Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1

Chia sẻ: Le Nhu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

222
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử U=1(X,Y) là V =2(X,Y)với 1,2là các hàm đơn trị sao cho 1(U,V) (X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X =2(U,V).Giả thiết1,2 tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi UV(u,v) = f(1(u,v), 2(u,v)) Chú ý: Công thức trên có thể...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1

Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y). Giả sử với là các hàm đơn trị sao cho U= 1(X,Y) và V = 2(X,Y) 1, 2 (X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X = 1(U,V) và Y = Giả thiết tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v. Khi đó 2(U,V). 1, 2 hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi với J = gUV(u,v) = f( 1(u,v), 2(u,v)) Chú ý: Công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên X1, X2,…, Xn. Ví dụ 1.2. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số Xác định hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên U = X + Y và . Chứng minh U, V là các biến ngẫu nhiên độc lập. Giải. Do X, Y độc lập nên hàm mật độ đồng thời của X và Y là
Xét phép biến đổi và . Với x, y > 0 thì u > 0 và 0 < v < 1. Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của U và V là Từ đó, hàm mật độ của U là và hàm mật độ của V là Cuối cùng, do fU,V(u, v) = fU(u).fV(v) nên U, V độc lập. 2. Tích chập của các phân phối
Bài toán 2.1. Giả sử X1, X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tương ứng là f1(x) và f2(x). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y. Giải. Xét phép biến đổi và Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của U và V là gUV(u,v) = fX,Y(v; u - v).1 = fX,Y(x, u - x) Vì X1, X2 độc lập nên hàm mật độ của U là gU(u) = và hàm phân phối của U là Định nghĩa 2.2. Hàm phân phối FU(u) xác định như trên được gọi là tích chập của hai hàm phân phối F1(x) và F2(x) của các biến X1, X2, kí hiệu là F1*F2. Tích chất 2.3. F1 * F 2 = F 2 * F1 
(F1* F2)* F3 = F1*( F2* F3)  F1* (F2 + F3) = F1* F2 +F1* F3  Bằng cách tương tự, có thể mở rộng tích chập ra trường hợp n phân phối của các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn là F1* F2*…* Fn. Ví dụ 2.4. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số chuẩn tắc N(0, 1). Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y. Giải. Ta có X, Y có cùng hàm mật độ là Theo công thức tích chập, hàm mật độ của U là Vậy U là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 2). Ví dụ 2.5. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số lần lượt là Xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X + Y.
Giải. Ta có Vậy X + Y cũng có phân phối Poison tham số 3. Các số đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên  Mệnh đề 3.1. Cho các biến ngẫu nhiên X, Y và g là hàm Borel. Khi đó Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời  P(X=xi, Y=yj) =pij thì
Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời  f(x,y) thì Trường hợp đặc biệt của mệnh đề trên là khi X, Y có kỳ vọng hữu hạn thì E(X + Y) = E(X) +E(Y) Tổng quát, nếu Xi, i = 1,2, ..., n là các biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng hữu hạn thì E(X1 + X2+ ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn) Ví dụ 3.2. Một tai nạn có thể xảy ra tại điểm ngẫu nhiên X có phân phối đều trên đoạn đường có độ dài L. Vào thời điểm đó, một xe cấp cứu đang ở vị trí Y ngẫu nhiên trên đường, độc lập với X . Xác định khoảng cách trung bình giữa vị trí của xe cấp cứu và địa điểm xảy ra tai nạn. Giải. Hàm mật độ đồng thời của X và Y là