Đ THI QU C GIA NĂM H C 1999-2000Ề Ố Ọ
MