zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

5
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy trình bày các nội dung: Hàm liên tục tuyệt đối và một số tính chất liên quan; Nghiệm của phương trình vi phân cấp 1; Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

ra vấn đề tồn tại và duy nhất nghiệm. Bài toán được phát biểu như sau : Tìm nghiệm của phương trình 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)(1) và thỏa mãn điều kiện đầu cho trước 𝑥𝑥(𝑡𝑡0 ) = 𝑥𝑥0 (2) Năm 1885, Peano đưa ra kết quả đầuTẠI về sự tồn tại nghiệm địa phương của bài TOÁN CAUCHYlà hàm liên SỰ TỒN tiên VÀ DUY NHẤT NGHIỆM CỦA BÀI toán Cauchy khi f KHOA HỌC CÔNG NGHỆ tục. Năm 1918, Carathéodory giảm nhẹ điều kiện liên tục SOLUTION OF ra sự tồn tại nghiệm địa phương hầu EXISTENCE AND UNIQUE của bài toán, chỉ CAUCHY'S PROBLEM khắp nơi của bài toán trên. Vào năm 1968, G.S Goodman đã cải thiện kết quả của Carathéodory bằng cách chỉPhượng Thạc sĩ: Phạm Kim SỰ TỒNnghiệm lớn nhất.DUYbài báo này, tác giả nghiên cứu chỉKhoa Cơ sở-Cơ bản, Đại Học Hàng Hải Việt Nam ra tồn tại TẠI VÀ Trong NHẤT NGHIỆM toán, ra BÀI tại và duy nhất nghiệm của bài Bộ môn CỦA sự tồn TOÁN CAUCHY toán Cauchy trên khi lớp hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Email: phamkimphuong@vimaru.edu.vn Từ khóa : Không gian Banach, định lý Picard, định lý Lebesgue, điều kiện Lipschitz. Phạm Kim Phượng* Tel:09839833998 Abstract Tóm tắt 2. Nội dung nghiên cứu 2. Nội dung nghiên cứu ABSTRACT thors, indicating theđề tồn tại and uniqueness of solutions. The problembiểu như saufollows: FindFindsolution oftrình 𝑥𝑥 = In the theory of first-order liên tục tuyệt đối cấpmột số tính problem là bàiproblem of rất nhiều tác giả many tâm, chỉ Trong lý thuyết phương trình vi equations,một, bài toán Cauchy is a toán được great interest to quan 2.1 Hàm differential phân và Cauchy problem is a problem of great interest to many au- the Cauchy ′ In the theory of first-order differential equations,số tính chất liênchất liên quan Cho hàm 𝐹𝐹: [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] → ℝ. Hàm F được gọi là liên tục tuyệt đối trên đoạn [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖 > 0 cho trư 2.1 Hàm liên tục tuyệt đối và một the quan the equation xCho𝑥𝑥)(1)and 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑏𝑏]mãn điều Nội the given trước 𝑥𝑥(𝑡𝑡0 ) tuyệt0đối 0 ). = đoạn [𝑎𝑎, 1885, gave the firstthe cho trước đều 𝑓𝑓(𝑡𝑡, hàm và satisfy and satisfyFdung cho initial tục = 𝑥𝑥 (2) In 𝑥𝑥0. In 𝑏𝑏] nếu với mọi 𝜖𝜖 0 first of the equation 𝑥𝑥 ′ = [𝑎𝑎, 𝑥𝑥)→ ℝ.given initial condition condition 𝑥𝑥(𝑡𝑡 trên 1885, Peano Peano gave>result =f(t,x) 𝐹𝐹: thỏa the Hàm được gọi làcứu authors, ra vấn existence và duyand uniquenessBàisolutions. The problem is stated: as follows: the the solution indicating the existence nhất nghiệm. of toán được phát is stated as Tìm nghiệm của phương of the experimental local existence of the Hàmđầuproblem whentại, nghiệm2địa ),… (𝑎𝑎continuous function. In 1918,hàm liên result ofNăm experimental đưa ra existenceliên tiêntuyệt đối và 1 𝑏𝑏1 ), (𝑎𝑎 , 𝑏𝑏2 f isliên quan)In 1918, Cauchy khi f là the 1885, Peano > 0 sao cho với of tục về sự tồn(𝑎𝑎 một continuous function. bài toán Carathéodory tồn tại 𝛿𝛿 local 2.1 Cauchy the Cauchy problem when phương ,của rời nhau kết quả mọi hệ khoảng f is a số tính chất a 𝑛𝑛 𝑏𝑏 𝑛𝑛 1 2. kiện đầu nghiên liên tồn tạicontinuity conditionmọithe problem, pointing out𝑏𝑏2 ),… (𝑎𝑎 𝑛𝑛 , 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ) rời nhaueverywhere local solu- 𝛿𝛿 > 0 sao cho với of hệ khoảng (𝑎𝑎1 , 𝑏𝑏1 ), (𝑎𝑎2 , the existence of almost tionsCarathéodoryNăm 1918, Carathéodory giảm nhẹ𝑏𝑏] → ℝ. Hàm thetục𝑛𝑛của bàiliên tụcchỉ outđối tồnthatnghiệm địa phương hầu0 c to the above problem. In 1968, G.S.continuity condition Carathéoodory’s 𝑛𝑛result by showingexistence of nếu với mọi 𝜖𝜖 > tục. slightly reduced the hàm 𝐹𝐹: [𝑎𝑎, điều kiện liên được gọi là pointing ra sự trêntại [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] almost 𝑛𝑛 slightly reduced the maximum solution. In của paper, the author shows1968, 𝑎𝑎G.S 0)(∃δ > 0)(∀Ε ⊂ A) [μ(Ε) < ⇒ ∫|f|dμ < ε] Trong đó: 𝑓𝑓: 𝐺𝐺 ⊂ ℝ2 → ℝ E (1.1.1) E Trong đó: Đối với phương that there2.1.2 Hàm F xácthường [a, b] có paper, the author shows the existence and unique solution showing trình vi phân, người ta solution. In this Định lý exists a maximum định trên thể viết dưới dạng. quanĐối với phươngtoán Cauchy problemban đầu quan tâmfunction lý 2.1.2:điều Lipschitz định trên [a, b] có thể tâm đến the above với điềungười ta thường chocóof đến bài f satisfies the kiện xác đầu cho trước. Trong bài of bài lý 2.1.2 Hàm F xác định trên [a,class thể viết dưới dạng. Hàm F ban condition. Định trình vi phân, kiện when the b] Định toán với t trước. TrongKeywords: Banach space, Picard2.1.2 Hàm Lebesgue theorem, Lipschitz condition. bài báo này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại F xác định trêndạng có thể viết dưới dạng. Định lý theorem, viết dưới [a, b] F(t) = F(a) ∫ f(s)ds, t ϵ [a, b], t báo này, chúng ta tìm hiểu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát biểu như sau: F(t) = F(a) ∫ f(s)ds, t ϵ [a, b], t và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được phát 1. Đặt vấn đề biểu Tìm nghiệm của phương trình như sau: Tìm nghiệm của trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trìnhF(a) ∫ f(s)ds, t ϵ [a, b],diễn mối quan hệ giữa F(t) = a 𝑥𝑥 ′ = 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) a { Phương phương trình: toán học nhằm biểu 𝑥𝑥(𝑡𝑡) =một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến)liên đạo tuyệtcủa nó (có[a,b]. 