toán với điều kiện ban đầu cho
trước. Trong bài báo này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại
và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát
biểu như sau:
Tìm nghiệm của phương trình:
SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CAUCHY
EXISTENCE AND UNIQUE SOLUTION OF CAUCHY'S PROBLEM
Thạc sĩ: Phạm Kim Phượng
ộ môn toán, Khoa Cơ sở-Cơ bản, Đại Học Hàng Hải Việt Nam
Email: phamkimphuong@vimaru.edu.vn
Tel:09839833998
Tóm tắt
Trong lý thuyết phương trình vi phân cấp một, bài toán Cauchy là bài toán được rất nhiều tác giảquan tâm, chỉ
ra vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm. Bài toán được phát biểu như sau : Tìm nghiệm của phương trình 𝑥𝑥′=
𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)(1) và thỏa mãn điều kiện đầu cho trước 𝑥𝑥(𝑡𝑡0)= 𝑥𝑥0(2)
Năm 1885, Peano đưa ra kết quả đầu tiên vềsựtồn tại nghiệm địa phương của bài toán Cauchy khi f là hàm liên
tục. Năm 1918, Carathéodory giảm nhẹ điều kiện liên tục của bài toán, chỉra sựtồn tại nghiệm địa phương hầu
khắp nơi của bài toán trên. Vào năm 1968, G.S Goodman đã cải thiện kết quảcủa Carathéodory bằng cách chỉ
ra tồn tại nghiệm lớn nhất. Trong bài báo này, tác giảnghiên cứu chỉra sựtồn tại và duy n ất nghiệm của bài
toán Cauchy trên khi lớp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz
Từ khóa Không gian Banach, định lý Picard, định lý Lebesgue, điều kiện Lipschitz.
Abstract
In the theory of first-order differential equations, the Cauchy problem is a problem of great interest to many
authors, indicating the existence and uniqueness of solutions. The problem is stated as follows: Find the solution
of the equation 𝑥𝑥′=𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)and satisfy the given initial condition 𝑥𝑥(𝑡𝑡0)= 𝑥𝑥0.In 1885, Peano gave the first
result of the experimental local existence of the Cauchy problem when f is a continuous function. In 1918,
Carathéodory slightly reduced the continuity condition of the problem, pointing out the existence of almost
everywhere local solutions to the above problem. In 1968, G.S. Goodman improved Carathéoodory's result by
showing that there exists a maximum solution. In this paper, the author shows the existence and unique solution
of the above Cauchy problem when the class of function f satisfies the Lipschitz condition.
Keywords: Banach space, Picard theorem, Lebesgue theorem, Lipschitz condition.
Đặt vấn đề
Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biểu diễn mối quan hệ giữa
một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình vi phân cấp
1 giải được đối với đạo hàm là phương trình có dạng
𝑥𝑥′=𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) (1.1.1)
Trong đó: 𝑓𝑓:𝐺𝐺⊂ℝ2→ℝ
Đối với phương trình vi phân, người ta thường quan tâm đến bài toán với điều kiện ban đầu cho trước. Trong bài
báo này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát biểu như sau:
Tìm nghiệm của phương trình
{𝑥𝑥′ =𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
𝑥𝑥(𝑡𝑡) =𝑥𝑥0
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Hàm liên tục tuyệt đối và một số tính chất
liên quan
Cho hàm F:[a,b]→R. Hàm F được gọi là liên
tục tuyệt đối trên đoạn [a,b] nếu với mọi ϵ>0 cho
trước đều tồn tại δ>0 sao cho với mọi hệ khoảng
ộidung nghiên cứu
Hàm liên tục tuyệt đối và một sốtính chất liên quan
Cho hàm 𝐹𝐹:[𝑎𝑎,𝑏𝑏]→ℝ. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [𝑎𝑎,𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖>0 cho trước đều
tồn tại 𝛿𝛿>0 sao cho với mọi hệ khoảng (𝑎𝑎1,𝑏𝑏1),(𝑎𝑎2,𝑏𝑏2),
…
(𝑎𝑎𝑛𝑛,𝑏𝑏𝑛𝑛) rời nhau
∑(𝑏𝑏𝑖𝑖−𝑎𝑎1)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 < 𝛿𝛿 ⇒ ∑|𝐹𝐹(𝑏𝑏𝑖𝑖)−𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑖𝑖)|
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 <𝜖𝜖
Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con của I.
Trong phần này, chúng ta giả sử 𝜇𝜇 là một độ đo Lebesgue trên ℝ. Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm
liên tục tuyệt đối sau đây.
Định lý 2.1 (tính liên tục, tuyệt đối của tích phân)
Nếu f khả tích trên A thì
(∀δ>0)(∃δ>0)(∀Ε⊂A)[μ(Ε)<δ ⇒∫|f|dμ< ε
E]
Định lý . Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng.
F(t)=F(a)∫f(s)ds,t ϵ [a,b],
t
a
Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tục tuyệt đối trên [a,b].
Định lý (Định lý về tính khả vi hầu khắp nơi)
Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó tích phân bất định.
F(t)=∫f(s)
t
a
khả vi hầu khắp nơi trên [a,b] và F’(t) = f(t), vớ hầu khắp t ϵ[a.b]
Khi đó, ta có các nhận xét sau :
•Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường)
•Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối.
•Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x′=f(t,x) với f : G ⊂ ℝ2→ℝ, người ta thường quan tâm đến hai
loại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 2.2 . Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là hàm khả vi
liên tục φ∶(a,b)⊂ℝ→ℝ
rời nhau.
ộidung nghiên cứu
Hàm liên tục tuyệt đối và một sốtính chất liên quan
Cho hàm 𝐹𝐹:[𝑎𝑎,𝑏𝑏]→ℝ. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [𝑎𝑎,𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖>0 cho trước đều
tồn tại 𝛿𝛿>0 sao cho với mọi hệ khoảng (𝑎𝑎1,𝑏𝑏1),(𝑎𝑎2,𝑏𝑏2), (𝑎𝑎𝑛𝑛,𝑏𝑏𝑛𝑛) rời nhau
∑(𝑏𝑏𝑖𝑖−𝑎𝑎1)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 < 𝛿𝛿 ⇒ ∑|𝐹𝐹(𝑏𝑏𝑖𝑖)−𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑖𝑖)|
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 <𝜖𝜖
Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con của I.
Trong phần này, chúng ta giả sử 𝜇𝜇 là một độ đo Lebesgue trên ℝ. Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm
liên tục tuyệt đối sau đây.
Định lý 2.1 (tính liên tục, tuyệt đối của tích phân)
Nếu f khả tích trên A thì
(∀δ>0)(∃δ>0)(∀Ε⊂A)[μ(Ε)<δ ⇒∫|f|dμ< ε
E]
Định lý . Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng.
F(t)=F(a)∫f(s)ds,t ϵ [a,b],
t
a
Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tục tuyệt đối trên [a,b].
Định lý (Định lý về tính khả vi hầu khắp nơi)
Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó tích phân bất định.
F(t)=∫f(s)
t
a
khả vi hầu khắp nơi trên [a,b] và F’(t) = f(t), vớ hầu khắp t ϵ[a.b]
Khi đó, ta có các nhận xét sau :
•Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường)
•Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối.
•Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x′=f(t,x) với f : G ⊂ ℝ2→ℝ, người ta thường quan tâm đến hai
loại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 2.2 . Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là hàm khả vi
liên tục φ∶(a,b)⊂ℝ→ℝ
Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên
khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn
con của I. Trong phần này, chúng ta giả sử μ là một
độ đo Lebesgue trên R. Chúng ta có một số định lý
liên quan đến hàm liên tục tuyệt đối sau đây.
Định lý 2.1.1: (tính liên tục, tuyệt đối của tích
phân)
Nếu f khả tích trên A thì
ộidung nghiên cứu
Hàm liên tục tuyệt đối và một sốtính chất liên quan
Cho hàm 𝐹𝐹:[𝑎𝑎,𝑏𝑏]→ℝ. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [𝑎𝑎,𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖>0 cho trước đều
tồn tại 𝛿𝛿>0 sao cho với mọi hệ khoảng (𝑎𝑎
1
,𝑏𝑏
1
),(𝑎𝑎
2
,𝑏𝑏
2
), (𝑎𝑎
𝑛𝑛
,𝑏𝑏
𝑛𝑛
) rời nhau
∑(𝑏𝑏
𝑖𝑖
−𝑎𝑎
1
)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
< 𝛿𝛿 ⇒ ∑|𝐹𝐹(𝑏𝑏
𝑖𝑖
)−𝐹𝐹(𝑎𝑎
𝑖𝑖
)|
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
<𝜖𝜖
Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con của I.
Trong phần này, chúng ta giả sử 𝜇𝜇 là một độ đo Lebesgue trên ℝ. Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm
liên tục tuyệt đối sau đây.
Định lý 2.1 (tính liên tục, tuyệt đối của tích phân)
Nếu f khả tích trên A thì
(∀δ>0)(∃δ>0)(∀Ε⊂A)[μ(Ε)<δ ⇒∫|f|dμ< ε
E
]
Định lý . Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng.
F(t)=F(a)∫f(s)ds,t ϵ [a,b],
t
a
Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tục tuyệt đối trên [a,b].
Định lý (Định lý về tính khả vi hầu khắp nơi)
Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó tích phân bất định.
F(t)=∫f(s)
t
a
khả vi hầu khắp nơi trên [a,b] và F’(t) = f(t), vớ hầu khắp t ϵ[a.b]
Khi đó, ta có các nhận xét sau :
•Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường)
•Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối.
•Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x
′
=f(t,x) với f : G ⊂ ℝ
2
→ℝ, người ta thường quan tâm đến hai
loại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 2.2 . Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là hàm khả vi
liên tục φ∶(a,b)⊂ℝ→ℝ
Định lý 2.1.2: Hàm F xác định trên [a, b] có thể
viết dưới dạng
ộidung nghiên cứu
Hàm liên tục tuyệt đối và một sốtính chất liên quan
Cho hàm 𝐹𝐹:[𝑎𝑎,𝑏𝑏]→ℝ. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [𝑎𝑎,𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖>0 cho trước đều
tồn tại 𝛿𝛿>0 sao cho với mọi hệ khoảng (𝑎𝑎1,𝑏𝑏1),(𝑎𝑎2,𝑏𝑏2), (𝑎𝑎𝑛𝑛,𝑏𝑏𝑛𝑛) rời nhau
∑(𝑏𝑏𝑖𝑖−𝑎𝑎1)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 < 𝛿𝛿 ⇒ ∑|𝐹𝐹(𝑏𝑏𝑖𝑖)−𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑖𝑖)|
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 <𝜖𝜖
Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con của I.
Trong phần này, chúng ta giả sử 𝜇𝜇 là một độ đo Lebesgue trên ℝ. Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm
liên tục tuyệt đối sau đây.
Định lý 2.1 (tính liên tục, tuyệt đối của tích phân)
Nếu f khả tích trên A thì
(∀δ>0)(∃δ>0)(∀Ε⊂A)[μ(Ε)<δ ⇒∫|f|dμ< ε
E]
Định lý . Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng.
F(t)=F(a)∫f(s)ds,t ϵ [a,b],
t
a
Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tục tuyệt đối trên [a,b].
Định lý (Định lý về tính khả vi hầu khắp nơi)
Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó tích phân bất định.
F(t)=∫f(s)
t
a
khả vi hầu khắp nơi trên [a,b] và F’(t) = f(t), vớ hầu khắp t ϵ[a.b]
Khi đó, ta có các nhận xét sau :
•Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường)
•Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối.
•Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x′=f(t,x) với f : G ⊂ ℝ2→ℝ, người ta thường quan tâm đến hai
loại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 2.2 . Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là hàm khả vi
liên tục φ∶(a,b)⊂ℝ→ℝ
Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F
liên tục tuyệt đối trên [a,b].
Định lý 2.1.3. (Định lý về tính khả vi hầu khắp
nơi)
Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó
tích phân bất định.
ộidung nghiên cứu
Hàm liên tục tuyệt đối và một sốtính chất liên quan
Cho hàm 𝐹𝐹:[𝑎𝑎,𝑏𝑏]→ℝ. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [𝑎𝑎,𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖>0 cho trước đều
tồn tại 𝛿𝛿>0 sao cho với mọi hệ khoảng (𝑎𝑎1,𝑏𝑏1),(𝑎𝑎2,𝑏𝑏2), (𝑎𝑎𝑛𝑛,𝑏𝑏𝑛𝑛) rời nhau
∑(𝑏𝑏𝑖𝑖−𝑎𝑎1)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 < 𝛿𝛿 ⇒ ∑|𝐹𝐹(𝑏𝑏𝑖𝑖)−𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑖𝑖)|
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 <𝜖𝜖
Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con của I.
Trong phần này, chúng ta giả sử 𝜇𝜇 là một độ đo Lebesgue trên ℝ. Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm
liên tục tuyệt đối sau đây.
Định lý 2.1 (tính liên tục, tuyệt đối của tích phân)
Nếu f khả tích trên A thì
(∀δ>0)(∃δ>0)(∀Ε⊂A)[μ(Ε)<δ ⇒∫|f|dμ< ε
E]
Định lý . Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng.
F(t)=F(a)∫f(s)ds,t ϵ [a,b],
t
a
Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tục tuyệt đối trên [a,b].
Định lý (Định lý về tính khả vi hầu khắp nơi)
Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó tích phân bất định.
F(t)=∫f(s)
t
a
khả vi hầu khắp nơi trên [a,b] và F’(t) = f(t), vớ hầu khắp t ϵ[a.b]
Khi đó, ta có các nhận xét sau :
•Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường)
•Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối.
•Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x′=f(t,x) với f : G ⊂ ℝ2→ℝ, người ta thường quan tâm đến hai
loại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 2.2 . Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là hàm khả vi
liên tục φ∶(a,b)⊂ℝ→ℝ
khả vi hầu khắp nơi trên [a,b] và F’(t) = f(t), với hầu
khắp t ϵ[a.b]
Khi đó, ta có các nhận xét sau:
Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa
thông thường)
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ
TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - SỐ 24 QUÝ 1/202264
Tích phân bất định của một hàm số khả tích là
liên tục tuyệt đối.
Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm
liên tục tuyệt đối.
2. 2 Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
Đối với phương trình vi phân cấp một dạng
, người ta thường
quan tâm đến hai loại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 2.2.1. Nghiệm cổ điển (hay còn gọi
là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là
hàm khả vi liên tục
ộidung nghiên cứu
Hàm liên tục tuyệt đối và một sốtính chất liên quan
Cho hàm 𝐹𝐹:[𝑎𝑎,𝑏𝑏]→ℝ. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [𝑎𝑎,𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖>0 cho trước đều
tồn tại 𝛿𝛿>0 sao cho với mọi hệ khoảng (𝑎𝑎1,𝑏𝑏1),(𝑎𝑎2,𝑏𝑏2), (𝑎𝑎𝑛𝑛,𝑏𝑏𝑛𝑛) rời nhau
∑(𝑏𝑏𝑖𝑖−𝑎𝑎1)
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 < 𝛿𝛿 ⇒ ∑|𝐹𝐹(𝑏𝑏𝑖𝑖)−𝐹𝐹(𝑎𝑎𝑖𝑖)|
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 <𝜖𝜖
Ta quan niệm một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng mở I nếu nó liên tục tuyệt đối trên mọi đoạn con của I.
Trong phần này, chúng ta giả sử 𝜇𝜇 là một độ đo Lebesgue trên ℝ. Chúng ta có một số định lý liên quan đến hàm
liên tục tuyệt đối sau đây.
Định lý 2.1 (tính liên tục, tuyệt đối của tích phân)
Nếu f khả tích trên A thì
(∀δ>0)(∃δ>0)(∀Ε⊂A)[μ(Ε)<δ ⇒∫|f|dμ< ε
E]
Định lý . Hàm F xác định trên [a, b] có thể viết dưới dạng.
F(t)=F(a)∫f(s)ds,t ϵ [a,b],
t
a
Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tục tuyệt đối trên [a,b].
Định lý (Định lý về tính khả vi hầu khắp nơi)
Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó tích phân bất định.
F(t)=∫f(s)
t
a
khả vi hầu khắp nơi trên [a,b] và F’(t) = f(t), vớ hầu khắp t ϵ[a.b]
Khi đó, ta có các nhận xét sau :
•Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa thông thường)
•Tích phân bất định của một hàm số khả tích là liên tục tuyệt đối.
•Tổng, hiệu của hai hàm liên tục tuyệt đối là hàm liên tục tuyệt đối.
Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1
Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x′=f(t,x) với f : G ⊂ ℝ2→ℝ, người ta thường quan tâm đến hai
loại nghiệm sau đây.
Định nghĩa 2.2 . Nghiệm cổ điển (hay còn gọi là nghiệm) của phương trình vi phân dạng (1.1.1) là hàm khả vi
liên tục φ∶(a,b)⊂ℝ→ℝ
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
sao cho với mọi
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b)
thì
(t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
và
thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2.2.2. Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác
định trên khoảng mở
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
thoả mãn
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
, với t
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
I, ngoại trừ tập có
độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu
khắp nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình:
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên R thỏa mãn
x’=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm
hầu khắp nơi của bài toán trên.
2.3. Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3.1. Cho hàm:
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa
mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t
cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa
|f(t,x)|≤m(t), với mọi (t, x)
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
D.
Định nghĩa 2.3.2. Cho
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= { 1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
được gọi là họ liên tục đồng bậc nếu với mọi ε>0,
tồn tại δ>0 sao cho với mọi t,t’
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
M mà |t-t’|<δ thì
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀
v
ớ
i m
ọ
i
𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
Định lý 2.3.1. ( Định lý Azella – Ascoli)
Nếu dãy
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
liên tục đồng bậc
và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội
tụ đều trên [a,b].
2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán
Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh
định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để
khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài
toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên R và A là tập đo
được.
Định nghĩa 2.4.1. Mật độ của A trên một lân cận
của điểm t
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
R được cho bởi công thức:
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
với B (t,ϵ) là hình cầu đóng bán kính ϵ > 0, tâm t
trong R.
Định nghĩa 2.4.2.
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2. Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
. Ta nói
rằng f(t,x) ánh xạ từ I×Ω vào F
n
là liên tục Lipschitz
đều với trọng tới x nếu có hằng số L (được gọi là
hằng số Lipschitz) sao cho:
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
Định nghĩa 2.4.3. Gọi D là một tập mở trong
R×F
n
. Ta nói rằng f(t,x) là ánh xạ từ D vào F
n
là liên
tục Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi
(t
1
, x
1
)
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
D tồn tại α>0, r>0 và L>0 mà
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹
𝑛𝑛
. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹
𝑛𝑛
là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹
𝑛𝑛
. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹
𝑛𝑛
là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡
1
,𝑥𝑥
1
)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡
𝑜𝑜
−𝛼𝛼, 𝑡𝑡
𝑜𝑜
+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥
1
)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡
𝑜𝑜
−𝛼𝛼, 𝑡𝑡
𝑜𝑜
+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥
1
)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡
𝑜𝑜
−𝛼𝛼, 𝑡𝑡
𝑜𝑜
+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥
1
)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿
𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐
)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)=
lim
ϵ→0
d
ϵ
(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t
0
−a,t
0
+a] × [x
0
−b,x
0
+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x
1
)−f(t,x
2
)|≤K|x
1
−x
2
|, ∀(t,x
1
),(t,x
2
)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t
0
−h,t
0
+h]⊂[t
0
−a,t
0
+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
)=x
0
.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥
∗
∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥
∗
)=𝑥𝑥
∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x
∗
∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x
0
∈X, nếu ta có dãy lặp {x
k
} bởi hàm lặp
x
k+1
=F(x
k
) với k ≥0
khi đó x
k
→x
∗
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng
tới x trong
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k ≥0
khi đó xk→x∗
Ta nói rằng
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
trên D nếu f liên tục trên D và liên
tục Lipschitz địa phương với trọng tới x trên D.
Định lý 2.4.2. Với hầu khắp các điểm t thuộc A,
ta có
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
Định lý 2.4.3. Xét bài toán Cauchy (1.1.2.
Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹
𝑛𝑛
. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹
𝑛𝑛
là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹
𝑛𝑛
. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹
𝑛𝑛
là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡
1
,𝑥𝑥
1
)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡
𝑜𝑜
−𝛼𝛼, 𝑡𝑡
𝑜𝑜
+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥
1
)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡
𝑜𝑜
−𝛼𝛼, 𝑡𝑡
𝑜𝑜
+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥
1
)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡
𝑜𝑜
−𝛼𝛼, 𝑡𝑡
𝑜𝑜
+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥
1
)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿
𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐
)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)=
lim
ϵ→0
d
ϵ
(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t
0
−a,t
0
+a] × [x
0
−b,x
0
+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x
1
)−f(t,x
2
)|≤K|x
1
−x
2
|, ∀(t,x
1
),(t,x
2
)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t
0
−h,t
0
+h]⊂[t
0
−a,t
0
+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
)=x
0
.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥
∗
∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥
∗
)=𝑥𝑥
∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x
∗
∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x
0
∈X, nếu ta có dãy lặp {x
k
} bởi hàm lặp
x
k+1
=F(x
k
) với k≥0
khi đó x
k
→x
∗
và f thỏa
mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại
K>0 sao cho
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|
,
∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển)
x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
và thỏa mãn điều
TẠP CHÍ KHOA HỌC QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - SỐ 24 QUÝ 1/2023 65
kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
.
Định nghĩa 2.4.4: Cho (X,d) là một không gian
ma trận, giả sử F:X→X. Ta nói rằng F là ánh xạ co
[trên X] nếu tồn tại hằng số c<1 sao cho:
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
Mỗi điểm
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
được gọi là điểm
bất động của F.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh
xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và
F:→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi
đó F có duy nhất một điểm bất động
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
. Hơn
nữa, đối với bất kỳ
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
, nếu ta có dãy lặp {x
k
} bởi
hàm lặp
với 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖) là hình cầu đóng bán kính 𝜖𝜖>0, tâm t trong ℝ.
Định nghĩa 2.4.2 Cho 𝐼𝐼⊂ℝ và Ω⊂𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ từ 𝐼𝐼×Ω vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đều
với trọng tới x nếu có hằng số 𝐿𝐿 (được gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:
(∀𝑡𝑡∈𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|.
Định nghĩa 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 là một tập mở trong 𝑅𝑅×𝐹𝐹𝑛𝑛. Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) là ánh xạ từ 𝐷𝐷 vào 𝐹𝐹𝑛𝑛 là liên tục
Lipschitz địa phương với trọng tới x nếu cho mỗi (𝑡𝑡1,𝑥𝑥1)∈𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼>0 ,𝑟𝑟>0 và 𝐿𝐿>0 mà
[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
⊂𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡 ∈[𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]) ∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
)
|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)−𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦)|≤𝐿𝐿|𝑥𝑥−𝑦𝑦|
(tức là, f là liên tục Lipschitz đều với trọng tới x trong [𝑡𝑡𝑜𝑜−𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑜𝑜+𝛼𝛼]×𝐵𝐵𝑟𝑟(𝑥𝑥1)
. Ta nói rằng 𝑓𝑓∈(𝐶𝐶,𝐿𝐿𝑙𝑙𝐿𝐿𝑙𝑙𝑜𝑜𝑐𝑐)
trên 𝐷𝐷 nếu 𝑓𝑓 liên tục trên 𝐷𝐷 và liên tục Lipschitz địa phương vớ trọng tớ x trên 𝐷𝐷.
Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t thuộc A, ta có d(t)= lim
ϵ→0dϵ(t) tồn tại và bằng 1.
Định lý 2.4.3 Xét bài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật đóng R=
[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trong R, tức tồn tại K > 0
sao cho |f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm (cổ điển) x=φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên
[t0−h,t0+h]⊂[t0−a,t0+a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0)=x0.
Định nghĩa 2.4 Cho (𝑋𝑋,𝑑𝑑) là một không gian ma trận , và giả sử 𝐹𝐹:𝑋𝑋→𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên
𝑋𝑋] nếu tồn tại hằng số 𝑐𝑐<1 sao cho
(∀𝑥𝑥,𝑦𝑦∈𝑋𝑋) 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
Mỗi điểm 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋 mà 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝑥𝑥∗
được gọi là điểm bất động của 𝐹𝐹.
Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co).
Gọi (X,d) là một không gian metric đầy đủ và F:X→X là một ánh xạ co (với hằng số co là c<1). Khi đó F có
duy nhất một điểm bất động x∗∈X. Hơn nữa, đối với bất kỳ x0∈X, nếu ta có dãy lặp {xk} bởi hàm lặp
xk+1=F(xk) với k≥0
khi đó xk→x∗
với k≥0 khi đó x
k
→ x
*
Chứng minh. Cố định
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥
0
∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥
𝑘𝑘
} bởi 𝑥𝑥
𝑘𝑘+1
=𝐹𝐹(𝑥𝑥
𝑘𝑘
) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥
𝑘𝑘+1
,𝑥𝑥
𝑘𝑘
)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥
𝑘𝑘
),𝐹𝐹(𝑥𝑥
𝑘𝑘−1
))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥
𝑘𝑘
,𝑥𝑥
𝑘𝑘−1
).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥
𝑘𝑘+1
,𝑥𝑥
𝑘𝑘
)≤𝑐𝑐
𝑘𝑘
𝑑𝑑(𝑥𝑥
1
,𝑥𝑥
0
)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥
𝑚𝑚
.𝑥𝑥
𝑛𝑛
)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥
𝑗𝑗+1
,𝑥𝑥
𝑗𝑗
)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛
≤(∑𝑐𝑐
𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛
)𝑑𝑑(𝑥𝑥
1
,𝑥𝑥
0
)
≤(∑𝑐𝑐
𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛
)𝑑𝑑(𝑥𝑥
1
,𝑥𝑥
0
)=
𝑐𝑐
𝑛𝑛
1−𝑐𝑐
𝑑𝑑(𝑥𝑥
1
,𝑥𝑥
0
).
Từ 𝑐𝑐
𝑛𝑛
→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥
𝑘𝑘
} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥
𝑘𝑘
→𝑥𝑥
∗
với một vài 𝑥𝑥
∗
∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥
∗
)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥
𝑘𝑘
)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥
𝑘𝑘
)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥
𝑘𝑘+1
=𝑥𝑥
∗
,
vì vậy 𝑥𝑥
∗
là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t
0
−a,t
0
+a] × [x
0
−b,x
0
+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x
1
)−f(t,x
2
)|≤K|x
1
−x
2
|, ∀(t,x
1
),(t,x
2
)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
Khi đó k≥1
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1 =𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] ×[x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được:
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1 =𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
Vì vậy cho n<m
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1 =𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] ×[x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
Từ c
n
→0 khi n→ ∞, {x
k
} là dãy Cauchy. Vì X là
đủ, x
k
→x
*
với một vài x
*
t ↦x= φ(t)
sao cho với mọi t∈(a,b) thì (t,x)∈G⊂ ℝ2 và thỏa mãn phương trình (1.1.1.)
Định nghĩa 2 . Hàm liên tục tuyệt đối φ(t) xác định trên khoảng mở I⊂ℝ thoả mãn
i.(t,φ(t))∈G, với t∈I
ii. φ′(t)=f(t,φ(t)) , với t∈I, ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp
nơi của (1.1.1).
Ví dụ. Cho phương trình x′=f(t,x)= {1, t≥0
−1, t<0
Hàm x(t) = |t| liên tục tuyệt đối trên ℝ thỏa mãn x′=f(t,x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu
khắp nơi của bài toán trên.
Hàm Carathéodory
Định nghĩa 2.3 Cho hàm 𝑓𝑓:𝐷𝐷 ⊂ℝ2→ℝ
(𝑡𝑡,𝑥𝑥)↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)
Hàm f được gọi là hàm Carathéodory nếu f thỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau đây
(C1) f(t,.) là hàm liên tục theo biến x với mỗi t cố định,
(C2) f(,.x) là đo được theo t với mỗi x cố định,
(C3) Tồn tại hàm m(t) khả tích Lebesgue thỏa|𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥)|≤𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x) ∈ D.
Định nghĩa 2.3.2 Cho 𝑀𝑀⊂ℝ,𝐹𝐹= {𝑓𝑓𝑖𝑖:𝑀𝑀→ℝ}𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là ọliên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀>0, tồn tại
𝛿𝛿>0 sao cho với mọi 𝑡𝑡,𝑡𝑡′∈𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡−𝑡𝑡′|<𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)−𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡′)|<𝜀𝜀 với mọi 𝑙𝑙∈𝐼𝐼
F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0 sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖(𝑡𝑡)|≤𝐾𝐾,∀𝑖𝑖∈𝐼𝐼,∀𝑡𝑡∈𝑀𝑀.
Định lý 2 ( Định lý Azella Ascoli)
Nếu dãy F={fn:[a.b]→ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn tại một dãy con hội tụ đều
trên [a,b].
ựtồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
Trong phần này, ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân để khẳng định
sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong bài toán Cauchy.
Cho μ là độ đo Lebesgue trên ℝ và A là tập đo được.
Định nghĩa 2.4 Mật độ của A trên một lân cận của điểm 𝑡𝑡∈ℝ được cho bởi công thức
𝑑𝑑𝜖𝜖(𝑡𝑡)=𝜇𝜇(𝐴𝐴∩𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝜖𝜖))
X. Vì F là ánh xạ co, rõ
ràng F là liên tục, vì vậy
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
vì vậy x
*
là một điểm bất động.
Nếu x và y là hai điểm bất động của F trong X, thì
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
Vậy (1- c) d (x,y) ≤ 0, và do đó d (x,y) = 0 và
x = y.
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh
xạ co cho ánh xạ F thường đòi hỏi hai bước:
Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và
một tập con đóng
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
Chỉ ra rằng F là một ánh xạ co trên S.
3. Kết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi
phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều
hằng số tuỳ ý nào đó. Để xác định một nghiệm
cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về ng-
hiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈
R=[t0−a,t0+a] ×[x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|, ∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
, tức tồn tại K > 0 sao cho
Chứng minh. Cố định 𝑥𝑥0∈𝑋𝑋 và lấy {𝑥𝑥𝑘𝑘} bởi 𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘) . Khi đó 𝑘𝑘≥1
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘),𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘−1))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑥𝑥𝑘𝑘−1).
Bằng phép quy nạp ta chứng minh được : 𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑘𝑘+1,𝑥𝑥𝑘𝑘)≤𝑐𝑐𝑘𝑘𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
Vì vậy cho 𝑛𝑛<𝑚𝑚
𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑚𝑚.𝑥𝑥𝑛𝑛)≤∑𝑑𝑑(𝑥𝑥𝑗𝑗+1,𝑥𝑥𝑗𝑗)
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 ≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
𝑚𝑚−1
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)
≤(∑𝑐𝑐𝑗𝑗
∞
𝑗𝑗=𝑛𝑛 )𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0)=𝑐𝑐𝑛𝑛
1−𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥1,𝑥𝑥0).
Từ 𝑐𝑐𝑛𝑛→0 khi 𝑛𝑛→∞, {𝑥𝑥𝑘𝑘} là dãy Cauchy. Vì 𝑋𝑋 là đủ, 𝑥𝑥𝑘𝑘→𝑥𝑥∗ với một vài 𝑥𝑥∗∈𝑋𝑋. Vì F là ánh xạ co, rõ ràng F
là liên tục, vì vậy 𝐹𝐹(𝑥𝑥∗)=𝐹𝐹(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝐹𝐹(𝑥𝑥𝑘𝑘)=𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+1=𝑥𝑥∗,
vì vậy 𝑥𝑥∗ là một điểm bất động.
Nếu 𝑥𝑥 và 𝑦𝑦 là hai điểm bất động của 𝐹𝐹 trong 𝑋𝑋, thì
𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥),𝐹𝐹(𝑦𝑦))≤𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦),
Vậy (1−𝑐𝑐)𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)≤0, và do đó 𝑑𝑑(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=0 𝑣𝑣à 𝑥𝑥=𝑦𝑦 .
Vì vậy, F có duy nhất một điểm bất động.
Chú ý: Áp dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước:
(1) Xây dựng một không gian metric X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆⊂𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆)⊂𝑆𝑆.
(2) Chỉ ra rằng 𝐹𝐹 là một ánh xạ co trên 𝑆𝑆.
ết luận
Như vậy, nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào đó. Để
xác định một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện về nghiệm.. Trong bài báo, tác giả đưa ra thêm điểu
kiện lớp hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz với x ∈ R=[t0−a,t0+a] × [x0−b,x0+b] (a,b>0) , tức tồn
tại K > 0 sao cho
|f(t,x1)−f(t,x2)|≤K|x1−x2|
,
∀(t,x1),(t,x2)∈R
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy nhất nghiệm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Đình Châu, Phương trình vi phân, Nhà xuất bản ĐHQGHN, 2000.
[2] M. Bianchi, R. Pini, Sensitivity for parametric vector equilibria, Optimization, 2006.
thì bài toán Cauchy đảm bảo tính tồn tại và tính duy
nhất nghiệm.
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Đình Châu (2000), Phương trình vi
phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nộ.
2. M. Bianchi, R. Pini (2006), Sensitivity for
parametric vector equilibria, Optimization.
3. E. Blum, W. Oettli (1994), From optimiza-
tion and variational inequalities to equilibrium
problems, Math. Student.
4. Harvey Goldstein (2010), Multilevel Sta-
tistical Models, London: Institute of Education,
Multilevel Models, Project, Publisher Wiley,4th
edition.
5. Lê Quang Thủy 9 (2011), Các phương pháp
tối ưu vecto và ứng dụng, Luận án tiến si toán
học, Thư viện Quốc gia Việt Nam.
6. Muu L. D and Nguyen V. Q., A Global Op-
timization method for solving convex quadratic
bilevel programming problem., J. of Global opti-
mization 26 (2003) (199-299).
7. Le. D. Muu, V. H. Nguyen, N. V. Quy, On
Nash – Cournot Oligoplistic Market Equilibrium
Models with Concave Cost funtions, J. of Global
Optimization 41(2007) 351 - 264
8. Nguyen Van Hien, An Introdution to Varia-
tional Inequality and Related Problems.
9. V. H. Nguyen (2003), Variatinal Inequali-
ties Elementary and Beyond, Fundp Namur – Bel-
gium.
10. H.B. Beson (1981), Complete efficiency
and the initialization of algorithms for multiple
objective programming.
KHOA HỌC CÔNG NGHỆ