Sôû Giaùo duïc vaø Ñaøo taïo thaønh phoá Caàn Thô
Tröôøng Trung hoïc Phoå thoâng Chaâu Vaên Lieâm
ÑEÀ THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG BAÈNG CÖÛU LONG
( Moân Toaùn - 180 Phuùt )
BAØI 1 : Soá hoïc.
Cho n laø soá töï nhieân sao cho 2006! chia heát cho 6n. Chöùng minh n 999
BAØI 2 : Ñaïi soá vaø löôïng giaùc.
Giaûi phöông trình : 2005x2 2006x2 = 2004x 2005x .
BAØI 3 : Giaûi tích vaø toå hôïp.
Cho caáp soá coäng ao; a1; a2; a3 . . . vôùi an = a + n.d ; a > 0, d > 0 , n N
. Tìm ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñoái vôùi a vaø d ñeå coù moät daõy con cuûa caáp soá
coäng laø caáp soá nhaân.
BAØI 4 : Hình hoïc phaúng
Beân trong ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 2006 coù 4 ñoaïn thaúng moãi ñoaïn
coù ñoä daøi baèng 1003. Chöùng minh raèng toàn taïi moät ñöôøng thaúng vuoâng goùc
hoaëc song song vôùi AB, giao vôùi ít nhaát 2 trong 4 ñoaïn thaúng ñaõ cho.
BAØI 5 : Hình hoïc khoâng gian
Cho töù dieän ABCD, coù caùc caïnh AD, AC, BD, BC laàn löôït tieáp xuùc vôùi
maët caàu (S1) baùn kính R1 , taâm I1 naèm treân caïnh AB; caùc caïnh CA, CB,
DA, DB laàn löôït tieáp xuùc vôùi maët caàu (S2) baùn kính R2 , taâm I2 naèm treân
caïnh CD. Chöùng minh : AB4(CD2 – 4R2
2 ) = CD4(AB2 – 4R2
1 )
Sôû Giaùo duïc vaø Ñaøo taïo thaønh phoá Caàn Thô
Tröôøng Trung hoïc Phoå thoâng Chaâu Vaên Lieâm
ÑAÙP AÙN THI HOÏC SINH GIOÛI ÑOÀNG BAÈNG CÖÛU LONG
Moân Toaùn
BAØI 1 :
2006! 6n 2006! 2n vaø 2006! 3n.
Soá caùc boäi cuûa 2 trong daõy 1; 2; . . . 2006 laø
2006
2 = 1003 soá
Soá caùc boäi cuûa 22 trong daõy 1; 2; . . . 2006 laø
2006
4 = 501 soá
Töông töï soá caùc boäi cuûa 23 , 24 . . . , 210 trong daõy 1; 2; . . . 2006 laàn löôït
laø 250; 125; 62; 31; 15; 7; 3; 1 soá
Nhö vaäy khi phaân tích 2006! thaønh tích caùc thöøa soá nguyeân toá thì soá muõ
cuûa 2 laø 1003 + 501 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + 7 + 3 + 1 =1998.
Cuõng laøm nhö treân, ta nhaän thaáy khi phaân tích 2006! thaønh tích caùc thöøa
soá nguyeân toá thì soá muõ cuûa 3 laø 668 + 222 + 74 + 24 + 8 + 2 + 1 = 999.
Do ñoù 2006! = 21998.3999.p vôùi (p; 2) = 1; (p; 3) = 1 deã thaáy neáu 2006! 2n
thì n 1998 vaø 2006! 3n thì n 999. Vaäy n 999.
BAØI 2 :
2005x2 2006x2 = 2004x 2005x 2004x + 2006x2 = 2005x +
2005x2(*)
Ñaët 2004 = a, 2006 = b, 2005 = (a + b)/2 = c.
Nhaän xeùt 1 : (*) coù nghieäm x = 0; x = 1.
Nhaän xeùt 2 : Xeùt haøm soá f(x) = x2 x
f’(x) = 2 x2 - 1 x - 1 = x - 1(x2 - 1)
khi < 0 hoaëc > 1 thì f’(x) > 0 vôùi x (1; +),
khi 0 < < 1 thì f’(x) < 0 vôùi x (1; +)
do ñoù f(x) ñoàng bieán treân (1; +) vôùi [0; 1], nghòch bieán treân (1;
+) vôùi (0; 1)
Nhaän xeùt 3 : Xeùt haøm soá g(x) = x coù g’(x) = x - 1, g”(x) = ( 1)x - 2
khi < 0 hoaëc > 1 thì g”(x) > 0 vôùi x (1; +) ,
khi 0 < < 1 thì g”(x) < 0 vôùi x (1; +) ,
do ñoù g(x) loõm treân (1; +) vôùi [0; 1], loài treân (1; +) vôùi
(0; 1)
Theo caùc nhaän xeùt treân , vôùi x [0; 1] ta coù :
ax + bx2 = 1
2 ( ax + bx) + 1
2 (ax2 + bx2) + 1
2 (bx2 bx) 1
2 (ax2 ax)
> cx + cx2
vôùi x (0; 1)ta coù :
ax + bx2 = 1
2 ( ax + bx) + 1
2 (ax2 + bx2) + 1
2 (bx2 bx) 1
2 (ax2 ax)
< cx + cx2
Vaäy phöông trình ñaõ cho chæ coù nghieäm x = 0; x = 1.
BAØI 3 :
Ñieàu kieän caàn : Giaû söû coù moät daõy con cuûa daõy ñaõ cho laø caáp soá nhaân.
ai , aj , ak (i, j, k N, i < j < k) laø ba soá haïng lieân tieáp cuûa caáp soá nhaân ñoù
a2
j = ai.ak (a + j.d)2 = (a + i.d)(a + k.d) a.d( 2j i k ) = d2( i.k
j2 )
a
d = i.k j2
2j i k Q a
d Q.
Ñieàu kieän ñuû : giaû söû a
d Q a
d = m
n vôùi n N* , m N*. a.n = d.m
Xeùt bo = ao = a.
b1 = (n + 1).bo , b1 = (n + 1)a = n.a + a = a + m.d = am ;
b2 = (n + 1).b1 = (n + 1).am ;
b2 = (n + 1).(a + m.d) = n.a + a + (n + 1)m.d = m.d + a + (n + 1)m.d
= a + (n + 2)m.d = am(n + 2);
b3 = (n + 1).b2 = (n + 1).am(n + 2),
b3 = (n + 1).[a + m(n + 2).d] = n.a + a + (n + 1)(n + 2).m.d
= m.d + a + (n + 1)(n + 2)m.d = a + [(n + 1)(n + 2) + 1]m.d = am[(n + 1)(n + 2)
+ 1];
Roõ raøng quaù trình treân coù theå keùo daøi voâ haïn daõy ñaõ cho coù daõy con laø
caáp soá nhaân.
Vaäy ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå caáp soá coäng ñaõ cho coù daõy con caáp soá nhaân laø
a
d Q
BAØI 4 :
Keû ñöôøng kính CD AB
Xeùt EF laø moät trong caùc ñoaïn ñaõ cho, goïi ñoä daøi hình chieáu cuûa EF laàn
löôït treân AB, CD laø x1 ; y1, deã thaáy x1 + y1 EF = 1003.
Töông töï, ñoä daøi caùc hình chieáu 3 ñoaïn coøn laïi treân AB, CD laøn löôït laø laø
x2 ; y2, x3 ; y3, x4 ; y4 .
Roõ raøng laø ( x1 + x2 + x3 + x4 ) + ( y1 + y2 + y3 + y4 ) 2.2006, nhö vaäy
moät trong hai toång ( x1 + x2 + x3 + x4 );( y1 + y2 + y3 + y4 ) coù moät toång
lôùn hôn 2006, giaû söû ñoù laø ( x1 + x2 + x3 + x4 ), suy ra treân AB coù ñieåm M
thuoäc ít nhaát 2 hình chieáu cuûa caùc ñoaïn noùi treân. Ñöôøng thaúng qua M
vuoâng goùc AB laø ñöôøng thaúng caàn tìm.
BAØI 5 :
AD, AC laø caùc tieáp tuyeán cuûa maët caàu taâm I1, deã thaáy I1AD = I1AC.
BD, BC laø caùc tieáp tuyeán cuûa maët caàu taâm I1, deã thaáy I1BD = I1BC.
Do ñoù tam giaùc ABD = tam giaùc ABC suy ra AD = AC; BD = BC.
Töông töï vôùi caùc tieáp tuyeán cuûa maët caàu taâm I2, ta coù AD = BD; AC =
BC
Ñaët AC = AD = BC = BD = a > 0, deã thaáy I1 laø trung ñieåm AB, I2 laø
trung ñieåm CD, ñaët AB = 2m, CD = 2n.
Ta coù dtABD = 2.dtADI1 = a.R1 = m.DI1 = m. a2 - m2 R1 = m
a
a2 - m2
Töông töï R2 = m
a a2 - m2
Nhö vaäy : CD2 – 4R2
2 = 4(n2 – R2
2 ) = 4n2
1 – a2 – n2
a2 = 4n4
a2 = CD4
4a2
Töông töï : AB2 – 4R2
1 = AB4
4a2
Suy ra : AB4(CD2 – 4R2
2 ) vaø CD4(AB2 – 4R2
1 ) cuøng baèng AB4 CD4
4a2