Đại số 11: Chương 4 - Trần Sĩ Tùng

Đại số 11<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng<br /> <br /> CHƯƠNG IV GIỚI HẠN<br /> <br /> I. Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: 1 1 lim = 0 ; lim = 0 (k Î ¢+ ) k n®+¥ n n®+¥ n<br /> n®+¥<br /> <br /> Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: lim n = +¥ lim q n = +¥ (q > 1) 2. Định lí: lim n k = +¥ (k Î ¢ + )<br /> <br /> lim q = 0 ( q < 1) ;<br /> <br /> n<br /> <br /> n®+¥<br /> <br /> lim C = C<br /> <br /> 2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì · lim (un + vn) = a + b · lim (un – vn) = a – b · lim (un.vn) = a.b u a · lim n = (nếu b ¹ 0) vn b b) Nếu un ³ 0, "n và lim un= a thì a ³ 0 và lim un = a c) Nếu un £ vn ,"n và lim vn = 0 thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim un = a 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn u S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1- q<br /> <br /> a) Nếu lim un = +¥ thì lim<br /> <br /> 1 =0 un un =0 vn<br /> <br /> b) Nếu lim un = a, lim vn = ±¥ thì lim c) Nếu lim un = a ¹ 0, lim vn = 0 u ì+¥ neáu a.vn > 0 thì lim n = í neáu a.vn < 0 vn î-¥ d) Nếu lim un = +¥, lim vn = a ì+¥ neáu a > 0 thì lim(un.vn) = í neáu a < 0 î-¥<br /> <br /> ( q < 1)<br /> <br /> * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô 0 ¥ định: , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử 0 ¥ dạng vô định.<br /> <br /> Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số: · Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 1+ - 3 2 n +1 n + n - 3n n n =1 VD: a) lim b) lim = lim =1 = lim 3 2 1 1 - 2n 2n + 3 2+ -2 n n æ 4 1 ö c) lim(n2 - 4 n + 1) = lim n2 ç 1 - + ÷ = +¥ è n n2 ø · Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức 1+<br /> <br /> (<br /> <br /> a - b )( a + b ) = a - b;<br /> <br /> VD:<br /> <br /> lim<br /> <br /> (<br /> <br /> n2 - 3n - n = lim<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> n2 - 3n - n<br /> <br /> (<br /> <br /> )(<br /> <br /> ( 3 a - 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a - b<br /> n2 - 3n + n<br /> <br /> n2 - 3n + n<br /> <br /> )<br /> <br /> ) = lim<br /> <br /> -3n n2 - 3n + n<br /> <br /> =-<br /> <br /> 3 2<br /> <br /> Trang 60<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng<br /> <br /> Đại số 11 thì lim un = 0<br /> <br /> · Dùng định lí kẹp: Nếu un £ vn ,"n và lim vn = 0<br /> VD: a) Tính lim<br /> <br /> sin n sin n 1 1 sin n . Vì 0 £ £ và lim = 0 nên lim =0 n n n n n 3sin n - 4 cos n b) Tính lim . Vì 3sin n - 4 cos n £ (32 + 42 )(sin 2 n + cos2 n) = 5 2 2n + 1 3sin n - 4 cos n 5 nên 0 £ . £ 2n 2 + 1 2 n2 + 1 5 3sin n - 4 cos n Mà lim = 0 nên lim =0 2n2 + 1 2n2 + 1<br /> <br /> Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây: · Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0. · Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu. · Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –¥ nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.