CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 4

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

87
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

SỰ PHẢN XẠ ÂM TỪ BỀ MẶT VÀ ĐÁY ĐẠI DƯƠNG: NGUỒN ĐIỂM Trong chương 3 chúng ta đã xét sự phản xạ của các sóng phẳng từ bề mặt và đáy đại dương. Nhưng trong những tình huống thực một nguồn âm thường định vị tại một khoảng cách hữu hạn kể từ các biên của môi trường. Trong âm học nguồn đơn giản nhất là một hình cầu phát xung có bán kính nhỏ (nguồn “điểm”). Vì vậy chúng ta tiến tới bài toán về trường của nguồn điểm đa hướng định vị tại một khoảng cách hữu...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 4

Chương 4 ∆p + k 2 p = 0 (4.1.3) SỰ PHẢN XẠ ÂM TỪ BỀ MẶT VÀ ĐÁY ĐẠI DƯƠNG: và điều kiện biên (xem nhận xét sau (3.1.16)) p = 0 tại z = 0 . NGUỒN ĐIỂM (4.1.4) Trong chương 3 chúng ta đã xét sự phản xạ của các sóng phẳng từ bề mặt và đáy đại dương. Nhưng trong những tình huống thực một nguồn âm thường định vị tại một khoảng cách hữu hạn kể từ các biên của môi trường. Trong âm học nguồn đơn giản nhất là một hình cầu phát xung có bán kính nhỏ (nguồn “điểm”). Vì vậy chúng ta tiến tới bài toán về trường của nguồn điểm đa hướng định vị tại một khoảng cách hữu hạn kể từ mặt phân cách phẳng giữa hai môi trường, tức bài toán về sự phản xạ của sóng cầu - đó là chủ đề của chương này. 4.1. TRƯỜNG ÂM CỦA NGUỒN ĐỊNH VỊ GẦN MẶT NƯỚC Hình 4.1. Nguồn O và nguồn “ảo” O’ 4.1.1. Biểu diễn sóng Dễ dàng thấy rằng điều kiện này được thỏa mãn bằng tổng của sóng cầu (4.1.2) và sóng cầu phát ra bởi một nguồn “ảo ảnh” tại điểm Áp suất âm của một nguồn điểm (đa hướng) trong không gian tự do O' ( 0,0 − z1 ) nhận được bằng sự phản xạ gương của nguồn O tại bề mặt được cho bởi công thức sau đây nếu sử dụng (2.1.3): nước (xem hình 4.1). Kết quả là ta nhận được đối với áp suất âm p = − i ωρ V0 ( 4π R) −1 exp [i ( kR − ω t )] . (4.1.1) p = R −1 exp ( i kR) − R1−1 exp ( i kR1 ) , (4.1.5) Để đơn giản ta sẽ bỏ qua nhân tử − ( i ωρ V0 / 4π ) exp ( − i ω t ) để có trong đó p = R −1 exp ( i kR) . (4.1.2) R = [ r 2 + ( z − z1 ) 2 ] 1 / 2 và R1 = [ r 2 + ( z + z1 ) 2 ] 1 / 2 . (4.1.6) Nhân tử bỏ qua có thể được đưa vào những công thức cuối cùng. Thực tế tại z = 0 ta có R = R1 và do đó p = 0 . Biểu thức (4.1.5) đối Bây giờ giả sử nguồn O này nằm tại một khoảng cách z1 kể từ bề với áp suất p thỏa mãn (4.1.3) cũng như các điều kiện cần thiết khác, cụ mặt nước z = 0 (hình 4.1). Áp suất âm cũng phải thỏa mãn phương trình thể là nó biểu diễn sóng đi ra tại r, z → ∞ và diễn biến như là 1 / R khi Helmholtz (mục 2.1) một điểm quy chiếu tiến dần đến nguồn ( R → 0 ) . 125 126
Số hạng thứ hai dưới dấu căn bậc hai bé so với đơn vị; do đó 4.1.2. Biểu diễn tia R − R0 = ( z12 + 2 zz1 )( 2 R0 ) −1 . (4.1.9) Trong lý thuyết tia công thức (4.1.5) nhận được như sau. Một trường Biểu thức của R1 − R0 nhận được khi z1 được thay bằng − z1 . Do đó âm tại điểm P (hình 4.1) sẽ là tổng của trường của tia trực tiếp OP và trường của tia phản xạ OAP . Cường độ âm dọc theo tia trực tiếp giảm R1 − R0 = ( z12 + 2 zz1 )( 2 R0 ) −1 . (4.1.10) khi R tăng theo R −2 và điều này có nghĩa rằng áp suất âm giảm theo Ngoài ra ta có (hình 4.1) z / R0 = cos θ 0 . Kết quả là (4.1.7) có thể viết R −1 . Pha của sóng tại khoảng cách R là kR . Kết quả là ta được số hạng như sau: thứ nhất trong (4.1.5), tức áp suất âm đối với tia trực tiếp. − p = R0 1 exp ( i kR0 ) [exp ( −i k z1 cosθ 0 ) − exp ( i k z1 cosθ 0 )] Cường độ âm và pha dọc theo tia phản xạ OAP diễn biến theo cách ⎛ i kz1 ⎞ 2 tương tự. Tia phản xạ có thể được xem như nó bắt đầu từ nguồn ảo O' vì × exp ⎜ ⎟. (4.1.11) ⎜ 2R ⎟ OAP = O' AP = R1 . Hệ số phản xạ từ bề mặt nước bằng − 1 (xem ⎝ ⎠ 0 (3.1.12) đối với m = ρ 1 / ρ = 0 ). Do đó nguồn ảo phải lệch pha 180o so Giả sử R0 đủ lớn để thỏa mãn điều kiện 10 với nguồn chính. Kết quả là ta được số hạng thứ hai trong (4.1.5) với dấu kz12 i kz12
