intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2.2 - Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST
Báo xấu
5
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê: Chương 2.2 - Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên" trình bày các nội dung chính sau đây: Bảng phân phối xác suất; Hàm phân phối xác suất; Hàm mật độ xác suất; Phân phối xác suất của hàm của một biến ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2.2 - Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

  1. Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG(1) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023 (1) Phòng BIS.201–D3.5 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 1/47 SAMI.HUST – 2023 1 / 47
  2. 2.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 2.2.1.1 Hàm xác suất 2.2.1.2 Bảng phân phối xác suất 2 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 2.2.2.1 Định nghĩa 2.2.2.2 Tính chất 3 2.2.3 Hàm mật độ xác suất 2.2.3.1 Định nghĩa 2.2.3.2 Tính chất 4 2.2.4 Phân phối xác suất của hàm của một biến ngẫu nhiên 5 Bài tập Mục 2.2 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 2/47 SAMI.HUST – 2023 2 / 47
  3. Hàm xác suất Định nghĩa 1 Với biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị x1 , x2 , . . . , hàm xác suất là hàm pX (x) thỏa mãn (a) pX (xi ) ≥ 0 với mọi i = 1, 2, . . . ; (b) i pX (xi ) = 1; (c) pX (xi ) = P (X = xi ) với (X = xi ) là sự kiện “X nhận giá trị xi ”, i = 1, 2, . . . . Ví dụ 5 Một bít được truyền qua đường truyền kỹ thuật số có thể bị lỗi. Xác suất để một bít được truyền đi bị lỗi là 0,1. Giả sử rằng các lần truyền là độc lập nhau. Gọi X là số bít bị lỗi trong bốn bít được truyền đi. Khi đó, X là biến ngẫu nhiên rời rạc và SX = {0, 1, 2, 3, 4}. Áp dụng công thức Bernoulli, P (X = 0) = (C4 )(0, 1)0 (0, 9)4 = 0, 6561; 0 P (X = 1) = (C4 )(0, 1)1 (0, 9)3 = 0, 2916; 1 P (X = 2) = (C4 )(0, 1)2 (0, 9)2 = 0, 0486; 2 P (X = 3) = (C4 )(0, 1)3 (0, 9)1 = 0, 0036; 3 P (X = 4) = (C4 )(0, 1)4 (0, 9)0 4 = 0, 0001. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 3/47 SAMI.HUST – 2023 3 / 47
  4. Hàm xác suất Ví dụ 5 (tiếp theo) Suy ra, hàm xác suất của X là  0, 6561  khi x = 0,  0, 2916    khi x = 1,  0, 0486 khi x = 2, pX (x) = 0, 0036   khi x = 3,  0, 0001   khi x = 4,  trong các trường hợp còn lại.  0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 4/47 SAMI.HUST – 2023 4 / 47
  5. Hàm xác suất pX (x) 0, 6561 0, 0296 0, 0486 0, 0036 0, 0001 0 x 1 2 3 4 Hình 1: Phân phối xác suất của số bít bị lỗi trong Ví dụ 5 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 5/47 SAMI.HUST – 2023 5 / 47
  6. Bảng phân phối xác suất Định nghĩa 2 (a) Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận một số hữu hạn giá trị x1 , . . . , xn (sắp xếp theo thứ tự tăng dần). Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng: X x1 x2 ... xn (1) P (X = xi ) p1 p2 ... pn trong đó, pi = pX (xi ), i = 1, . . . , n. (b) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận một số vô hạn đếm được giá trị thì bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là: X x1 x2 ... xn ... (2) P (X = xi ) p1 p2 ... pn ... trong đó, {x1 , x2 , . . . , xn . . . } là tập các giá trị của X được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và pn = pX (xn ), n = 1, 2 . . . . Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 6/47 SAMI.HUST – 2023 6 / 47
  7. Bảng phân phối xác suất n ∞  Trong (1), i=1 pi = 1 và trong (2), n=1 pn = 1. Ví dụ 6 Trong Ví dụ 5, bảng phân phối xác suất của X chỉ số bít bị lỗi trong 4 bít được truyền đi là X 0 1 2 3 4 P (X = xi ) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 7/47 SAMI.HUST – 2023 7 / 47
  8. Bảng phân phối xác suất Ví dụ 7 Một lô hàng gồm 30 chiếc máy tính xách tay cùng loại được giao cho một cửa hàng bán lẻ, trong đó có 5 chiếc bị lỗi. Một doanh nghiệp chọn mua ngẫu nhiên 3 máy tính từ lô hàng này, hãy tìm phân phối xác suất của số máy bị lỗi. Giải. Gọi X là “số máy bị lỗi trong 3 máy được chọn”, X là biến ngẫu nhiên rời rạc và SX = {0, 1, 2, 3}. Tính 0 3 1 2 C5 C25 115 C5 C25 75 P (X = 0) = 3 = , P (X = 1) = 3 = , C30 203 C30 203 2 1 3 0 C5 C25 25 C5 C25 1 P (X = 2) = 3 = , P (X = 3) = 3 = . C30 406 C30 406 X 0 1 2 3 Vậy bảng phân phối xác suất của X là P (X = xi ) 115/203 75/203 25/406 1/406 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 8/47 SAMI.HUST – 2023 8 / 47
  9. Bảng phân phối xác suất Ví dụ 8 Với Ví dụ 4, giả sử tất cả các bản fax chỉ gồm 1, 2, 3 hoặc 4 trang với xác suất như nhau. Tìm bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y chỉ chi phí cho một bản fax. Giải. Theo Ví dụ 4, Y là một biến ngẫu nhiên rời rạc với SY = {10, 19, 27, 34} và P (Y = 10) = P (X = 1) = 0, 25; P (Y = 19) = P (X = 2) = 0, 25, P (Y = 27) = P (X = 3) = 0, 25; P (Y = 34) = P (X = 4) = 0, 25. Do đó, bảng phân phối xác suất của Y là Y 10 19 27 34 P (Y = yi ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 9/47 SAMI.HUST – 2023 9 / 47
  10. Bảng phân phối xác suất Ví dụ 9 Một dây chuyền tự động khi hoạt động bình thường có thể sản xuất ra phế phẩm với xác suất p = 0, 001 và được điều chỉnh ngay lập tức khi phát hiện có phế phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của số sản phẩm được sản xuất giữa hai lần điều chỉnh. Giải. Gọi X là “số sản phẩm được sản xuất giữa hai lần điều chỉnh”. Khi đó X là biến ngẫu nhiên rời rạc và SX = {1, 2, 3, 4, . . . }. Tính P (X = 1) = 0, 001; P (X = 2) = 0, 999 × 0, 001, . . . n−1 P (X = n) = (0, 999) × 0, 001 . . . Vậy bảng phân phối xác suất của X là X 1 2 ... n ... P (X = xi ) 0, 001 0, 999 × 0, 001 ... (0, 999)n−1 × 0, 001 ... Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 10/47 SAMI.HUST – 2023 10 / 47
  11. 2.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 2.2.1.1 Hàm xác suất 2.2.1.2 Bảng phân phối xác suất 2 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 2.2.2.1 Định nghĩa 2.2.2.2 Tính chất 3 2.2.3 Hàm mật độ xác suất 2.2.3.1 Định nghĩa 2.2.3.2 Tính chất 4 2.2.4 Phân phối xác suất của hàm của một biến ngẫu nhiên 5 Bài tập Mục 2.2 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 11/47 SAMI.HUST – 2023 11 / 47
  12. Định nghĩa hàm phân phối xác suất Định nghĩa 3 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là FX (x), được định nghĩa như sau: FX (x) = P (X < x), x ∈ R. (3) (a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất (1) thì hàm phân phối là:  0,  x ≤ x1 ,  p1 , x1 < x ≤ x2 ,    FX (x) = p1 + p2 , x2 < x ≤ x3 , (4)  . . .     1, x > xn .  Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 12/47 SAMI.HUST – 2023 12 / 47
  13. Định nghĩa hàm phân phối xác suất Định nghĩa 3 (tiếp theo) (b) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất (2) thì hàm phân phối là:  0,  x ≤ x1 ,  p ,  1   x1 < x ≤ x2 ,  p + p , 1 2 x2 < x ≤ x3 , FX (x) = (5) . . .    n  i=1 pi ,   xn < x ≤ xn+1 ,   ... (c) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì FX (x) là hàm liên tục. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 13/47 SAMI.HUST – 2023 13 / 47
  14. Định nghĩa hàm phân phối xác suất  Đồ thị của hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc có dạng bậc thang (Hình 2). FX (x) 1 p1 + p2 p1 O x1 x2 x3 . . . xn x Hình 2: Đồ thị của hàm phân phối xác suất (4) Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 14/47 SAMI.HUST – 2023 14 / 47
  15. Định nghĩa hàm phân phối xác suất Ví dụ 10 Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X trong Ví dụ 7. Giải. Từ bảng phân phối xác suất ở Ví dụ 7, sử dụng (4) suy ra   0,  x ≤ 0, 0,  x ≤ 0,   115   115  ,  203  0 < x ≤ 1,  ,  203  0 < x ≤ 1, 115 75 190 FX (x) = 203 + 203 , 1 < x ≤ 2, = , 1 < x ≤ 2,  115 75 25  203  405  203 + 203 + 406 , 2 < x ≤ 3,  , 2 < x ≤ 3,     406   115 75 25 1  + 203 + 406 + 406 , x > 3. 1, x > 3.   203 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 15/47 SAMI.HUST – 2023 15 / 47
  16. Định nghĩa hàm phân phối xác suất  Ví dụ 10 cho thấy hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X còn có dạng FX (x) = P (X < x) = pk với mọi x ∈ R. xk
  17. Tính chất của hàm phân phối Tính chất 1 (a) 0 ≤ FX (x) ≤ 1 với mọi x ∈ R. (b) FX (x) là hàm không giảm, nghĩa là với mọi x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 thì FX (x1 ) ≤ FX (x2 ). Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì FX (x) là hàm gián đoạn với số điểm gián đoạn là số các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên và liên tục bên trái tại những điểm gián đoạn đó. (c) P (a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a). Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì P (X = a) = 0 và P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a < X < b) = FX (b) − FX (a). (d) limx→−∞ FX (x) = 0, limx→+∞ FX (x) = 1. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 17/47 SAMI.HUST – 2023 17 / 47
  18. Tính chất của hàm phân phối Ví dụ 11 Gọi X là đường kính của lỗ được khoan trên một sản phẩm kim loại. Kích thước tiêu chuẩn của đường kính được đặt ra là 12,5 milimét. Các tác động ngẫu nhiên trong quá trình khoan dẫn đến đường kính luôn lớn hơn quy định. Dữ liệu lịch sử cho thấy phân phối của X có thể được mô hình hóa bằng hàm phân phối xác suất 0, x ≤ 12, 5, FX (x) = 1 − e−20(x+k) , x > 12, 5. (a) Xác định hằng số k. (b) Nếu một sản phẩm có đường kính lớn hơn 12,6 milimét sẽ bị loại bỏ thì tỷ lệ sản phẩm bị loại bỏ là bao nhiêu? Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 18/47 SAMI.HUST – 2023 18 / 47
  19. Tính chất của hàm phân phối Giải. (a) Sử dụng Tính chất 1(b), vì FX (x) liên tục nên lim FX (x) = lim FX (x), hay e−20(12,5+k) = e0 . x→12,5− x→12,5+ Suy ra k = −12, 5. Thử lại, với k = −12, 5, hàm FX (x) thỏa mãn tất cả các tính chất của hàm phân phối. Vậy, 0, x ≤ 12, 5, FX (x) = 1 − e−20(x−12,5) , x > 12, 5. Hình 3 mô tả đồ thị của FX (x). (b) Sử dụng Tính chất 1(c), P (X > 12, 6) = 1 − FX (12, 6) = 1 − (1 − e−20(12,6−12,5) ) ≈ 0, 1353. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 19/47 SAMI.HUST – 2023 19 / 47
  20. Tính chất của hàm phân phối FX (x) 1 O 12, 5 x Hình 3: Đồ thị hàm phân phối xác suất của Ví dụ 11 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 2 – MỤC 2.2 20/47 SAMI.HUST – 2023 20 / 47
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2