CHUYÊN ĐỀ XÁC SUẤT Ở BẬC
PHỔ THÔNG
Bộ môn Toán, ĐH Phương Đông
HÀNỘI, 2015
Cuốn "Đại số và Giải tích 11" đã cung cấp khá nhiều ví dụ và minh họa
chi tiết để giới thiệu về Xác suất. Tài liệu này chúng tôi viết chỉ nhằm bổ
sung hoặc làm rõ hơn các khái niệm đã được nói tới. Đồng thời tổng kết
lại một số kỹ thuật đơn giản để giải bài toán Xác suất mà không đi vào
các bài toán khó hoặc phức tạp.
Mục lục
Mục lục i
1 Biến cố ngẫu nhiên và các phép toán 1
1.1 Khônggianmẫu......................... 1
1.2 Biếncốngẫunhiên ....................... 3
1.3 Phép toán trên các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Tính chất cơ bản của Xác suất 12
2.1 Định nghĩa Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Một số ví dụ tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Một số kỹ thuật khác 19
3.1 Công thức xác suất hợp mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Sự độc lập của các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Một số bài thi Đại học gần đây 25
i
CHƯƠNG 1
Biến cố ngẫu nhiên và các phép
toán
Chúng ta đã biết rằng các khái niệm như phép thử ngẫu nhiên, không
gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên được nói đến bằng cách mô tả trực giác
mà không định nghĩa chúng chặt chẽ về mặt toán học. Chính vì thế mà
có thể dẫn đến nhầm lẫn hoặc hiểu mơ hồ về các khái niệm này trong
những bài toán cụ thể.
Mục này chúng ta làm việc với không gian mẫu, biến cố ngẫu nhiên cùng
với các phép toán hợp và giao. Chúng ta vẫn nhào nặn với các ví dụ điển
hình, bình luận dài dòng và cố gắng chỉ ra những điều cảm giác như tầm
thường, đôi khi nó giúp các bạn hiểu hơn về khái niệm. Cũng nên ôn lại
phần mệnh đề và tập hợp trước khi học về xác suất.
1.1 Không gian mẫu
Khái niệm phép thử các bạn có thể tìm đọc lại trong Đại số và Giải tích
11. Ở đây ta luôn giả sử Tlà một phép thử ngẫu nhiên.
KẾT QUẢ SƠ CẤP. Mỗi kết quả đơn giản nhất, không thể chia nhỏ được
nữa, của Tđược gọi là một kết quả sơ cấp. Như vậy, để ωlà một biến cố
sơ cấp của T, có hai điều cần lưu ý.
1
1.1. Không gian mẫu
•Thứ nhất, ωphải là một kết quả của phép thử T. Thứ hai, kết quả
ωphải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp.
VÍ DỤ 1.1 Cho Tlà phép thử tung một đồng xu kim loại có hai mặt, ký hiệu
Slà kết quả xuất hiện mặt sấp và Nlà kết quả xuất hiện mặt ngửa. Hiển nhiên
thấy rằng hai kết quả này là nhỏ nhất, không thể phân chia được. Khi đó phép
thử có hai kết quả sơ cấp là Svà N.
VÍ DỤ 1.2 Tung một súc sắc 6 mặt, gọi ωilà kết quả mặt có ichấm xuất hiện,
i=1, . . . , 6. Để thấy được yếu tố nhỏ nhất là quan trọng, ta xét
A:=kết quả số chấm xuất hiện là chẵn.
So sánh ω2và Athì thấy rằng: ω2không thể phân chia được nữa, còn Acó thể
được phân chia nhỏ hơn, vì ta có thể xem A={ω2,ω4,ω6}, tức là Akhông
phải là nhỏ nhất theo nghĩa tập hợp. Vậy ω2là kết quả sơ cấp còn Akhông là
kết quả sơ cấp của phép thử.
Tuy hơi ngờ nghệch (
✱
) nhưng cũng cần lưu ý thêm rằng, kết quả sơ cấp
của phép thử này không là kết quả sơ cấp của phép thử khác, cho dù
chúng cùng là "sơ cấp". Chẳng hạn Slà kết quả sơ cấp của phép thử tung
một đồng xu nhưng không là kết quả của phép thử tung một súc sắc.
Lưu ý, trong thực tế không phải lúc nào ta cũng xác định được biến cố sơ
cấp của một phép thử. Thậm chí biết nó là kết quả rồi nhưng không biết
nó có phải là sơ cấp hay không. Vì thế, để thuận tiện cho lý luận logic,
chúng ta quy ước hoặc ngầm hiểu về kết quả sơ cấp của phép thử mà ta
đang xét. Trong thực tế, việc khảo sát kết quả sơ cấp đôi khi được bỏ qua.
KHÔNG GIAN MẪU. Tập hợp tất cả các kết quả sơ cấp của Tđược gọi
là không gian mẫu1, ta thường ký hiệu không gian mẫu là Ω.
1Còn gọi là không gian các biến cố, không gian các sự kiện
2
1.2. Biến cố ngẫu nhiên
Ω={ω|ωlà kết quả sơ cấp của T }.
Trong khái niệm này cũng có hai điều cần lưu ý:
•Thứ nhất, Ωlà một tập hợp. Sau này ta có thể thao tác với các kết
quả như thao tác trên tập hợp.
•Thứ hai, Ωbao gồm tất cả các kết quả sơ cấp của phép thử T. Tức
là mỗi kết quả sơ cấp là một phần tử của tập Ωnày.
VÍ DỤ 1.3 Bây giờ ta tung hai đồng xu, mỗi kết quả sơ cấp là một bộ gồm 2
mặt tương ứng với hai đồng xu. Ta có thể viết không gian mẫu như sau
Ω={SS,SN,NS,NN}.
Rõ ràng là như vậy vì Ωthỏa mãn hai điều đã nói ở trên. Nói thêm là S/∈Ωvì
Skhông là kết quả sơ cấp của phép thử tung hai đồng xu, hoặc
A={SN,NS} − có hai mặt khác nhau
là một kết quả nhưng không phải là sơ cấp, do đó A/∈Ω.
VÍ DỤ 1.4 Trong phép thử tung một súc sắc, gọi Clà kết quả số chấm xuất
hiện là chẵn, Llà kết quả số chấm là lẻ. Rõ ràng tập hai phần tử là {C,L}đã
chứa tất cả các kết quả của phép thử nhưng nó không là không gian mẫu. Tại
sao? Bởi vì C,Lkhông phải là sơ cấp.
Lưu ý, không phải lúc nào chúng ta cũng viết được tường minh không
gian mẫu. Các ví dụ mà chúng ta xét ở trong bài này đều được xem là lý
tưởng, tức là không gian mẫu có một số tính chất tốt đẹp nào đó, dễ nhận
biết về mặt trực giác.
1.2 Biến cố ngẫu nhiên
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN. Giả sử Ωlà không gian mẫu của phép thử T.
3