BO˜ GIA(cid:217)O DUˇC VA(cid:216) (cid:209)A(cid:216)O TAˇO KY(cid:216) THI TRUNG HOˇC PHO¯ THO´NG QUO`C GIA NA˚M 2015

(cid:209)A(cid:217)P A(cid:217)N - THANG (cid:209)IE¯M (cid:209)E(cid:192) THI CH˝NH TH(cid:214)(cid:217)C

Mo(cid:226)n thi: TOA(cid:217)N ((cid:209)aøp aøn - Thang æie(cid:229)m go(cid:224)m 03 trang)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

(cid:209)aøp aøn (Trang 01) Ca(cid:226)u (cid:209)ie(cid:229)m

CT =

Ta(cid:228)p xaøc æ(cid:242)nh: D = R. S(cid:246)(cid:239) bieÆn thie(cid:226)n: 0,25 3; y0 = 0 x = 1. ± ⇔ • • - Chie(cid:224)u bieÆn thie(cid:226)n: y 0 = 3x2 Caøc khoaßng æo(cid:224)ng bieÆn: ( 1; 1). − ; −∞ − − 2. ); khoaßng ngh(cid:242)ch bieÆn: ( ∞ C(cid:209) = 2; æa(cid:239)t c(cid:246)(cid:239)c tie(cid:229)u ta(cid:239)i x = 1, y 0,25 − - C(cid:246)(cid:239)c tr(cid:242): Hałm soÆ æa(cid:239)t c(cid:246)(cid:239)c æa(cid:239)i ta(cid:239)i x = - Gi(cid:244)øi ha(cid:239)n ta(cid:239)i vo(cid:226) c(cid:246)(cid:239)c: y = y = + lim x→−∞ 1) vał (1; + 1, y − lim ; x→+∞ −∞ . ∞

Baßng bieÆn thie(cid:226)n: • + −∞ ∞ x y0 + 1 0 + − 0,25 + 1 − 0 2 (cid:8)(cid:8)* H

(cid:8)(cid:8)*

H

∞ y

H

(cid:8)(cid:8)

(cid:8)(cid:8)

(cid:8)

(cid:8)

HHj

−∞ 2 − 1 (1,0æ) (cid:209)o(cid:224) th(cid:242):

y

•

2

1

0,25

x

O

1 −

2 −

0,25 Ta coø f (x) xaøc æ(cid:242)nh vał lie(cid:226)n tu(cid:239)c tre(cid:226)n æoa(cid:239)n [1; 3]; f 0(x) = 1 4 x2 . −

V(cid:244)øi x 0,25 [1; 3], f 0(x) = 0 x = 2. ∈ ⇔ 2 (1,0æ) . 0,25 Ta coø f (1) = 5, f (2) = 4, f (3) = 13 3

0,25 Giaø tr(cid:242) l(cid:244)øn nhaÆt vał giaø tr(cid:242) nhoß nhaÆt cußa f (x) tre(cid:226)n æoa(cid:239)n [1; 3] la(cid:224)n l(cid:246)(cid:244)(cid:239)t lał 5 vał 4.

0,25 a) Ta coø (1 i)z 1 + 5i = 0 z = 3 2i. − − ⇔ −

0,25 Do æoø soÆ ph(cid:246)øc z coø pha(cid:224)n th(cid:246)(cid:239)c baŁng 3, pha(cid:224)n aßo baŁng 2.

0,25 − b) Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh æaı cho t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng v(cid:244)øi x 2 + x + 2 = 8 3 (1,0æ)

0,25 x = 2 x = 3. − h ⇔ Va(cid:228)y nghie(cid:228)m cußa ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh lał x = 2; x = 3. −

(cid:209)aøp aøn (Trang 02) Ca(cid:226)u (cid:209)ie(cid:229)m

0,25 (cid:209)aºt u = x 3; dv = exdx. Suy ra du = dx; v = ex. −

1

1

0,25 Khi æoø I = (x exdx 3)ex −

1

4 (1,0æ)

0 R ex

0,25 = (x

0 − (cid:12) 1 (cid:12) 3)ex (cid:12)

−

0,25 = 4 3e.

