GIAÛI TÍCH HAØM MOÄT BIEÁN
DAØN BAØI TOÙM TAÉT NOÄI DUNG
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung
2
§0. NHAÉC LAÏI VAØI QUI TAÉC
TRONG PHEÙP LYÙ LUAÄN
1) Meänh ñeà “
, ( )x D T x
” (taát caû x thuoäc D ñeàu coù tính chaát T(x))
ñöôïc phuû ñònh thaønh “
, ( )x D T x
” (coù moät x thuoäc D khoâng coù tính
chaát T(x)).
2) Meänh ñeà “
AB
” (caû hai A vaø B ñeàu nhö theá) ñöôïc phuû ñònh
thaønh “
AB
” (coù moät trong hai A hay B khoâng phaûi nhö theá).
3) Meänh ñeà “
, ( )x D T x
” (coù moät x thuoäc D mang tính chaát T(x))
ñöôïc phuû ñònh thaønh “
, ( )x D T x
” (taát caû x thuoäc D ñeàu khoâng coù
tính chaát T(x)).
4) Meänh ñeà “
AB
” (coù moät trong hai A hay B laø nhö theá) ñöôïc phuû
ñònh thaønh “
AB
” (caû hai A vaø B khoâng phaûi nhö theá).
5) Meänh ñeà “
AB
” (coù A thì phaûi coù B) ñöôïc phuû ñònh thaønh
“
AB
” (coù A nhöng vaãn khoâng coù B).
6) Pheùp chöùng minh qui naïp:
Giaû söû raèng:
* meänh ñeà
0
()Tn
ñuùng
* meänh ñeà T(k) luoân suy ra ñöôïc meänh ñeà T(k + 1) (yù noùi vôùi
moïi
0
kn
, meänh ñeà keùo theo “
” luoân ñuùng).
Khi ñoù meänh ñeà T(n) seõ ñuùng vôùi moïi
0
nn
.
7) Pheùp phaûn chöùng trong meänh ñeà phaûn ñaûo:
Meänh ñeà “
AB
” cuøng nghóa vôùi “
BA
” (coù A thì phaûi coù B,
cuõng nghóa vôùi neáu khoâng coù B thì seõ khoâng bao giôø coù A).
AÙp duïng: khi ngöôøi ta cho ñieàu A vaø yeâu caàu ta chöùng minh
ñieàu B, ta coù theå giaû söû phaûn chöùng raèng khoâng coù ñieàu B roài ta lyù
luaän khoâng coù ñieàu A, traùi vôùi giaû thieát ngöôøi ta cho. Vaäy phaûi coù
ñieàu B.
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán
1
8) Pheùp phaûn chöùng tröïc tieáp: Khi ngöôøi ta yeâu caàu chöùng minh ñieàu
A, ta coù theå giaû thieát taïm raèng khoâng coù A roài suy ra ñieàu maâu thuaãn
vôùi giaû thieát taïm.
Baøi taäp
1. a) Cho soá töï nhieân m vaø
2
m
laø soá chaün. Chöùng minh m cuõng laø
soá chaün.
b) Chöùng minh raèng neáu moät soá chính phöông laø chaün thì soá
chính phöông ñoù chia heát cho 4.
2. Chöùng minh raèng khoâng toàn taïi moät phaân soá
m
n
(vôùi m vaø n laø
caùc soá töï nhieân, ñöông nhieân n khaùc 0) sao cho
2
2
m
n
.
3. Cho
1
vaø n laø soá töï nhieân tuøy yù lôùn hôn 1. Duøng pheùp qui
naïp, haõy chöùng minh baát ñaúng thöùc Bernouli sau ñaây:
11
nn
.
4. Cho soá α thoûa
0, .
Chöùng minh
0.
5. Chöùng minh hai meänh ñeà sau laø töông ñöông:
Meänh ñeà 1 laø “
0, a
”; meänh ñeà 2 laø “
0, .a
”
6. Chöùng minh hai meänh ñeà sau laø töông ñöông:
Meänh ñeà 1 laø “
0, a
”; meänh ñeà 2 laø “
0, .
2
a
”
7. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau ñaây (baát ñaúng thöùc tam giaùc)
a)
x y x y
b)
x y x y
c)
.a b a b
§1. TIEÂN ÑEÀ VEÀ SUPREMUM; INFREMUM
1) Caùc ñònh nghóa vaø kyù hieäu:
* Caùc taäp hôïp soá thöïc, höõu tæ, soá nguyeân, soá töï nhieân laàn löôït
ñöôïc kyù hieäu laø
, , ,
(sinh vieân ñaõ coù khaùi nieäm veà caùc soá naøy ôû
phoå thoâng. Neáu thích tìm hieåu theâm, sinh vieân coù theå tham khaûo
Giaùo trình Giaûi Tích Haøm Moät Bieán, N.Ñ.Phö, N.C.Taâm, Ñ.N.Thanh
& Ñaëng Ñöùc Troïng; hoaëc Giaûi Tích Nhaäp Moân, Ñaëng Ñình AÙng).
Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung
4
* Vôùi soá thöïc x, ta kyù hieäu [x] laø phaàn nguyeân cuûa x, laø soá
nguyeân lôùn nhaát nhöng khoâng lôùn hôn x, nghóa laø
[ ] [ ] 1xxx
vaø
[x] laø soá nguyeân.
* Soá thöïc
ñöôïc goïi laø chaën treân cuûa taäp con A khaùc roãng
trong nghóa laø
,x A x
.
* Soá thöïc
ñöôïc goïi laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa taäp con A khaùc
roãng trong nghóa laø
vaø ,A x A x
. Luùc ñoù ta kyù hieäu
max A
.
* Soá thöïc
ñöôïc goïi laø chaën döôùi cuûa taäp con A khaùc roãng
trong nghóa laø
,x A x
.
* Soá thöïc
ñöôïc goïi laø phaàn töû nhoû nhaát cuûa taäp con A khaùc
roãng trong nghóa laø
vaø ,A x A x
. Luùc ñoù ta kyù hieäu
min A
.
* Taäp con A khaùc roãng cuûa ñöôïc goïi laø bò chaën treân nghóa
laø coù moät soá
laø chaën treân cuûa A.
* Taäp con A khaùc roãng cuûa ñöôïc goïi laø bò chaën döôùi nghóa
laø coù moät soá
laø chaën döôùi cuûa A.
* Taäp con A khaùc roãng cuûa ñöôïc goïi laø bò chaën nghóa laø A
vöøa bò chaën treân vöøa bò chaën döôùi.
2) Tieân ñeà veà sup:
Moïi taäp con A khaùc roãng cuûa neáu bò chaën treân thì seõ coù
chaën treân nhoû nhaát.
Chaën treân nhoû nhaát trong soá caùc chaën treân cuûa taäp A ñöôïc kyù
hieäu laø
sup A
.
Heä quaû: (sinh vieân töï chöùng minh) Moïi taäp con A khaùc roãng cuûa
neáu bò chaën döôùi thì seõ coù chaën döôùi lôùn nhaát.
Chaën döôùi lôùn nhaát trong soá caùc chaën döôùi cuûa taäp A ñöôïc kyù
hieäu laø
inf A
.
3) Tính chaát Archimeøde:
Cho soá döông , ta coù:
, , .r n n r
Heä quaû: (i)
,,r n n r
,
Daøn baøi toùm taét noäi dung moân Giaûi Tích Haøm Moät Bieán
1
(ii)
1
0, , .nn
4) Ñaëc tröng cuûa sup vaø inf:
*
sup A
khi vaø chæ khi “
laø chaën treân cuûa A vaø
0, , .x A x
”
*
inf A
khi vaø chæ khi “
laø chaën döôùi cuûa A vaø
0, ,x A x
.”
Baøi taäp
1. - Soá khoâng phaûi laø chaën treân cuûa taäp A nghóa laø sao?
- Soá khoâng phaûi laø phaàn töû lôùn nhaát cuûa A nghóa laø sao?
- Cho
[0;1)A
. Soá
2009
2010
coù phaûi laø chaën treân cuûa A khoâng?
- Chöùng minh khoâng toàn taïi
max A
vaø supA = 1.
- Soá 0 laø gì ñoái vôùi A?
2. - Soá khoâng phaûi laø chaën döôùi cuûa taäp A nghóa laø sao?
- Soá khoâng phaûi laø phaàn töû nhoû nhaát cuûa A nghóa laø sao?
- Cho
(1;2]A
. Soá
2010
2009
coù phaûi laø chaën döôùi cuûa A khoâng?
- Chöùng minh khoâng toàn taïi
min A
vaø infA = 1.
- Soá 2 laø gì ñoái vôùi A?
3. Duøng tieân ñeà sup, haõy chöùng minh tính chaát Archimeøde.
4. Chöùng minh tính chaát ñaëc tröng cuûa sup vaø cuûa inf.
5. - Cho hai soá thöïc x, y thoûa
1.yx
Chöùng minh raèng coù soá
nguyeân m sao cho x < m < y.
- Cho hai soá thöïc a, b tuøy yù vaø a < b. Chöùng minh raèng coù soá höõu
tæ
*
, , ,
m
q m n
n
sao cho a < q < b.
Hdaãn: coù soá töï nhieân n ñuû lôùn ñeå cho
( ) 1n b a
(tính chaát
Archimeøde). Sau ñoù duøng caâu treân.
6. Haõy chöùng minh phöông trình
22x
coù nghieäm döông duy nhaát
laø soá thöïc vaø khoâng coù nghieäm laø soá höõu tæ.
Hdaãn: Ñaët
22
/ 2 vaø / 2 .L s s R s s