Đ CƯƠNG ÔN TP GIA K 2 KHI 12 NĂM HC 2024-2025
I: L THUYT:
BI 11:NGUYÊN HM
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số
( )
fx
xác định trên
K
. Hàm số
( )
Fx
được gọi là mt nguyên hàm của hàm số
( )
fx
nếu
'( ) ( )F x f x=
, với mọi
xK
.
2. Các tính chất của nguyên hàm
•
( ) ( )
dx dxkf x k f x=

, với
là hằng số khác 0
•
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx

+ = +

•
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx

− = −

•
f '( x)dx f ( x) C=+
Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của hàm số lũy
thừa
1.
0dx C=
2.
Cxdx +=
3.
( )
11
1
x
x dx C
+
= + −
+
Nguyên hàm của hàm số
1
yx
=
4.
( )
0ln +=
xCx
x
dx
Nguyên hàm của hàm số lượng
giác
5.
Cxxdx +=
sincos
6.
Cxxdx +−=
cossin
7.
Cxdx
x+=
tan
cos
12
8.
Cxdx
x+−=
cot
sin12
Nguyên hàm của hàm số mũ
Cedxexx +=
( )
10
ln +=
aC
a
a
dxax
x
BI 12 : TCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
a. Diện tích hình thang cong
Nếu hàm số
( )
fx
liên tục và không âm trên đoạn
;ab
thì diện tích
S
của hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị
( )
y f x=
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b==
được tính bởi:
( ) ( )
S F b F a=−
trong đó
( )
Fx
là mt nguyên hàm của
( )
fx
trên đoạn
;ab
.
b. Khái niệm tích phân
Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
;ab
. Nếu
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên đoạn
;ab
thì hiệu số
( ) ( )
F b F a−
được gọi là tích phân từ
đến
của hàm số
( )
fx
, kí hiệu
( )
b
a
f x dx
Chú ý:
• Hiệu số
( ) ( )
F b F a−
còn được kí hiệu là
( )
b
a
Fx
.
Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
bb
a
a
f x dx F x F b F a= = −
• Ta gọi
b
a
là dấu tích phân,
a
là cận dưới,
là cận trên,
( )
f x dx
là biểu thức dưới dấu tích phân và
( )
fx
là hàm số dưới dấu tích phân.
• Quy ước:
( ) ( ) ( )
;
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx=−
• Tích phân của hàm số
f
từ
a
đến
chỉ phụ thuc vào
f
và các cận
,ab
mà không phụ thuc vào
biến
x
hay
t
, nghĩa là
( ) ( )
bb
aa
f x dx f t dt=

.
• Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số
( )
fx
liên tục và không âm trên đoạn
;ab
thì
( )
b
a
f x dx
là diện tích
S
của hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị
( )
y f x=
, trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b==
.
( )
b
a
S f x dx=
Nhận xét:
• Nếu hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
'fx
và
( )
'fx
liên tục trên đoạn
;ab
thì
( ) ( ) ( )
'
b
a
f b f a f x dx−=
.
• Cho hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
;ab
. Khi đó
( )
1b
a
f x dx
ba−
được gọi là giá trị trung bình của
hàm số
( )
fx
trên đoạn
;ab
.
• Đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc đ của chuyển đng tại mọi
thời điểm:
( ) '( )v t s t=
. Do đó, nếu biết tốc đ
()vt
tại mọi thời điểm
;t a b
thì tính được quãng đường
di chuyển trong khoảng thời gian từ
đến
theo công thức:
( ) ( )
()
b
a
s s b s a v t dt= − =
2. Tính chất của tích phân
Cho hai hàm số
( ) ( )
,f x g x
liên tục trên đoạn
;ab
. Khi đó:
• Tính chất 1:
( ) ( )
bb
aa
kf x dx k f x dx=

, với
là hằng số.
• Tính chất 2:
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx

+ = +

( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx

− = −

• Tính chất 3:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx=+
với
( )
;c a b
.
BI 13 NG DNG HNH HC CA TCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
a. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng
xa=
và
xb=
Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
;ab
. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
, trục hoành
Ox
(
0y=
) và hai đường thẳng
xa=
và
xb=
được tính bởi công thức:
()
b
a
S f x dx=
Chú ý: Giả sử hàm số
( )
y f x=
liên tục trên
;ab
. Nếu
( )
fx
không đổi dấu trên
;ab
thì:
=

( ) ( )
bb
aa
f x dx f x dx
b. Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng
xa=
và
xb=
Cho 2 hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
liên tục trên
;ab
. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị hai hàm số
( )
y f x=
và
( )
y g x=
và hai đường thẳng
xa=
và
xb=
được tính bởi công thức:
( ) ( )
b
a
S f x g x dx=−
2. Thể tích hình khối
a. Thể tích của vật thể
Trong không gian, cho mt vật thể nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng
( )
P
và
( )
Q
cùng
vuông góc với trục
Ox
tại các điểm
và
. Mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
tại điểm
( )x a x b
cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích
()Sx
. Khi đó, nếu
()Sx
là hàm số liên tục trên
;ab
thì thể tích của
vật thể được tính bởi công thức:
( )d
b
a
V S x x=
b. Thể tích khối tròn xoay
Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục, không âm trên
;ab
. Hình phẳng
( )
H
giới hạn bởi đồ thị hàm số
( )
y f x=
, trục hoành
Ox
và hai đường thẳng
xa=
và
xb=
quay quanh trục
Ox
tạo thành mt khối
tròn xoay có thể tích bằng:
2
()
b
a
V f x dx
=
BI 14 PHƯƠNG TRNH MT PHNG
1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Cho mặt phẳng
()
. Vectơ
n
khác
và có giá vuông góc với mặt phẳng
()
gọi là vectơ pháp
tuyến của mặt phẳng
()
.
b. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
Cho mặt phẳng
()
. Nếu hai vectơ
và
không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm
trên mặt phẳng
()
thì
,ab
là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng
()
.
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương
Trong không gian
Oxyz
, nếu mặt phẳng
()
nhận hai vectơ
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )a a a a b b b b==
làm cặp
vectơ chỉ phương thì
()
nhận
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
( ; ; )n a b a b a b a b ab a b= − − −
làm vectơ pháp tuyến.
Chú ý:
• Vectơ
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
( ; ; )n a b a b a b ab ab a b= − − −
được gọi là tích có hướng của hai vectơ
1 2 3
( ; ; )a a a a=
và
1 2 3
( ; ; )b b b b=
, kí hiệu là
,ab

.
•
( )
2 3 3 1 12 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
, ; ; ; ;
b b b
a a a a aa
a b a b a b a b ab ab a b
b b b
= = − − −