0 (cid:12) (cid:12) (cid:12)

0 − (cid:12) (cid:12) (cid:12)

− 0,25 Ta coø −−→AB = (1; 3; 2).

x z 1 1 . (cid:209)(cid:246)(cid:244)łng thaœng AB coø ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh 0,25 = = − 1 y + 2 3 − 2 5 (1,0æ) 0,25 Go(cid:239)i M lał giao æie(cid:229)m cußa AB vał (P ). Do M thuo(cid:228)c AB ne(cid:226)n M (1 + t; 2 + 3t; 1 + 2t).

0,25 M thuo(cid:228)c (P ) ne(cid:226)n 1 + t ( 2 + 3t) + 2(1 + 2t) 3 = 0, suy ra t = − 1. Do æoø M (0; 5; 1). − − − −

. 0,25 a) Ta coø cos 2α = 1 − − 2 sin2 α = −

. 0,25 Suy ra P = 1 2 + = 1 3 1 3 1 9 14 9 − (cid:16) (cid:17) 6 (1,0æ) (cid:17)(cid:16) b) SoÆ pha(cid:224)n t(cid:246)ß cußa kho(cid:226)ng gian maªu lał C 3 0,25

25 = 2300.

0,25 SoÆ keÆt quaß thua(cid:228)n l(cid:244)(cid:239)i cho bieÆn coÆ “coø (cid:237)t nhaÆt 2 æo(cid:228)i cußa caøc Trung ta(cid:226)m y teÆ c(cid:244) s(cid:244)ß” lał C2 . =

20 = 2090. Xaøc suaÆt ca(cid:224)n t(cid:237)nh lał p =

5 + C3

20.C1

209 230 \ (SC, (ABCD)) = 45◦, 0,25

S

(cid:8) (cid:9) . 0,25 SA.SABCD = VS.ABCD = .√2 a.a2 = 2090 2300 Ta coø [SCA = suy ra SA = AC = √2 a. 1 3 1 3 √2 a3 3

H

(cid:12) (cid:13) BM, M A 0,25 ⊥ 7 (1,0æ)

A

(cid:0) (cid:1) (cid:6) (cid:7) ⊥ ⊥

D

Keß æ(cid:246)(cid:244)łng thaœng d qua B vał song song AC. Go(cid:239)i M lał h(cid:236)nh chieÆu vuo(cid:226)ng goøc cußa A tre(cid:226)n d; H lał h(cid:236)nh chieÆu vuo(cid:226)ng goøc cußa A tre(cid:226)n SM . Ta coø SA BM ⊥ ne(cid:226)n AH (SBM ). BM . Suy ra AH Do æoø d(AC, SB) = d(A, (SBM )) = AH. (cid:10) (cid:11)

d

M

(cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:5)

C

B

0,25

. Tam giaøc SAM vuo(cid:226)ng ta(cid:239)i A, coø æ(cid:246)(cid:244)łng cao AH, ne(cid:226)n 5 1 1 1 2a2 . AM 2 = SA2 + AH 2 = √10 a Va(cid:228)y d(AC, SB) = AH = 5

AC 2

Go(cid:239)i M lał trung æie(cid:229)m AC. Ta coø M H = M K = , ne(cid:226)n M thuo(cid:228)c æ(cid:246)(cid:244)łng trung tr(cid:246)(cid:239)c cußa HK. (cid:209)(cid:246)(cid:244)łng trung tr(cid:246)(cid:239)c cußa HK coø ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh 7x + y 10 = 0, ne(cid:226)n to(cid:239)a 0,25 − y + 10 = 0 æo(cid:228) cußa M thoßa maın he(cid:228) x − 7x + y 10 = 0.

A

(cid:26) − (cid:14)

M

(cid:22) (cid:23) 0,25 8 (1,0æ) Suy ra M (0; 10). Ta coø \HKA = \HCA = \HAB = \HAD, ne(cid:226)n ∆AHK ca(cid:226)n ta(cid:239)i H, suy ra HA = HK. Mał M A = M K, ne(cid:226)n A æoÆi x(cid:246)øng v(cid:244)øi K qua M H.

