DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

Chia sẻ: Phan Duy Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

194
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung §0. NHẮC LẠI VÀI QUI TẮC TRONG PHÉP LÝ LUẬN 1) Mệnh đề “ x chất T(x)). 2) Mệnh đề “ A thành “ A 3) Mệnh đề “ x tính chất T(x)). 4) Mệnh đề “ A định thành “ A 5) Mệnh đề “ A “A D, T(x) ” (tất cả x thuộc D đều có tính chất T(x)) được phủ định thành “ x D, T( x) ” (có một x thuộc D không có tính B ” (cả hai A và B đều...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN

GIAÛI TÍCH HAØM MOÄT BIEÁN DAØN BAØI TOÙM TAÉT NOÄI DUNG
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung §0. NHAÉC LAÏI VAØI QUI TAÉC TRONG PHEÙP LYÙ LUAÄN 1) Meänh ñeà “ x D, T(x) ” (taát caû x thuoäc D ñeàu coù tính chaát T(x)) ñöôïc phuû ñònh thaønh “ x D, T( x) ” (coù moät x thuoäc D khoâng coù tính chaát T(x)). 2) Meänh ñeà “ A B ” (caû hai A vaø B ñeàu nhö theá) ñöôïc phuû ñònh thaønh “ A B ” (coù moät trong hai A hay B khoâng phaûi nhö theá). 3) Meänh ñeà “ x D, T( x) ” (coù moät x thuoäc D mang tính chaát T(x)) ñöôïc phuû ñònh thaønh “ x D, T( x) ” (taát caû x thuoäc D ñeàu khoâng coù tính chaát T(x)). 4) Meänh ñeà “ A B ” (coù moät trong hai A hay B laø nhö theá) ñöôïc phuû ñònh thaønh “ A B ” (caû hai A vaø B khoâng phaûi nhö theá). 5) Meänh ñeà “ A B ” (coù A thì phaûi coù B) ñöôïc phuû ñònh thaønh “A B ” (coù A nhöng vaãn khoâng coù B). 6) Pheùp chöùng minh qui naïp: Giaû söû raèng: * meänh ñeà T(n0 ) ñuùng * meänh ñeà T(k) luoân suy ra ñöôïc meänh ñeà T(k + 1) (yù noùi vôùi moïi k n0 , meänh ñeà keùo theo “ T(k) T(k 1) ” luoân ñuùng). Khi ñoù meänh ñeà T(n) seõ ñuùng vôùi moïi n n0 . 7) Pheùp phaûn chöùng trong meänh ñeà phaûn ñaûo: Meänh ñeà “ A B ” cuøng nghóa vôùi “ B A ” (coù A thì phaûi coù B, cuõng nghóa vôùi neáu khoâng coù B thì seõ khoâng bao giôø coù A). AÙp duïng: khi ngöôøi ta cho ñieàu A vaø yeâu caàu ta chöùng minh ñieàu B, ta coù theå giaû söû phaûn chöùng raèng khoâng coù ñieàu B roài ta lyù luaän khoâng coù ñieàu A, traùi vôùi giaû thieát ngöôøi ta cho. Vaäy phaûi coù ñieàu B. 2
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tíc h Haøm Moät Bieán 8) Pheùp phaûn chöùng tröïc tieáp: Khi ngöôøi ta yeâu caàu chöùng minh ñieàu A, ta coù theå giaû thieát taïm raèng khoâng coù A roài suy ra ñieàu maâu thuaãn vôùi giaû thieát taïm. Baøi taäp 1. a) Cho soá töï nhieân m vaø m2 laø soá chaün. Chöùng minh m cuõng laø soá chaün. b) Chöùng minh raèng neáu moät soá chính phöông laø chaün thì soá chính phöông ñoù chia heát cho 4. m 2. (vôùi m vaø n laø Chöùng minh raèng khoâng toàn taïi moät phaân soá n 2 m caùc soá töï nhieân, ñöông nhieân n khaùc 0) sao cho 2. n 3. 