2kzz1 đó một hệ thống gồm nguồn điểm cộng với bề mặt nước hoặc cũng như p≈ . (4.1.20) r2 vậy, một hệ thống gồm nguồn cộng với ảo ảnh của nó là tương đương với Do đó cường độ âm suy giảm với khoảng cách như r −4 . nguồn điểm với sơ đồ hướng F (θ 0 ) = 2 sin ( kz1 cos θ 0 ) . (4.1.15) Cho tới nay môi trường truyền âm đã được giả thiết là đồng nhất. Tuy nhiên, những đặc điểm chính của hiện tượng này vẫn duy trì đúng Trong các hướng thỏa mãn điều kiện khi tồn tại sự phản xạ tia. π kz1 cosθ 0 = N = 0, 1, 2, ... , (4.1.16) N + 1/ 2 áp suất âm sẽ cực đại và bằng hai lần áp suất âm của nguồn đơn. Trong các hướng mà kz1 cos θ 0 = Nπ (4.1.17) áp suất âm bằng không. Nếu độ sâu của nguồn nhỏ so với bước sóng, tức kz1 50 m và các khoảng cách r > 3 km thuộc này thể hiện những cực đại và cực tiểu gián đoạn của áp suất âm. có một vùng tối. Tại những khoảng cách nhỏ hơn hai tia - trực tiếp và Tuy nhiên, tại những khoảng cách lớn (hay z1 , z nhỏ) kz1 cos θ 0 = kzz1 / R0
giả thiết về nguồn ảo, đôi khi người ta nói rằng tại độ sâu nhỏ z1 một trường âm thực sự có một đặc điểm giao thoa rất quen thuộc ở trong vùng sáng âm và giảm nhanh trong vùng tối âm. Tại các khoảng cách r > 6 km “đoản mạch âm” xuất hiện trong tưởng tượng vận hành với pha ngược so trường âm chủ yếu chỉ là do các sóng âm phản xạ từ đáy đại dương. với nguồn đó. Như vậy năng lượng phát tia toàn phần tăng lên theo sự tăng của z1 khi z1 nhỏ. Khi nguồn rất xa kể từ bề mặt sự phát xạ của nó sẽ rõ ràng giống như trong không gian tự do. Ta thu nhận một công thức cho năng lượng phát xạ với z1 tùy ý, giả thiết rằng tốc độ khối V0 của nguồn không thay đổi với độ sâu của nó. Trong không gian tự do, nếu áp suất âm được cho bằng (4.1.2) ta có đối với năng lượng 2 2 4π R0 p 2π W0 = = , (4.1.21) 2ρ c 2ρ c trong đó R0 là khoảng cách từ nguồn và p là áp suất âm tại khoảng cách đó. Nếu tính đến bề mặt nước, ta có biên độ của áp suất âm (4.1.14) và do đó đối với thông lượng năng lượng âm riêng tại khoảng cách R0 trong Hình 4.3. Biến thiên áp suất âm với khoảng cách hướng xác định bởi góc θ 0 đối với trường hợp đã biểu diễn trên hình 4.2 2 p ( 2 ρc) −1 = 2 ( ρ cR0 ) −1 sin 2 ( kz1 cos θ 0 ) . 2 (4.1.22) 4.1.4. Năng lượng phát xạ Để tìm năng lượng phát tổng cộng, biểu thức cuối cùng phải nhân với Chúng ta đã thấy ở trên rằng tại z1 nhỏ trường âm trong nước có thể diện tích của băng nằm trên nửa hình cầu với bán kính R0 và giới hạn xem như trường âm của một cái lưỡng cực, biên độ của áp suất âm tại 2 bởi các góc θ 0 và θ 0 + dθ 0 , diện tích đó bằng 2π R0 sin θ 0 dθ 0 , sau đó điểm bất kỳ suy giảm theo z1 giảm. Hoàn toàn tự nhiên năng lượng phát lấy tích phân theo θ 0 từ 0 đến π / 2 . Khi đó ta có tia cũng giảm. Chúng ta cũng có thể đoán trước điều đó theo những lập π /2 ∫ W = 4π ( ρ c) −1 sin 2 ( kz1 cos θ 0 ) sin θ 0 dθ 0 . luận vật lý thương đối đơn giản. Thật vậy, khi một quả cầu phát xung (nó gần đúng như nguồn của chúng ta) định vị gần bề mặt nước, những co 0 giãn tuần hoàn của nó chỉ gây nên những thay đổi cục bộ nhỏ của mực nước, không tạo ra các sóng nén giãn đáng kể trong nước. Nếu sử dụng 131 132
đối xứng của sóng và sự đối xứng của biên. Trong khi sóng có sự đối xứng cầu thì biên là một mặt phẳng. Do đó lẽ tự nhiên là phải tiếp cận bài toán bằng cách khai triển sóng cầu thành các sóng phẳng, đặc biệt vì lý thuyết về sự phản xạ và khúc xạ của các sóng phẳng đã rất phát triển. Chúng ta chấp nhận rằng nguồn nằm tại gốc tọa độ, sao cho trong (4.1.2) ta có R = ( x 2 + y 2 + z 2 )1 / 2 . Trong mặt phẳng z = 0 , trường của sóng cầu là exp( i kr ) / r , trong đó r = ( x 2 + y 2 )1 / 2 . Ta khai triển trường này thành một tích phân Fourier kép trong các biến x và y Hình 4.4. Năng lượng đầu ra của một nguồn như ∞ một hàm của độ sâu nguồn ∫ ∫ A( kx , k y ) exp [i ( kx x + k y y)] dkx dk y . exp ( i kr ) / r = (4.2.1) −∞ Sau khi đưa ra một biến mới kz1 cos θ 0 = x và thực hiện một tích phân A( kx , k y ) được cho bằng phép biến đổi Fourier nghịch cơ bản, ta được ∞ W = 4π ( ρ c) −1 [1 − ( 2kz1 ) −1 sin 2kz1 ] . (4.1.23) ∫ ∫r −1 ( 2π ) 2 A( kx , k y ) = exp ( i kr ) exp [−i ( kx x + k y y)] dxdy . (4.2.2) −∞ Chú ý tới (4.1.21), tỉ số của các năng lượng trong trường hợp hiện diện bề Tiếp theo, biến đổi sang các tọa độ cực và sử dụng ký hiệu mặt nước và trong không gian tự do được viết dưới dạng ξ = ( kx + k y )1 / 2 , 2 2 kx = ξ cosψ , k y = ξ sinψ , W = 1 − ( 2kz1 ) −1 sin 2kz1 . (4.1.24) x = r cos ϕ , y = r sin ϕ , dxdy = rdrdϕ . W0 (4.2.3) Trên hình 4.4 tỉ số W / W0 được vẽ như một hàm của kz1 / 2π = z1 / λ . Khi đó ta nhận được Nếu kz1 → ∞ , thì W / W0 → 1 như đã chờ đợi đối với một nguồn trong 2π ( 2π ) 2 A( kx , k y ) = ∫0 dϕ ∫0 exp { i r [( k − ξ cos (ψ − ϕ )] }dr . ∞ không gian tự do. Đầu ra năng lượng của nguồn sẽ cực đại tại z1 / λ = 3 / 8 . Trong trường hợp này, đồ thị trên hình 4.4 còn cho một mối Tích phân theo r là tích phân cơ bản. Hơn nữa, nếu chấp nhận rằng k có một phần ảo dương nhỏ (hấp thụ nhỏ trong môi trường), thay thế cận trên phụ thuộc của trở kháng bức xạ vào độ sâu. cho kết quả bằng không và ta được 4.2. KHAI TRIỂN SÓNG CẦU THÀNH CÁC SÓNG PHẲNG dϕ dα 2π 2π ( 2π ) 2 A( kx , k y ) = i ∫0 = i k −1 ∫0 . k − ξ cos(ψ − ϕ ) 1 − (ξ / k ) cos α Khó khăn của bài toán phản xạ và khúc xạ của một sóng cầu tại một Ở đây tích phân là tích phân cơ bản, do đó bề mặt phân cách phẳng giữa hai môi trường là do sự khác biệt giữa sự 133 134
A( kx , k y ) = i ( 2π ) −1 ( k 2 − ξ 2 ) −1 / 2 = i ( 2π ) −1 ( k 2 − kx − k y ) −1 / 2 . 2 2 Các phương trình (4.2.7) thể hiện sự khai triển của một sóng cầu thành các sóng phẳng. Hàm mũ trong biểu thức dưới dấu tích phân là một (4.2.4) sóng phẳng truyền trên hướng được cho bằng các thành phần kx , k y và Như vậy k z của vectơ sóng. exp ( i kr ) / r = ∞ 4.3. SÓNG PHẢN XẠ ∫ ∫ (k i ( 2π ) −1 − k x − k y ) −1 / 2 exp [ i ( k x x + k y y)] dkx dk y . (4.2.5) 2 2 2 −∞ Bây giờ chúng ta sẽ chấp nhận rằng một nguồn nằm ở điểm r = 0, z = z0 (hình 4.5). Mặt phẳng z = 0 là biên giữa hai chất lỏng như Biểu thức này mô tả trường trong mặt phẳng x y , có thể được dễ dàng “tiếp tục” vào không gian. Như mọi người đã biết, mỗi hợp phần Fourier trong mục 3.1. khi đó sẽ tương ứng với một sóng phẳng trong không gian. Một cách hình thức, bởi vì sự “tiếp tục” này nên chỉ cần thêm số hạng ± i k z z trong hàm mũ của biểu thức dưới dấu tích phân, trong đó kz = ( k 2 − kx − k y )1 / 2 = ( k 2 − ξ 2 )1 / 2 . 2 2 (4.2.6) Dấu cộng (trừ) tương ứng với các sóng truyền trên hướng z dương (âm) trong nửa không gian z > 0 ( z < 0 ) . Vậy z≥0 Hình 4.5. Các vị trí của nguồn O và điểm quy chiếu ∞ ∫∫ exp ( i kR) / R = i ( 2π ) −1 − P so với biên phân cách kz 1 exp [i ( kx x + k y y + kz z )] dkx dk y , −∞ (4.2.7) z≤0 Mỗi sóng phẳng trong biểu thức dưới dấu tích phân trong (4.2.7) ∞ truyền từ nguồn tới biên, và thông qua sự phản xạ, tới máy thu tại điểm ∫∫ exp ( i kR) / R = i ( 2π ) −1 k z 1 exp [i ( kx x + k y y + kz z )] dkx dk y . − ( r, z ) tạo nên pha kx x + k y y + kz ( z + z0 ) . Biên độ của nó phải được −∞ nhân lên bởi hệ số phản xạ V ( k z ), k z = k cos θ , ở đây θ là góc tới. Sự đúng đắn của một phép “tiếp tục” như thế được chứng minh bằng thực Kết quả là, ta nhận được đối với sóng phản xạ tế là những vế phải của các biểu thức cuối cùng thỏa mãn phương trình ∞ Helmholtz (bởi vì nó được thỏa mãn bởi các biểu thức dưới dấu tích ∫ ∫ kz pr = i ( 2π ) −1 −1 V ( kz ) exp [i ( kx x + k y y + kz ( z + z0 )] dkx dk y phân) và cho giá trị đúng đối với trường tại z = 0 . −∞ 135 136
(4.3.1) Kết quả là sóng phản xạ bằng pr = VR1−1 exp ( i kR1 ) , (4.3.4) hay trong các tọa độ cực có sử dụng (4.2.3) 2π ∞ tức là sóng cầu đi ra tập trung tại nguồn ảo O′ (hình 4.5). pr = i ( 2π ) −1 ∫ kz 1V ( kz ) exp [i k z ( z + z 0 )] ξdξ ∫ exp [i ξ cos(ϕ − ψ )] dψ . − 0 0 Bây giờ chúng ta trở lại một trường hợp tổng quát. Trường tại những Tích phân theo ψ bằng 2π J 0 (ξ r ) , trong đó J 0 (ξ r ) là một hàm khoảng cách lớn so với bước sóng là mối quan tâm của chúng ta. Trong Bessel bậc không. Bây giờ chúng ta sử dụng mối liên hệ quen thuộc trong những điều kiện đó thuận tiện nhất là sử dụng một biểu diễn tiệm cận của lý thuyết các hàm trụ hàm Hankel J 0 (ξ r ) = 2 −1 [H (01) (ξ r ) + H (02 ) (ξ r )] , H (01) (ξ r ) ≈ [2 /(πξ r )] 1 / 2 exp [i (ξ r − π / 4)] [1 + (8iξ r ) −1 + . . .] . ở đây H (01) và H (02 ) là các hàm Hankel loại một và loại hai. Do đó (4.3.5) ⎡ ⎤− ∞ ∞ Nếu giới hạn ở số hạng thứ nhất trong biểu thức này, ta nhận được từ pr = i 2 −1 ⎢ ∫ H (01) (ξ r ) + ∫ H (02 ) (ξ r )⎥ kz 1V ( kz ) exp [i kz ( z + z0 )]ξdξ . (4.3.2) ⎣0 ⎦ 0 ∞ Trong tích phân thứ hai chúng ta thay ξ bằng − ξ và lợi dụng quan hệ pr = ( 2π r ) −1 / 2 exp(π i / 4 ) ∫ ( ξ / kz ) V ( kz ) exp [ i w(ξ )] dξ , (4.3.6) (xem [4.1, trang 89]) H (02 ) [ξ r exp ( −π i )] = −H (01) (ξ r ) . Khi đó ta nhận −∞ trong đó được trong tích phân này cùng một biểu thức dưới dấu tích phân đúng như trong tích phân thứ nhất, các cận lấy tích phân là 0, − ∞ . Kết hợp hai w(ξ ) ≡ ξ r + kz ( z + z0 ) . (4.3.7) tích phân thành một, ta có Lưu ý rằng ∞ r = R1 sin θ 0 , z + z0 = R1 cos θ 0 , (4.3.8) ∫ pr = i 2 −1 − kz 1V ( kz )H (01) (ξ r ) exp [i kz ( z + z 0 )] ξ dξ . (4.3.2) trong đó R1 là khoảng cách từ điểm thu P tới nguồn ảo O′ và θ 0 là góc −∞ Nếu hệ số phản xạ V không phải là một hàm của góc tới, nó có thể giữa đường OP và trục z (hình 4.5). Khi đó được đưa ra ngoài dấu tích phân. Khi đó tích phân còn lại là (xem [4.2, w(ξ ) = R1 (ξ sin θ 0 + kz cos θ 0 ) . (4.3.9) chương 4]) Vì theo giả thiết của chúng ta R1 lớn so với bước sóng, nên hàm mũ ∞ ∫ H0 (ξ r )kz 1 exp [ i kz ( z + z0 ) ξ dξ = −2i R1−1 exp ( i kR1 ) , − (1) trong biểu thức dưới dấu tích phân (4.3.6) sẽ là một hàm biến đổi nhanh, −∞ và giá trị của tích phân có thể được ước lượng bằng cách sử dụng phương R1 = [ r 2 + ( z + z0 ) 2 ]1 / 2 . (4.3.3) 137 138
