Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
(
)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
13
2
1 2 3 4
10 35 50 24
dx
x x x x x x x x
J dx
x x
x
+ + + + + + + +
= =
∫ ∫
5 3 1 1 3 7 5 3 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 70
10 35 50 24 4 100 48
7 3
x x x x x dx x x x x x C
− − −
= + + + + = + + + − +
∫
( )
2
7 3 7 41 7 41
dx dx ln 2 5
2 5 2 2 2 5 2 4
x
J x x C
x x
−
= = − = − + +
+ +
∫ ∫
22
3
3 7 5 3 3
dx 3 1 3ln 2
2 2 2
x x
x x
− +
= = − + = − + − +
− −
∫ ∫
3 2 2 3 2
4
2 5 7 10 6 2 3
dx 2 3 4 4 6ln 1
1 1 3 2
x x x
J x x dx x x x x C
x x
− + −
= = − + − = − + − − +
− −
∫ ∫
( )
22
5
4 9 10 7 13 7 13
dx 2 ln 2 1
2 1 2 2 2 1 2 4
x x
J x dx x x x C
x x
− +
= = − + = − + − +
− −
∫ ∫
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2789
610 10
2 1 1 8
2 3 9 2 1 8
dx 1 1 1 1
7 8 9
1 1
x x
x x
J d x x x x C
x x
−−−
− + − +
− +
= = − = − − − − − − +
− −
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
715 15
2 3 2 4 2 5
3 4 9
dx 2
2 2
x x x
x x x
J d x
x x
− + − + − −
− + −
= = −
− −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
11 12 13 14
1 1 4 5
2 2 2 2
11 4 13 14
x x x x C
− − − −
= − − − − − − + − +
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2
3 2
830 30
2 1 1 15 1 18
2 5 11 4
dx 1
1 1
x x x
x x x
J d x
x x
+ − + − + +
+ − +
= = +
+ +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
26 27 28 29
1 1 15 18
1 1 1 1
13 27 28 29
x x x x C
− − − −
= − + + + + + − + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
100 3 100 3 2
9
3 1 3 3 12 3 42 3 60 3
J x x dx x x x x d x
= + − = + + − + + + + +
∫ ∫
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài t
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ọ
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ệ
t
( ) ( ) ( ) ( )
104 103 102 101
3 3 7 3 60 3
12
104 103 17 101
x x x x
C
+ + + +
= − + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 15 2 15
10
1
1 5 2 5 2 14 5 2 49 5 2 5 2
125
J x x dx x x x d x
= − + = + − + + + +
∫ ∫
( ) ( ) ( )
18 17 16
5 2 14 5 2 49 5 2
1
125 18 17 16
x x x
C
+ + +
= − + +
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2 33
2
11
1
3 5 2 1 2 1 8 2 1 13 2 1 2 1
8
J x x x dx x x x d x
= + − − = − + − − − −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
36 35 34
2 1 8 2 1 13 2 1
1
8 36 35 34
x x x
C
− − −
= + − +
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
3 2 3
25 5
12
2 3 . 1 dx 2 1 4 1 5 . 1 d 1
J x x x x x x
= + − = − + − + − −
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
13 8 3
5 5 5
18 13 8
5 5 5
2 1 4 1 5 1 1
5 1 20 1 25 1
9 13 8
x x x d x
x x x C
= − + − + − −
− − −
= + + +
∫
( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
24
27
13 4
7
3 5 1
dx 2 1 8 2 1 12 2 1 2 1
8
2 1
x x
J x x x d x
x
−
− +
= = + − + + + +
+
∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 3 4
7 7 7
17 10 3
7 7 7
12 1 8 2 1 12 2 1
8
7 2 1 7 2 1 7 2 1
136 10 2
x x x dx
x x x
C
−
= + − + + +
+++
= − + +
∫
( ) ( ) ( ) ( )
13
5
49
4
4 5 5 5
99
14
9 2 3
1
. 2 3 dx 2 3 2 3
10 130
x
J x x x d x C
+
= + = + + = +
∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )
4 9
910 10 10
5 5
15 4
10
5
3 1
dx 2 3 2 3 2 3
10 6
2 3
x
J x d x x C
x
− −
= = − − = − +
−
∫ ∫
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài t
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2 2 2
16 2
dx 1 1
1
x
J x x x dx x dx x x dx
x x
= = − − = − −
+ −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
2 2 2 3 2 2
1 1
1 1 1
3 3
x dx x d x x x C
= − − − = − − +
∫ ∫
33 2 4 3 2
17 2
dx 1 1
1
x
J x x x dx x dx x x dx
x x
= = + − = − −
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V
ớ
i tích phân
3 2
17
1
J x x dx
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∫
ta
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t
2 2 2
1 1
t x t x tdt xdx
= − ⇒= − ⇒=
( ) ( ) ( )
5 3
2 2 5 3 2 2
2 2
17
1 1 1 1
1 1 1
5 3 5 3
J t t dt t t C x x C
′
⇒
= + = + + = − + − +
∫
( ) ( )
5 3
5 2 2
2 2
17
1 1 1
1 1
5 5 3
J x x x C
⇒
= + − + − +
( )( )
18
dx 1 1 1 1 2
ln
2 5 7 2 5 7 5
x
J dx C
x x x x x
−
= = − = +
− + − + +
∫ ∫
( )( )
19 2 2