1 vaø n laø soá töï nhieân tuøy yù lôùn hôn 1. Duøng pheùp qui Cho naïp, haõy chöùng minh baát ñaúng thöùc Bernouli sau ñaây: n n. 1 1 4. 0, . Chöùng minh Cho soá α thoûa 0. 5. Chöùng minh hai meänh ñeà sau laø töông ñöông: 0, a 0, a .” Meänh ñeà 1 laø “ ”; meänh ñeà 2 laø “ 6. Chöùng minh hai meänh ñeà sau laø töông ñöông: 0, a 0, a .” Meänh ñeà 1 laø “ ”; meänh ñeà 2 laø “ 2 7. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau ñaây (baát ñaúng thöùc tam giaùc) a) x y x y b) x y x y c) a b a b. §1. TIEÂN ÑEÀ VEÀ SUPREMUM; INFREMUM 1) Caùc ñònh nghóa vaø kyù hieäu: * Caùc taäp hôïp soá thöïc, höõu tæ, soá nguyeân, soá töï nhieân laàn löôït ñöôïc kyù hieäu laø , , , (sinh vieân ñaõ coù khaùi nieäm veà caùc soá naøy ôû phoå thoâng. Neáu thích tìm hieåu theâm, sinh vieân coù theå tham khaûo Giaùo trình Giaûi Tích Haøm Moät Bieán, N.Ñ.Phö, N.C.Taâm, Ñ.N.Thanh & Ñaëng Ñöùc Troïng; hoaëc Giaûi Tích Nhaäp Moân, Ñaëng Ñình AÙng). 1
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung * Vôùi soá thöïc x, ta kyù hieäu [x] laø phaàn nguyeân cuûa x, laø soá nguyeân lôùn nhaát nhöng khoâng lôùn hôn x, nghóa laø [ x] x [ x] 1 vaø [x] laø soá nguyeân. * Soá thöïc  ñöôïc goïi laø chaën treân cuûa taäp con A khaùc roãng trong nghóa laø x A, x . * Soá thöïc  ñöôïc goïi laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa taäp con A khaùc roãng trong nghóa laø A vaø x A, x . Luùc ñoù ta kyù hieäu max A . * Soá thöïc  ñöôïc goïi laø chaën döôùi cuûa taäp con A khaùc roãng nghóa laø x A, x trong . * Soá thöïc  ñöôïc goïi laø phaàn töû nhoû nhaát cuûa taäp con A khaùc A vaø x A, x roãng trong nghóa laø . Luùc ñoù ta kyù hieäu min A . * Taäp con A khaùc roãng cuûa ñöôïc goïi laø bò chaën treân nghóa laø coù moät soá  laø chaën treân cuûa A. * Taäp con A khaùc roãng cuûa ñöôïc goïi laø bò chaën döôùi nghóa laø coù moät soá  laø chaën döôùi cuûa A. * Taäp con A khaùc roãng cuûa ñöôïc goïi laø bò chaën nghóa laø A vöøa bò chaën treân vöøa bò chaën döôùi. 2) Tieân ñeà veà sup: Moïi taäp con A khaùc roãng cuûa neáu bò chaën treân thì seõ coù chaën treân nhoû nhaát. Chaën treân nhoû nhaát trong soá caùc chaën treân cuûa taäp A ñöôïc kyù hieäu laø sup A . Heä quaû: (sinh vieân töï chöùng minh) Moïi taäp con A khaùc roãng cuûa neáu bò chaën döôùi thì seõ coù chaën döôùi lôùn nhaát. Chaën döôùi lôùn nhaát trong soá caùc chaën döôùi cuûa taäp A ñöôïc kyù hieäu laø inf A . 3) Tính chaát Archimeøde: Cho soá döông , ta coù: r ,n ,n r. Heä quaû: r ,n ,n r, (i) 4
