Đề thi khảo sát HSG Toán 7 (2007 - 2008) Phòng GD&ĐT Duy Xuyên

Chia sẻ: Gha Ca | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

889
lượt xem 112
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi Toán 7 dành cho học sinh lớp 7 có nội dung xoay quanh những chủ để như: Tỉ số, trung điểm đoạn thẳng, tam giác... giúp các em phát huy tư duy, năng khiếu môn Toán trước kì thi HSG sắp tới. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi khảo sát HSG Toán 7 (2007 - 2008) Phòng GD&ĐT Duy Xuyên

PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) 52.69.10 + 65.23.153 a/ Rút gọn: 2 8 5 .6 .10 − 2.68.103 b/ Biết 14 + 24 + 34 + ... + 94 + 104 = 25333 Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + ... + 184 + 204 Bài 2: (2,0đ) x + 2y x − 2y Cho tỉ lệ thức = 22 14 x a/ Tính tỉ số y b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82 Bài 3: (3,0đ) x2 − y 2 a/ Cho M = 3 x + 2 x +1 N = (x + 1)2 + (y - 2 )2 + 2008 Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất 1 b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = − x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5 2 Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nh ất m ột bi ểu th ức luôn có giá trị không âm với mọi x, y. c/ Tìm x ∈ N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52 Bài 4: (2,5đ) Cho ∆ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đ ường th ẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP. a/ Chứng minh rằng: +/ ﾷﾷ APC = BAC +/ PC = QC b/ ∆ABC cần thêm điều kiện gì để CQ ⊥ CP Bài 5: (1,0đ) Cho ∆ABC có ﾷA = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 45.95 + 69.30 a/ 11 6 − 84.312 3 3 3 0,375 − 0,3 + + 1,5 + 1 − b/ 11 12 + 4 5 5 5 5 −0, 625 + 0,5 − − 2,5 + − 11 12 3 4 Bài 2: (3,0đ) a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2. Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - x − 7 - (2m + 4)2008 c/ Tìm x biết x − 2 + x − 4 = 5 Bài 3: (2,5đ) 1 1 1 1 a/ Cho a + b + c = 2009 và+ + = a+b b+c c+a 7 a b c Tính S = + + b+c a +c a +b b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số 2 4 thứ hai là , giữa số thứ nhất với số thứ ba là . Tìm 3 số đó. 3 9 Bài 4: (2,0đ) Cho ∆ABC có ﾷA < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB. a/ Chứng minh DC = BE và DC ⊥ BE. b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và ∆ABC = ∆EMA Bài 5: (1,0đ) Cho ∆ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2. *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 2 .3 − 4 .9 12 5 6 2 5 .7 − 255.492 10 3 212.35 − 212.34 510.7 3 − 510.7 4 − = 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3 1,0đ (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7 0,25đ 212.34.(3 − 1) 510.73.(1 − 7) 212.34.2 510.73.( −6) 1 −10 7 = 12 5 − = − 9 3 = − = 0,75đ 2 .3 .(3 + 1) 59.73.(1 + 23 ) 212.35.4 5 .7 .9 6 3 2 2a/ (x – 1)3 = -8 ⇒ x – 1 = -2 0,25đ 0,5đ ⇒ x = -1. Vậy x = -1 0,25đ 2b/ 3 9 − 7 x = 5x − 3 9 − 7 x = 5 x − 3 . ĐK x ⇒ 9 − 7 x = 3 − 5x 0,5đ 5 0,25đ � x = 12 12 x =1 � � (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 0,25đ 2x = 6 x=3 2c/ x=0 0,5đ x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0 ⇒ x ( x − 3) = 0 x=9 (TMĐK) 0,5đ 2d/ x y z x + y + z 48 0,5đ 12x = 15y = 20z ⇒ = = = = = 4 � x = 20; y = 16; z = 12 0,5đ 5 4 3 12 12 3a/ Vì a ∈ Z+ ⇒ 4a ≡ 1 (mod 3) ⇒ 4a + 2 ≡ 0 (mod 3) 0,25đ 0,75đ Mà 4a + 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4a + 2 M 6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 M 6 0,25đ Vậy với a, b ∈ Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 M 6 thì 4a + a + b M 6 0,25đ 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74 ⇒ 6x2 ≤ 74 ⇒ x2 ≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9} 0,25đ 0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 M 5 ⇒ x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4 ⇒ y2 = 10 (loại vì y ∈ Z) 0,25đ Nếu x2 = 9 ⇒ y2 = 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ 4a/ a c a+c c−a a+c a c−a c = = = ⇒ . = . 