<br /> <br /> Baøi 1: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 2 n2 - n + 3 3n2 + 2n + 1 n4 b) lim e) lim 2n + 1 n3 + 4 n2 + 3 n2 + 1 2n4 + n + 1 4.3n + 7n+1 2.5n + 7n 1 + 2.3n - 7n 5n + 2.7n n2 + 3 - n - 4 n2 + 2 + n (2n n + 1)( n + 3) (n + 1)(n + 2) c) lim f) lim 3n 3 + 2 n 2 + n n3 + 4 2 n 4 + n2 - 3 3n3 - 2n2 + 1 4 n+1 + 6n + 2<br /> <br /> (n + 1)(2 + n)(n 2 + 1) Baøi 2: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 1 + 3n 4 + 3n 2 n + 5n+1<br /> <br /> b) lim e) lim<br /> <br /> c) lim f) lim<br /> <br /> 5n + 8n 1 - 2.3n + 6 n 2 n (3n+1 - 5) n2 + 1 - n6 n 4 + 1 + n2 n2 - 4n - 4 n2 + 1 3n2 + 1 + n<br /> 3<br /> <br /> 1 + 5n Baøi 3: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 4 n2 + 1 + 2n - 1 n2 + 4 n + 1 + n 4n2 + 1 + 2 n<br /> <br /> b) lim e) lim<br /> <br /> c) lim f) lim<br /> <br /> n2 + 4n + 1 + n Baøi 4: Tính các giới hạn sau: æ 1 ö 1 1 a) lim ç + + ... + ÷ (2n - 1)(2n + 1) ø è 1.3 3.5 æ æ 1 öæ 1 ö 1 ö c) lim ç 1 - ÷ ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ 2 2 è 2 øè 3 ø è n2 ø e) lim 1 + 2 + ... + n n 2 + 3n<br /> <br /> æ 1 1 1 ö b) lim ç + + ... + ÷ n(n + 2) ø è 1.3 2.4 æ 1 1 1 ö d) lim ç + + ... + ÷ n(n + 1) ø è 1.2 2.3 f) lim 1 + 2 + 22 + ... + 2 n 1 + 3 + 32 + ... + 3n<br /> <br /> Trang 61<br /> <br /> Đại số 11 Baøi 5: Tính các giới hạn sau: a) lim<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng<br /> <br /> ( n2 + 2n - n - 1) d) lim (1 + n2 - n 4 + 3n + 1 )<br /> g) lim 4 n2 + 1 - 2n - 1<br /> <br /> ( e) lim (<br /> b) lim h) lim<br /> <br /> n 2 + n - n2 + 2 n2 - n - n<br /> 3<br /> <br /> )<br /> <br /> c) lim f) lim i) lim<br /> <br /> ( 3 2n - n3 + n - 1)<br /> 1 n2 + 2 - n2 + 4 n2 - 4n - 4 n2 + 1 3n 2 + 1 - n 2 - 2 n cos n 3n + 1 3n2 - 2 n + 2 n(3cos n + 2)<br /> <br /> )<br /> <br /> n2 + 1 - n6 n 4 + 1 - n2 (-1)n sin(3n + n2 ) 3n - 1 3sin 2 (n3 + 2) + n2<br /> <br /> n2 + 4 n + 1 - n Baøi 6: Tính các giới hạn sau: a) lim d) lim 2 cos n2 n2 + 1 3sin 6 n + 5 cos2 (n + 1) n2 + 1<br /> <br /> b) lim e) lim<br /> <br /> c) lim f) lim<br /> <br /> 2 - 3n2 æ 1 öæ 1 ö æ 1 ö Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = ç 1 - ÷ç 1 - ÷ ... ç 1 - ÷ , với " n ³ 2. è 22 øè 32 ø è n 2 ø a) Rút gọn un. b) Tìm lim un. 1 1 1 Baøi 8: a) Chứng minh: = ("n Î N*). n n + 1 + (n + 1) n n n +1 1 1 1 b) Rút gọn: un = + + ... + . 1 2 +2 1 2 3 +3 2 n n + 1 + (n + 1) n c) Tìm lim un. ìu = 1 ï 1 Baøi 9: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í . 