ĐỀ SỐ 4
Câu 1. Gọi
là góc giữa đường thẳng
31
:3 2 1
x y z
d++
==
−−
và trục tọa độ
Ox
. Phát biểu nào đúng?
A.
1
cos 14
=
. B.
2
cos 14
=
. C.
3
cos 14
=
. D.
3
cos 14
=−
.
Câu 2. Cho
là hình chữ nhật. Trong các vectơ sau, vectơ nào không là vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng
( )
MNPQ
.
A.
;MQ MP MN

+

. B.
;MN MQ MP

+

.
C.
;MN MQ MP

−

. D.
;MN MP MQ

+

.
Câu 3. Cho mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0P x y z+ − − =
và đường thẳng
2
: 2 1
1
xt
d y t
z
=
=+
=−
. Mặt cầu
( )
S
có tâm
thuộc đường thẳng
d
, bán kính bằng
3
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
có phương trình
A.
( ) ( )
22
2
2 1 9x y z− + + + =
hoặc
( )
2
22 19x y z+ + + =
.
B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z+ + + + − =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 3 1 9x y z− + − + − =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z− + + + + =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 3 1 9x y z− + + + + =
.
D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z− + − + + =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 3 1 9x y z+ + + + + =
.
Câu 4. Cho
32OM j k=−
,
52ON j i=−
. Tọa độ
MN
là
A.
( )
0; 5;7−
. B.
( )
2; 2;2−
. C.
( )
0;5; 7−
. D.
( )
2;2;2−
.
Câu 5. Cho mặt phẳng
( )
: 4 0P x y z+ + − =
và hai điểm
( )
3;3;1A
,
( )
4;1;2B
. Hình chiếu vuông góc
của đường thẳng
AB
lên
( )
P
có phương trình là
A.
3 4 5
1 2 1
x y z− − −
==
−
. B.
22
1 2 1
x y z−−
==
−
.
C.
12
1 2 1
x y z−−
==
−
. D.
2 2 1
1 2 1
x y z+ + −
==
−
.
Câu 6. Cho các điểm
( )
2;3;1A
,
( )
1;1;0B
. Đặt
2P MA MB=−
, trong đó
M
là một điểm chạy trên
mặt phẳng
( )
Oxy
. Tìm tung độ của
M
khi
P
đạt giá trị nhỏ nhất?
A.
1
. B.
1−
. C. 0. D. 2.
Câu 7. Cho ba vectơ
( )
1;2;1a=
,
( )
1;1;2b=−
và
( )
1;3 3; 3c x x x= + + +
. Để ba vectơ
a
,
b
,
c
đồng
phẳng thì
x
bằng
A.
1
. B.
1−
. C.
2−
. D.
2
.
Câu 8. Cho bốn điểm
( )
1;1;0A−
,
( )
3;1;2B
,
( )
3;4;2C
,
( )
1;4;2D−
. Viết phương trình mặt cầu đi
qua
4
điểm
A
,
B
,
C
,
D
.
A.
( )
2 2 2
: 2 5 2 1 0S x y z x y z+ + − − − + =
. B.
( )
2 2 2
: 5 4 4 0S x y z x y z+ + − − + + =
.
C.
( )
2 2 2
: 10 11 26 3 0S x y z x y z+ + + + − − =
. D.
( )
2 2 2
: 8 5 10 5 0S x y z x y z+ + − − + − =
.
Câu 9. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
( )
11 1 1
:1 2 3
x y z
d− + +
==
−
và
( )
22 3 2
:2 2 1
x y z
d+ + +
==
−
là
A. Cắt nhau. B. Chéo nhau. C. Vuông góc. D. Song song.
Câu 10. Với các vectơ
a
,
b
,
c
tùy ý khác vectơ không, cho các phát biểu sau:
( )
( )
1 : 2 . . 2 .a b c ac bc+ = +
( )
( )
2 : 2 . 2 . .a b c ac bc− = −
( )
( ) ( )
3 : . . . .ab c a bc=
( )
( )
.
4 :cos , .
ab
ab ab
=
.
Số phát biểu đúng là
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Câu 11. Cho hai điểm
( )
2; 1; 4A−−
và
( )
0;1;2B
. Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua hai điểm
A
và
B
.
A.
2 1 4
:1 1 3
x y z
d+ − −
==
. B.
2 1 4
:1 1 3
x y z
d+ − −
==
−
.
C.
2 1 4
:1 1 3
x y z
d− + +
==
−
. D.
2 1 4
:1 1 3
x y z
d− + +
==
.
Câu 12. Cho đường thẳng
2 2 1
:2 3 1
x y z
d+ − −
==
và mặt phẳng
( )
: 1 0P x y z− − − =
. Viết phương trình
đường thẳng
đi qua
( )
1; 2;1A−
, song song với mặt phẳng
( )
P
và vuông góc với đường
thẳng
d
.
A.
31
2 2 4
x y z++
= =
. B.
1 2 1
4 2 5
x y z− + −
= =
−−
.
C.
1 2 1
5 3 1
x y z− + −
= =
−−
. D.
3 5 6
2 3 5
xyz− + −
= =
−
.
Câu 13. Cho
1;1; 3A
và đường thẳng
8 1 1
:1 3 1
x y z
d
. Tìm tọa độ điểm K đối xứng với A
qua d.
A.
9;4;0K
B.
19;7;3K
. C.
7; 2; 2K
. D.
15; 5; 1K
.
Câu 14. Cho mặt cầu
S
có phương trình
x y z x y z
2 2 2 4 2 6 11 0
và mặt phẳng có
phương trình
x y z2 2 17 0
. Viết phương trình mặt phẳng song song với giao
tuyến là đường tròn có chu vi bằng
p6
.
A.
x y z2 2 5 0
. B.
x y z2 2 7 0
.
C.
x y z2 2 7 0
. D.
x y z2 2 5 0
.
Câu 15. Cho hai vectơ
( )
2;0; 2a=
và
( )
2; 2;0b=−
. Góc giữa hai vectơ đã cho bằng bao
nhiêu?
A.
60
. B.
120
. C.
30
. D.
90
.
Câu 16. Cho điểm
( )
2;1;4M−
và mặt phẳng
( )
:2 2 3 0P x y z+ − − =
. Hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên mặt phẳng
( )
P
có tọa độ là
A.
( )
0;3;3
. B.
( )
1;1;3
. C.
( )
2;5;2
. D.
( )
0;0; 3−
.
Câu 17. Cho phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 1 4 1 2 1 5 10 14 0x y z m x m y m z m m+ + − + + − − − + − + =
. Tìm
tất cả các giá trị của tham số
m
để phương trình đó là phương trình một mặt cầu.
A.
42m−
. B.
4m−
hoặc
2m
.
C.
4m−
hoặc
2m
. D.
42m−
.
Câu 18. Cho mặt cầu
( )
S
có phương trình
2 2 2 4 6 3 0x y z x y+ + + − − =
. Tính toạ độ tâm
I
, bán kính
R
của
( )
S
.
A.
( )
2;3;0I−
,
16R=
. B.
( )
2;3;0I−
,
4R=
.
C.
( )
2; 3;0I−−
,
16R=
. D.
( )
2; 3;0I−
,
4R=
.
Câu 19. Cho điểm
( )
2;1;3A−
và đường thẳng
d
có phương trình
2 1 3
1 2 1
x y z− + +
==
−
. Viết phương
trình mặt cầu tâm
A
, tiếp xúc với
d
.
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 75x y z+ + − + − =
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 35x y z+ + − + − =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 50x y z+ + − + − =
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 3 25x y z+ + − + − =
.
Câu 20. Cho điểm
( )
1;2;3A
và đường thẳng
21
:1 3 1
x y z−−
= =
. Gọi
d
là đường thẳng đi qua
A
và
song song với
. Phương trình đường thẳng nào sau đây không phải là phương trình đường
thẳng
d
?
A.
13
2
xt
yt
zt
=
= − +
=+
. B.
1
23
3
xt
yt
zt
=+
=+
=+
. C.
2
53
4
xt
yt
zt
=−
=−
=−
. D.
1
43
2
xt
yt
zt
= − +
= − +
=+
.
Câu 21. Viết phương trình mặt phẳng
( )
P
đi qua hai điểm
( )
3;2;1A
,
( )
1;1; 2−B
và song song với
đường thẳng
21
:2 1 2
++
==
−
x y z
d
A.
( )
:5 2 4 23 0+ + − =P x y z
. B.
( )
: 4 10 0+ − − =P x y z
.
C.
( )
: 10 4 19 0+ − − =P x y z
. D.
( )
:2 5 3 13 0+ − − =P x y z
.
Câu 22. Cho đường thẳng
33
:2 1 3
x y z
d−−
==
, mặt phẳng
( )
: 3 0P x y z− + + + =
và điểm
( )
1;1;2A−
.
Phương trình đường thẳng qua
A
, cắt
d
và song song với
( )
P
là
A.
1 1 2
1 1 2
+ − −
==
−−
x y z
. B.
1 1 2
1 1 2
+ − −
==
−−
x y z
.
C.
1 1 2
2 1 1
+ − −
==
−
x y z
. D.
1 1 2
1 1 2
+ − −
==
x y z
.
Câu 23. Cho điểm
1;2;3A
và đường thẳng
d
có phương trình
11
2 1 3
x y z−−
==
. Lập phương trình mặt
phẳng
P
đi qua
A
và vuông góc với đường thẳng
d
?
A.
( )
: 2 3 13 0P x y z+ + − =
. B.
( )
:2 3 13 0P x y z+ + − =
.
C.
( )
:2 7 0P x y z+ + − =
. D.
( )
: 2 3 13 0P x y z+ + + =
.
Câu 24. Cho điểm
3;0;0A
và hai đường thẳng
2
:4 2 3
x y z
d+
==
,
1 1 2
:2 1 1
x y z− − −
= =
. Gọi
P
là
mặt phẳng chứa
d
và song song với . Khi đó khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
P
bằng
A.
3
5
. B.
2
5
. C.
4
5
. D.
6
5
.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho vectơ
32u i j mk= − +
và
32v mi j k= + +
. Biết
.4uv=
khi đó giá trị của
m
bằng
A.
4m=
. B.
2m=
. C.
3m=−
. D.
3m=
.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Gọi
là góc giữa đường thẳng
31
:3 2 1
x y z
d++
==
−−
và trục tọa độ
Ox
. Phát biểu nào đúng?
A.
1
cos 14
=
. B.
2
cos 14
=
. C.
3
cos 14
=
. D.
3
cos 14
=−
.
Lời giải
Chọn C
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
d
là
( )
3; 2;1v= − −
. Vectơ chỉ phương của trục
Ox
là
( )
1;0;0i=
. Ta có:
.3
cos 14
.
vi
vi
==
.
Câu 2. Cho
là hình chữ nhật. Trong các vectơ sau, vectơ nào không là vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng
( )
MNPQ
.
A.
;MQ MP MN

+

. B.
;MN MQ MP

+

.
C.
;MN MQ MP

−

. D.
;MN MP MQ

+

.
Lời giải
Chọn B
Do
MNPQ
là hình chữ nhật nên
MN MQ MP+=
. Vậy
; ; 0MN MQ MP MP MP
+ = =
.
Câu 3. Cho mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0P x y z+ − − =
và đường thẳng
2
: 2 1
1
xt
d y t
z
=
=+
=−
. Mặt cầu
( )
S
có tâm
thuộc đường thẳng
d
, bán kính bằng
3
và tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
có phương trình
A.
( ) ( )
22
2
2 1 9x y z− + + + =
hoặc
( )
2
22 19x y z+ + + =
.
B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z+ + + + − =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 3 1 9x y z− + − + − =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z− + + + + =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 3 1 9x y z− + + + + =
.
D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z− + − + + =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 3 1 9x y z+ + + + + =
.
Lời giải
Chọn D
Gọi tâm của mặt cầu
( )
S
là
( )
2 ;2 1; 1I t t d+ −
.
Gọi
( )
( )
,IP
d
là khoảng cách từ tâm
I
đến mặt phẳng
( )
P
. Do
( )
S
tiếp xúc với mặt phẳng
( )
P
nên theo đề bài ta có
( )
( )
,
1
63
33
2
3
IP
t
t
dt
=
+
= = =−
.
Với
( )
1 2;3; 1tI= −
suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 2 3 1 9S x y z− + − + + =
.
Với
( )
2 4; 3; 1tI= − − − −
suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 4 3 1 9S x y z+ + + + + =
.
Vậy phương trình mặt cầu
( )
S
là
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3 1 9x y z− + − + + =
hoặc
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 3 1 9x y z+ + + + + =
.
Câu 4. Cho
32OM j k=−
,
52ON j i=−
. Tọa độ
MN
là
A.
( )
0; 5;7−
. B.
( )
2; 2;2−
. C.
( )
0;5; 7−
. D.
( )
2;2;2−
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( )
( )
5 2 3 2 2 2 2 2;2;2MN ON OM j i j k i j k MN= − = − − − = − + + = −
.
Câu 5. Cho mặt phẳng
( )
: 4 0P x y z+ + − =
và hai điểm
( )
3;3;1A
,
( )
4;1;2B
. Hình chiếu vuông góc
của đường thẳng
AB
lên
( )
P
có phương trình là
A.
3 4 5
1 2 1
x y z− − −
==
−
. B.
22
1 2 1
x y z−−
==
−
.
C.
12
1 2 1
x y z−−
==
−
. D.
2 2 1
1 2 1
x y z+ + −
==
−
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
d
là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
AB
lên
( )
P
.
Đường thẳng
AB
nhận
( )
1; 2;1AB =−
làm VTCP .
Mặt phẳng
( )
P
nhận
( )
1;1;1
P
n=
làm VTPT.
Có
( )
0
P
n AB
AP
=
nên
( )
//AB P
. Do đó
//AB d
. Suy ra,
( )
1; 2;1
d
u=−
.
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
A
lên
( )
P
. Suy ra,
Hd
.
Đường thẳng
AH
nhận
( )
1;1;1
P
n=
làm VTCP và đi qua điểm
( )
3;3;1A
có phương trình là
( )
3
3,
1
xt
y t t
zt
=+
= +
=+
.
Ta có,
( )
AH P H=
nên tọa độ điểm
H
thỏa mãn
3
3
1
40
xt
yt
zt
x y z
=+
=+
=+
+ + − =
.
Suy ra,
( )
2;2;0H
.
Vậy phương trình đường thẳng
d
là
22
1 2 1
x y z−−
==
−
.
Câu 6. Cho các điểm
( )
2;3;1A
,
( )
1;1;0B
. Đặt
2P MA MB=−
, trong đó
M
là một điểm chạy trên
mặt phẳng
( )
Oxy
. Tìm tung độ của
M
khi
P
đạt giá trị nhỏ nhất?