Quãng đường lấy tích phân trên s đi từ − ∞ exp ( ± i π / 4 ) đến pháp pha dừng. 11 Phần đóng góp chính cho tích phân được cho ở lân cận của điểm pha dừng ξ 0 , nó có thể được tìm từ phương trình ∞ exp ( ± i π / 4 ) , nhưng nó có thể được biến dạng sao cho nó sẽ đi dọc ( dw / dξ )ξ 0 = 0 . Chú ý đến (4.3.7) và giá trị của k z (4.2.6), ta được theo trục thực. Kết quả là, nếu sử dụng giá trị của tích phân ∞ ξ 0 = k sin θ 0 . (4.3.10) ∫ exp ( − s 2 ) ds = π , Vậy, điểm pha dừng tương ứng với các tia O′P trên hình 4.5, đối với −∞ ta nhận được chúng hợp phần phương ngang của vectơ sóng được cho bởi (4.3.10). Tất cả các thừa số trong biểu thức dưới dấu tích phân (4.3.6), ngoại trừ hàm ∞ [ ] 1/ 2 ∫ exp [i w′′(ξ 0 )(ξ − ξ 0 ) 2 / 2] dξ = 2π / w′′(ξ 0 ) exp( ± i π / 4 ) mũ, có thể được đưa ngoài dấu tích phân (như một hàm biến đổi chậm) −∞ tại ξ = ξ 0 , và để ước lượng tích phân còn lại w(ξ ) có thể được khai (4.3.13) triển thành một chuỗi lũy thừa của ξ 0 với dấu trong hàm mũ trùng với dấu của w′′(ξ 0 ) . w(ξ ) = w(ξ 0 ) + 2 −1 w′′(ξ 0 )(ξ − ξ 0 ) 2 . (4.3.11) Thế (4.3.10) vào (4.3.9) dẫn tới w(ξ 0 ) = kR1 . Khi đó lấy đạo hàm Kết quả là ta nhận được từ (4.3.6) (4.3.9) hai lần theo ξ , chú ý tới k z từ (4.2.6) và một lần nữa thế ξ 0 từ π i⎤ ⎡ (4.3.10), ta được pr = V (θ 0 ) ( 2π kR1 cos 2 θ 0 )1 / 2 exp ⎢i w(ξ 0 ) + 4⎥ ⎣ ⎦ w′′(ξ 0 ) = − R1 /( k cos 2 θ 0 ) . ∞ ∫ exp [i w′′(ξ 0 ) (ξ − ξ 0 ) 2 / 2] dξ , × (4.3.12) Bây giờ chú ý tới (4.3.13), ta có từ (4.3.12) −∞ pr = V (θ 0 ) R1−1 exp ( i kR1 ) . (4.3.14) . Bây giờ thay đổi biến tích phân từ ξ thành ở đây V (θ 0 ) ≡ V ( kz ) ξ =ξ 0 Vậy trong phép xấp xỉ này kết quả hoàn toàn đơn giản. Trường sóng phản s xạ bằng trường của nguồn ảo O′ (hình 4.5) nhân với hệ số phản xạ V (θ 0 ) . w′′(ξ 0 )(ξ − ξ 0 ) 2 / 2 = i s 2 Như sẽ chỉ ra dưới đây, phép xấp xỉ này không phải luôn luôn đủ hay trong thực tế. Để tính pr trong phép xấp xỉ tiếp theo chúng ta phải làm ξ − ξ 0 = [2 / w′′(ξ 0 )]1 / 2 exp ( i π / 4) s đối với w′′(ξ 0 ) > 0 , những việc sau: ξ − ξ 0 = [−2 / w′′(ξ 0 )]1 / 2 exp ( − i π / 4) s đối với w′′(ξ 0 ) < 0 . 1) tính tới số hạng tiếp theo trong khai triển hàm Hankel (4.3.5); 2) khai triển hàm w(ξ ) trong (4.3.6) tới số hạng (ξ − ξ 0 ) 4 , và 11 Phương pháp pha dừng là một trường hợp riêng của phương pháp suy giảm nhanh nhất đã được xét, thí dụ, trong cuốn sách của Brekhovskikh [4.3, mục 27]. 139 140
3) khai triển biểu thức dưới dấu tích phân, ngoại trừ hàm mũ trong trong trường hợp này đã được quen biết từ lâu (mục 4.1). Hệ số phản xạ (4.3.6) tới số hạng (ξ − ξ 0 ) 2 . cũng không phụ thuộc vào góc khi tốc độ âm như trong trong cả hai môi trường. Thật vậy, nếu đặt n = 1 trong (3.1.12), ta được Ở đây chúng ta sẽ không đề cập tới chuyện này, đơn giản là vì các tính V = ( m − 1) /( m + 1) . toán rất phức tạp, mà chỉ đưa ra kết quả cuối cùng 12 Bây giờ chúng ta sẽ dẫn lập một chỉ tiêu để chỉ ra khi nào thì số pr = R1−1 exp( i kR1 )[V (θ 0 ) − i N / kR1 ] , (4.3.15) hạng hiệu chỉnh trong (4.3.15) có thể được bỏ qua nếu V không phải là trong đó hằng số. Để đơn giản, xét trường hợp trong đó nguồn nằm tại mặt phân N = 2 −1 [V ′′(θ 0 ) + V ′(θ 0 ) ctgθ 0 ] . (4.3.16) cách ( R = R1 , xem hình 4.5). Số hạng hiệu chỉnh trong (4.3.15) bé so với tổng của sóng đến exp( i kR ) / R và sóng phản xạ V (θ 0 ) exp( i kR ) / R Ở đây dấu phẩy biểu thị đạo hàm theo θ . nếu Sử dụng (3.1.12) đối với hệ số phản xạ của một sóng âm từ biên kR 1 + V (θ 0 ) >> N (4.3.19) phân cách giữa hai chất lỏng, sau khi đạo hàm ta được hay sử dụng (3.1.12) đối với V (θ 0 ) nếu m(1 − n 2 ) [2m( n 2 − 1) + 3mγ 0 + q0 γ 0 ( 2n 2 − γ 0 + 1) − mγ 0 ] 2 2 4 N= q0 ( mγ 0 + q0 ) 3 3 2mkR sin θ 0 >> N . (4.3.20) m cos θ 0 + n 2 − cos 2 θ 0 (4.3.17) trong đó Vì kR được chấp nhận là lớn, nên điều kiện này tự động được thực hiện, ngoại trừ trường hợp khi cos θ 0 . (4.3.22) 2 ⎛ m cos θ + n 2 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ Trước hết chúng ta nhận xét rằng N = 0 nếu V là hằng số, tức khi ⎝ 0 ⎠ hệ số phản xạ không phụ thuộc vào góc tới. Điều đó xuất hiện đối với Vậy, độ cao của máy thu bên trên biên phân cách phải lớn so với bước một bề mặt phản xạ hoàn toàn ( V = ±1) . Sự thích dụng của âm hình học 12 Để rút ra đầy đủ công thức (4.3.15) với phép tích phân trong mặt phẳng phức θ , trong đó ξ = k sin θ xem Brekhovskikh [4..3, mục 28]. 141 142
sóng để phương pháp của âm hình học có thể áp dụng được. 13 Phải lưu ý ở đây rằng âm hình học cũng không áp dụng được nếu q0 → 0 và sin θ 0 → n ∆ = −ϕ ′(ξ 0 ) (4.4.5) (trường hợp phản xạ bên trong toàn phần). và góc θ 0 được đưa vào tuân theo quan hệ ξ 0 = k sin θ 0 . Biểu thức Tại m → ∞ chúng ta có sự chuyển tiếp tới một biên phản xạ lý (4.4.4) đưa ra một cách lý giải hình học đơn giản (hình 4.6). Khoảng cách tưởng vì V → 1 (3.1.12). Một cách tương ứng vế phải của (4.3.21) tiến ngang r mà tia OABP đi được gồm các đoạn z 0 tgθ 0 và z tgθ 0 và tới không và âm hình học đúng cho mọi z . khoảng dịch chuyển ∆ của tia dọc theo biên. 4.4. SÓNG BÊN (Lateral wave) Một số hiện tượng lý thú xuất hiện khi một sóng cầu bị phản xạ trong toàn phần ( n < 1, sin θ 0 > n ). Sử dụng (3.1.15) đối với V trong trường hợp này, ta viết lại (4.3.6) đối với sóng phản xạ dưới dạng ∞ pr = ( 2π r ) −1 exp( i π / 4 ) ∫ exp [ i w(ξ )] ( k 2 − ξ 2 ) −1 / 2 ξ 1 / 2 dξ , −∞ (4.4.1) trong đó Hình 4.6. Sóng bên là kết quả dịch chuyển tia trong phản xạ w(ξ ) = ξ r + k z ( z + z0 ) + ϕ (ξ ) . (4.4.2) Ở đây lần đầu tiên chúng ta gặp hiện tượng lý thú tia dịch chuyển Biểu thức (3.1.15) đối với pha ϕ của hệ số phản xạ biểu diễn qua ξ là dọc theo biên tại nơi phản xạ trong toàn phần. Công thức (4.4.5) thu được ϕ = −2 arctg [(ξ 2 − k12 )1 / 2 / m ( k 2 − ξ 2 )1 / 2 ] . (4.4.3) cho khoảng dịch chuyển tia được áp dụng đối với trường hợp phản xạ Một điểm của pha dừng ξ = ξ 0 được tìm từ phương trình w′(ξ 0 ) = 0 . toàn phần bất kỳ (mục 4.5) khi hệ số phản xạ được biểu diễn dưới dạng Nếu chú ý tới giá trị của kz = ( k 2 − ξ 2 )1 / 2 , biểu thức sau cùng có thể V = exp( i ϕ ) 14 và ϕ là thực. Đối với trường hợp khi ϕ được cho bằng viết thành (4.4.3), ta tìm được 2 −1 / 2 2 r = −ϕ ′(ξ 0 ) + ξ 0 ( z + z0 ) ( k − ξ = ∆ + ( z + z0 ) tgθ 0 , (4.4.4) 2mξ ( k 2 − k12 ) 0) ϕ ′(ξ ) = . (4.4.6) [m 2 ( k 2 − ξ 2 ) + ξ 2 − k12 ](ξ 2 − k12 ) 1 / 2 ( k 2 − ξ 2 ) 1 / 2 13 Cùng kết quả như vậy nhận được nếu máy thu đặt ở biên phân cách và độ cao 14 của nguồn bên trên biên phân cách lớn. Hiện tượng này được nghiên cứu đầy đủ nhất trong bài báo của Lotsch [4.4]. 143 144
Lấy đạo hàm hai lần (4.4.2) theo ξ , chỉ giữ lại những số hạng chứa hiệu Nhận xét rằng khoảng dịch chuyển ∆ = −ϕ ′(ξ 0 ) nói chung có bậc 1 / k , tăng đáng kể khi ξ 0 → k1 , tức khi θ 0 tiệm cận tới góc phản xạ (ξ 2 − k12 ) với lũy thừa âm cao nhất đối với đạo hàm của ϕ (ξ ) và đặt ξ 0 = k1 tại mọi nơi, ngoại trừ trong hiệu này, ta nhận được trong toàn phần. Như chúng ta sẽ thấy dưới đây, trường hợp này là đáng quan tâm nhất. Vì vậy, nếu đặt ξ = ξ 0 = k1 ở mọi chỗ trong (4.4.60 ngoại k 2 ( z + z0 ) 2nk1 w′′(ξ 0 ) = − . (4.4.9) 2 k12 trừ trong hiệu ξ − , ta thu được đối với khoảng dịch chuyển tia m (1 − n 2 )1 / 2 (ξ 02 − k12 ) 3 / 2 ( k 2 − k12 ) 3 / 2 2n 2n ∆≈ = Vì ξ 02 − k12 bé, ta chấp nhận rằng số hạng thứ hai có thể bỏ qua. Khi đó, . 2 1/ 2 2 2 1/ 2 km(1 − n ) (sin 2 θ 0 − n 2 )1 / 2 2 1/ 2 m(1 − n ) (ξ 0 − k1 ) chú ý tới (4.4.7) đối với khoảng dịch chuyển ∆ , ta có (4.4.7) w′′(ξ 0 ) = km 2 (1 − n 2 )( 4n ) −1 ∆3 . (4.4.10) Bây giờ chúng ta lại trở lại phương trình tia (4.4.4) và xem xét trường Cuối cùng, chú ý tới (4.3.13) (tại w′′(ξ 0 ) > 0 ), ta nhận được từ (4.4.8) hợp r đủ lớn. Người ta có thể dễ dàng thấy rằng hai tia đi tới điểm 2i n P( r, z ) . Một trong chúng là tia vừa được xét. Nó đi tới biên với góc tới exp { i [ k1 r + k (1 − n 2 )1 / 2 ( z + z0 )]} . pr = 2 1/ 2 3/ 2 km (1 − n ) r ∆ gần bằng góc phản xạ trong toàn phần (sin θ 0 ≈ n ) và có một khoảng (4.4.11) dịch chuyển ∆ tương đối lớn. Những tia loại này tạo thành cái gọi là Đối với z + z0 nhỏ và r lớn, chúng ta có ∆ ∼ r từ (4.4.4). Trong sóng bên. Tia khác, OCP đi tới biên với một góc tới lớn hơn rất nhiều và trường hợp này biên độ của sóng