1 ïun+1 = un + n (n ³ 1) 2 î a) Đặt vn = un+1 – un. Tính v1 + v2 + … + vn theo n. b) Tính un theo n. c) Tìm lim un. ìu = 0; u2 = 1 Baøi 10: Cho dãy số (un) được xác định bởi: í 1 î2un+ 2 = un+1 + un , (n ³ 1) 1 a) Chứng minh rằng: un+1 = - un + 1 , "n ³ 1. 2 2 b) Đặt vn = un – . Tính vn theo n. Từ đó tìm lim un. 3<br /> <br /> Trang 62<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn 1. Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; lim c = c (c: hằng số)<br /> x® x0 x® x0<br /> <br /> Đại số 11<br /> <br /> 2. Định lí: a) Nếu lim f ( x ) = L và lim g( x ) = M thì: lim [ f ( x ) + g( x )] = L + M<br /> x® x0 x® x0 x® x0 x® x0 x® x0<br /> <br /> Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: ì+¥ neáu k chaün lim x k = +¥ ; lim x k = í x®+¥ x®-¥ î-¥ neáu k leû<br /> x ®±¥<br /> <br /> lim c = c ;<br /> <br /> lim [ f ( x ) - g( x )] = L - M<br /> <br /> lim [ f ( x ).g( x )] = L .M lim<br /> <br /> f ( x) L = (nếu M ¹ 0) x® x0 g( x ) M b) Nếu f(x) ³ 0 và lim f ( x ) = L<br /> x® x0<br /> <br /> 1 = -¥ ; x ®0 x 1 1 lim- = lim+ = +¥ x ®0 x x ®0 x 2. Định lí: Nếu lim f ( x ) = L ¹ 0 và lim g( x ) = ±¥ thì: limx® x0 x® x0<br /> <br /> =0 xk 1 lim+ = +¥ x ®0 x<br /> x®±¥<br /> <br /> lim<br /> <br /> c<br /> <br /> thì L ³ 0 và lim<br /> x® x0<br /> <br /> x ® x0<br /> <br /> f ( x) = L<br /> x® x0<br /> <br /> c) Nếu lim f ( x ) = L thì lim f ( x ) = L 3. Giới hạn một bên: lim f ( x ) = L Û<br /> x® x0<br /> <br /> Û lim - f ( x ) = lim + f ( x ) = L<br /> x® x0 x ® x0<br /> <br /> ì+¥ neáu L vaø lim g( x ) cuøng daáu ï x ® x0 lim f ( x )g( x ) = í x ® x0 ï-¥ neáu L vaø xlim g( x ) traùi daáu ® x0 î ì0 neáu lim g( x ) = ±¥ x ® x0 f ( x) ï lim = ï+¥ neáu lim g( x ) = 0 vaø L .g( x ) > 0 í x ® x0 g( x ) x ® x0 ï -¥ neáu lim g( x ) = 0 vaø L .g( x ) < 0 ï x ® x0 î * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 ¥ , , ¥ – ¥, 0.¥ thì phải tìm cách khử dạng vô 0 ¥ định.<br /> <br /> Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 1. Dạng 0 P( x ) a) L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x0) = Q(x0) = 0 x® x0 Q( x ) Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. x2 - 4 P( x ) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc x® x0 Q( x ) Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.<br /> x®2<br /> <br /> VD: lim<br /> <br /> x3 - 8<br /> <br /> = lim<br /> <br /> ( x - 2)( x 2 + 2 x + 4) x 2 + 2 x + 4 12 = lim = =3 x ®2 x ®2 ( x - 2)( x + 2) x+2 4<br /> <br /> ( 2 - 4 - x )( 2 + 4 - x ) 2- 4- x 1 1 = lim = lim = x ®0 x ®0 x ®0 2 + 4 - x x 4 x (2 + 4 - x ) P( x ) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc x® x0 Q( x )<br /> VD: lim Giả sử: P(x) =<br /> m<br /> <br /> u( x ) - n v( x ) vôùi<br /> <br /> m<br /> <br /> Ta phân tích P(x) =<br /> <br /> ( m u( x) - a ) + ( a - n v( x) ) .