Công thức xác suất thông kê

Chia sẻ: Chao Hello | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

6.248
lượt xem 1.421
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lí thuyết xác suất là ngành toán học chuyên nghiên cứu xác suất. Các nhà toán học coi xác suất là các số trong khoảng [0,1], được gán tương ứng với một biến cố mà khả năng xảy ra hoặc không xảy ra là ngẫu nhiên. Kí hiệu xác suất P(E) được gán cho biến cố E theo tiên đề xác suất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công thức xác suất thông kê

i. Một số công thức phần xác suất I. Xác suất của biến cố: m ( ) A * A = P( ) n( ) A P(B)+P(C) nếu B và C là xung khắc * A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc P(B).P(C) nếu B và C là độc lập • A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập * A 1A 2 .. n =A 1 +A 2 +.. A n .A .+ * A 1 + A 2 + .. n = A 1 .A 2 ..A n .A . * P(A)+ P (A ) =1 Pn ( x) = C npx (1 − p) x n −x • Công thức Bernoulli: , x = 0,1,2,…,n n • Công thức Xác suất đầy đủ: P( )= ∑ H i) A / i) A P( P( H = i 1 • Công thức Bayes: P( i) H i/ ) H P( A P( i) H i/ ) H P( A P( i/ )= H A = n ∀ i= 1, ., 2,.n P( ) A ∑P( i) H i/ ) H P( A = i1 II. Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất: 1. Các tham số đặc trưng: n ∑ i i nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc xp = i1 E(X) = +∞ ∫−∞ xf x)nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục ( n ∑x i=1 2 i p i nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc 2 E(X ) = +∞ ∫ −∞ x 2 f ( x ) nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục ( ) V(X)= E ( X − E ( X ) ) 2 = E X 2 − ( E ( X ) ) 2 σ( X ) = V ( X ) Phạm Hương Huyền-TKT 1
2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng: ♦X∼ A(P) ⇒ X 0 1 P 1-p p P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1− x * x = 0;1 * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ ( X ) = p (1 − p ) ♦ X∼ B(n,p) ⇒ X 0 1 … x … n P C 0 p 0 q n− 0 C 1 p1q n−1 … C x p x q n− x … C n p n q 0 n n n n ( q=1-p ) P( X = x ) = C nx p x ( 1 − p ) n− x * x = 0,1,..., n * E(X)=np ; V(X)=npq ; σ ( X ) = npq x0 ∈ N * Mốt của X∼ B(n,p): x0 = np + p −1 ≤ x 0 ≤ np + p ♦ X∼ P(λ) ⇒ λx e − λ P ( X = x ) = C p (1 − p ) n− x * x n x ≈ ; x=0,1,2,… x! ( n khá lớn, p khá nhỏ; λ=np ) * E(X)=V(X)=λ; σ( X ) = λ * Mốt của X∼ P(λ): λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ ; x0∈N (x− )2 μ 1 − ♦ X∼ N(µ ,σ 2) ⇒ f x) ( = (σ>0) 2 e 2σ 2∏ * E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ (X)=σ  b −µ   a −µ  * P ( a < X < b) = Φ   −Φ    σ   σ  0 0  µ + ,5 b−  * P(Xa) ≈ 0,5 − 0  Φ   σ  ε  ( * P X −µ