bên sẽ giảm theo khoảng cách như có một khoảng dịch chuyển rất nhỏ (trên hình 4.6 nó bằng không). Tia 1/ r2 . này thuộc họ những tia tương ứng với sóng phản xạ đã được nghiên cứu ở trên. Hãy xem xét sóng bên một cách tỉ mỉ hơn bằng cách quay trở lại tích Người ta có thể hiểu nguồn gốc của sóng bên nếu sử dụng cách lập phân (4.4.1) và ước lượng giá trị của nó được cho bởi đoạn của quãng luận vật lý đơn giản. Một sóng cầu từ nguồn O đi tới tạ điểm A trên đường tích phân có chứa điểm pha dừng gần sát với ξ 0 = k1 . Để làm việc biên dưới một góc phản xạ trong toàn phần δ (sin δ = n ) phát sinh ra này, mọi thứ ngoại trừ hàm mũ có thể được đưa ra ngoài tích phân tại một sóng truyền dọc theo biên trong môi trường bên dưới (hình 4.7). ξ = k1 và pha trong hàm mũ, tức hàm w(ξ ) được cho bởi (4.4.2) có thể Trong quá trình truyền sóng này liên tục phát lại một phần năng lượng được biểu diễn dưới dạng cho trong (4.3.11). của nó vào môi trường bên trên, tạo nên sóng bên. Theo định luật phản Chấp nhận tiếp rằng w(ξ 0 ) = w( k1 ) , ta nhận được từ (4.4.1) xạ, những tia tương ứng với sóng bên (một trong các tia đó, tia BP được thể hiện trên hình 4.7 bằng đường liền nét, các tia khác bằng những pr = ( 2π kr ) −1 / 2 [n /(1 − n 2 )]1 / 2 exp( i π / 4) exp { i [ k1 r + k(1 − n 2 )1 / 2 đường gạch nối) rời bỏ biên dưới góc δ tạo với đường pháp tuyến của ∞ ∫ exp [ i w′′(ξ 0 ) (ξ − ξ 0 ) 2 / 2] dξ . × ( z + z0 )]} biên. Front P ′P ′′ của sóng bên là một đường thẳng trong mặt phẳng của (4.4.8) −∞ 145 146
của tia OABP . Biên độ áp suất bình phương tại điểm bất kỳ P( r, z ) hình vẽ, nhưng trong không gian nó là một hình nón nếu xét tới sự đối xứng qua trục thẳng đứng chứa điểm O . trong môi trường bên trên có thể tính được bằng công thức (mục 2.5) plat = f / r 2 ; 2 f là thừa số tiêu điểm được cho bằng (2.5.3), ở đây χ = χ 1 = π / 2 − θ , ∂ / ∂x = −∂ / ∂θ 0 . Nếu lấy đạo hàm (4.4.4) thì ∂r / ∂θ 0 có thể tìm được, trong đó ∂∆ / ∂θ 0 là số hạng áp đảo. Sử dụng (4.4.7) ta tìm được ∂r ∂∆ = −2n 2 ( km ) −1 (sin 2 θ 0 − n 2 ) −3 / 2 ≈ ∂θ 0 ∂θ 0 = ( km ) 2 (1 − n 2 ) 3 / 2 ( 4n) −1 ∆3 . Hình 4.7. Một trong những tia tạo thành sóng bên, ∆ là Như vẫn làm, ta chấp nhận sin θ 0 = n ở mọi nơi ngoại trừ trong khoảng dịch chuyển dọc theo biên trong phản xạ sin 2 θ 0 = n 2 . Khi đó, nếu thay thế ∂r / ∂θ 0 thành f vào trong (2.5.3), Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng pha của sóng bên (4.4.11) tuân thủ ta được sự biến đổi pha dọc theo tia OABP . Tia này gồm các đoạn L0 = OA và 4n 2 f L = BP , dọc theo đó sóng truyền với một tốc độ c = ω / k và đoạn 2 plat = = . r 2 r( km ) 2 (1 − n 2 ) 2 ∆3 ∆ = AB với tốc độ c1 = ω / k1 = ω / kn . Trước hết, chúng ta có pha của sóng bên (các dấu ngoặc trong hàm mũ của (4.4.11)) nếu đặt θ 0 = δ Biểu thức này trùng với biên độ bình phương của (4.4.11). trong (4.4.4) Tại những khoảng cách lớn ta có ∆ ∼ r và biên độ áp suất bình 2 1/ 2 2 1/ 2 phương của sóng bên suy thoái như plat ∼ 1 / r 4 , tức nhanh hơn nhiều so 2 ( z + z0 ) = k1 [∆ + ( z + z0 )tgδ ] + k(1 − n ) k1 r + k(1 − n ) ( z + z0 ) = k1 ∆ + k( z + z 0 ) / cos δ = k1 ∆ + k( L0 + L ) . với suy thoái của các thức. Rất nhiều khi sóng bên tạo thành một phần (4.4.12) đóng góp nhỏ có thể bỏ qua vào trường tổng cộng. Tuy nhiên, có một số Ở đây chúng ta đã tính đến n = sin δ . trường hợp nó rất quan trọng. Trong mục 4.5 sẽ phân tích tỉ mỉ về những Biên độ của sóng bên (4.4.11) cũng có thể nhận được từ những lập trường hợp như vậy. Ở đây chúng ta chỉ nhận xét một vài trường hợp. luận hình học đơn thuần. Ta xét tia OA trên hình 4.7 và các tia lân cận 1) Trong phát xạ xung, sóng bên tách biệt trong thời gian với các tạo nên một chùm tia hẹp đi tới biên với các góc gần bằng nhưng hơi lớn sóng khác và nó đi tới điểm thu sớm hơn các sóng khác (sóng “đi đầu” hơn góc δ . Mỗi tia của chùm này có một quỹ đạo tương tự như quỹ đạo trong địa chấn học). 147 148