<br /> Trang 63<br /> <br /> u( x 0 ) = n v( x 0 ) = a .<br /> <br /> Đại số 11 VD: lim<br /> 3<br /> <br /> Trần Sĩ Tùng<br /> <br /> æ 3 x +1 -1 1 - 1 - x ö x +1 - 1- x = lim ç + ÷ x®0 x ®0 è x x x ø æ ö 1 1 5 1 1 = lim ç + ÷= + = x®0 ç 3 ( x + 1)2 + 3 x + 1 + 1 1 + 1 - x ÷ 3 2 6 è ø ¥ P( x ) 2. Dạng : L = lim với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn. x®±¥ Q( x ) ¥ – Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x. – Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp. 5 3 2+ 2 2 x + 5x - 3 x x2 VD: a) lim = lim =2 x ®+¥ x 2 + 6 x + 3 x ®+¥ 6 3 1+ + x x2 b) lim 2x - 3 x +1 - x<br /> 2<br /> <br /> -1 x2 3. Dạng ¥ – ¥: Giới hạn này thường có chứa căn Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu. VD: lim<br /> x®+¥<br /> <br /> x ®-¥<br /> <br /> = lim<br /> <br /> 2- 1+<br /> <br /> x ®-¥<br /> <br /> 3 x 1<br /> <br /> = -1<br /> <br /> (<br /> <br /> 1 + x - x ) = lim<br /> <br /> (<br /> <br /> 1 + x - x )( 1 + x + x ) 1+ x + x<br /> <br /> x ®+¥<br /> <br /> = lim<br /> <br /> 1 1+ x + x<br /> <br /> x ®+¥<br /> <br /> =0<br /> <br /> 4. Dạng 0.¥: Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên. VD: lim ( x - 2)<br /> x®2<br /> +<br /> <br /> x x -4<br /> 2<br /> <br /> = lim<br /> x ®2<br /> <br /> x - 2. x x+2<br /> <br /> +<br /> <br /> =<br /> <br /> 0. 2 =0 2<br /> <br /> Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: a) lim 1+ x + x + x x ®0 1+ x x -1 x4 + x - 3<br /> 2 3<br /> <br /> b) lim<br /> <br /> x ®-1<br /> <br /> 3x + 1 - x x -1 x2 - x +1 x -1<br /> <br /> 2<br /> <br /> æ pö sin ç x - ÷ è 4ø c) lim p x x®<br /> 2<br /> <br /> d) lim g) lim<br /> <br /> x®-1<br /> <br /> e) lim<br /> <br /> x®2 3<br /> <br /> f) lim<br /> <br /> x ®1<br /> <br /> x2 - 2x + 3 x +1 1 2<br /> <br /> x +8 -3 x®1 x -2 Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: a) lim x3 - x 2 - x + 1 x2 - 3x + 2 x3 - 5x 2 + 3 x + 9 x 4 - 8x 2 - 9<br /> x ®1<br /> <br /> h) lim<br /> <br /> x®2<br /> <br /> 3x 2 - 4 - 3x - 2 x +1 x4 -1<br /> <br /> i) lim x 2 sin<br /> x ®0<br /> <br /> b) lim e) lim<br /> <br /> x ®1<br /> <br /> d) lim<br /> <br /> x3 - 2 x 2 + 1 x - 5x5 + 4 x6 (1 - x )2<br /> <br /> c) lim f) lim<br /> <br /> x5 + 1 x3 + 1 xm -1 xn -1 x 4 - 16 x3 + 2 x2<br /> <br /> x ®-1<br /> <br /> x ®3<br /> <br /> x®1<br /> <br /> x ®1<br /> <br /> g) lim<br /> <br /> (1 + x )(1 + 2 x )(1 + 3 x ) - 1 x + x 2 + ... + x n - n h) lim x ®0 x®1 x x -1 Trang 64<br /> <br /> i) lim<br /> <br /> x ®-2<br /> <br />