𝑥𝑥0 Với f là hàm khả tích atrên [a, b] khi và chỉ khi F với tục hàm đối bậc khác nhau). Phương trình vi phân cấp Với f là hàm khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi F liên tụctrên đối trên [a,b]. tuyệt 2. Nội dung nghiênđối lý 2.1.3trên [a, b] hàmtínhchỉ khi F [a, khắplývà chỉđối (Địnhtục tuyệt đối trên [a,b]. khắp Với f là hàm khả tích khi và Định 2.1.3. trên [a,b].về tính khả vi hầu liên tục tuyệt 1 giải được cứu đạo hàm là là về khả khả có hầu b] khinơi) khi F liên Định với Với f phương trình vi dạng lý liên quan tính chấtlà Cho f là hàm khả tích Lebesgue 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)đó tíchfphân bấtphântích Lebesgue trên [a,b]. Khi đó 𝑥𝑥 = trên (Định lý tích trên nơi) Định lý 2.1.3′ (Định lý [a,b]. Khi là hàmkhắp nơi) định. ghiên cứu 2.1. Hàm Định tục2.1.3 (Địnhvà một số khả vichất khắp nơi) liên lý tuyệt đối lý về tính tính hầu về tính khảđó hầu khả bất Cho vi tích Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên [a,b]. Khitđó tích phân bất định. (1.1.1) tục được đối trên đó: 𝑓𝑓: [a,b]ℝnếu ℝ với ϵ>0 nếu 𝐺𝐺 ⊂ 2 → ục tuyệtsố tính chất liên quan f liên quan tích Lebesgue trên [a,b]. Khi và một đối và một số Cho hàm khả định. m F đượcHàmlà liên tục tuyệt liên trên tuyệt [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] vớiđoạn mọi 𝑏𝑏]cho cho mọi 𝜖𝜖đều∫ f(s)= ∫ f(s) F(t) 𝑏𝑏] → ℝ. gọi F tuyệt gọi là đốiđoạn đoạn đối trên mọi [𝑎𝑎, 𝜖𝜖 > 0 với trước = 0 cho trước đều F(t) > t tích phân bất định. t Cho hàm F:[a,b]→R. Hàm F được gọi là liên a F(t) = ∫ f(s) Trong tục nếu ọi cho với mọi hệ 𝑏𝑏1 ), (𝑎𝑎2 , (𝑎𝑎),…1(𝑎𝑎(𝑎𝑎2 ,𝑛𝑛vi2rờinhau 𝑛𝑛 , nơi trên nhau và F’(t) = f(t), với hầu khắp t ϵ[a. b] a o hệ khoảng (𝑎𝑎1 , khoảng 𝑏𝑏2 1 , 𝑏𝑏 ), khả ) rời nhau. 𝑏𝑏 𝑛𝑛 ) rời [a,b] ),… (𝑎𝑎 𝑛𝑛 , 𝑏𝑏 𝑏𝑏 hầu khắp a trước đều tồn tại δ>0 sao cho với mọi hệ khoảng khả vi hầu khắp nơi trênkhả vi và F’(t) =nơi trên [a,b] và F’(t)t=ϵ[a.nơi trên khắp t và F’(t) = f(t), với hầu f(t), với hầu hầu khắp b] Cauchy đượcb] [a,b] ϵ[a. Đối với phương trình vi phân, người ta thường quan tâm đến bài toán với điều kiện ban đầu cho trước. Trong bài 𝑛𝑛 𝑛𝑛 [a,b] hầu khả vi khắp f(t), với 𝑛𝑛 𝑛𝑛 báo này, chúng ta ta cóhiểu nhận xétkhắp duy nhất nghiệm của bài toánhầu ∑(𝑏𝑏 𝑖𝑖 − ∑|𝐹𝐹(𝑏𝑏𝛿𝛿) ⇒ 𝐹𝐹(𝑎𝑎 𝑖𝑖|𝐹𝐹(𝑏𝑏tuyệttục 𝑖𝑖thì < liên tục tuyệtKhi thìthông thường) thường) thường) của )| < ) − • )| ∑(𝑏𝑏 𝑖𝑖 − 𝑎𝑎1 ) < 𝛿𝛿 ⇒Tìm)nghiệm− • phương𝜖𝜖trình tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa các nhận xét sau: phát biểu như sau: 𝑎𝑎1 < 𝑖𝑖 Hàm ∑ Hàm 𝑖𝑖liên 𝐹𝐹(𝑎𝑎 Hàm 𝜖𝜖 tục (theo nghĩa liên tục (theo nghĩa thông Khi đó, tìm các sự tồn tạisau : và khắp t:ϵ[a.b] Khi đó, ta có các nhận xét sau : ta có các nhận xét sau Khi đó, đó, ta có thông 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 • 𝑖𝑖=1 Tích phân bất định của một định của khả tích là liên tục tuyệt đối. 𝑥𝑥 ′ • 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)phân bất định • Tích hàm số khả tích là liên tục tuyệttích là liên tục tuyệt đối. = Tích • liên tục đối liên đối { Hàm liên tục tuyệt đối thì liên tục (theo nghĩa 𝑥𝑥(𝑡𝑡) = 𝑥𝑥0 • mở nếu nó•của đối trên của hai hàm đốitục tuyệt liênlà I. liên tục hàm số một hàm của một phân bất thông thường) số khả đối. ên tục tuyệt đối trênquan niệm một hàmliênliên tuyệt đối trên mọi đoạn con của I. Ta khoảng mở I nếu nó F Tổng, tuyệt hai hàm liên tục tục iả sử 𝜇𝜇 là một*Trường Đại học Hàng2. ChúngNam của 2 số định trìnhphương đến hàmphân cấp 1 độ đo Lebesgue trên ℝ. 2 Việt ta có một Nghiệmlý liên quan trình vi một hàm F liên tục tuyệt đối trên khoảng hiệuIcủa hiệuhàmTổng,tục tuyệttục tuyệtliênđoạntục tuyệttục tuyệt đối.tuyệt đối. trên hàm là hàm của hàm hai liênliên tuyệt đốiđối là mọi liên conđối đối. tục hiệu , chúng ta giả sử 𝜇𝜇 là một độ 2. 2đo Lebesgue trên ℝ. Chúng ta có một số 1 • Tổng, hải Nghiệm Đối với phươngĐối với phươngcấp mộtphân cấp′ một dạng xvớiNGHỆ ⊂ SỐ2: → ⊂ ℝ2 1/2023thường thườngtâm đ trình vi phân trình vi QUẢNxLÝ VÀ CÔNG f(t,G -với f 24 ℝ, người tangười ta quan quan TẠP CHÍ KHOA HỌC dạng = f(t, x) ′ = f : x) ℝ G QUÝ → ℝ, 2. phương của vi phân cấp 1 Đối với phương trình vi phân cấp một dạng x ′ = f(t, x) với f : G ⊂ ℝ2 → ℝ, người ta thường quan tâm đến hai Nghiệm của phương trình vi phân cấp định lý liên quan đến hàm 63 ối sau đây. loại nghiệm sauloại nghiệm sau đây. đây. tuyệt đối của tích phân) loại nghiệm sau đây.