• Giá trị tới hạn chuẩn: * Định nghĩa: P (U >U α ) =α , U∼ N(),1) * Chú ý: U 1− =− α α U ; U 0 , 025 =1,96 ; U 0 , 05 =1,645 • Giá trị tới hạn Student: * Định nghĩa: ( P T > Tα( n ) = α) , T∼ T(n) * Chú ý: T1( n ) = − α n ) −α T( ; Tα n ) ≈ U α ( với n ≥ 30 • Giá trị tới hạn Khi bình phương: * Định nghĩa: ( P χ 2 > χ α2( n ) = α) , χ2∼χ 2(n) • Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor: ( ( n ,n ) * Định nghĩa: P F > Fα 1 2 =α ) , F ∼ F(n1,n2) 1 * Chú ý: Fα1 , n2 ) = (n2 , n1 ) (n F− 1 α III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc X x1 x2 …. xi …. xn Tổng Y y1 P(x1,y1) P(x2,y1) …. P(xi,y1) …. P(xn,y1) P(Y=y1) y2 P(x1,y2) P(x2,y2) ….. P(xi,y2) ….. P(xn,y2) P(Y=y2) … …. …. … … … …. …. yj P(x1,yj) P(x2,yj) …. P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj) …. …. …. …. …. …. ….. …. ym P(x1,ym) P(x2,ym) …. P(xi,ym) ….. P(xn,ym) P(Y=ym) Tổng P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) …. P(X=xn) 1 ( ) ( • P xi , y j = P X = xi , Y = yj ) ∑(xi , y j ) P ( =y j ) = P (x ) m n • P(X = i ) = x P ; Y ∑ i , y j j= 1 i= 1 (X =x i , Y = y j ) • P (( X =x i ) / (Y = y j )) = P P (Y = y j ) • µ XY = Cov( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) )( (Y − E (Y ) ) ) = ∑∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) n m i =1 j =1 ρ = µ XY • XY σX ) ( ) ( σ Y Phạm Hương Huyền-TKT 3
• V ( aX +bY ) = a 2V ( X ) +b 2V (Y ) + 2abCov ( X , Y ) III. Một số quy luật số lớn: • Bất đẳng thức Trêbưsép: X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε >0 V (X ) P ( X − E ( X ) < ε ) ≥1 − ε2 ⇔ P ( X − (X E ) ≥ )≤ ε V (X ) 2 ε • Định lý Trêbưsép: X1, X2,…, Xn độc lập từng đôi; E(Xi), V(Xi) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε >0 1 n 1 n  Lim P  ∑i − ∑ X i ) <  1 X E( ε = n→ ∞ n i = 1 n i= 1  • Định lý Bernoulli: f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lược đồ Bernoulli với 2 tham số n, p ε > 0 , ta có Lim P ( f − < )= n→ ∞ p 1 ε B. Một số công thức trong phần Thống kê toán I. Một số công thức trên mẫu: 1 k x = ∑ i xi ; n i =1 n 2 1 k x = ∑ i xi2 n i =1 n ; Ms = x 2 − x () 2 n 1 k s= Ms ; s *2 = ∑ i ( xi − µ) 2 n n −1 n i =1 * Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu. ( ) µσ  ⇒  2  Tổng thể : X∼ N µ , σ N , 2 * ⇒ X ∼   n   ( ) E X =µ , ( ) V X = σ2 n  pq  * Tổng thể X∼ A(p) ⇒ f ∼ N p,  ⇒ E( f ) = p , V( f ) = pq  n  n ( khi n đủ lớn). II. Một số công thức về ước lượng: 1. Ước lượng giá trị tham số µ trong quy luật N ( µ , σ 2 ) Phạm Hương Huyền-TKT 4
Trường hợp đã biết σ 2 Trường hợp chưa biết σ 2 (thường gặp) Cô (ít gặp) ng n ≤ 30 n>30 thức σ σ s s s s KTC x− Uα < µ < x + Uα x− Tα( n −1) < µ < x + Tα( n −1) x − Uα < µ < x + Uα đối n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 xứng KTC σ µ< x + s Tα −) (n 1 s ước µ< x+ Uα n µ < x+ Uα n lượng n µ max KTC σ s s ước µ > x− Uα µ > x− Tα( n −1) µ > x− Uα lượng n n n µ min Công 4σ 2 2 4s 2 * ≥ 4s 2 2 thức n * ≥ Uα / 2 n * ≥ (Tα( n −1) ) 2 n Uα / 2 xác I 02 2 I0 /2 I 02 định kích thước I ε mẫu mới (n*) sao cho: Giữ Chú ý : = nguyên độ 2 tin cậy (1-α ) và muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p) f (1 − f ) f (1 − f ) KTC đối xứng f− Uα < p < f + Uα n 2 n 2 KTC ước lượng p max f (1 − f ) p< f + Uα n KTC ước lượng p min f (1 − f ) p>f − Uα n Phạm Hương Huyền-TKT 5
Công thức xác định kích 4 f (1 − f )U2 thước mẫu mới (n*) sao cho: n* ≥ 2 α/ 2 Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) I0 và muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 I Chú ý : ε = 2 Chú ý: M Nếu P= thì có thể ước lượng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể N ước lượng N qua P là M (quan hệ N và P là ngược chiều). 3. Ước lượng giá trị tham số σ 2 trong quy luật N μ, 2 σ ( ) Công thức Trường hợp đã biết µ Trường hợp chưa biết µ (ít gặp) (thường gặp) σ ( n −1) s ( n −1) s 2 *2 *2 2 n s n s < 2 < 2 (n ) > 2 2 lượng σ 2 min χ 2(n ) 2(n− ) 1 χα α III. Một số công thức về kiểm định giả thuyết thống kê ♦Kiểm định về tham số của quy luật phân phối gốc 1. Bài toán kiểm định về tham số µ trong quy luật N ( µ , σ 2 ) : a. Bài toán so sánh µ với giá trị thực cho trước µ 0 Trường hợp σ 2 đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ = µ 0 Wα = =   U x −µ ( 0 n ) ; U >U α    H1: µ > µ 0 σ     H0: µ = µ 0   Wα =  = U x −µ ( 0 n ) ; U U α / 2  H1: µ ≠ µ0   σ   Trường hợp σ chưa biết (thường gặp) 2 Miền bác bỏ của giả thuyết H0 Phạm Hương Huyền-TKT 6
Cặp giả thuyết Trường hợp n ≤ 30 Trường hợp n>30 cần kiểm định H0: µ = µ 0   ( x − µ0 ) n   H1: µ > µ 0 Wα = T =  s ; T > Tα( n −1)     Wα = U = ( x − µ0 n )   ; U > Uα      s   H0: µ = µ 0   Wα = T = ( x − µ0 ) n   ; T < −Tα( n −1)    Wα = U = ( x − µ0 n )   ;U < −U α  H1: µ < µ 0   s     s   H0: µ = µ 0 H1: µ ≠ µ 0   Wα = T = ( x − µ0 n )     ; T > Tα( n −1)  Wα = U = x − µ0 n ( )   ; U > Uα / 2  /2   s     s   b. Bài toán so sánh hai tham số µ1 với µ 2 của 2 quy luật phân phối chuẩn Trường hợp σ 12 , σ 22 đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 > µ 2    x −x  Wα =  =U 1 2 ; U >U α   σ1 2 σ2 2   +   n1 n2    H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 < µ 2 Wα =  =U ; U U α / 2   σ1 2 σ 2   + 2   n1 n2  Trường hợp σ 1 , σ 2 chưa biết; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thường gặp) 2 2 Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định   H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 > µ 2 Wα = = U ; U >U α  2  s1 s2   + 2   n1 n2  Phạm Hương Huyền-TKT 7
  H0: µ1 = µ 2    x1 − x 2  H1: µ1 < µ 2 Wα =  =U ;U Uα / 2  2  s1 s2   + 2   n1 n2  Trường hợp σ 12 , σ 22 chưa biết Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 > µ 2    x1 −x 2  Wα = = T ; T > α ) T (k 2 2  s1 s2   +   n1 n2  H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 < µ 2    x1 − 2 x (k )  Wα = T =  ; T < Tα  − 2 2  s1 s2   +   n1 n2  H0: µ1 = µ 2   H1: µ1 ≠ µ 2    x1 −x 2 ( )  Wα = = T ; T >Tαk 2  / 2 2  s1 s2   +   n1 n2  (n1 − )(n 2 − ) 1 1 2 s1 / n1 k = ; c = (n 2 − )c 2 +(n1 − )(1 −c ) 1 1 2 (s 2 1 / n1 ) +(s 2 / n 2 ) 2 2. Bài toán kiểm định về tham số σ 2 trong quy luật N ( µ , σ 2 ) : a. Bài toán so sánh σ 2 với giá trị thực cho trước σ 0 2 Phạm Hương Huyền-TKT 8
Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: σ 2 = σ 02  2 Wα = χ = ( n −1) s 2 ; χ 2 > χ 2 ( n −1)  H1: σ 2 > σ 02 α   σ0 2  H0: σ 2 = σ 02  2 Wα = χ = ( n −1) s 2 ; χ 2 < χ 2( n −1)  H1: σ 2 < σ 02 1−α   σ02   2 ( n − 1) s 2  H0: σ = σ 2 2 0 Wα =  χ = ; χ 2 > χ α2 (/n−1) hay χ 2 < χ 12−(αn−1)  2 /2 H1: σ 2 ≠ σ 02  σ 02  b. Bài toán so sánh hai tham số σ 12 với σ 22 của 2 quy luật phân phối chuẩn Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định H0: σ 12 = σ 22  s12  H1: σ 12 > σ 22 Wα = F = 2 ; F >Fα 1 −, n2 − )  (n 1 1   s2  H0: σ 12 = σ 22  1  2 s1 H1: σ 12 < σ 22 Wα = = 2 ; F F α /2 hay F < F 1− α / 2   s2  3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p): a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước: Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định H0: p = p0   ( f − p0 ) n   Wα = = U ; U >U α  H1: p > p0   p 0 (1 − p 0 )   H0: p = p0   ( f − p0 ) n   H1: p < p0 Wα = = U ; U   H1: p ≠ p0 Wα = = U U α/ 2    p0 (1 −p0 )   b. Bài toán so sánh hai tham số p1 với p 2 của 2 quy luật Không-Một Phạm Hương Huyền-TKT 9
Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định      f 1 −f 2  H0: p1 = p 2 Wα = U =  ; U > α U H1: p1 > p 2   ( f 1 −f  1 n + ) 1    n2      1       f1 − f 2  H0: p1 = p 2 Wα = = U ; U α/ 2  U H1: p1 ≠ p 2   ( f 1 −f  1 n ) + 1    n2      1  n f +2 f 2 n Trong đó: f =1 1 n1 + 2 n ♦ Kiểm địnhphi tham số • Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X ∼ Quy luật A H1: X ∼ Quy luật A (Xét quy luật A là rời rạc) * Miền bác bỏ của giả thuyết H0:  2  (ni − i′)2  n χ( r 1  k Wα = χ =  ∑ n′ ; χ2 > αk − −)  2   i= 1 i   Trong đó: k Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X(n); xi xuất hiện ni lần ; ∑n i =1 i = n ; ni′ = np i ; pi = P( X = xi ) ; r là số tham số trong quy luật A cần ước lượng, tham số của quy luật A được ước lượng bằng phương pháp ước lượng hợp lý tối đa; Phạm Hương Huyền-TKT 10
• Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X , Y là độc lập H1: X , Y là phụ thuộc * Miền bác bỏ của giả thuyết H0:  2  h k 2 nij    = χ = ∑ i = ∑i m j Wα  n − 1  ; χ 2 >χα 2 (( h − )( k − )) 1 1    1 j= n    1  Trong đó: Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (xi,yj )xuất hiện nij lần; h k h k h k ∑n i=1 ij =m j , ∑n j=1 ij =ni , ∑ n ∑ i=1 j=1 ij =∑ i =∑ j =n . n i=1 m j=1 • Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn: H0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn +> H1: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn   2 a3 ( 4 − 2 a 3)  → MBB của H0 : W α = JB =   n + ;JB > α 2) χ2(  6 24   ( a3 là hệ số bất đối xứng, a4 là hệ số nhọn) ------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Hương Huyền-TKT 11