2 2
dx 1 1 1 1 1 1
arctan arctan
4 4 2 2 6 6
2 6
2 6
x x
J dx C
x x
x x
= = − = − +
+ +
+ +
∫ ∫
( )( )
20 2 2
2 2
dx 1 1 1 1 1 2 1
ln arctan
5 5 2 2 2 3 3
2 3
2 3
x x
J dx C
x
x x
x x
−
= = − = − +
+
− +
− +
∫ ∫
( )( )
2
21 2 2 2
2 2
dx 1 1 7
ln
4 8
7 3 3
3 7
x x x x
J dx C
x x x
x x
−
= = − = +
− − −
− −
∫ ∫
( )( ) ( )
22 2
2 2 2
dx 1 1 1 1 3
arctan arctan
3 2 2 21 21
3 7
3 7 2 3 2
x x
J dx C
x
x x x
= = − = − +
+
+ + +
∫ ∫
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài t
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ọ
c trò Vi
ệ
t
( ) ( ) ( )
23 2
2 2 2
dx 1 1 1 1 2 1 2
ln arctan
936 2 2 9 10 10
2 5
2 5 3 2 2
x x
J dx C
x
x
x x x
−
= = − = − +
+
+
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ln 2
24
1
dx
1
x
J
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=
−
∫
.
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t
(
)
2 2
2
2
1 1 2 1
1
x x x
t
t e t e tdt e dx t dx dx dt
t
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⇒
= −
⇒
= = +
⇒
=
+
( )
1 1 1
24 1
2
2
1 1
2 2
2arctan 2 arctan 1
4
1
1
e
e e
t
J dt dt t e
t
t t
π
−
− −
⇒
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+
∫ ∫
ln 2 2
25
0
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1
x
x
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=
+
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.
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t
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx
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⇒
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(
)
( )
2
3 3
2
25
2 2
2 1 2
2 1 2
3
t t
J dt t dt
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−
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ln 2
26
0
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x
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t
(
)
2 2
2
2
1 1 2 1
1
x x x
t
t e t e tdt e dxt t dx dx dt
t
= +
⇒
= +
⇒
= = −
⇒
=
−
( ) ( )
( )
2
3
3 3
2
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2 2 2
2
2 2
3 1
2 2 1
2 2 ln 2 3 2 ln
1
1 1
2 2 1
t t
J dt dt t t
t t
−
−
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+
− − −
∫ ∫
(
)
( )
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
27 0
0 0 0 0
1
1 2
dx 1 dx dx 2 ln 2 2 ln 1 ln18
1 1 1
x
x x x
x x x
d e
e e
J e
e e e
+
−
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+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài t
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c trò Vi
ệ
t
(
)
( )
( )
1 1 1
28 0
0 0
2
1 1 1 1 1
29 2 2 2 0
0 0 0 0
1 1 1
30 28
2
0 0 0
d 1
dx 2
ln 1 ln 1
1 1
1 dx 2
1 2 1 2arctan 1 2 arctan
2
1 1 1
dx 1 1 1 2
dx 1 ln
1
x
xx
x x
xx x x
x x x
x
x x x x
e
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J e e
e e
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J dx e J e
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+
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∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )
21
1 1
3 2
31
3 3 2 2 3
0
0 0
1
11 1 1 7 1 1
dx 2 dx 3
3 3
x
x x x
x x x x
e
e
e
J e e e e
e e e e e e
− − −
+
+
= = + + = − − − = − + +
∫ ∫
( )
ln 2 ln 2
32 3 3 3
0 0
ln 4
ln 4 ln 4
33 2
0 0 0
dx 1 1
2
dx 1 2
ln 0
4
4 4 2
x
x
xx
x x x x
J e dx
e e e
d e e
J
e e e e
−
+
−
= = =
−
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∫ ∫
∫ ∫
( )
1
1 1
3 2
2
34
0 0
0
dx 1
1 ln 1
2
1 1
x x
x x x x
x x
e e
J e e dx e x e
e e
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− − −
− −
−
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+ +
∫ ∫
2
1 1 1 1
ln
2 2
2
e
e
e
+
= + − −
( ) ( ) ( )
( )
1 3
2 2
35
1 1 1
1 ln 2 2
dx 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 1
3 3
e
e e
x
J x d x x
x
+
= = + + = + = −
∫ ∫
3
5 2
36
0
1 dx
J x x= +
∫
. ðặt
2
1
t x
= +
36
848
105
J⇒=
( )
16
5 3
37
0
1 dx
J x x= −
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3
1
t x
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37
1
168
J⇒=
1
3 2
38
0
1 dx
J x x= −
∫
.
ðặ
t
2
1
t x
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38
2
15
J
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