t Định nghĩa 2.3.2. Cho 𝑀𝑀 ⊂ ℝ, 𝐹𝐹 = {𝑓𝑓𝑖𝑖 : 𝑀𝑀 → ℝ} 𝑖𝑖∈ 𝐼𝐼 được gọi là họ liên tục đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀 > 0, tồn 𝛿𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ∈ 𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡 − 𝑡𝑡′| < 𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡) − 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡′ t i. (t, φ(t)) ∈ G, với t = I f(s) F(t) ∈ ∫ F(t) = ∫ f(s) 𝛿𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ∈ 𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡 − 𝑡𝑡′| < 𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡) − 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡′)| < 𝜀𝜀 với mọi 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 a a F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0. sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡)| ≤ 𝐾𝐾, ∀ 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 ii. φt (t) f(t), với hầu khắp ttϵ[a.I, NGHỆ f(t, φ(t)) , với ∈ b] và F’(t)↦ = KHOA HỌC t ϵ[a. b] ngoại trừ tập có độ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp F gọi là bị chặn đều nếu tồn tại K > 0. sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡)| ≤ 𝐾𝐾, ∀ 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼, ∀ 𝑡𝑡 ∈ 𝑀𝑀. = x = φ(t) khắp CÔNG ′ ℝ(1.1.1). mãn phương trình (1.1.1.) và F’(t) = f(t), với hầu 2 1, t≥0 Định lý 2.3.1( Định lý Azella – Ascoli) Nếu dãy F = {fn : [a. b] → ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đ t) xác định trình x ′khoảng mở I ⊂ ℝ thoả mãn Cho phương trênTích = f(t, x) =định lý 2.3.1( Định lý Azella tích là { u : và thỏa phân bất Định của tmột hàm số khả – Ascoli) −1, khoảng mở ⊂ 𝜖𝜖) thoả > 0, 𝑑𝑑 (𝑡𝑡)với 𝐵𝐵(𝑡𝑡, ℝ. 2 t định trên khoảng Hàm liên tục mãn đối φ(t) xácvà sao φ(t) liên 𝑥𝑥) khoảng mọi = 𝐵𝐵(𝑡𝑡, I ℝ 2.2.2. → là hình cầu gọi là họ kính 𝜖𝜖 đồng bậc nếu Ivới mọi 𝜀𝜀 mãn đóng mãn phương trình (1.1.1.) 0, hỏa 2.2.2.các thỏa mãn trên= đốitrình Hàm định tục mãnxác định I ⊂ ℝ thoả mãnkhoảngthoả Imãn thoả mãn kiện tuyệt { φ(t) ≥ t 𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡, 𝜖𝜖)) phương Định điều mãn phương 2.2.2. (1.1.1.) đối φ(t) đối mở trên khoảng mở I ⊂ ℝ𝐵𝐵(𝑡𝑡, ⊂ ℝ ghĩa 2.3.2. Cho 𝑀𝑀 ⊂ ℝ, 𝐹𝐹 với 1,𝑖𝑖 𝑀𝑀t(1.1.1.) xác nghĩa mãn ∈ G ⊂ ℝtrình thỏa định nghĩa 2.2.2.mở I ⊂0ℝ thoả tuyệt đối φ(t) xác định trên với với 𝜖𝜖)với 𝜖𝜖)cầu đóng bánbánđóngđóng kínhℝ. > trong0, ttâm t trong uyệtmãnφ(t) nghĩaf(t, phươngtrìnhtụcsau liên trêntuyệt với 𝐵𝐵(𝑡𝑡, 𝜖𝜖) ,là hình cầu𝜖𝜖) là hình cầu0, bánt trongtâm t 0,> ℝ. trong ℝ. φ(t) 𝜀𝜀 với với B ∈ 𝐼𝐼𝐵𝐵(𝑡𝑡 đóng 𝐵𝐵(𝑡𝑡, kính 𝜖𝜖 kính0, > tâm> bán kính 𝜖𝜖 0, 𝜖𝜖 > 𝜖𝜖 tâm hĩa đối 2 Hàm ′liên tục x) Hàm liên xác0 đây và xác=Định nghĩa −1, Hàm liên tục là hình là hình cầu kính 𝜖𝜖t trong 0, x 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ∈ cho với mọi Định 𝑀𝑀 mà G, − 𝑡𝑡′| < I𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡) − 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡′)| < 𝐵𝐵(𝑡𝑡, 𝜖𝜖) là hình cầu là hình cầu đóng bán kính ϵ >ℝ. tâm t tuyệt t< ao I i. (t, φ(t)) ∈ với t ∈ 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ′ ∈ |𝑡𝑡 mọi 𝑖𝑖 (t,ϵ) 2.2.2. khoảng Carathéodory tuyệt khoảng xác với φ(t)) Cho 𝐼𝐼 ∈ đóng 𝑖𝑖 ∈ kính {0}.Định nghĩa 2.4.2. Cho 𝐼𝐼 ⊂ ℝ và Ω ⊂ 𝐹𝐹 . Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh x mở ệt đối φ(t) t cố định trên khoảngmở I ⊂ ℝ thoả tmãn tâm x với mỗi xác định, khoảng 𝐵𝐵(𝑡𝑡, 𝜖𝜖)∈ G, với cầu I i. (t, mở đóng 𝑛𝑛 bị chặn tục tuyệtĐịnh nghĩa 2.4.2. là x ′ = f(t,ℝ 𝐾𝐾, ∀Ω ⊂ ∀ 𝑡𝑡tập> 0, trong trong ℝ. |t| là xạ từ 𝐼𝐼 hầu vào 𝐹𝐹 𝑛𝑛 là liên tục Lipschitz đ t ↦ x = φ(t)t tại IK > 0. sao cho. hình ⊂ ≤ và bán 𝐼𝐼, 𝐹𝐹 𝑛𝑛 .𝜖𝜖 Ta nói rằng x(t) = ánh nghiệm × Ω đều nếu tồn trên ℝ thỏa mãn |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡)| x) ngoại trừ ∈ 𝑀𝑀. tâm tđó 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) với bán i. (t, φ(t)) ∈ G, i. đốiφ(t)) i. (t, φ(t)) ∈ I với t ∈ I iIx cố định, với ∈ (t, ∈ G, với t G, Định nghĩa Định nghĩa 𝐼𝐼 2.4.2.và𝐼𝐼 Ω ⊂𝐼𝐼 ⊂𝑛𝑛 ℝTa nói ⊂ Ta𝑛𝑛 .𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ𝑛𝑛𝑓𝑓(𝑡𝑡,x)× Định nghĩa 2.4.2. Cho Cho ℝ 𝐹𝐹 . Ωvà Ω rằng nói rằng rằng từ 𝐼𝐼 𝑛𝑛á 2.4.2. nghĩa 2.4.2. ⊂ 𝑛𝑛 và ⊂ 𝐹𝐹 . 𝐹𝐹 Ta nói 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ |t| liên Định Cho ⊂ ℝ𝑛𝑛 định trên thoả mãn 𝑛𝑛 ìnhngoạiđóngtập có độ≤ có 0, (1.1.1.),, vớix)vớiD. ngoại gọi làcầu đóngLebesgueℝ >x Ωtâmℝ và gọi nóinghiệm hầu,x)là hằng từ×Lipschitz) sao l ,I, cầu∈ trừ|𝑓𝑓(𝑡𝑡, ii. φ′ (t) Lebesguemọi (t, tđượcI, được trừ tập 2.4.2. rằngkhắp 𝜖𝜖 ánh nếu⊂có I×Ω vàoTa (được gọi khắpxạ từ số Ω × Ω𝐹𝐹 vào 𝐹𝐹 tục với t thỏa ngoạiAzella > độ đo Lebesgue tbằng𝐵𝐵(𝑡𝑡, Địnhhìnhcó độ khắpbánnghĩa 2.4.2. Cho 𝐼𝐼⊂ 𝐹𝐹 trong là . 𝐿𝐿 nói rằng 𝑓𝑓( 𝑡𝑡 tục Lipschitz vào là liên I, lý trừ tập 𝑚𝑚(𝑡𝑡), với bằng 0, ∈ I, ngoại trừ tập hầu đo Định trọng tới 0,0, được. Ω ⊂ 𝐹𝐹 rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ 𝐼𝐼 𝐼𝐼Cho 𝐼𝐼 ⊂ R. ℝ2 bài thỏa mãn phương– Ascoli) t trong ℝ. a2.3.1( Định bán kính 𝜖𝜖 trình tâm đo = f(t, φ(t)) gọi 𝜖𝜖) là 0, là nghiệm nghiệm hầu kính bằng xạ từt hằng ℝ. Fn là liên ánh t) ∈ I, ngoại trừ tập có độ đoI φxℝ thoả mãn số 𝐿𝐿 (được gọi là Do với trọng ii. ⊂(t) = f(t, φ(t)) với t gọi ngoại trừ tập cókhắp Lipschitz) sao hằng số 𝐿𝐿 𝑛𝑛 𝑥𝑥)| ∈ ới txác định trên khoảngnghĩaLebesgue bằng 0,, được ∈⊂ là𝑛𝑛 nghiệm hầuvới trọngánh xtới xsố × Ω vào gọi là𝐿𝐿hằngtụcgọi là hằngđềuLipschitz)c I, Ta nói y F = {fn : [a. b]đo Lebesgue 2.4.2. đồng 𝐼𝐼 ⊂ ℝ và là nghiệm với trọng tới x tồntrọng tớidãynếu có hằng số L số Lipschitzlà độ φ(t) n∈ℕ ∈ bằng Cho t ∈ và bịΩ Lebesguenói rằng được sốtại xạnếu có hầu hằngtụ liên khắp gọi Lipschitz) sao 𝐹𝐹 . Ta đều với trọnghằng nếu (được 𝐹𝐹 số (đượclà Lipschitz) số cho: 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) tới một x 𝐿𝐿 có hội (được gọi hằng số sao với có từ 𝐼𝐼 ′ và toán trên. nghĩa với f(t,x) và Ta số ii.tφ′ (t)ngoại trừ →nơi(t)độ(1.1.1).tục=, trừbằng𝐵𝐵(𝑡𝑡,được hìnhlà nghiệmđo 0,kính 𝜖𝜖 đo 0,𝐿𝐿tâm0, trong conkhắp số Lipschitz) sao cho: khắp t = hàm(1.1.1).với tii. φ′ngoại f(t,với có ,độ đo trừI, ngoại độnếu Lebesgue bằng t được ℝ. hằng nơi của=ii. φ′,có = đoI,φ(t)) 0, được I, ngoại gọi tập cóhầu [a,b]có độ gọiLebesgue bằng 0, được đều hầu (được hầu ↦f(t, φ(t)) của f(t,Lebesgue tập 0, vớivới trọng tới bằng cókhắp > là (được gọi là là nghiệm là nghiệm → ℝ} 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 được gọi là họ liên tục đồng bậc nếu2.4.2. Cho >⊂ ℝ và tại⊂ 𝐹𝐹 𝑛𝑛 . số Lipschitz)số 𝐿𝐿 (được gọixạhằng số × ∈ Ω) sao cho: liên tục Lipschitz (t) vớiφ(t)) 𝜖𝜖) là ∈ cầu đóng tập trọng tới x nếu có hằng (∀𝑡𝑡 ∈ là gọi𝑦𝑦 Ω vào 𝐹𝐹 𝑛𝑛 là |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) − ℝ} ới ∈ Cho 2.3.1 I, t ánh 𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥, Lipschitz) esgue tới nếu có hằng cóhằngđộ đo Lebesgue bằng 0, được gọi là nghiệm hầu khắp số cho: x b].⊂ và và ≥1, 𝐹𝐹 t . nơi nói rằng x nếu có hằng từ 2𝐼𝐼 → Ωtvào0 𝐹𝐹là là liên tục Lipschitz |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) sao𝑓𝑓(𝑡𝑡,∈ 𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥,𝐿𝐿|𝑥𝑥 − 𝑦𝑦|. 𝐼𝐼 2 ℝ thỏa 0 𝑛𝑛 phương (1.1.1). Định 𝐷𝐷 (∀𝑡𝑡 với mọi gọi 𝑛𝑛0, ≥ Ω hằng Ta nói rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x)cho:𝑦𝑦)| từ 𝐼𝐼 𝑦𝑦 ∈ 𝑦𝑦 (1.1.1).=nơi của (1.1.1).của trình 𝑓𝑓(𝑡𝑡,x) ánh xạ số ∈ × ℝ ≥ 1, ∈ tΩ)0 số Lipschitz) sao cho: ∈ − (∀𝑡𝑡 (∀𝑡𝑡 ∈ 𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥, Ω)∈ Ω) |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) − 𝑥𝑥 ⊂ ℝ 𝐿𝐿 (được 𝑦𝑦 1, 𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥, ≤ arathéodory Định mở liên 𝜀𝜀 𝐼𝐼 ℝ 1, t Ω⊂ mãn ≥ 0 trọng tới (1.1.1.) |𝑓𝑓(𝑡𝑡,|𝑓𝑓(𝑡𝑡, ≤ bậc gọi chặn đều trên nếu (∀𝑡𝑡 𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ Ω) 𝑦𝑦)| x bán thì f(t,I, ngoại dụ. Chonơi dụ. Cho phương trình:x↦ đượcx) = { ∈ 𝛿𝛿x) |𝑓𝑓 trừ tập (𝑡𝑡′)|Cho Lebesgue trình𝐼𝐼 0,= 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) { t 0 Ví hằng { nghiệm gọi t< −1, Ví𝑖𝑖−1,≥Ví< độ đo trình x =(𝑡𝑡,∈ x)mãn{−1,gọitlà−1, t < 0 𝑛𝑛 (∀𝑡𝑡 ∈ 𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ Ω) phương(1.1.1). ′ f(t, ′= f(t, 𝑓𝑓: |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦)| ≤ 𝐿𝐿|𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| tập trừ hầu φ(t) tại 1, < 0 trên 𝑖𝑖có 0 < mởcủa bài toán Cauchy có tồn |𝑓𝑓(𝑡𝑡, khẳng ℝ= trênmãnt x𝑦𝑦x(t)Ω)Hàmngoạix)|t| |𝑓𝑓(𝑡𝑡,tục trên𝑓𝑓(𝑡𝑡, thỏatập 𝐿𝐿|𝑥𝑥xtới𝑦𝑦|.mãn = 𝐹𝐹ĐịnhĐịnh nghĩaphươngx(t)mở tồnlà tại là𝛼𝛼tậpnếu 𝑟𝑟cho)0,mỗi xạ𝐿𝐿từ (𝑡𝑡 x) liên |t| liên Gọi tập {0}. trên R làtrong x nghiệmLipschitz 𝑓𝑓(𝑡𝑡, phương= x(t) 𝑅𝑅 nếu. cho rằng cho và ∈ 𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥, ≥ 0 Lipschitztục tuyệt {0}. − là đối Do= |t| thỏa LipschitzLipschitz địa(𝑡𝑡phươnglàvới D x từnghiệm nếu hầu tục (𝑡𝑡1 0 nghĩatập {0}. 𝐷𝐷 {0}. 𝐷𝐷 trọng 𝐹𝐹 xnói 𝑛𝑛 > x(t) bài liên trừ Do đó x(t) mãn − = |t| là f(t, x) nói địa Do 𝑥𝑥) tập đó |t| một nghiệm trong ánh nói ′ mãn x f(t, ngoại Cauchy. 𝑥𝑥) 𝐷𝐷 đối trọng ′ mãn x) Lipschitz trừ với ) với với |t| 𝑛𝑛 tới mở liên 𝑥𝑥 x nếu . địa phương , 1 trọng 𝑓𝑓(𝑡𝑡,cho mỗi 𝑦𝑦|. x n là Ta ) f(t,.) là hàm nghiệm theo biến toán mỗi t cố định, mở ại { 𝐷𝐷 𝐷𝐷 1 1 là xạ 1) t ℝ thỏa t < liên = f(t, x) ngoại xphương rên ≥ 0 mãn0x ′ tục −1, với {0}. Do (∀𝑡𝑡 |t| một tập Ω) n trừ tập nghĩa 2.4.3.x(t) = ∈ làlà nghiệm hầu.với nói rằng Ta𝑥𝑥) −là ánh 𝑓𝑓(𝑡𝑡, từ D−ánh𝑥𝑥F) ∈ liên 1 tại là liên Định được. đó Lipschitz𝐼𝐼)(∀𝑥𝑥, phương trong trọng𝐹𝐹|𝑓𝑓(𝑡𝑡, xnói rằng𝑦𝑦)| ≤ 𝑥𝑥) là(𝑡𝑡1 , 1 là 𝐷𝐷𝐷𝐷 tồn 𝐹𝐹 𝑛𝑛 𝛼𝛼 > Gọi 𝐷𝐷 địa 𝑦𝑦 ∈ R×F Ta 𝑅𝑅 × 1𝑛𝑛tới xạ 𝐿𝐿|𝑥𝑥 vào xạ từ 1 vào trọng tới ồng một tập mãn của= f(t,× 𝐹𝐹ngoại trừ tậptuyệt Do trênnghiệm tập𝐷𝐷{0}. tụchầu x(t) {0}. × ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = trọng 2.4.3. ,) f(,.x) thỏa bị chặn|t|ngoạicủatuyệt {0}. Do đóđối dãy|t| là′trừ f(t, x)xngoại − 𝛼𝛼, ngoại 𝛼𝛼]là tập {0}.) hầuđó x(t) = |t|[𝑡𝑡 nghiệm hầu [𝑡𝑡 trừ 2)= t|t| liênđocó độHàm x(t)tụcmỗi x mãntrên= f(t, đóngoại= hộihầuđều =𝐹𝐹𝑜𝑜𝑛𝑛Lipschitz|t| Do ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Do|t| và nghiệmnếu− 𝛼𝛼, 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑜𝑜 + 𝛼𝛼])∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ (∀𝑡𝑡 ∈ là vào ngoạibậc vàtục tuyệttheo𝑅𝑅ttrênℝ|t| liên tục x{0}.mộtx)là x(t)xthỏatừtụnghiệmf(t, x)địa𝑡𝑡 𝑜𝑜= ) địa×nghiệm với 𝐷𝐷 vàchotới ∈ (𝑡𝑡hầucho mỗitại 𝛼𝛼]) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅∈ 𝐷𝐷 là ℝ làtập mở trong liênx)=địaTa thì tồnđược thỏa mãn x =nếu −khắp 𝑜𝑜 − 𝛼𝛼,tập𝑜𝑜phương +phương)(∀𝑡𝑡 )>là 𝐷𝐷 và (∀𝑡𝑡𝑡𝑡1 ,𝑜𝑜∈−∈ > 0𝑜𝑜 +𝑡𝑡 ∈ > ∀𝑥𝑥, > )) trên < Hàm nơi x ′ đo Lebesgue bằng rằng 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) tới xạ mãn vàoLipschitz(𝑡𝑡 ,𝑡𝑡 𝑥𝑥 tục𝛼𝛼] 𝐷𝐷 đó x(t) ⊂𝛼𝛼 𝐷𝐷 0 (∀𝑡𝑡>x [𝑡𝑡 𝑜𝑜 ) 𝐿𝐿 𝐷𝐷 tồn 𝑛𝑛 𝛼𝛼 0 , 𝑟𝑟 𝑦𝑦0 khắpx’=f(t,x) nơi A. thỏanói 0, tại gọi = ánh nghiệm ′ Do đó liên + trừ 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 ⊂ x(t) = đối trên trên. đốiđịnh,ℝ x(t) con |t| là ghĩa 2.4.1 Mật độLipschitz 𝑡𝑡Carathéodory vớiđịa phươnglà với∈trọng𝛼𝛼,bởi + 𝛼𝛼] − 𝛼𝛼]).