Chuyên đề ôn thi 18: Giải tích tổ hợp

Chia sẻ: Nguyễn Đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyeân ñeà 18: GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP I.KHAÙI NIEÄM VEÀ GIAI THÖØA: 1.Ñònh nghóa: Vôùi n ∈ Nvaø n 1 Tích cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 ñeán n ñöôïc goïi laø n - giai thöøa. Kyù hieäu : n! Ta coù : n! = 1.2...n * Quy öôùc : 0! = 1 vaø 1! = 1 2. Moät soá coâng thöùc: n! n! = (n − k + 1)(n − k + 2)...n * n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2)...n (n ≥ k) * (n − k)! k! II. CAÙC QUY TAÉC CÔ BAÛN VEÀ PHEÙP ÑEÁM:...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi 18: Giải tích tổ hợp

GIAÛI TÍCH TOÅ HÔÏP Chuyeân ñeà 18 : I.KHAÙI NIEÄM VEÀ GIAI THÖØA: 1.Ñònh nghóa: Vôùi n ∈ Nvaø n > 1 Tích cuûa n soá töï nhieân lieân tieáp töø 1 ñeán n ñöôïc goïi laø n - giai thöøa. Kyù hieäu : n! Ta coù : n! = 1.2...n * Quy öôùc : 0! = 1 vaø 1! = 1 2. Moät soá coâng thöùc: n! n! * n! = (n - 1)!.n * = (k+1)(k+2)...n (n ≥ k) * = (n − k + 1)(n − k + 2)...n (n − k)! k! II. CAÙC QUY TAÉC CÔ BAÛN VEÀ PHEÙP ÑEÁM: 1. QUY TAÉC COÄNG: Ví duï: Coù 8 quyeån saùch khaùc nhau vaø 6 quyeån vôû khaùc nhau. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn moät trong caùc quyeån ñoù. Quy taéc coäng cho tröôøng hôïp hai ñoái töôïng : (AÙp duïng khi ta phaân chia tröôøng hôïp ñeå ñeám) Neáu coù m caùch choïn ñoái töôïng x n caùch choïn ñoái töôïng y vaø neáu caùch choïn x khoâng truøng vôùi baát kyø caùch choïn y naøo thì coù (m+n) caùch choïn. Toång quaùt: Neáu coù m1 caùch choïn ñoái töôïng x1 m2 caùch choïn ñoái töôïng x2 ......................................... mn caùch choïn ñoái töôïng xn vaø neáu caùch choïn ñoái töôïng xi khoâng truøng vôùi caùch choïn ñoái töôïng xj naøo (i ≠ j ; i,j=1,2,...,n) thì coù (m1+m2+...mn) caùch choïn moät trong caùc ñoái töôïng ñaõ cho. 2. QUY TAÉC NHAÂN: (AÙp duïng khi ta phaân tích vieäc thöïc hieän moät pheùp choïn ra thaønh nhieàu böôùc lieân tieáp ) Ví duï: An muoán ruû Bình ñeán chôi nhaø Cöôøng. Töø nhaø An ñeán nhaø Bình coù 3 con ñöôøng. Töø nhaø Bình ñeán nhaø Cöôøng coù 4 con ñöôøng ñi. Hoûi An coù bao nhieâu caùch ñi ñeán nhaø Cöôøng 141
Quy taéc nhaân: Neáu moät pheùp choïn ñöôïc thöïc hieän qua n böôùc lieân tieáp: böôùc 1 coù m1 caùch choïn böôùc 2 coù m2 caùch choïn ----------------------------- böôùc n coù mn caùch choïn thì coù (m1.m2...mn) caùch choïn. Ví duï: Ngöôøi ta coù theå ghi nhaõn cho nhöõng chieác gheá trong moät giaûng ñöôøng baèng moät chöõ caùi vaø moät soá nguyeân döông khoâng vöôïc quaù 100. Baèng caùch nhö vaäy, nhieàu nhaát coù bao nhieâu chieác gheá coù theå ñöôïc ghi nhaõn khaùc nhau. III. HOAÙN VÒ: Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 3 chöõ soá khaùc nhau. 1.Ñònh nghóa : Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû (n >1). Moãi caùch saép thöù töï n phaàn töû cuûa taäp hôïp X ñöôïc goïi laø moät hoaùn vò cuûa n phaàn töû ñoù Hoaùn vò Nhoùm coù thöù töï • n phaàn töû Ñuû maët n phaàn töû • cuûa X 2.