2) Sóng bên là một bộ phận chính của trường âm trong các vùng tối ⎛ ∂ϕ ⎞ zm ∫ [k ( z ) − ξ 02 ] −1 / 2 ξ 0 dz , ∆ = −⎜ ⎜ ∂ξ ⎟ = 2 2 (4.5.2) ⎟ trong một ống dẫn sóng đại dương phân tầng. ⎝ ⎠ ξ0 0 3) Sóng bên đóng vai trò áp đảo trong ống dẫn sóng đại dương tại biểu thức này trùng với (2.3.2) vì ξ 0 = k0 cos χ 1 và z = z m . Điểm pha những tần số thấp hơn tần số của thức thứ nhất. dừng ξ = ξ 0 đối với tích phân (4.4.1) có thể lại được tìm từ phương trình 4) Nguồn và máy thu nằm rất gần đáy đại dương khi các sóng tới và w′(ξ 0 ) = 0 . Đưa mọi thứ, ngoại trừ hàm mũ, ra ngoài tích phân đối với các sóng phản xạ gương hầu như loại bỏ nhau. ξ = ξ 0 và thay thế biểu thức trong hàm mũ bằng khai triển 5) Các đặc trưng của sóng bên có thể được sử dụng để tách ra thông w(ξ ) = w(ξ 0 ) + w′′(ξ 0 ) (ξ − ξ 0 ) 2 / 2 , (4.5.3) tin duy nhất về môi trường truyền sóng. Tại những giá trị vừa và bé của ta được ∆ có hai hộ tiệm cận nhau, tạo nên vùng tụ tia - trường hợp này không pr = ξ 0 / 2 [2π r( k 2 − ξ 02 ] −1 / 2 exp [i π / 4 + i w(ξ 0 )] 1 được xét ở đây [4.3]. ∞ ∫ exp [i w′′(ξ 0 )(ξ − ξ 0 ) 2 / 2] dξ , × (4.5.4) 4.5. PHẢN XẠ TỪ NỬA KHÔNG GIAN BẤT ĐỒNG NHẤT PHÂN −∞ LỚP: CÁC VÙNG TỤ TIA w(ξ 0 ) = ξ 0 r + ( z + z0 )( k 2 − ξ 02 )1 / 2 + ϕ (ξ 0 ) . (4.5.5) Những tính toán ở mục 4.4 nhằm dẫn tới biểu thức cho sóng bên dễ Nếu chú ý tới ξ 0 = k sin θ 0 và (4.3.13), biểu thức (4.5.4) dẫn đến dàng được khái quát hóa cho trường hợp phản xạ toàn phần từ một nửa [ ] −1 / 2 pr = kr cos ξ 0 cos θ 0 w′′(ξ 0 ) exp [ i w (ξ 0 ) + i ε ] . (4.5.6) không gian phân lớp tùy ý với hệ số phản xạ được cho dưới dạng ở đây ε = π / 2 đối với w′′(ξ 0 ) > 0 và ε = 0 đối với w′′(ξ 0 ) < 0 . V = exp [ i ϕ (ξ )], ξ = k sin θ , (4.5.1) ở đây k là số sóng trong nửa không gian đồng nhất và θ là góc tới. Biểu Biểu thức (4.5.6) khác biệt với biểu thức đã nhận được bằng các thức tích phân (4.4.1) đối với pr , (4.4.4) đối với tia và biểu thức (4.4.5) phương pháp của âm hình học. Thật vậy, ta có (xem (4.4.2) đối với w(ξ ) ) đối với khoảng dịch chuyển tia vẫn giữ nguyên. [( z + z )( k ] ∂2 Ta hãy giả thiết rằng các tham số của một nửa không gian bất đồng 2 − ξ 02 )1 / 2 + ϕ (ξ 0 ) w′′(ξ 0 ) = 0 nhất biến đổi chậm theo z để sao cho ϕ được cho bằng công thức ∂ξ 02 (3.5.2). Khi đó ∆ có thể nhận được bằng các xấp xỉ tia nếu chúng ta theo [ξ ( z + z )( k ] ∂ − ξ 02 ) −1 / 2 − ϕ ′(ξ 0 ) 2 =− (4.5.7) dõi các tia trong nửa không gian bên dưới (hình 3.8). Thật vậy, nếu lấy 0 0 ∂ξ 0 đạo hàm pha (3.5.2) ta có hay, chú ý tới các phương trình đối với tia (4.4.4, 5) 149 150
∂r ω k0 w′′(ξ 0 ) = − . (4.5.8) c = c0 (1 − az ), k( z ) = k0 = , (4.5.13) , ∂ξ 0 1 − az c0 ở đây c0 là tốc độ âm trong nửa không gian đồng nhất bên trên. Nếu thế Bởi vì k( z ) vào (4.5.2), thực hiện tích phân đơn giản (thế ∂r ∂ ∂ = (k cosθ 0 ) w′′(ξ 0 ) = −(k cosθ 0 ) −1 −1 . (4.5.9) , ξ 0 (1 − az ) = k0 sin θ ) và nhớ lại rằng ξ 0 = k0 sin θ 0 ta được ∂ξ 0 ∂θ 0 ∂θ 0 2 Bây giờ (4.5.6) dẫn tới cường độ âm ctgθ 0 . ∆= (4.5.14) a −1 ⎛ ∂r ⎞ [ ] −1 2 = tgθ 0 ⎜ r ⎟. = k r ctgθ 0 cosθ 0 w′′(ξ 0 ) Thế ∆ vào (4.4.4) sẽ cho phương trình tia (4.5.10) pr ⎜ ∂θ ⎟ ⎝ ⎠ 0 2 r = ( z + z0 ) tgθ 0 + ctgθ 0 . z>0 (4.5.15) Mặt khác, theo định nghĩa về thừa số tiêu điểm, chúng ta có f (mục 2.5) a ∂r 2 = f r −2 . (4.5.11) pr = 0 trong vùng tụ tia, tức Như chúng ta đã thấy, ∂θ 0 So sánh (4.5.10) và (4.5.11) cho ∂r 2 = ( z + z0 ) cos − 2 θ 0 − = 0. (4.5.16) −1 ∂r ∂θ 0 a sin 2 θ 0 f = r tgθ 0 , (4.5.12) ∂θ 0 Nếu loại θ 0 khỏi (4.5.15, 16), ta nhận được phương trình đối với vùng tụ trùng với (2.5.3) nếu χ = χ 1 = π / 2 − θ 0 được xét. tia Chúng tôi nhường cho người đọc chúng minh rằng pha trong (4.5.6) a r2 z + z0 = . (4.5.17) cũng có thể nhận được trong khuôn khổ của lý thuyết tia. 8 Trên hình 4.8 sơ đồ tia và vùng tụ tia đối với az 0 = 1 / 8 được cho trong Công thức (4.5.6) đối với sóng phản xạ có thể được sử dụng ở mọi nơi, ngoại trừ trong các vùng mà w′′(ξ 0 ) (cũng như ∂ r / ∂θ 0 ) bằng các tọa độ không thứ nguyên az và ar . Các đường đi của các tia trong không hoặc bé. Nếu loại bỏ θ 0 từ phương trình δ r / δ θ 0 = 0 và phương môi trường bên dưới (đó là những cung của các đường tròn) được biểu trình của họ các tia r = r( z, θ 0 ) , chúng ta nhận được đường bao của họ diễn trên hình vẽ này (mục 2.2). đó, hay của vùng tụ tia. Trường trong vùng tụ tia này và lân cận nó phải được tính theo một cách đặc biệt. Với tư cách là ví dụ, ta xét trường hợp khi tốc độ âm trong nửa không gian z < 0 tăng một cách tuyến tính theo khoảng cách kể từ biên 151 152
Hình 4.9. Các tham số để tính trường âm ở lân cận một vùng tụ tia Chúng ta thấy rằng các tia được xác định bằng phương trình w′(ξ ) = 0 , tức r = g(ξ ) . Ứng với mỗi điểm ( r0 , z 0 ) của vùng tụ tia có một ξ 0 nhất định - tham số của tang của tia với vùng tụ tia tại điểm điểm này khi g ′(ξ ) = 0 . Hình 4.9 minh họa hàm g(ξ ) với những giá trị ξ gần ξ 0 đối với hai trường hợp có thể có g ′′(ξ 0 ) > 0 và g ′′(ξ 0 ) < 0 . Như chúng ta thấy từ hình, trong trường hợp thứ nhất (hiện thực trên hình 4.8) hai tia đi tới tại từng điểm r = g(ξ 1 ) = g(ξ 2 ) > r0 . Trong trường hợp thứ hai, một Hình 4.8. Vùng tụ tia hình thành khi phản xạ tình huống tương tự xuất hiện tại r < r0 . Quy tắc chung là vùng tụ tia của từ một nửa không gian bất đồng nhất một họ các tia luôn luôn chia tách vùng mà các tia của họ này không đi Bây giờ chúng ta phân tích trường ở trong và lân cận vùng tụ tia. Ta tới và vùng mà hai tia đi tới tại từng điểm (nghĩa là tại điểm A trên hình đưa ra hàm phụ trợ g(ξ ) theo định nghĩa 4.8 - một tia đã chạm tới vùng tụ tia và tia khác đang tiến tới nó). Hình g(ξ ) = r − w′(ξ ) . (4.5.18) 4.9 gợi ý rằng nếu lân cận ξ 0 tương ứng với vùng tụ tia, thì có thể sử dụng khai triển của hàm g(ξ ) thành một chuỗi lũy thừa của ξ − ξ 0 (ξ − ξ 0 ) 2 g(ξ ) = g(ξ 0 ) + g ′′(ξ 0 ) + ... . 2 Nếu chú ý tới (4.5.18), ta tìm w(ξ ) bằng cách tích phân. Hằng số tích 153 154
phân được xác định từ điều kiện w = w0 tại ξ = ξ 0 . Kết quả là, nếu chú ở đây ý rằng g(ξ ) = r và g(ξ 0 ) = r0 , ta được ∞ ⎛ ⎞ 1 1 ∫ cos ⎜ st + 3 s 3 v( t ) = ⎟ ds (4.5.23) 3 (ξ − ξ 0 ) ⎠ π ⎝ w = w0 + ( r − r0 )(ξ − ξ 0 ) − g ′′(ξ 0 ) 0 + ... . (4.5.19) 6 là hàm Airy. Nếu đưa tất cả các số hạng trong (4.4.1), ngoại trừ phần biến thiên của Đồ thị của hàm v( t ) / v0 , trong đó v( 0 ) = 0,6293 được dẫn trên hình hàm mũ, ra ngoài tích phân tại giá trị ξ = ξ 0 = k sin θ 0 và giới hạn ở các 2.7. Tại t < 0 hàm v( t ) có một đặc điểm dao động. Nó có giá trị cực đại số hạng được viết trong (4.5.19), chúng ta nhận được cho sóng phản xạ tại t âm, cụ thể là v( −1) = 0,949 . Tại t > 0 hàm v( t ) giảm đơn điệu khi 1/ 2 ⎡ ⎤ sin θ 0 t tăng. Các dao động tại t < 0 là do sự giao thoa giữa hai tia cắt ngang exp [i ( w0 + π / 4] pr = ⎢ ⎥ mỗi điểm ở phía này của vùng tụ tia. Ở phía khác ( t > 0 ) có một vùng tối 2 ⎢ 2π kr cos θ 0 ⎥ ⎣ ⎦ trong đó trường âm giảm đơn điệu theo khoảng cách kể từ vùng tụ tia. ⎡ (ξ − ξ 0 ) 3 ⎤ ∞ ∫ exp ⎢i ( r − r0 )(ξ − ξ 0 ) − i g ′′(ξ 0 ) ⎥ dξ . × (4.5.20) Sẽ là hợp lý trong đạo hàm r ′′(ξ 0 ) = g ′′(ξ 0 ) chuyển từ ξ sang biến 6 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ −∞ số góc θ tuân theo các quan hệ ξ = k sin θ và ξ 0 = k sin θ 0 . Khi đó, Ta thay thế ξ bằng biến mới s và r − r0 bằng khoảng cách không thứ ∂r ∂r 1 = nguyên t từ vùng tụ tia tuân theo các quan hệ ∂ξ k cos θ ∂θ s = ±[ g ′′(ξ 0 ) / 2] t = ±[ g ′′(ξ 0 ) / 2] −1 / 3 1/ 3 (ξ − ξ 0 ), ( r − r0 ) , (4.5.21) và, bởi vì (δ r / δ θ )θ 0 = 0 trong vùng tụ âm, ta có ở đây các dấu được chọn đối ngược với dấu của g ′′(ξ 0 ) . Khi đó hàm mũ ⎛ ∂2r ⎞ ∂2r ⎜ ⎟ = ( k cosθ 0 ) − 2 . (4.5.24) 3 trong biểu thức dưới dấu tích phân có thể viết thành exp i ( st + s / 3) . ⎜ ∂ξ 2 ⎟ ∂θ 02 ⎝ ⎠ ξ0 Chúng ta tách tích phân trên s thành hai tích phân, một tích phân từ − ∞ Như thường lệ, sẽ là hợp lý nếu ta đặc trưng cường độ của sóng (4.5.22) tới 0 và tích phân khác từ 0 tới ∞ và thay thế s bằng − s trong tích phân bằng thừa số tiêu điểm thứ nhất; kết quả là, hai tích phân có thể kết hợp thành một tích phân từ 0 −2 / 3 đến ∞ , và trong biểu thức dưới dấu tích phân của tích phân kết hợp tổng ∂2r 2 −2 / 3 2 5/3 k0 / 3 1 v 2 ( t ) . (4.5.25) sin θ 0 cos θ 0 r(θ 0 ) 2 f = r pr =2 của các hàm mũ sẽ được biến đổi thành một hàm côsin. Khi đó, biểu thức ∂θ 0 (4.5.20) có thể được viết lại thành Công thức sau cùng là trường hợp riêng quan trọng của công thức tổng 1/ 2 ⎡ 2 sin θ 0 ⎤ quát (2.5.6) khi χ = χ 1 = π / 2 − θ 0 . exp [i ( w0 + π / 4 )]v( t ) , (4.5.22) −1 / 3 1/ 3 g ′′(ξ 0 ) pr = 2 ⎢ ⎥ 2 ⎢ kr cos θ 0 ⎥ ⎣ ⎦ Phải luôn nhớ rằng (4.5.22) nhận được chỉ đối với một khoảng cách 155 156
Chương 5 hạn chế kể từ vùng tụ tia, nên chúng ta có thể giới hạn ở những số hạng khai triển pha được viết trong (4.5.19). Có thể rút ra được tiêu chuẩn TRUYỀN ÂM TRONG NƯỚC NÔNG tương ứng, nếu chúng ta đòi hỏi rằng số hạng bị bỏ qua đầu tiên g ′′′(ξ 0 )(ξ − ξ 0 ) 4 trong (4.5.19) phải bé so với đơn vị, tức sự lệch pha là Khi truyền âm trong nước nông một tia bất kỳ (ngoại trừ tia trực tiếp bỏ qua. 15 Bởi vì g(ξ ) = r và g(ξ 0 ) = r0 , chúng ta có trong trường hợp môi trường đồng nhất) bị phản xạ một hoặc nhiều lần từ 2 ⎛ r − r0 ⎞ đáy. Tại những khoảng cách tương đối xa trường âm chủ yếu là kết quả r0′′′ ⎜ ⎟