𝑡𝑡∈1 ) nói∈ vàtới𝑓𝑓(𝑡𝑡,nếu𝐷𝐷 là𝑜𝑜 𝑟𝑟 mỗitạivà𝑥𝑥+[𝑡𝑡𝛼𝛼, − 𝑟𝑟𝛼𝛼,màlàvà𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥∀𝑥𝑥v ℝ Lebesgue trên ℝ và trừlà tập đo ′ Hàm =Địnhtrong địa trừ mỗi của Hàm một toán̅̅̅̅̅̅̅̅̅ điểm 𝑡𝑡 ∈(∀𝑡𝑡 [𝑡𝑡 tập mở[𝑡𝑡𝑜𝑜 x 𝑜𝑜𝑅𝑅 1thức ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥 )𝑥𝑥) ,tồn 0 từ 𝐷𝐷𝛼𝛼]) ,∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑜𝑜 liên tục à độ đo 0 mỗi − 𝛼𝛼]lân 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥 |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝐷𝐷 × thỏa được cho 𝛼𝛼, 𝑡𝑡 nếu 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥 mỗi 𝐷𝐷 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅⊂ [𝑡𝑡 × 𝑡𝑡 (t, x) + D.+ với tồn[𝑡𝑡1𝑜𝑜, 𝑥𝑥1 )1 hầu khắp nơitrên + Định nghĩa 1 ) trọng và− ℝ một + cho tới công⊂ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊂ trọng𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 ∈∈𝑡𝑡 [𝑡𝑡+ánh𝛼𝛼,xạ 𝑜𝑜 𝛼𝛼 > 𝑜𝑜vào 𝐹𝐹 )0 + 𝛼𝛼])> 0 [𝑡𝑡2.3. 𝛼𝛼, 𝑜𝑜Lebesguecận của ⊂ 𝑥𝑥)| 𝑜𝑜≤ 𝑚𝑚(𝑡𝑡), với𝑜𝑜mọi̅̅̅̅̅̅̅̅̅∈× 𝛼𝛼, 𝑛𝑛và𝑜𝑜 (∀𝑡𝑡𝛼𝛼]∈rằng − x𝛼𝛼, ) 𝑜𝑜 − ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 0 > ) 𝑜𝑜 𝛼𝛼] − 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥𝑜𝑜 ) × 𝐷𝐷 Ta mỗi[𝑡𝑡 × ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ được đều toán 𝑛𝑛 . f(t,x)nếu [𝑡𝑡 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ mở 𝛼𝛼, 𝑡𝑡 𝑜𝑜 (t1, x 1) D tồn tại α>0, r>0 và L>0𝛼𝛼]) 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 A của bài Lipschitz 2.4.3. Gọi 𝐷𝐷 𝐹𝐹 (𝑡𝑡1 1 𝐿𝐿 1 khắp tập bài với [a,b] toán trên. bài 1 𝑜𝑜 khả tích ℝ x ′ mãn x ′ = f(t, x) ngoại trừ tập {0}. Do đó x(t) = |t| là nghiệm hầu 1 nmãntrọng tới x Định cho tập {0}. ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐷𝐷 phương với > 0 , > 0 và 𝐿𝐿 0 mỗi (𝑡𝑡 , 𝑥𝑥 ) ∈ 𝐷𝐷 tồn tại 𝛼𝛼|𝑓𝑓(𝑡𝑡, ,𝑥𝑥) > 0 và, 𝑦𝑦)|> 0 𝐿𝐿|𝑥𝑥 − là ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) ∀𝑥𝑥, [𝑡𝑡 |𝑓𝑓(𝑡𝑡,1𝑜𝑜𝑥𝑥) |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦 ∈𝑟𝑟 𝐵𝐵−≤𝑓𝑓(𝑡𝑡 𝑓𝑓(𝑡𝑡, ≤ mà trừ cố Định nghĩa 2.3.1𝛼𝛼, 𝑡𝑡 2.3.1. [𝑡𝑡 𝑜𝑜𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 ) ⊂ và ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑜𝑜 𝐷𝐷 và 𝑡𝑡 𝑜𝑜 − 𝛼𝛼])𝑡𝑡 𝑜𝑜𝑜𝑜 − ∈ 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑦𝑦∈ − 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥𝑡𝑡𝑦𝑦)| 𝛼𝛼]) 𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑥𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅)𝐿𝐿|𝑥𝑥 − 𝑦𝑦| ≤ 𝐿𝐿 a với thỏa = f(t, x) ngoạinghĩamỗi (𝑡𝑡 Do ) ∈ x(t)tồn |t| là nghiệm𝑟𝑟 hầu x nếu>cho mà [𝑡𝑡 𝑜𝑜 − Cho hàm × 1 ,−hàm trừ 2.3.1 Cho 𝑥𝑥 đó = tại 𝛼𝛼 trọng tới phương tại ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ mtoánt≥2.3. Hàm Carathéodory 𝛼𝛼] Cho hàm:𝑜𝑜 +𝐷𝐷𝛼𝛼] ∩(∀𝑡𝑡 ∈1 [𝑡𝑡⊂− 𝛼𝛼, 𝑥𝑥)[𝑡𝑡+−∈𝛼𝛼,[𝑡𝑡∀𝑥𝑥,𝛼𝛼]𝑦𝑦×≤𝑡𝑡𝐵𝐵𝑜𝑜𝐿𝐿|𝑥𝑥𝛼𝛼]))1 (∀𝑡𝑡𝑥𝑥) ∈ 𝑜𝑜̅̅̅̅̅̅̅̅̅+ − ∀𝑥𝑥, |𝑓𝑓(𝑡𝑡,𝑦𝑦|𝑥𝑥1 )− 𝑦𝑦)| ≤ 𝐿𝐿|𝑥𝑥 − i CarathéodoryĐịnh nghĩa Carathéodory 𝑡𝑡 𝜇𝜇(𝐴𝐴 × 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥 𝜖𝜖)) |𝑓𝑓(𝑡𝑡, (∀𝑡𝑡 𝑓𝑓(𝑡𝑡, + 𝛼𝛼, 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥+ ⊂1𝐷𝐷 và 1) − 𝛼𝛼, )) ≤ 𝐿𝐿|𝑥𝑥 −−(𝑥𝑥) 𝑦𝑦)|𝐵𝐵 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝐿𝐿 𝑦𝑦)| trên. + Lipschitz𝛼𝛼, địa trong >0 cho 𝑑𝑑 𝜖𝜖 (𝑡𝑡)được gọi là họ liên tục đồng2bậcℝ 𝑦𝑦)| mọi 𝜀𝜀− 𝑦𝑦| tồn tại 1, t 0 𝐵𝐵(𝑡𝑡, ) i của bài2.3. Hàmcủa toán trên.Carathéodory mà 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 1 3) Tồn tại hàm m(t) bàinơi của bài toán trên. khắp nơi2.3. Hàm Carathéodory khắp toán trên. −1, 0, 𝑓𝑓: 𝐷𝐷 inh địnhĐịnh nghĩacủa lýCho + 𝛼𝛼]) Cho 𝑦𝑦 trình vi1phân𝑓𝑓: 𝐷𝐷khẳng 𝑥𝑥) ↦f (tức|𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝐿𝐿|𝑥𝑥liên𝑦𝑦| 𝑦𝑦)|đềuLipschitz với trọng tới[𝑡𝑡tới x𝛼𝛼, [𝑡𝑡 𝑜𝑜𝑜𝑜+[𝑡𝑡𝛼𝛼, − 𝑡𝑡̅̅ để |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) → ℝ là𝑦𝑦)| ≤tục LipschitzLipschitztrọngđều với trọng x trong 𝑡𝑡 −𝛼𝛼] × 𝑜𝑜𝛼𝛼, ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Cho bản Định2nghĩa hàm − 𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡, ) ⊂ 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 ) (tức − 𝑓𝑓(𝑡𝑡, ∈liên f 𝑥𝑥) − là tục Lipschitz (đều tới x)|trong 𝑜𝑜 − trong 𝑜𝑜 𝑜𝑜 ho với mọi = 𝑓𝑓: ∈x)𝑥𝑥)mà |𝑡𝑡 trừliên {0}. Lipschitz đều với f 𝜀𝜀 với mọi xLipschitz đều với trọng tới × trong 𝑓𝑓[𝑡𝑡). −≤𝛼𝛼,| 𝑥𝑥𝑡𝑡− 𝑦𝑦rằng×𝑓𝑓𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 ). 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿 − liên ≤ với 𝑦𝑦| 𝐵𝐵 (𝑡𝑡, 𝑥𝑥) f(t,(tức là, f là 𝑥𝑥) 0. là gọi là Carathéodory sau đây∀ 𝑡𝑡 ∈ ftới x trong [𝑡𝑡 𝑜𝑜liên𝛼𝛼,𝐷𝐷 𝑡𝑡𝑓𝑓trên𝑓𝑓 𝐷𝐷 × trên trên Ta và tục Lipschitz địa với )phươngtrọn điều 𝐷𝐷 − . 𝛼𝛼] tục 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥 rằng 𝑓𝑓 (𝐶𝐶, éodory nếu 𝑓𝑓(𝑡𝑡, mãn các hàm Carathéodory liên tục 𝑥𝑥)(𝑡𝑡, nếu trên 𝐷𝐷trọngtrênlà𝐷𝐷trong Lipschitzđây𝑡𝑡với 1 𝛼𝛼] × 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 )Lipschitz địa ̅̅̅̅̅̅̅̅̅. Ta𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 rằngtr tục (𝑡𝑡, f là đều với f nếu (𝑡𝑡, 𝑥𝑥) ↦f thỏa 𝑥𝑥) gọikiện Carathéodoryf 𝑥𝑥) ↦ 𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑖𝑖Lipschitz đều (𝑡𝑡, 𝑥𝑥)nếuCarathéodory sau và tục+tụcđịa̅̅̅̅̅̅̅̅̅. tục 𝛼𝛼,nói + 𝛼𝛼]rằng( 𝑙𝑙trọngnói 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙vớ𝑓𝑓 f thỏa mãnf các 𝑥𝑥) 2 được kiện hàm sau nếu f thỏa mãn nếu điều kiện là, f x𝑥𝑥)vàtục [𝑡𝑡 𝑜𝑜tục Lipschitz Lipschitz địa Lipschitz𝐵𝐵địatrên 𝐷𝐷. ) 𝑥𝑥) liên (tức phương với trọng tới xtới x trong [𝑡𝑡 − nói × 𝑓𝑓𝐵𝐵∈ ) 𝑡𝑡 𝑜𝑜 rằng 𝑥𝑥1 ℝK ∈ 𝐼𝐼, 𝑓𝑓: mãncácAscoli) 𝑓𝑓 Carathéodory sauvà liêntrên 𝐷𝐷 và liên tụcđịa ℝ điều cho bởi tục𝐷𝐷 thức 𝐷𝐷 đây 𝐷𝐷 đều 𝑜𝑜 trọng trên 𝐷𝐷. 