Ñònh lyù : Kyù hieän soá hoaùn vò cuûa n phaàn töû laø Pn , ta coù coâng thöùc: Pn = n ! Ví duï: Moät toå coù 10 hoïc sinh. Hoûi coù bao nhieâu caùch toå naøy ñöùng thaønh moät haøng doïc IV.CHÆNH HÔÏP: Ví duï: Töø caùc chöõ soá 1;2;3 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá töï nhieân coù 2 chöõ soá khaùc nhau. 1.Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû . Moãi boä goàm k ( 1 ≤ k ≤ n) phaàn töû saép thöù töï cuûa taäp hôïp X ñöôïc goïi laø moät chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû cuûa X. Chænh hôïp • Nhoùm coù thöù töï • Goàm k phaàn töû n phaàn töû ñöôïc laáy töø n 142 phaàn töû cuûa X
2.Ñònh lyù: Kyù hieäu soá chænh hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø A k , ta coù coâng thöùc: n n! Ak = (n − k)! n Ví duï: Coù bao nhieâu soá coù 3 chöõ soá goàm toaøn caùc chöõ soá leû khaùc nhau ? V. TOÅ HÔÏP: Ví duï: Cho taäp hôïp X= { ,2,3} .Vieát taát caû caùc taäp con cuûa X goàm 2 phaàn töû 1 1.Ñònh nghóa: Cho taäp hôïp X goàm n phaàn töû .Moãi taäp con cuûa goàm k phaàn töû ( 0 ≤ k ≤ n ) cuûa X ñöôïc goïi laø moät toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû ñaõ cho. Toå hôïp Nhoùm khoâng coù • thöù töï n phaàn töû Goàm k phaàn töû • ñöôïc laáy töø n phaàn töû cuûa X 2. Ñònh lyù : Kyù hieäu soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû laø Ck , ta coù coâng thöùc: n n! Ck = k!(n − k)! n Ví duï 1: Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ra 3 saûn phaåm Ví duï 2: Trong maët phaúng cho 7 ñieåm, trong ñoù khoâng coù ba ñieåm naøo thaúng haøng. Hoûi coù bao nhieâu tam giaùc ñöôïc taïo thaønh . 3.Moät soá coâng thöùc veà toå hôïp: Toå hôïp coù hai tính chaát quan troïng sau ñaây: a) C k = C n − k vôùi moïi k = 0,1,...,n n n b) C k + C k +1 = C k +1 vôùi moïi k = 0,1,...,n-1 n +1 n n 143
VI. NHÒ THÖÙC NIU TÔN: n (a + b)n = C0 a n b0 + C1 a n −1b + Cn a n − 2 b 2 + ... + Cn a 0 b n = ∑ Cn a n − k b k 2 n k n n k =0 Ví duï 1 : Khai trieån ( x + 2) 6 Ví duï 2 : Chöùng minh raèng : C0 + C1 + C 2 + ... + C n = 2 n n n n n LÖU YÙ QUAN TROÏNG: Caùc baøi toaùn veà giaûi tích toå hôïp thöôøng laø nhöõng baøi toùan veà nhöõng haønh ñoäng nhö : laäp caùc soá töø caùc soá ñaõ cho ,saép xeáp moät soá ngöôøi hay ñoà vaät vaøo nhöõng vò trí nhaát ñònh , laäp caùc nhoùm ngöôøi hay ñoà vaät thoûa maõn moät soá ñieàu kieän ñaõ cho v.v... 1. Neáu nhöõng haønh ñoäng naøy goàm nhieàu giai ñoïan thì caàn tìm soá caùch choïn cho moãi giai ñoïan roài aùp duïng quy taéc nhaân. 2. Nhöõng baøi toaùn maø keát quaû thay ñoåi neáu ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû , thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn lieân quan ñeán hoaùn vò vaø chænh hôïp. 3. Ñoái vôùi nhöõng baøi toaùn maø keát quaû ñöôïc giöõ nguyeân khi ta thay ñoåi vò trí cuûa caùc phaàn töû thì ñaây laø nhöõng baøi toaùn veà toå hôïp. Luyeän taäp Baøi 1: Töø caùc chöõ soá 1,2,3,4,5,6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù boán chöõ soá a) Caùc chöõ soá khoâng caàn khaùc nhau b) Caùc chöõ soá khaùc nhau c) Soá ñaàu vaø soá cuoái truøng nhau, khaùc vôùi 3 soá giöõa. Baøi 2: Töø caùc chöõ soá 0,1,2,3,4,5 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu a) Soá coù 3 chöõ soá b) Soá coù 3 chöõ soá khaùc nhau c) Soá chaün coù 3 chöõ soá khaùc nhau d) Soá nhoû hôn 2005, khaùc 0 Baøi 3: Coù bao nhieâu caùch xeáp 7 ngöôøi ngoài vaøo moät daõy baøn coù coù baûy choå ngoài Baøi 4: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn 3 ngöôøi tröïc lôùp a) Moät caùch tuøy yù. b) Coù ñuùng moät nöõ c) Coù ít nhaát moät nöõ d) Coù nhieàu nhaát hai nöõ Baøi 5: Moät lôùp hoïc coù 20 nam, 10 nöõ. Coù bao nhieâu caùch choïn moät ban caùn söï goàm 1 lôùp tröôûng, 1 lôùp phoù hoïc taäp, 1 lôùp phoù phong traøo a) Moät caùch tuyø yù b) Lôùp tröôûng laø nöõ c) Coù ñuùng moät nöõ d) Coù ít nhaát moät nöõ Baøi 6: Cho n ñieåm A1,A2,...,An thuoäc ñöôøng thaúng a vaø moät ñieåm B khoâng thuoäc ñöôøng thaúng a. Noái B vôùi A1,A2,...,An. Hoûi coù bao nhieâu tam giaùc ñöôïc taïo thaønh? Baøi 7: Treân ñöôøng troøn cho n ñieåm A1,A2,...,An.Hoûi neáu laáy caùc ñieåm naøy laøm ñænh thì: 144
a) Xaùc ñònh ñöôïc bao nhieâu tam giaùc b) Xaùc ñònh ñöôïc bao nhieâu töù giaùc loài BAØI TAÄP REØN LUYEÄN I. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ PHEÙP ÑEÁM: Baøi 1:Töø 7 chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå thaønh laäp ñöôïc bao nhieâu soá chaün , moåi soá goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi. KQ: 1260 Baøi 2: Moät toå goàm 8 nam vaø 6 nöõ . Caàn laáy moät nhoùm 5 ngöôøi trong ñoù coù 2 nöõ . Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn. KQ: 840 Baøi 3: Cho hai ñöôøng thaúng song song (d1) , (d2) . Treân (d1) laáy 17 ñieåm phaân bieät , treân (d2) laáy 20 ñieåm phaân bieät . Tính soá tam giaùc coù caùc ñænh laø 3 ñieåm trong soá 37 ñieåm ñaõ choïn treân (d1) vaø (d2) . KQ:5950 Baøi 4: Töø moät taäp theå goàm 12 hoïc sinh öu tuù , ngöôøi ta caàn cöû moät ñoaøn ñi döï traïi heø quoác teá trong ñoù coù moät tröôûng ñoaøn , 1 phoù ñoaøn vaø 3 ñoaøn vieân . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû ? KQ: 15840 Baøi 5: Xeùt daõy goàm 7 chöõ soá , moåi chöõ soá ñöôïc choïn töø caùc soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 thoaû maõn caùc ñieàu kieän sau : - Chöõ soá vò trí soá 3 laø soá chaün - Chöõ soá cuoái cuøng khoâng chia heát cho 5 - Caùc chöõ soá ôû vò trí 4,5,6 ñoâi moät khaùc nhau Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn . KQ:2.880.000 Baøi 6: Ngöôøi ta vieát caùc soá coù 6 chöõ soá baèng caùc chöõ soá 1,2,3,4,5 nhö sau: Trong moãi soá ñöôïc vieát coù moät chöõ soá xuaát hieän hai laàn coøn caùc chöõ soá coøn laïi xuaát hieän moät laàn . Hoûi coù bao nhieâu soá nhö vaäy. KQ:1800 Baøi 7: Cho taäp hôïp A = {1,2,3,4,5,6,7,8} a) Coù bao nhieâu taäp hôïp con X cuûa taäp A thoaû ñieàu kieän chöùa moät vaø khoâng chöùa 2 ? b) Coù bao