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tíc h Haøm Moät Bieán 1 0, n (ii) , . n 4) Ñaëc tröng cuûa sup vaø inf: * sup A khi vaø chæ khi “ laø chaën treân cuûa A vaø 0, x A, x .” * inf A khi vaø chæ khi “ laø chaën döôùi cuûa A vaø 0, x A, x .” Baøi taäp 1. - Soá  khoâng phaûi laø chaën treân cuûa taäp A nghóa laø sao? - Soá  khoâng phaûi laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa A nghóa laø sao? 2009 - Cho A [0;1) . Soá coù phaûi laø chaën treân cuûa A khoâng? 2010 - Chöùng minh khoâng toàn taïi max A vaø supA = 1. - Soá 0 laø gì ñoái vôùi A? 2. - Soá  khoâng phaûi laø chaën döôùi cuûa taäp A nghóa laø sao? - Soá  khoâng phaûi laø phaàn töû nhoû nhaát cuûa A nghóa laø sao? 2010 - Cho A (1; 2] . Soá coù phaûi laø chaën döôùi cuûa A khoâng? 2009 - Chöùng minh khoâng toàn taïi min A vaø infA = 1. - Soá 2 laø gì ñoái vôùi A? 3. Duøng tieân ñeà sup, haõy chöùng minh tính chaát Archimeøde. 4. Chöùng minh tính chaát ñaëc tröng cuûa sup vaø cuûa inf. 5. - Cho hai soá thöïc x, y thoûa y x 1. Chöùng minh raèng coù soá nguyeân m sao cho x < m < y. - Cho hai soá thöïc a, b tuøy yù vaø a < b. Chöùng minh raèng coù soá höõu m * tæ q ,m ,n , sao cho a < q < b. n Hdaãn: coù soá töï nhieân n ñuû lôùn ñeå cho n(b a) 1 (tính chaát Archimeøde). Sau ñoù duøng caâu treân. 6. Haõy chöùng minh phöông trình x2 2 coù nghieäm döông duy nhaát laø soá thöïc vaø khoâng coù nghieäm laø soá höõu tæ. / s2 / s2 Hdaãn: Ñaët L s 2 vaø R s 2. 1
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung a) Chöùng minh L vaø R khaùc roãng, L bò chaën treân, R bò chaën döôùi. Töø ñoù chöùng minh sup L inf R. b) Chöùng minh L khoâng coù phaàn töû lôùn nhaát vaø R khoâng coù phaàn töû nhoû nhaát. Suy ra, vôùi soá x thoûa sup L x inf R thì x2 2, ñoàng thôøi sup R inf L. 2 c) x thoûa x 2 thì x khoâng phaûi laø soá höõu tæ. §2. TÍNH TRUØ MAÄT CUÛA TRONG Giöõa hai soá thöïc baát kyø luoân coù moät soá höõu tæ (ñaõ ñöôïc chöùng minh trong baøi taäp 5 ôû baøi hoïc §1). Heä quaû: Giöõa hai soá thöïc baát kyø luoân coù moät soá voâ tæ. Chöùng minh. Giaû söû a < b thì coù soá höõu tæ q sao cho a q b 2 . Suy ra a q b . Ta ñaõ chöùng minh trong 2 2 2 laø soá voâ tæ, do ñoù q baøi taäp 1.6 raèng 2 laø soá voâ tæ (sinh vieân töï suy luaän). Vaäy ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. Baøi taäp 1 1. * Cho A n n . Taäp A coù bò chaën treân khoâng, vì sao? n Chöùng minh A coù phaàn töû nhoû nhaát. n 2. * Cho A n . Chöùng minh A khoâng coù phaàn töû lôùn n 1 nhaát. Tìm supA vaø chöùng minh A coù phaàn töû nhoû nhaát. ( 1)n * 3. Cho A n . Chöùng minh toàn taïi maxA vaø minA. n 1)n n( * 4. Cho A n . Taäp A coù bò chaën treân khoâng, vì sao? 5. Cho A q q 2 3 . Tìm supA, infA (coù chöùng minh). Coù toàn taïi maxA, minA khoâng, vì sao? 6