Cần Thơ, ngày 26 tháng 08 năm 2009
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN
----------------
BÀI BÁO CÁO
MÔN GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
NHÓM 03
CHỦ ĐỀ 1: VECTƠ
GVHD: Lại Thị Cẩm
Các thành viên: 1. Trần Thị Kim Luyến MSSV: 1050042
2. Nguyễn Hoàng Anh MSSV: 1070109
3. Chế Ngọc Hà MSSV: 1070126
4. Lê Thúy Hằng MSSV: 1070127
5. Nguyễn Hòang Long MSSV: 1070142
6. Lý Sel MSSV: 1070157
7. Thạch Thanh Tâm MSSV: 1070163
TOÙM TẮT LÍ THUYẾT VECTƠ
I. Các định nghĩa:
• Vectô laø ñoaïn thaúng coù đònh höôùng Kyù hieäu :
A
B
u
uur ; hoaëc
CD
uuur a
r
; b
r
• Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng ñieåm cuoái. Kyù hieäu 0
r
.
• Giaù của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của
vectơ.
• Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song song hoaëc truøng
nhau.
• Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng.
• Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi.
II. Tổng và hiệu của hai vectơ:
• Ñònh nghóa: Cho
A
Ba
=
uuurr
; BC b
=
uur r . Khi ñoù
A
Cab
=
+
u
uur r r
• Tính chaát : * Giao hoaùn : ab
+
r
r = ba
+
r
r
* Keát hôïp (ab
+
r
r) +c
r
= (ab
+
r
r +c
r
)
* Tính chaát vectô –khoâng a
r
+0
r
=a
r
• Quy taéc 3 ñieåm :
Cho A, B ,C tuøy yù. Ta coù :
A
B
u
uur+BC
u
uur =
A
C
u
uur
• Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì
A
B
uuur+
A
D
uuur =
AC
uuur
• Quy taéc veà hieäu vectô : Cho BC , với điểm O tuøy yù ta coù :
CBOCOB =− .
• Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 0=+ MBMA .
• Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì 0=++ GCGBGA .
• Nếu AM là một trung tuyến của tam giác ABC thì AMACAB 2=+ .
III. Tích của vectơ với một số:
• Cho k∈R , ka laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh:
* Neáu k ≥ 0 thì ka cuøng höôùng vôùi a ; k < 0 thì ka ngöôïc höôùng
vôùi a
* Ñoä daøi vectô k a baèng k.⎢a⎢
• Tính chaát :
a) k(ma) = (km) a
b) (k + m) a = ka + ma
c) k(a + b) = ka + kb
d) k a = 0 ⇔k = 0 hoaëc
ra = 0
r
• b cuøng phöông (
ra
ra
r
≠0
r
) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa b =k .
ra
r
• Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho
A
B
uuur =k .
AC
uuur
• Cho b khoâng cuøngphöông
ra
r
, ∀
x
r
luoân ñöôïc bieåu dieãn
x
r= m a
r
+
nb ( m, n duy nhaát ).
r
IV. Trục tọa độ và hệ trục tọa độ:
• Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô coù ñoä
daøi baèng 1.
i
r
Kyù hieäu truïc (O; i
r
) hoaéc x’Ox
• A,B naèm treân truïc (O; i
r
) thì
A
B=
A
Bi
r
. Khi ñoù
A
B goïi laø ñoä daøi
ñaïi soá cuûa
A
B.
• Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox ⊥ Oy. Kyù hieäu Oxy hoaëc
(O; ;
i
r
j
r).
• Ñoái vôùi heä truïc (O; i
r
;
j
r
), neáu a
r
=x i
r
+y
j
r
thì (x;y) laø toaï ñoä cuûa
. Kyù hieäu = (x;y).
a
ra
r
• Cho = (x;y) ; = (x’;y’) ta coù :
a
rb
r
± = (x ± x’;y ± y’)
r
a
rb
r
k
a=(kx ; ky) ; ∀ k ∈ R
cuøng phöông b
ra
r
(a
r
≠0
r
) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa
x’=kx vaø y’= ky.
• Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù:
P laø trung ñieåm MN thì xp = 2
M
N
x
x
+
vaø yP = 2
M
N
yy+
M
N
uuuur = (xM – xN ; yM – yN).
• Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì
xG = 3
A
BC
x
xx++ vaø yG = 2
ABC
yyy
+
+.