nhieâu soá töï nhieân chaün goàm 5 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau laáy töø taäp A vaø khoâng baét ñaàu bôûi 123? KQ: a) 64 b) 3348 Baøi 8: Vôùi 6 chöõ soá phaân bieät 1, 2, 3, 4, 5, 6 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù caùc chöõ soá phaân bieät trong ñoù moãi soá ñieàu phaûi coù maët soá 6. KQ: 1630 Baøi 9: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi sao cho taát caû caùc chöû soá ñeàu khaùc khoâng vaø coù maët ñoàng thôøi caùc chöõ soá 2, 4, 5. KQ: 1800 Baøi 10: Cho caùc chöõ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 10 chöõ soá ñöôïc choïn töø 8 chöõ soá treân , trong ñoù chöõ soá 6 coù maët ñuùng 3 laàn , caùc chöõ soá khaùc coù maët ñuùng 1 laàn . KQ: 544.320 Baøi 11: Coù 9 vieân bi xanh , 5 vieân bi ñoû , 5 vieân bi vaøng coù kích thöùôc ñoâi moät khaùc nhau . 1) Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi trong ñoù coù ñuùng 2 vieân bi ñoû ? KQ:10.010 2) Coù bao nhieâu caùch choïn ra 6 vieân bi trong ñoù soá bi xanh baèng soá bi ñoû? KQ:4.665 Baøi 12: Moät hoäp ñöïng 4 vieân bi ñoû , 5 vieân bi traéng vaø 6 vieân bi vaøng . Ngöôøi ta choïn ra 4 vieân bi töø hoäp ñoù . Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå trong soá bi laáy ra khoâng ñuû caû 3 maøu. KQ:645 Baøi 13: Cho 8 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7 .Töø 8 chöõ soá soá treân coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá , moãi soá goàm 4 chöõ soá ñoâi moät khaùc nhau vaø moãi soá ñeàu khoâng chia heát cho 10. KQ: 1260 Baøi 14:Hoûi töø 10 chöõ soá 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau sao cho trong caùc chöõ soá ñoù coù maët soá 0 vaø soá 1. KQ:42000 Baøi 15: Coù bao nhieâu soá chaün goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù chöõ soá ñaàu tieân laø soá leû? 145
KQ: 42000 Baøi 16: Coù bao nhieâu soá goàm 6 chöõ soá khaùc nhau töøng ñoâi moät trong ñoù coù ñuùng 3 chöõ soá leû vaø 3 chöõ soá chaün ( chöõ soá ñaàu tieân phaûi khaùc khoâng ). KQ:64800 Baøi 17: Trong maët phaúng cho ña giaùc ñeàu H coù 20 caïnh . Xeùt caùc tam giaùc coù ñuùng 3 ñænh ñöôïc laáy töø caùc ñænh cuûa H . 1) Coù bao nhieâu tam giaùc nhö vaäy? Coù bao nhieâu tam giaùc maø coù ñuùng hai caïnh laø hai caïnh cuûa H . KQ:20 2) Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñuùng moät caïnh laø caïnh cuûa H? KQ:320 Coù bao nhieâu tam giaùc khoâng coù caïnh naøo laø caïnh cuûa H? KQ:800 Baøi 18: Moät lôùp hoïc coù 20 hoïc sinh , trong ñoù coù hai caùn boä lôùp . Hoûi coù bao nhieâu caùch cöû 3 ngöôøi ñi döï Hoäi nghò sinh vieân cuûa tröôøng sao cho trong 3 ngöôøi ñoù coù ít nhaát moät caùn boä lôùp . KQ:324 Baøi 19: Coù 5 nhaø toaùn hoïc nam , 3 nhaø toaùn hoïc nöõ vaø 4 nhaø vaät lyù nam . Laäp moät ñoaøn coâng taùc 3 ngöôøi caàn coù caû nam vaø nöõ , caàn coù caû nhaø toaùn hoïc vaø nhaø vaät lyù . Hoûi coù bao nhieâu caùch. KQ:90 Baøi 20: Cho ña giaùc ñeàu A1 A2 ... A2 n (n ≥ 2 , n nguyeân) noäi tieáp trong (O). Bieát raèng soá tam giaùc coù ñænh laø 3 trong 2n ñieåm A1 , A2 ,..., A2 n nhieàu gaáp 20 laàn soá hình chöõ nhaät coù caùc ñænh laø 4 trong 2n ñieåm A1 , A2 ,..., A2 n . Tìm n. Baøi 21: Cho taäp hôïp A = { ;2;3;4;5;6;7;8;9} . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau 1 sao cho caùc soá naøy chia heát cho 5 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû? Baøi 22: Cho taäp hôïp A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 0 vaø 3? Baøi 23: Cho taäp hôïp A = { ;2;3;4;5;6;7;8;9} . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau 1 sao cho chöõ soá thöù ba chia heát cho 3 vaø chöõ soá cuoái chaün? Baøi 24: Cho taäp hôïp A = { ;2;3;4;5;6;7;8;9} . Töø taäp A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá coù saùu chöõ soá khaùc nhau 1 sao cho caùc soá naøy chia heát cho 2 vaø coù ñuùng 3 chöõ soá leû? Baøi 25: Cho taäp hôïp A = {0;1;2;3;4;5;6;7} . Töø A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá : a) Coù naêm chöõ soá khaùc nhau vaø chöõ soá 7 luoân coù maët moät laàn b) Coù saùu chöõ soá sao cho caùc soá naøy luoân leû; chöõ soá ñöùng ôû vò trí thöù ba luoân chia heát cho 6? Baøi 26: Cho taäp hôïp A = {0;1;2;3;4;5;6;7; ;8;9} . Töø A coù theå laäp ñöôïc bao nhieâu soá : a) Coù saùu chöõ soá khaùc nhau sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 0 vaø 3 b) Coù baûy chöõ soá khaùc nhau sao cho luoân coù maët hai chöõ soá 2 vaø 5 Baøi 27: Moät tröôøng trung hoïc coù 8 thaày daïy toaùn, 5 thaày daïy vaät lyù, vaø ba thaày daïy hoùa hoïc. Choïn töø ñoù ra moät ñoäi coù 4 thaày döï ñaïi hoäi. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn ñeå coù ñuû ba boä moân? Baøi 28: Cho taäp hôïp A goàm n phaàn töû (n ≥ 4) . Bieát raèng, soá taäp con goàm 4 phaàn töû cuûa A baèng 20 laàn soá taäp con goàm 2 phaàn töû cuûa A. Tìm k ∈ { ,2,.., n} sao cho soá taäp con goàm k phaàn töû cuûa A laø lôùn nhaát 1 Baøi 29: Ñoäi thanh nhieân xung kích cuûa moät tröôøng phoå thoâng coù 12 hoïc sinh, goàm 5 hoïc sinh lôùp A, 4 hoïc sinh lôùp B, vaø 3 hoïc sinh lôùp C. Caàn choïn 4 hoïc sinh ñi laøm nhieäm vuï, sao cho 4 hoïc sinh naøy thuoäc khoâng quaù 2 trong 3 lôùp treân. Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn nhö vaäy? Baøi 30: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm hai chöõ soá khaùc nhau ? Tính toång cuûa taát caû caùc soá ñoù. Baøi 31: Coù bao nhieâu soá töï nhieân goàm 5 chöõ soá, chöõ soá 0 coù maët ñuùng 2 laàn, chöõ soá 1 coù maët ñuùng moät laàn, hai chöõ soá coøn laïi phaân bieät II. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI PT,BPT,HPT: 146
Baøi 1: Giaûi phöông trình : Px Ax2 + 72 = 6( Ax2 + 2 Px ) Baøi 2: Giaûi phöông trình: C 1 + 6C x2 + 6C x = 9 x 2 − 14 x 3 x Baøi 3:Giaûi phöông trình: − − x 2 C xx−14 = A4 C x −1 − xC xx−14 23 5 Baøi 4: Giaûi baát phöông trình: C x4−1 − C x −1 − Ax2− 2 ≤ 0 3 4 ⎧2 Ax + 5C x = 90 y y ⎪ Baøi 5: Giaûi heä phöông trình: ⎨y ⎪5 Ax + 2C xy = 80 ⎩ ⎧x 1 ⎪C y : C y + 2 = 3 x ⎧C xy++11 = C xy+1 ⎪ ⎪ Baøi 6: Giaûi heä phöông trình: a) b) ⎨ ( x ≥ y) ⎨y ⎪3C x +1 = 5C xy+−11 ⎪C x : A x = 1 ⎩ ⎪y ⎩ y 24 Baøi 7: Tìm caùc soá nguyeân döông m, n thoûa maõn: C nm++1 : C n +1 : C n +−1 = 5 : 5 : 3 m m 1 1 III. CAÙC BAØI TOAÙN VEÀ NHÒ THÖÙC NIU-TÔN: 21 ⎛ 1⎞ 43 Baøi 1: Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x trong khai trieån ⎜ x 5 + ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ x2 ⎠ 3 n ⎛ ⎞ 1 Baøi 2: Bieát toång heä soá cuûa ba soá haïng ñaàu tieân trong khai trieån ⎜ x 3 x + ⎟ baèng 79. Tìm soá haïng ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 15 28 x khoâng chöùa x n ⎛ 3⎞ Baøi 3: Cho khai trieån ⎜ x 3 + ⎟ . Bieát toång heä soá cuûa ba soá haïng ñaàu tieân trong khai trieån treân ⎜ ⎟ ⎝ x2 ⎠ 3 baèng 631. Tìm heä soá cuûa soá haïng coù chöùa x5. n ⎛ 1⎞ Baøi 4: Tìm giaù trò cuûa x sao cho trong khai trieån cuûa ⎜ 2 x + ⎟ ( n laø soá nguyeân döông ) coù soá haïng ⎜ x −1 ⎟ 2 ⎝ ⎠ thöù 3 vaø thöù 5 coù toång baèng 135, coøn caùc heä soá cuûa ba soá haïng cuoái cuûa khai trieån ñoù coù toång baèng 22 9 ⎛ 1⎞ Baøi 5: Tìm soá haïng khoâng chöùa x trong khai trieån : P ( x) = ⎜1 + 2 x − 2 ⎟ ⎝ x⎠ Baøi 6: Chöùng minh raèng: C n + 3C n + 3C n + C n = C n +3 vôùi 3 ≤ k ≤ n k −1 k −2 k −3 k k n(n + 1) 2 C3 Ck Cn Cn Baøi 7: Chöùng minh raèng : C n + 2. + 3. n + ... + k . kn−1 + ... + n. nn−1 = 1 1 2 2 Cn Cn Cn Cn Baøi 8: Chöùng minh raèng : 2 n C n + 2 n −1.71.C n + 2 n − 2.7 2.C n + ... + 7 n C n = 9 n 0 1 2 n Baøi 9: Chöùng minh raèng : n 2 n −1 C n + ( n − 1) 2 n − 2.3.C n + (n − 2) 2 n −3.3 2.C n + ... + 3 n −1 C nn −1 = n.5 n −1 0 1 2 2 n +1 n 3 n +1 − 1 22 1 23 2 Baøi 10: Chöùng minh raèng: 2C n + C n + C n + ... + Cn = 0 n +1 n +1 2 3 Baøi 11: Tính toång : S = C 2005 + 2C 2005 + 3C 2005 + ... + C 2005 0 1 2 2005 n ⎛1 ⎞ Baøi 12: Tìm heä soá cuûa soá haïng chöùa x26 trong khai trieån nhò thöùc Niutôn cuûa ⎜ 4 + x 7 ⎟ , bieát raèng ⎝x ⎠ C 2 n +1 + C 2 n +1 + ... + C 2 n +1 = 2 − 1 1 2 n 20 147
(n + 1).C n 0 1 2 n 1.C n 2.C n 3.C n Baøi 13: Tính toång S = , bieát raèng C n + C n + C n = 211 + 1 + 1 + ... + 0 1 2 1 1 A1 A2 A3 An +1 Baøi 14: Khai trieån bieåu thöùc (1 − 2 x ) n ta ñöôïc ña thöùc coù daïng a 0 + a1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n . Tìm heä soá cuûa x5, bieát a 0 + a1 + a 2 = 71 ( ) Baøi 15: Tìm heä soá cuûa x 29 y 8 trong khai trieån cuûa x 3 − xy 15 Baøi 16: Tìm n ∈ N sao cho : C 4 n + 2 + C 4 n + 2 + C 4 n + 2 + ... + C 4 n + 2 = 256 0 1 2 2n 1 1 1 Baøi 17: Tìm soá töï nhieân n sao cho : n − n = n C 4 C5 C6 Baøi 18: Chöùng minh raèng C n 3 n − C n 3 n −1 + ... + ( −1) n C n = C n + C n + ...C nn 3 1 n 0 1 1 1 Baøi 19: Cho A = ( x − 2 ) 20 + ( x 3 − )10 . Sau khi khai trieån vaø ruùt goïn thì bieåu thöùc A seõ goàm bao nhieâu soá x x haïng? Baøi 20: Tìm soá töï nhieân n thoûa maõn ñaúng thöùc sau: C 2 n + C 2 n 3 2 + ... + C 2 n 3 2 k + ... + C 2 n − 2 3 2 n − 2 + C 2 n 3 2 n = 215 ( 216 + 1) 0 2 2k 2n 2n -----------------Heát------------------- 148