Giải tích tổ hợp: Chuyên đề ôn thi 18 (mới nhất)

GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP Chuyeân ñeà 18:

I.KHAÙI NIEÄM VEÀ GIAI THÖØA:

1.Ñònh nghóa: Vôùi n∈Nvaø n > 1

Tích cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 ñeán n

ñöôïc goïi laø n - giai thöøa. Kyù hieäu : n!

Ta coù :

n! = 1.2...n

* Quy öôùc : 0! = 1 vaø 1! = 1

2. Moät soá coâng thöùc:

* n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2)...n (n ≥ k) *

n! (n k 1)(n k 2)...n

(n k)! =−+ −+

−

II. CAÙC QUY TAÉC CÔ BAÛN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:

1. QUY TAÉC COÄNG:

Ví duï: Coù 8 quyeån saùch khaùc nhau vaø 6 quyeån vôû khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät trong caùc

quyeån ñoù.

Quy taéc coäng cho tröôøng hôïp hai ñoái töôïng : (AÙp duïng khi ta phaân chia tröôøng hôïp ñeå ñeám)

Neáu coù m caùch choïn ñoái töôïng x

n caùch choïn ñoái töôïng y

vaø neáu caùch choïn x khoâng truøng vôùi baát kyø caùch choïn y naøo

thì coù (m+n) caùch choïn.

Toång quaùt:

Neáu coù m1 caùch choïn ñoái töôïng x1

m2 caùch choïn ñoái töôïng x2

.........................................

n caùch choïn ñoái töôïng xn

vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng xi khoâng truøng vôùi caùch choïn ñoái töôïng xj naøo (i j ; i,j=1,2,...,n)

≠

thì coù (m1+m2+...mn) caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho.

2. QUY TAÉC NHAÂN: (AÙp duïng khi ta phaân tích vieäc thöïc hieän moät pheùp choïn ra thaønh nhieàu böôùc lieân

tieáp )

Ví duï: An muoán ruû Bình ñeán chôi nhaø Cöôøng. Töø nhaø An ñeán nhaø Bình coù 3 con ñöôøng. Töø nhaø Bình ñeán

nhaø Cöôøng coù 4 con ñöôøng ñi. Hoûi An coù bao nhieâu caùch ñi ñeán nhaø Cöôøng

141

Quy taéc nhaân:

Neáu moät pheùp choïn ñöôïc thöïc hieän qua n böôùc lieân tieáp:

böôùc 1 coù m1 caùch choïn

böôùc 2 coù m2 caùch choïn

-----------------------------

böôùc n coù mn caùch choïn

thì coù (m1.m2...mn) caùch choïn.

Ví duï: Ngöôøi ta coù theå ghi nhaõn cho nhöõng chieác gheá trong moät giaûng ñöôøng baèng moät chöõ caùi vaø moät soá

nguyeân döông khoâng vöôïc quaù 100. Baèng caùch nhö vaäy, nhieàu nhaát coù bao nhieâu chieác gheá coù theå

ñöôïc ghi nhaõn khaùc nhau.

III. HOAÙN VÒ:

Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau.

1.Ñònh nghóa :

Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû (n >1).

Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû cuûa taäp hôïp X

ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù

2.Ñònh lyù :

Kyù hieän soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø Pn , ta coù coâng thöùc:

Pn!

Ví duï: Moät toå coù 10 hoïc sinh. Hoûi coù bao nhieâu caùch toå naøy ñöùng thaønh moät haøng doïc

IV.CHÆNH HÔÏP:

Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 2 chöõ soá khaùc nhau.

1.Ñònh nghóa:

Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû . Moãi boä goàm k (1 phaàn töû saép thöù töï cuûa taäp hôïp X

≤

)

ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû cuûa X.

Hoaùn vò

• Nhoùm coù thöù töï

• Ñuû maët n phaàn töû

cuûa X

n phaàn töû

142

Chænh hôïp

• Nhoùm coù thöù töï

• Goàm k phaàn töû

ñöôïc laáy töø n

phaàn töû cuûa X

n phaàn t

2.Ñònh lyù:

Kyù hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø , ta coù coâng thöùc:

A(n k)!

=−

Ví duï: Coù bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá goàm toaøn caùc chöõ soá leû khaùc nhau ?