D

(cid:15) (cid:16) (cid:17) (cid:18) (cid:19) (cid:20)

C

B

H

− Ta coø −−→M H = (5; 15); æ(cid:246)(cid:244)łng thaœng M H coø ph(cid:246)(cid:244)ng y + 10 = 0. Trung æie(cid:229)m AK thuo(cid:228)c M H vał tr(cid:236)nh 3x AK (cid:21) 0,25

K

y 3 + 10 = 0 − 2 − (cid:17) − 0,25 ⊥ 3 (x ( (cid:16) Suy ra A( M H ne(cid:226)n to(cid:239)a æo(cid:228) æie(cid:229)m A thoßa maın he(cid:228) x + 9 2 9) + 3(y + 3) = 0. (cid:16) (cid:17) 15; 5). −

(cid:209)aøp aøn (Trang 03) Ca(cid:226)u (cid:209)ie(cid:229)m

(cid:209)ie(cid:224)u kie(cid:228)n: x > 2. Ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh æaı cho t(cid:246)(cid:244)ng æ(cid:246)(cid:244)ng v(cid:244)øi − x = 2 (x + 1)(x 2) 0,25 x + 4 = = (1). (x − x2 2)(x + 4) 2x + 3 − √x + 2 + 2 ⇔ x2 2x + 3 x + 1 √x + 2 + 2 − h −

Ta coø (1) (x + 4)(√x + 2 + 2) = (x + 1)(x2 2x + 3) ⇔ (√x + 2 + 2)[(√x + 2)2 + 2] = [(x − 1) + 2][(x 1)2 + 2] (2) 0,25 − −

9 (1,0æ) ⇔ Xeøt hałm soÆ f (t) = (t + 2)(t2 + 2). Ta coø f 0(t) = 3t2 + 4t + 2, suy ra f 0(t) > 0, R, ne(cid:226)n f (t) æo(cid:224)ng bieÆn tre(cid:226)n R. t ∀ ∈

0,25 Do æoø (2) f (√x + 2) = f (x 1) √x + 2 = x 1 x > 1 x2 3x 1 = 0 − ⇔ − ⇔ ⇔ (cid:26) − −

. x = 3 + √13 2 ⇔ 0,25 . (cid:209)oÆi chieÆu æie(cid:224)u kie(cid:228)n, ta æ(cid:246)(cid:244)(cid:239)c nghie(cid:228)m cußa ph(cid:246)(cid:244)ng tr(cid:236)nh æaı cho lał x = 2; x = 3 + √13 2

c)2 + (c b)2 + (b 1 2 − − 0,25 + 3t > 3t. Suy ra t 6 12. 5; 5 = t a)2 (a − 1) > 0, ne(cid:226)n abc > ab + bc + ca h i − − − 1)(b b)(3 − − − − (cid:209)aºt t = ab + bc + ca. Ta coø 36 = (a + b + c)2 = 1)(c Maºt khaøc, (a c) > 0, ne(cid:226)n 3t = 3(ab + bc + ca) > abc + 27 > t + 22. Suy ra t > 11. a)(3 vał (3 Va(cid:228)y t [11; 12]. − ∈

Khi æoø P = abc 2 − 0,25 t 5 6 . = = t2 + 72 t a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) + 72 ab + bc + ca abc 2 (ab + bc + ca)2 + 72 ab + bc + ca − 2 t2 + 5t + 144 2t − −

10 (1,0æ) t2 144 , v(cid:244)øi t . [11; 12]. Ta coø f 0(t) = Xeøt hałm soÆ f (t) = t2 + 5t + 144 2t ∈ 0,25 − 2t2 [11; 12], ne(cid:226)n f (t) ngh(cid:242)ch bieÆn tre(cid:226)n æoa(cid:239)n [11, 12]. Do æoø f 0(t) 6 0, t ∀ . . Do æoø P 6 ∈ Suy ra f (t) 6 f (11) = 160 11 160 11

. Ta coø a = 1, b = 2, c = 3 thoßa maın æie(cid:224)u kie(cid:228)n cußa bałi toaøn vał khi æoø P = 160 11 0,25 . Va(cid:228)y giaø tr(cid:242) l(cid:244)øn nhaÆt cußa P baŁng 160 11

HeÆt −−−−−−−− −−−−−−−−