𝑜𝑜 với trọng ngoại là nghiệm hầu 𝑜𝑜 liên liên Cauchy. mãn⊂cácđiềuℝkiện[𝑡𝑡liêncôngtrên𝛼𝛼]sau̅̅̅̅̅̅̅̅̅tục Lipschitz𝑓𝑓 ∈ (𝐶𝐶, 𝐿𝐿𝐿𝐿 𝐿𝐿 địa phương với trọng tới x trên 𝐷𝐷. 𝐷𝐷𝑡𝑡 trên đượckiện Carathéodory 𝑓𝑓 liên tục → nếu (tức schitz đềuthỏa trọng ℝ x trong𝑓𝑓 liêntrênmãn+𝐷𝐷 và liên tục Carathéodory phương − 𝛼𝛼, 𝑡𝑡 nếu × 𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑥𝑥1 đây ). Ta nói rằng Lipschitz ) Lipschitz phương tới .1( Định điểm ∈ tới đều dory nếu f thỏađược các điều(C1) f(t,.)tụchàm các tụcbiến x vớithỏa mỗikiện định, kiện Carathéodory 𝐷𝐷. x trên 𝐷𝐷. Hàm 𝐷𝐷 nếu Carathéodory điều (𝑡𝑡, mãn gọi làđược gọi𝑜𝑜 là hàm 𝑜𝑜đây liên theo nếu x với ược gọi là hàm 𝑥𝑥)(C1)𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥) là hàmthỏa𝐷𝐷 trênliên sautục trên Lipschitz tụct cácCarathéodorytrênvớitrên sau đây tục trên D và liên ↦ f(t,.)hàm Carathéodory 𝑓𝑓 điều kiện 𝐷𝐷 Hàm được là đây các liên Hàm f Carathéodory kiện ftrênlà nếu theof thỏa biến cácliên tđịa cố điều địa 𝑙𝑙phương x trọng tới 𝑙𝑙 𝑙𝑙 = {fn : [a. b] → ℝ}n∈ℕ liên tục đồng bậc và bị chặn đều trên [a,b] thì tồn nếu 𝑓𝑓một trên và hội tục 𝐷𝐷Lipschitzdãy conliên tụctụ với trọng tới x trên xD. 𝐷𝐷. địa𝐷𝐷 phươngLipschitz địa phương với trọng tới trên ory nếu f với n cận củalý Azella – D nếu f liên ên 𝜖𝜖 𝐷𝐷 theo 𝑥𝑥) mỗi Lipschitz cố (C2) f(,.x) vớiđotheo tới x xt với𝐷𝐷. x cố định, Định lý 2.4.2 Với hầu khắp các điểm t điểm t thuộc A, lim dlim hỏa mãn các điều kiện Carathéodory sau Carathéodory mãn fvàmỗimãn Lipschitzvới trọng tới đây trên f nếu điều sau đây tục và với ⊂ x tđịnh,ℝ t làđịnh, liên tục 𝑓𝑓: 𝐷𝐷 𝜇𝜇(𝐴𝐴 ℝ (C1) 𝜖𝜖)) → Với lý Với các hầu t thuộc điểm t thuộc có d (t) lim ϵ (t) liên tục nếu đây sau biến ∩ 2cố định, 𝐵𝐵(𝑡𝑡, f(t,.) y với(𝑡𝑡, x ↦ định,𝑥𝑥) định, Carathéodory sau theo với mỗi Định lý 2.4.2Địnhlý 2.4.2. hầu khắp các điểm t thuộc d(t)=A, ta có d(t)= dϵ (t) (𝑡𝑡) f= Định hầu khắp Với điểm khắp các ta có A, ta lim d(t)= tồn ϵ→0 d ới theof(t,.) mỗi x cố định, định,biến x tại hàm2.4.2mỗixxhầuLebesgue định,|𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)| ≤các lim với mọi (t,A, ta tồn d(t)= ϵ→0 dϵ (t) tồn 𝑑𝑑 nếubiến tục 𝑓𝑓(𝑡𝑡, tđiều địa phương là trọng đâytrên mỗi t cố định, trên tại liên tục đều theo mỗi t cố mỗi𝜖𝜖)) kiện đo được theo t với mỗi x cố định, Với hầu khắp 2.4.22.4.2 tVới hầu khắp các A, thuộc A, ta ϵ→0tạiϵvà ϵ→0 tại và thỏa 𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡, cố lim c(C1) định,các điều kiện Carathéodoryhàm m(t) khả tích mỗithuộc mỗitathuộcta có d(t)=dlim dϵ (t) x) ∈tại và bằng 1. 1. liên lý (C1) f(t,.) theo khắp các điểm t 2.4.2 A, cóđịnh, 𝑚𝑚(𝑡𝑡), (t) tồnϵ tại và tại và 1. biến x liên cố với mỗi x cố định, tục 2.4.2 được hầutheo Vớiđịnh,cố biếnt cố điểm t cốA,d(t)= có d(t)= ϵ→0 dtồn D. bằng bằng điểm thuộc (t) có hàm biến ϵ→0 được lim mãn các với (C2) f(,.x) là othỏa duy nhất Định lý củahàm toán khả đây Lebesgue thỏa ta có d(t)= lim d 2.4.3 ϵ→0 vàbài toán Cauchy (1.1.2). Giả sử f liê Định (t) 2.4.3 XétCauchy (1.1.2). Định lý có d(t)= bằng 1. ϵ ) khả thỏa thỏa |𝑓𝑓(𝑡𝑡,≤ |𝑓𝑓(𝑡𝑡, với với cốđovới các (t, ∈thỏa h(C2) tích Lebesgue thỏa𝑚𝑚(𝑡𝑡),hàm≤ x mọi x) vớiD. D. x)với D. Định lýĐịnhϵ→0 Xét 2.4.3.toán bằng 1. toán Cauchy (1.1.2. liên tục liê eo với x với mỗi t cố𝑥𝑥)| ≤tlà 𝑥𝑥)|được theo(t, ∈mọi Xét bài mỗi x cố Cauchy (1.1.2). Cauchy liên toán trên hình (1.1.2). Giả sử R = 𝑚𝑚(𝑡𝑡), theo t x cốlà hàm(C1) f(t,.)theođo Tồn với mỗi t biến Địnhđịnh, cácthỏa t ϵ→0 Xét lý (C3) theo (C2) f(,.x) (t, ttích ∈ 𝑚𝑚(𝑡𝑡), mọi x esgue f(,.x) là đo được Tồn tại đomỗiĐịnh định, 2.4.3 xtcố định, |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)|Xét 𝑚𝑚(𝑡𝑡), với mọi (t, x)sử D. bài toán Cauchyliên tục trên hình ≤ 2.4.3lý ϵ lý bài XétXétf bài Giả sử Giả (1.1.2). Giả sử f Định lý tồn tại ∈ (1.1.2). Cauchy với mỗi biến định, (C2)tf(,.x) là hàm liênlà lýt với tục theo khắp x với với mỗi cố là (C3) Với tục2.4.2 cốVới với các điểm t thuộc Định liên hầu khắp A, ta ả tíchta sẽ phát biểu |𝑓𝑓(𝑡𝑡, 𝑥𝑥)| ≤minh định lý cơD. ∈ D. lý lý 2.4.3 heotbiến mỗi|𝑓𝑓(𝑡𝑡,|f(t,x)|≤m(t), với𝑚𝑚(𝑡𝑡),là lýx)2.4.3 theoĐịnh bài toán định, (1.1.2). 2.4.3Giả f bài liên tục trên fhình chữ nhật đóng Định lýsau 𝑥𝑥)| hắp các điểmtt cốĐịnh Tồn có d(t)= ϵ→0Xétthỏa ℝ, bản củaCauchy 𝑖𝑖∈ 𝐼𝐼(1.1.2).x) sửthọ+sử tục [xliênbậcxnếu A, ta (a,d(t)= >0)ϵ(t) tồntại nhật 1.đóng kiệ m(t) lý𝑥𝑥)| ≤ m(t)dϵ bài (t, x) {𝑓𝑓𝑖𝑖D. → (1.1.2).a, Giả a]là với phân x các ∈b] (t, x)b]0) b fϵ→0 d>và và f kiện f x cố mãn x t với mỗi (C3) Tồn tại bài m(t) Cauchy điểm t thuộc A, tích n x với mỗi hàmĐịnhkhảtại 2.3.2. Cho(t)tích Lebesgue thỏa ℝ} phương− 2.4.2 Với mọi× để khẳng định có chữ nhật fđóng mãn điều R Định Lebesgue x cố (C2) f(,.x) 2.4.2 Với hầu khắpx) Lebesgue lý lim (C3) Tồn tại thuộc A, talýtích 2.3.2. Chohàm |𝑓𝑓(𝑡𝑡,vàCauchythuyết−𝑥𝑥)| tGiả lý Giảfvi liênkhắpđồng[xb,ttục+>∈ chữ hình0, chữ tại và bằng mãn (C3) nghĩa 2.4.3𝑚𝑚(𝑡𝑡),khả ⊂ toán= bằng𝑚𝑚(𝑡𝑡),[t 0 mọi≤|𝑓𝑓(𝑡𝑡,a, − a, hầu b,tục×− D.−0b, xtrên và𝜀𝜀>thỏatồn thỏa = Lipsch định, nghĩa Lebesgue 𝑀𝑀 bài tại 𝑥𝑥)| ≤ 𝑀𝑀1. |𝑓𝑓(𝑡𝑡, được gọi ∈ D. liên (t, tụcđiểm thuộchìnhmọi [t 0𝑚𝑚(𝑡𝑡), tại và nghiệm Định trình f≤ a] f với mọi b với D. nhật đóngđiều sử f f t mọi 𝐹𝐹 ∈ : lim với lý thả tích Lebesgue thỏa |𝑓𝑓(𝑡𝑡, (C3) TồnXét với +m(t) khả [x0b,Lebesgue thỏa 0+−sử×0[x0ta]+ a]0 0+trên(a,hìnhb]+ b] (a,xbtrong trongRthỏatạiđiềuđiều (t, [t 𝑥𝑥)| liên x) trên 𝑚𝑚(𝑡𝑡), 0) [t 0 bậc + × mọi 𝜀𝜀 > 0, tồn b [t > 0) f thỏa− × điều kiện kiện 0 (a, b điều và f thỏa mãn K kiệ định, định, với mọi khả đượcmỗi m(t) Định Lebesgue thỏa và chứng Định (t, mọi (t, x) Xét toán Cauchy bài toán duycố định, định, là họ bài tục đồng a, a, 0 a] với×0 0 −xb, 0 ++(a,× > 0) b, t và f thỏa [x > điềux + Lipschitz 0) và R,thỏatồn tồn> x K à với mỗi x nghiệm trong liên toán[t 0 − − t 0 tnếu a] [x[t−− a,0t +0b]a] tại[xb − và x0 + b] (a,mãn− b, và f thỏa mãn>theokiện Lipschitz theotại tr x b] (a, 0 a, 0 + 0 mãn b 0) Lipschitz theo Giả sử tục chữ nhật đóng 0 0 ℝ, :𝐹𝐹𝑀𝑀 →{𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑀𝑀𝐼𝐼được 𝑖𝑖∈2.3.2. họ liên tụcℝ,đồng′{𝑓𝑓𝑖𝑖nếu → ℝ} 𝑖𝑖∈ 𝐼𝐼 với ε>0, tạihọ liên tục đồng bậc0nếu với0mọi 𝜀𝜀 > 0, tồn tại f 0 mỗiℝ} 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 :được ℝ} gọi được gọi là tục liên tụcbậc nếu với mọi mọi 𝜀𝜀 > 0, tồn tại 𝑓𝑓𝑖𝑖 = ℝ} ∈ →được gọilà Cho 𝑀𝑀 ⊂ đồng bậc : 𝑀𝑀 với mọi 𝜀𝜀 được tồn (𝑡𝑡) là họ liên họ 𝐹𝐹 = đồng bậc nếu > 0, gọi là này, 2.4.3 tồn toán → x bài {𝑓𝑓𝑖𝑖 : 𝑀𝑀 → ℝ} 𝑖𝑖 𝐼𝐼[tℝ − a,saolà 𝑚𝑚(𝑡𝑡), [xtụcliênb,tục M D. b|t-t’|và thỏaf−tại𝑖𝑖điều kiện Lipschitz = Lebesgue thỏa |𝑓𝑓(𝑡𝑡, a, 𝑚𝑚(𝑡𝑡),a] đo được. b, (t, x D.nếu hình 𝜀𝜀 thì 𝑖𝑖nhậtmãn điều kiện trên được t δ>0 sao + a]với 𝑖𝑖mọiđồng x) ∈trên > 0) 0) vàsao đóngcho với toán Cauchy trong R, x liên tục > × b] Định Định hàm tại với Định nghĩa 𝛿𝛿𝐼𝐼 > 0A là cho với mọi 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ∈ 𝑀𝑀 mà |𝑡𝑡 − 𝑡𝑡′| < 𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓 𝑓𝑓 (𝑡𝑡′)| < 𝜀𝜀điều kiện Lipschitz theoR, trong R,tại tồn tại K tích mãn tứcR, tức 0− t cho sử với − x + × 0 > nhất cố gọi Cauchy. x 0 Cho0cho tục họ liên tục0, tồn bậc nếu> 0,mọi tại 0, tồn tại 2.4.1 |𝑡𝑡 Định ℝ} 𝛿𝛿⊂A |𝑓𝑓 (𝑡𝑡) − là𝑀𝑀 ⊂ ℝ, 𝐹𝐹 với{𝑓𝑓𝑖𝑖 ℝ, 𝑖𝑖𝑡𝑡 →sao họ liên ℝ}> làđượcthứclà đồng bậc nếu với mọi 𝜀𝜀 với tồn 𝜀𝜀 > Mật𝑡𝑡′| nghĩa ℝ, 𝐹𝐹 nghĩa 2.3.2. < tục đồng 𝑀𝑀𝐹𝐹∈ nếu cho mọi 𝜀𝜀 bởi côngliên với mọi 𝜀𝜀 > đồng tại trên Cho 𝑀𝑀′ liên 𝜀𝜀 = được < 𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡) − 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡′)| < 𝜀𝜀 với mọi cho 𝐼𝐼 𝐹𝐹− mà< 𝛿𝛿 > 0 sao cho 𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑖𝑖 mọi 𝑖𝑖 với 𝑀𝑀 mà mọi < 𝛿𝛿{𝑓𝑓∈: |𝑓𝑓 = {𝑓𝑓 − ℝ} ∈ 2.3.2. gọi 𝑡𝑡,họ cận của |𝑡𝑡𝐼𝐼 − 𝑡𝑡′| ∈ là thì𝐼𝐼 𝑀𝑀 (𝑡𝑡) − 𝑖𝑖∈ (𝑡𝑡′)| < sao mọi 𝑖𝑖 ∈ 𝐼𝐼 𝑀𝑀 𝑡𝑡′| 𝑖𝑖 : 𝑀𝑀 → 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) F gọi là bị< 𝑡𝑡 đều nếu tồn tại K > 0. sao cho. |𝑓𝑓 (𝑡𝑡)|𝑖𝑖 ≤ tồn∀ ∈ với ∈ 𝑀𝑀. − với chặn ∈ 𝑓𝑓x |,𝐾𝐾, ∀(t, x ∀ 𝑡𝑡 (t, x ) ∈ R 𝜀𝜀 𝐼𝐼, ), mà |𝑡𝑡ℝ} 𝑡𝑡′| ≤ 𝛿𝛿𝐾𝐾, >gọi là −∈ 𝑖𝑖 (𝑡𝑡′)| < điều kiện Lipschitzf(t,)| 𝜀𝜀x> 0, tồn −|f(t, 𝑖𝑖 tại1Kx1xx2 − 1 ) −x21 − x)| ≤1K|x x1 x (t, x1 ), (t, x (t,∈ R ho. x 𝑖𝑖 (𝑡𝑡)| (a, b ∀ 𝑖𝑖|𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡) họ 𝑀𝑀. mãn 𝜀𝜀 với bậc x1 ) − f(t, x2 x ≤ trong− 2 b, |𝑓𝑓 + b] thì 0) cho thỏa Định sao lý |f(t, x 𝐼𝐼 ) − theo 𝑖𝑖 K|x𝑖𝑖1 R, tức tồn ∀(t, > 0 (t, f(t, R ≤ K|x − x |, ∀(t, |f(t, |f(t, 2) )| ) 𝑀𝑀 → 0− 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 cho.thìcho(𝑡𝑡) −là 𝑖𝑖chặnvớitụcnếu|𝑓𝑓𝑖𝑖bậc𝑀𝑀 𝐵𝐵(𝑡𝑡,𝛿𝛿>thì< 𝜀𝜀(𝑡𝑡) 𝛿𝛿xmọi|𝑓𝑓f(t, 0.→ mọi∈saođược với𝐼𝐼,mọi−∈𝑡𝑡′|< 𝜀𝜀𝑀𝑀 thìmọi∈𝑖𝑖 ∩nếu𝑖𝑖 (𝑡𝑡′)|mọi𝑖𝑖|f(t,−thì𝑖𝑖tồn𝑖𝑖∈ 𝐼𝐼a,t𝜀𝜀 với mọi1𝑖𝑖 b,với mọi)| > 1 và −2 ) cho− sao(𝑡𝑡)|𝑡𝑡,F ′ 𝐾𝐾, ∀ là sao ∀ 𝑡𝑡,liên ∈ 𝐾𝐾, cho𝑀𝑀. đều𝛿𝛿 mà |𝑡𝑡 − 𝑡𝑡′|tồn tại 0duy 1 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) 𝑡𝑡 |𝑓𝑓𝑖𝑖 ≤ ∀ (𝑡𝑡′)| ′ ∈ mà 𝑓𝑓 ∈ 𝑡𝑡, 0. sao− 𝑓𝑓 |𝑓𝑓 sao 𝐾𝐾, ∀ độ cho : sao cho.F 𝑖𝑖 < 𝑡𝑡′| |𝑓𝑓 0 bị chặn0 lý 2.3.1( 𝑡𝑡 𝐼𝐼, ∀ lý AzellađóAscoli)𝜖𝜖)) 𝑡𝑡′| cho ∈ 𝐼𝐼,tại 𝑀𝑀. điển) (𝑡𝑡)| 𝑡𝑡tồn– cho. 0 ∀ φ(t) của phương trình (1.1.1), liên tục trên ′| < sao cho.𝑖𝑖 (𝑡𝑡) − 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡′)| < 𝜀𝜀𝐼𝐼, x ) mọi 𝑖𝑖= )| 𝜇𝜇(𝐵𝐵(𝑡𝑡, tồnx tại duy x 𝑖𝑖), (t, x 𝑡𝑡 )đó Rtồn Khi duy = φ(t) của phương (cổ x (1.1.1),x liên = φ > 0. 𝛿𝛿 thì |𝑓𝑓 |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡)| ≤ 𝐾𝐾, ∀ 𝑖𝑖|f(t,∀ 1∈−𝑀𝑀.f(t,2xKhi K|x1 𝜖𝜖)) 2 |, x2∀(t, nhất Khi2 (t, x(cổ ∈ R tồnduy duy duy nhất nghiệmđiển) điển) φ(t) |f(t,với )𝜖𝜖 − x 𝐼𝐼2 )| ≤ K|x1 − |, ∀(t, Khi đó Khi tạitạiđóx tồn nhất nhất nghiệmtrình = φ(t) của tục ∈ x𝑡𝑡 f(t, ∈ ≤ đó − x1 ), ∈ duy) nhất nghiệm tại điển) (cổ= điển) của phương xtrình điển) = phư mãn 𝑡𝑡 𝑖𝑖 Lipschitz 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) 𝑑𝑑 tại K > nếu 𝑖𝑖 Khi và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t ) = (1.1.1), x liên tục trên φ(t) K K)|𝑡𝑡Ascoli)và𝛿𝛿nếu 𝐾𝐾, 𝑖𝑖∀tại−đều𝑡𝑡0.∈=tồn0tại𝑀𝑀.𝑖𝑖 (𝑡𝑡)|ℝ}n∈ℕ ∀liên 𝐼𝐼,a, t𝑡𝑡đồng tụ ∀(𝑡𝑡)|bị ∀ 𝑡𝑡𝐾𝐾, 𝑖𝑖 ∈ trênđó 𝑀𝑀. thì tồn duy nhất con hội đều ồng bậcF cho.là tồn Nếu 𝐼𝐼,𝐾𝐾, (𝑡𝑡′)|Azella−|𝑓𝑓 t → 𝑖𝑖 ∈tại Kdãy con0hội 𝐾𝐾, đều x=φ(t) Khi 𝑡𝑡 ∈ tồn trình bị chặn đều bị |𝑓𝑓|𝑓𝑓 (𝑡𝑡)≤Klà ∀nếu − |𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑡𝑡)| ≤ chặn 𝑖𝑖đềudãybị𝑖𝑖Fchặncho.–h, > tại≤ ⊂ [t> 0. 𝑖𝑖sao cho. |𝑓𝑓𝑖𝑖 𝑖𝑖 0. 𝑡𝑡′| Địnhthì bị chặn 𝑓𝑓𝑖𝑖 ∈ sao∀nthì tồn + sao 𝑖𝑖0 |𝑓𝑓 ∀ ≤a] sao gọi lý 𝑖𝑖2.3.1( Định lý[a,b]𝑡𝑡 ∈[a.K 0. một ∈ (𝑡𝑡)| mà Địnhđều nếu Định vớiKhi < i saochặn∀đều 𝐼𝐼, ∀phương tại 0tại một. dãy nghiệm tụ(cổ điển) x = φ(t) đó∈tồn cho 𝑀𝑀. 2 1 1 (𝑡𝑡)|gọi trên 𝑀𝑀. [t : b] 𝐼𝐼, với mọi nghiệm tồnđó nghiệm (cổ x điển) tại (cổ (cổ xscoli) K|x1 − x2 Định lý x1 ), (t, ( 2 ) ∈tồnAscoli) h]nhất 0nghiệm[t (cổ h, t[t 0 −mãnφ(t)−của[tphương0thỏa mãnthỏa thỏa mãnđiều x(t )banx . 2 )| ≤ |, ∀(t, 2.3.1. x đó [t 0 lý tạit 0duy– Ascoli) a, t 0 + a] và thỏah]=−điều kiện bana]a, t x(t 0a]=và0điềumãn điều điều kiện đầu x(t Khi đó R Định − h, + ⊂ [t − đầu + ) và .thỏa mãn − điển) x h,ma h, h],a, 0 −của a, t + Ta và kiện ban kiện liên [trên t + 0 ⊂ ⊂ [t x nhất nghiệm F∈ ∀ 0 −[t t Khi Địnhtồn tại duy [t 0(𝑋𝑋, h,nghiệm⊂(cổ+ điển)[txa] và h]giả mãn− 𝑋𝑋 →0kiện ban đầu x(t 0là = trên co = đầu nhất 𝑑𝑑)tlà +0h] không gian0⊂0+0 t=+ t 0 + sử0vàđiều 𝑋𝑋.(1.1.1), rằng(1.1.1),x0xạ 0 tục 0 t [t 0 a, 0 trận φ(t) trình a] trình 0 tại của nghĩa 2.4.4 Cho − 𝐹𝐹 ) Ascoli)Định|𝑓𝑓𝑖𝑖 lý 2.3.1(–{f∀đều𝐼𝐼,b] 𝑡𝑡→[a,b] lý nghĩatụcmộtCho một 𝑑𝑑) làtụ đều tụ đều 1 )ma trận[t tại giảxsử+∀(t,xvàhội2 )TaRnói điều kiện ban đầuco 0. sao ĐịnhđồngbịĐịnh[a,b].chặn Định thì [a,b]tại– đồng bậc vàhội chặn đều − h, [a,b] h] ⊂)| , và 1 a, t2 |, 𝐹𝐹: con (t,x tụmãn rằngánhlà. ánh xạ x( liênNếu dãy F trênĐịnh lý∀ đều n∈ℕ tồn 2.4.4 dãy (𝑋𝑋, bị một không |f(t,x + thì tồn 0K|x một0dãya] 1→ thỏa∈ đều ), 𝑋𝑋. > 2.3.1( cho. lý(𝑡𝑡)| ≤chặn lý 2.3.1(∈ 𝑀𝑀. trênAzellathì Ascoli) con dãy con hội − f(t,x2 ≤ − − – tục và bậc𝐾𝐾, Ascoli)Azella – Ascoli) ∈ [a,b] 𝐹𝐹: phương nói [tliên gian duyCauchybậc [t − h, + h]x nếu tồn thì hằngtại một dãy Định nghĩa 2.4.4t 0 nghĩa) = xlà (𝑋𝑋, (𝑋𝑋, một một không giangiả trận , 𝑋𝑋 sử Azella = : [a. ℝ} cho. 0 một 𝑋𝑋 𝐹𝐹 liên tụcđầu ban ạiliên tụcnhất nghiệm bị n tđiển) 𝑋𝑋]= φ(t)a,của+ phương trìnhcon hộikiện bantụcCho (𝑋𝑋,2.4.4 .Cho 𝑑𝑑) là𝑑𝑑) là không trận ,ma trậnsửvà giả→ 𝑋𝑋𝐹𝐹 Azella và 𝑖𝑖bị trên ⊂ [t 0 − ttại và chặn đều trên [a,b] tại0 tồna]số 𝑐𝑐thỏa mãncho tụ đều đầu x(t 0 𝑑𝑑) 0 n∈ℕ đồng bậc (1.1.1),Định nghĩatrên Cho một không gian ma gian và ma , 𝐹𝐹: và giả 0 trên Nếu b] [t2.4 {fdãy 0 b] h] ℝ}n∈ℕnhấtthìbị0 +tại một < đồng Cauchy trên [a,b] thìtại duy 0 thì đều (cổ h, + ⊂ [t 0 − dãy nghĩa 2.4.4 điều kiện là một không ) = ma oli) = {fn : [a. dãy→Fℝ}−bị chặn tại {fđồng [a,b]và tụcchặn đều trên [a,b]hộiđềuđều một dãy con hội mộttồn0 con hội tụ con đồng bậc và bị chặn đềuttrên [a,b] thì tồn a, t mộtĐịnh con hội tụ đều (𝑋𝑋, 𝑑𝑑) ban đầu x(t gian x . trận , và giả sử 𝐹𝐹: 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋. Ta nói rằ a] bậc 1 mãn Cho và thỏa và < 1 sao điều F tồn tại nhtđịnhtrên [a,b]. TẠP CHÍthuyếtban đầu x(t ) = VÀ CÔNGkhẳng định Định nghĩa 𝑑𝑑(𝐹𝐹(𝑥𝑥), số 𝑐𝑐
| ≤ K|x1 − x2 |, ∀(t, x1 ), (t, x2x1∈có f(t, xnhất≤ K|x1 − xbất động. x1 ), (t, x2 ) ∈ R Vì|f(t, ) F − duy 2 )| một điểm 2 |, ∀(t, vậy, ) R f(t, x2 )| ≤ K|x1 − x2 |, ∀(t, x1 ), (t,Khi ∈ R tồn tại duy nhấtChú ý: Áp (cổ điển) x = φ(t) của phương trình (1.1.1), liên𝐹𝐹 tục trên x2 ) đó − a, t 0 + a] và thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x0 . duy nhất nghiệm (cổ Chú ý: x = dụng tại duy điểm bất động của ánhliên co = φ(t) xạ 𝐹𝐹 thường đòi hỏi hai bước: Khi đó φ(t) của phương trình (1.1.1), xạ tục trên điển) Áp tồn Định lý nhất nghiệm (cổ điển) x cho ánh của phương trình (1.1.1), liên tục trên nghiệm dụng Định lý điểm bất động của ánh xạ co cho ánh xạ thường đò ồn tại duy nhất nghiệm [t − điển)+xh] ⊂ [t − a, t phương trình mãn điều liênmột không gianKHOA X đầy đủ và một tập con đóng 𝑆𝑆 ⊂ (cổ h, t = φ(t) của + a] và thỏa (1.1.1),dựng ban đầu x(t ) = x . HỌC CÔNG NGHỆ (𝑋𝑋, 𝑑𝑑) và một không gian mah] Xây, dựng)một không → 𝑋𝑋.mãn nói rằngđủ vàđầu x(t )con x . 𝑆𝑆 ⊂ 𝑋𝑋 với 𝐹𝐹(𝑆𝑆) ⊂ 𝑆𝑆. và a, t + .𝐹𝐹: 𝑋𝑋 gian Ta điều kiện 𝐹𝐹 là một xạ = đóng 0 0 0 0 (1) Xây kiện tục trên 0 metric 0 t 0 + a] là thỏa mãn điều kiện(1) trận[t x(t giả sử a] và thỏa metric X đầy ban ánh tập co [trên [t 0 − h, t 0 +ban ⊂ 0 −0 = x0 [t 0 − a, t 0 + a] và thỏa mãn điều nghĩa 2.4.4 0 x(t 0 ) =𝑑𝑑)0là một không gian ma rằng ,𝐹𝐹và giả sử 𝐹𝐹:xạ → trên 𝑆𝑆.nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên Cho (𝑋𝑋, x . (2) Chỉ ra trận là một ánh 𝑋𝑋 co 𝑋𝑋. Ta 0 0 𝑐𝑐 < 1một không gian ma trận(2)và=giả .sửrằng𝑋𝑋𝐹𝐹→ 𝑋𝑋. Taánh xạ gian maánh xạ và Kếtsử 𝐹𝐹: 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋. Ta nói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên đầu 𝑑𝑑) là sao cho Địnhđầu x(t,0 ) Chỉ0ra (𝑋𝑋, 𝑑𝑑) là một không co trên 𝑆𝑆. Cho 𝐹𝐹: nói rằng 𝐹𝐹 là trận , 3. giả luận Định kiện ban đầu Cho (𝑋𝑋, 𝑑𝑑) là một không gian ma trận ,tại hằngsử 𝐹𝐹:< 1 sao chonói rằng 𝐹𝐹 là ánh xạ co [trên 𝑋𝑋] nếu tồn và giả số 𝑐𝑐 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋. Ta gian 1 sao cho (∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦trận, giả sửtại luận số Ta𝐹𝐹(𝑦𝑦)) ≤ 𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥,ánh xạ co phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều ma ∈ nếu 3. Kết hằng 𝑐𝑐 0 sao co). tại K ánh xạ cho g gian metricđộng củavà F:xạ co).X làlà mộtánh xạ co (với hằng và co |f(t,X 1→− f(t,một ánhcó 1 −(với hằng số 1 ), (t, c 2 ) ∈ RKhi đó F có h lý điểm bất đầy đủ ánh Gọi → d) một gian metric metric đầy đủ và F: x )1). là x2đó ≤ K|xco x2 |, ∀(t, x co là x < 1). Gọi (X,d) là một không không gian đầy đủ số là c < X Khi )| F xạ X (X, Định lý 2.4.4. mtbất động của Định lý 2.4.4. (Định lý điểm bất động của ánh xạ co). , tức tồn tại K > 0 sao cho ↦ x = φ(t) xạánh xạ co). K > 0 sao cho co). tại làX d)ánh mộtcox(với hằng2số ≤đầy c

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.