V. TOÅ HÔÏP:

Ví duï: Cho taäp hôïp X=

{

.Vieát taát caû caùc taäp con cuûa X goàm 2 phaàn töû

}

3,2,1

1.Ñònh nghóa:

143

Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû .Moãi taäp con cuûa goàm k phaàn töû ( ) cuûa X

0kn≤≤

ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho.

2. Ñònh lyù :

Kyù hieäu soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø , ta coù coâng thöùc:

Ck!(n k)!

=−

Ví duï 1: Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ra 3 saûn phaåm

Toå hôïp

• Nhoùm khoâng coù

thöù töï

• Goàm k phaàn töû

ñöôïc laáy töø n

phaàn töû cuûa X

n phaàn töû

Ví duï 2: Trong maët phaúng cho 7 ñieåm, trong ñoù khoâng coù ba ñieåm naøo thaúng haøng. Hoûi coù bao nhieâu tam

giaùc ñöôïc taïo thaønh .

3.Moät soá coâng thöùc veà toå hôïp:

Toå hôïp coù hai tính chaát quan troïng sau ñaây:

a) vôùi moïi k = 0,1,...,n

−

b) vôùi moïi k = 0,1,...,n-1

kk1k

nn n

CC C

VI. NHÒ THÖÙC NIU TÔN:

n0n01n1 2n22 n0n knk

nn n n n

(a b) Cab Ca b Ca b ... Cab Ca b

−− −

+= + + ++ =

∑

Ví duï 1 : Khai trieån

)2( +x

Ví duï 2 : Chöùng minh raèng :

01 2 n

nnn n

CCC...C2++++=

LÖU YÙ QUAN TROÏNG:

Caùc baøi toaùn veà giaûi tích toå hôïp thöôøng laø nhöõng baøi toùan veà nhöõng haønh ñoäng nhö :

laäp caùc soá töø caùc soá ñaõ cho ,saép xeáp moät soá ngöôøi hay ñoà vaät vaøo nhöõng vò trí nhaát ñònh ,

laäp caùc nhoùm ngöôøi hay ñoà vaät thoûa maõn moät soá ñieàu kieän ñaõ cho v.v...

1. Neáu nhöõng haønh ñoäng naøy goàm nhieàu giai ñoïan thì caàn tìm soá caùch choïn cho moãi

giai ñoïan roài aùp duïng quy taéc nhaân.

2. Nhöõng baøi toaùn maø keát quaû thay ñoåi neáu ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû ,

thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn lieân quan ñeán hoaùn vò vaø chænh hôïp.

3. Ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn maø keát quaû ñöôïc giöõ nguyeân khi ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû

thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn veà toå hôïp.

Luyeän taäp

Baøi 1: Töø caùc chöõ soá 1,2,3,4,5,6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù boán chöõ soá

a) Caùc chöõ soá khoâng caàn khaùc nhau

b) Caùc chöõ soá khaùc nhau

c) Soá ñaàu vaø soá cuoái truøng nhau, khaùc vôùi 3 soá giöõa.

Baøi 2: Töø caùc chöõ soá 0,1,2,3,4,5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu

a) Soá coù 3 chöõ soá

b) Soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau

c) Soá chaün coù 3 chöõ soá khaùc nhau

d) Soá nhoû hôn 2005, khaùc 0

Baøi 3: Coù bao nhieâu caùch xeáp 7 ngöôøi ngoài vaøo moät daõy baøn coù coù baûy choå ngoài

Baøi 4: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn 3 ngöôøi tröïc lôùp

a) Moät caùch tuøy yù.

b) Coù ñuùng moät nöõ

c) Coù ít nhaát moät nöõ

d) Coù nhieàu nhaát hai nöõ

Baøi 5: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn moät ban caùn söï goàm 1 lôùp tröôûng, 1 lôùp phoù

hoïc taäp, 1 lôùp phoù phong traøo

a) Moät caùch tuyø yù

b) Lôùp tröôûng laø nöõ

c) Coù ñuùng moät nöõ

d) Coù ít nhaát moät nöõ

Baøi 6: Cho n ñieåm A1,A2,...,An thuoäc ñöôøng thaúng a vaø moät ñieåm B khoâng thuoäc ñöôøng thaúng a. Noái B vôùi

A1,A2,...,An. Hoûi coù bao nhieâu tam giaùc ñöôïc taïo thaønh?