☺ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VECTƠ
1. Chứng minh đẳng thức vectơ:
• Phương pháp chung:
- Quy tắc 3 điểm: BCCABA
r
r
r
+=
BCCABA
r
r
r
=−
- Quy tắc hình bình hành: với hình bình hành ABCD ta luôn
có: CABADA
r
r
r
=+
- Quy tắc trung điểm: với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm AB luôn có:
B
M
A
M
I
M
r
r
r+=2.
- Các tính chất của phép cộng,trừ vecctơ và phép nhân một số với một vectơ
để thực hiện biến đổi tương đương cho đẳng thức cần chứng minh khi đó ta
lựa chọn một trong các biến đổi sau:
+ Biến đổi một vế thành vế còn lại
Xuất phát từ vế phức tạp ta cần thực hiệnviệc đơn giản biểu thức.
Xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích vectơ.
+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là đúng.
+ Biến đổi một đẳng thức đã biết là đúng thành đẳng thức cần chứng minh.
+ Tạo dựng các hình phụ.
Õ Ví dụ 1:
Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: BCDADCBA
r
r
r
r
+=+
Giải: Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Thực hiện phép biến đổI VT, ta có:
BCDADBBDBCDADBBCBDDADCBA
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+=+++=+++=+ )(
Nhận xét: Thực hiện việc biến đổI VT thành VP, ta cần tạo ra sự xuất hiện
của các vectơ D
A
rvà BC
r
. Do đó:
trong lời giải ta xen điểm D vào
B
A
r
còn điểm B vào vectơ DC
r
Ta cũng sử dụng khi lựa chọn phép biến đổi VP thành VT. Cụ thể trong cách 2
Cách 2: Thực hiện phép biến đổi VP. ta có:
DCBABDDBDCBABDDCDBBABCDA
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
+=+++=+++=+ )(
Cách 3: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về đẳng thức đã biết là
luôn đúng
BDBDDCBCDABABCDADCBA
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=⇔−=−⇔+=+
Õ Ví dụ 2:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB, CD . Chứng minh rằng:
CBDADBCANM
r
r
r
r
r
+=+=2
Giải:
Cách 1:
Ta có M là trung điểm của AB , với N bất kì thì
NMMNBNAN
r
r
r
r
22 −==+ (1)
N là trung điểm của CD, với M bất kì thì
NMDMCM
r
r
r
2=+ (2)
Lấy (2)-(1) ta được:
)(2
)(24
0)(20
)(
)()(
)(4
DBCANM
DBCANM
DBCA
DBCADNCNDBCABMAM
BDDNACCNDBBMCAAM
BNANDMCMNM
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rr
rr
rr
rr
r
r
r
r
r
+=⇒
+=⇒
+++=
+++−+++=
+−+−+++=
+−+=
Chứng minh tương tự: VT = CBDA
r
r
+
Cách 2:
Gọi O la 1điểm tuỳ ý trên vectơ MN. Khi đó theo quy tắc trung điểm, ta có:
)2(2
)1(2
DOCONO
BOAOMO r
r
r
r
r
r
+=
+=
Lấy (2)-(1) ta được: )()()(2 BOAODOCOMONO
r
r
r
r
r
r
+−+=−
2 NM
r
= )()( BODOAOCO
r
r
r
r
−+−
2 NM
r
= DBCA
r
r
+(1)
Ta cần chứng minh: CBDADBCA
r
r
r
r
+=+
VT= DCCBCDDA
r
r
r
r
+++
= CBDA
r
r
+
= VP (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: CBDADBCANM
r
r
r
r
r
+=+=2
Õ Ví dụ 3:
Cho tam giác đều ABC.Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.CMR:
0...
r
r
r
r
=++ CIcBIbAIa ( a,b,c +
∈
R
)
Giải:
Dựng hình bình hành có // ,// . Ta được:
22 ICAB 2
AB 1
CC 2
AC 1
BB
(1)
22 CIBIAI r
r
r+=
Đặt: IB2= b, IC2 = c
và IC = IB = IA = a.
BI
a
b
BI
r
r
−=⇒ 2
( 2)
CICI
a
c
CB
AB
IC
IC
rr ↑↓
==
2
1
12
CI
a
c
CI
r
r
−=⇒ 2(3)
A
C2
B
C1
C
B2
B1 I
BIBI
a
b
BC
AC
IB
IB
rr ↑↓
==
2
1
12