1,0đ b d b + d d −b b+ d b d −b d 0,5đ (a + c).a (c − a ).c a 2 + ac c 2 − ac ⇒ = � 2 = ⇒ đpcm (b + d ).b (d − b).d b + bd d 2 − bd 0,5đ 4b/ x x x y y y Ta có x + y + z + t < x + y + z < x + y ; x + y + z + t < x + y + t < x + y 1,0đ 0,25đ z z z t t t < < ; < < x+ y + z +t y + z +t z +t x+ y + z +t x+ z +t z +t 0,25đ x+ y+ z+t �x y ��z t � ⇒ x+ y + z +t < M < � + y + x+ y � � +t + z +t � x + z 0,25đ � �� Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 0,25đ 4c/ Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC 1,0đ ⇒ AB + BM = AC – BM ⇒ 2BM = AC – AB A BM = H – c):2 ⇒ (b B 0,5đ AM = AB + BM ⇒ AM = (b + c):2 0,5đ 5/ Qua M kẻ HK // BC (H ∈ AB; K ∈ CD) 1,0đ MA2 = MH2 + HA2 M MC2 = MK2 + KC2 D C K
⇒ MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 0,25đ MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2 ⇒ MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 0,25đ Ta có AH = DK; HB = KC 0,25đ ⇒ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,25đ PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau: 212.35 − 46.92 510.73 − 255.492 − ( 2 .3) ( 125.7 ) 6 3 2 + 8 .3 4 5 + 59.143 Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết. a/ (x – 1)3 = -8 b/ 9 − 7 x = 5x − 3 c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4: (2,0đ) a c a 2 + ac b 2 + bd a/ Cho = . Chứng minh rằng: 2 = b d c − ac d 2 − bd b/ Cho x, y, z, t ∈ N. Chứng minh rằng: x y z t M= + + + có giá trị không phải là số tự nhiên. x + y + z x + y +t y + z +t z +t + x Bài 5: (3,0đ) Cho ∆ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ∆ABC vẽ ∆BAD vuông cân tại A, ∆CAE vuông cân tại A. Chứng minh: a/ DC = BE; DC ⊥ BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Ch ứng minh K là trung điểm của BC. ﾷ Bài 6: (0,5đ) Cho ∆ABC nhọn với BAC = 600. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1/ 2 .3 − 4 .9 12 5 6 2 5 .7 − 255.492 10 3 212.35 − 212.34 510.7 3 − 510.7 4 − = 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3 1,0đ (22.3)6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143 2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .2 .7 0,25đ 212.34.(3 − 1) 510.73.(1 − 7) 212.34.2 510.73.( −6) 1 −10 7 = 12 5 − = − 9 3 = − = 0,75đ 2 .3 .(3 + 1) 59.73.(1 + 23 ) 212.35.4 5 .7 .9 6 3 2 2a/ (x – 1)3 = -8 ⇒ x – 1 = -2 0,25đ 0,5đ ⇒ x = -1. Vậy x = -1 0,25đ 2b/ 3 9 − 7 x = 5x − 3 9 − 7 x = 5 x − 3 . ĐK x ⇒ 9 − 7 x = 3 − 5x 0,5đ 5 0,25đ � x = 12 12 x =1 � � (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3 0,25đ 2x = 6 x=3 2c/ x=0 0,5đ x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0 ⇒ x ( x − 3) = 0 x=9 (TMĐK) 0,5đ 2d/ x y z x + y + z 48 0,5đ 12x = 15y = 20z ⇒ = = = = = 4 � x = 20; y = 16; z = 12 0,5đ 5 4 3 12 12 3a/ Vì a ∈ Z+ ⇒ 4a ≡ 1 (mod 3) ⇒ 4a + 2 ≡ 0 (mod 3) 0,25đ 0,75đ Mà 4a + 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4a + 2 M 6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 M 6 0,25đ Vậy với a, b ∈ Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 M 6 thì 4a + a + b M 6 0,25đ 3b/ Từ 6x2 + 5y2 = 74 ⇒ 6x2 ≤ 74 ⇒ x2 ≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9} 0,25đ 0,75đ Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 M 5 ⇒ x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4 ⇒ y2 = 10 (loại vì y ∈ Z) 0,25đ Nếu x2 = 9 ⇒ y2 = 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 0,25đ 4a/ a c a+c c−a a+c a c−a c = = = ⇒ . = . 1,0đ b d b + d d −b b+ d b d −b d 0,5đ (a + c).a (c − a ).c a + ac c − ac 2 2 ⇒ = � 2 = ⇒ đpcm (b + d ).b (d − b).d b + bd d 2 − bd 0,5đ 4b/ x x x y y y Ta có x + y + z + t < x + y + z < x + y ; x + y + z + t < x + y + t < x + y 1,0đ 0,25đ z z z t t t < < ; < < x+ y + z +t y + z +t z +t x+ y + z +t x+ z +t z +t 0,25đ x+ y+ z+t �x y ��z t � ⇒ x+ y + z +t < M < � + y + x+ y � � +t + z +t � x + z 0,25đ � �� Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên 0,25đ 5a/ CM được ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) ⇒ DC = BE 0,5đ 1,0đ CM được DC ⊥ BE 0,5đ 5b/ Viết được CE = ME + MC ; DB = MD + MB ; DE = MD + ME ; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1,0đ BC2 = MB2 + MC2 0,5đ ⇒ BD + CE = MD + MB + ME + MC ; 2 2 2 2 2 2
BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2 0,25đ ⇒ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 0,25đ 5c/ Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE 0,25đ 1,0đ CM được ∆ADE = ∆CPA ⇒ CP = AD ⇒ CP = AB 0,25đ CM được P < BAK ; ﾷﾷﾷﾷ ABK = PCK 0,25đ ⇒ ∆CPK = ∆BAK (g.c.g) ⇒ BK = KC ⇒ đpcm 0,25đ E 5/ Hình vẽ: D A M B C K P 6/ Hình vẽ A 600 H B C 6/ Kẻ BH ⊥ AC 0,5đ AB 0,25đ Vì BAC = 600 ⇒ ﾷﾷ ABH = 300 � AH = (1) 2 Áp dụng định lý Pitago ta có: AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2 ⇒ BC2 = AB2 – AH2 + HC2 ⇒ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 ⇒ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2 ⇒ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2) Từ (1) & (2) ⇒ đpcm 0,25đ
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 1 1 1 3 3 3 3 − − − − − 3 7 13 . 4 16 64 256 + 5 1/ A = 2 2 2 1 1 1 8 − − 1− − − 3 7 13 4 16 64 2.522 − 9.521 5.(3.715 − 19.714 ) 2/ B = : 2510 716 + 3.715 Câu 2: (3đ) a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 1 b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + y − - 10 đạt giá trị nhỏ nhất. 5 c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Câu 3: (1,5đ) Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng 1 1� 1� 1 a c thời = � + �Chứng minh = . c 2� d � b b d Câu 4: (2,5đ) Cho ∆ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường th ẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E. a/ Chứng minh ∆AMN và ∆BME là những tam giác cân. b/ Chứng minh BM = CN c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c. Câu 5: (1,0đ) Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM 1a/ 1 1 1 3� 1 1 1 � − − �− − − � 1 1,5đ 3 7 13 . 4 � 4 16 64 � 5 + A= 1 1 1 � 2� − − � � 1− 1 − 1 − 1 8 0,5đ � 7 13 � 3 4 16 64 1 3 5 = . + =1 2 4 8 0,5đ 1b/ 521 ( 2.5 − 9 ) 5.714 ( 3.7 − 19 ) B= : 1,5đ ( 52 ) 10 715 ( 7 + 3) 0,5đ 1 = 5 : = 35 0,5đ 7 2a/ M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1 0,25đ 1,0đ = 4xy – 2(x + y) + 1 0,25đ M = 45 0,5đ 2b/ 1 0,25đ Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0; y − 0 1,0đ 5 ⇒ N ≥ -10. GTNN của N là -10 0,25đ Tìm được x = -2; y = 1/5 0,5đ 2c/ Ta có f(-2) = 0 ⇒ 4a – 2b + c = 0 1,0đ f(2) = 0 ⇒ 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3 0,25đ 4b = 0 ⇒ b = 0 0,25đ Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 ⇒ a = 3/5 ; c = -12/5 0,5đ 3/ Vì b là trung bình cộng của a và c ⇒ b = (a + c)/2 ⇒ 2b = a + c 0,25đ 1,5đ 1 1� 1 � 1 1 b+d 1 Từ = �+ � � = . � 2bd = c(b + d ) c 2 � d � c 2 bd b 0,5đ Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d) 0,25đ a c ⇒ ad = bc ⇒ = 0,5đ b d 4/ ∆AMN cân (đ/c vừa là p/g) A 0,25đ 2,5đ BE // AC ⇒ BEM = ﾷﾷ ANM BME = ﾷﾷ ANM (∆AMN cân tại A) ⇒ BEM = BME ⇒ ∆BME cân tại B ﾷﾷ 0,5đ N B C D E M 4b/ ∆BED = ∆CND (g.c.g) ⇒ BE = NC 0,5đ
0,75đ ⇒ BM = NC (= BE) 0,25đ 4c/ Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC 1,0đ ⇒ AB + BM = AC – BM ⇒ 2BM = AC – AB ⇒ BM = (b – c):2 0,5đ AM = AB + BM ⇒ AM = (b + c):2 0,5đ 5/ Qua M kẻ HK // BC (H ∈ AB; K ∈ CD) A H B 1,0đ MA = MH + HA 2 2 2 MC2 = MK2 + KC2 M ⇒ MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2 0,25đ MB2 = MH2 + HB2 MD2 = MK2 + DK2 D C K 0,25đ ⇒ MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 Ta có AH = DK; HB = KC 0,25đ ⇒ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 0,25đ