Baøi 7: Treân ñöôøng troøn cho n ñieåm A1,A2,...,An.Hoûi neáu laáy caùc ñieåm naøy laøm ñænh thì:

144

a) Xaùc ñònh ñöôïc bao nhieâu tam giaùc

b) Xaùc ñònh ñöôïc bao nhieâu töù giaùc loài

BAØI TAÄP REØN LUYEÄN

I. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:

Baøi 1:Töø 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün , moåi soá goàm 5

chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi. KQ: 1260

Baøi 2: Moät toå goàm 8 nam vaø 6 nöõ . Caàn laáy moät nhoùm 5 ngöôøi trong ñoù coù 2 nöõ . Hoûi coù bao

nhieâu caùch choïn. KQ: 840

Baøi 3: Cho hai ñöôøng thaúng song song (d1) , (d2) . Treân (d1) laáy 17 ñieåm phaân bieät , treân (d2)

laáy 20 ñieåm phaân bieät . Tính soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 ñieåm trong soá 37 ñieåm ñaõ

choïn treân (d1) vaø (d2) . KQ:5950

Baøi 4: Töø moät taäp theå goàm 12 hoïc sinh öu tuù , ngöôøi ta caàn cöû moät ñoaøn ñi döï traïi heø quoác teá

trong ñoù coù moät tröôûng ñoaøn , 1 phoù ñoaøn vaø 3 ñoaøn vieân . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû ?

KQ: 15840

Baøi 5: Xeùt daõy goàm 7 chöõ soá , moåi chöõ soá ñöôïc choïn töø caùc soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoaû maõn

caùc ñieàu kieän sau :

- Chöõ soá vò trí soá 3 laø soá chaün

- Chöõ soá cuoái cuøng khoâng chia heát cho 5

- Caùc chöõ soá ôû vò trí 4,5,6 ñoâi moät khaùc nhau

Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn . KQ:2.880.000

Baøi 6: Ngöôøi ta vieát caùc soá coù 6 chöõ soá baèng caùc chöõ soá 1,2,3,4,5 nhö sau: Trong moãi soá ñöôïc

vieát coù moät chöõ soá xuaát hieän hai laàn coøn caùc chöõ soá coøn laïi xuaát hieän moät laàn . Hoûi coù

bao nhieâu soá nhö vaäy. KQ:1800

Baøi 7: Cho taäp hôïp

{

}

A 1,2,3,4,5,6,7,8=

a) Coù bao nhieâu taäp hôïp con X cuûa taäp A thoaû ñieàu kieän chöùa moät vaø khoâng chöùa 2 ?

b) Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau laáy töø taäp A vaø

khoâng baét ñaàu bôûi 123? KQ: a) 64 b) 3348

Baøi 8: Vôùi 6 chöõ soá phaân bieät 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá phaân

bieät trong ñoù moãi soá ñieàu phaûi coù maët soá 6. KQ: 1630

Baøi 9: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi sao cho taát caû caùc chöû soá

ñeàu khaùc khoâng vaø coù maët ñoàng thôøi caùc chöõ soá 2, 4, 5. KQ: 1800

Baøi 10: Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 10 chöõ soá ñöôïc

choïn töø 8 chöõ soá treân , trong ñoù chöõ soá 6 coù maët ñuùng 3 laàn , caùc chöõ soá khaùc coù maët

ñuùng 1 laàn . KQ: 544.320

Baøi 11: Coù 9 vieân bi xanh , 5 vieân bi ñoû , 5 vieân bi vaøng coù kích thöùôc ñoâi moät khaùc nhau .

1) Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi ñoû ? KQ:10.010

2) Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi trong ñoù soá bi xanh baèng soá bi ñoû? KQ:4.665

Baøi 12: Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû , 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng . Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù .

Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng ñuû caû 3 maøu. KQ:645

Baøi 13: Cho 8 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7 .Töø 8 chöõ soá soá treân coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá , moãi soá

goàm 4 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau vaø moãi soá ñeàu khoâng chia heát cho 10. KQ: 1260

Baøi 14:Hoûi töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc

nhau sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø soá 1. KQ:42000

Baøi 15: Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù chöõ soá ñaàu tieân laø soá leû?

145

Chuyên đề ôn thi 18: Giải tích tổ hợp

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi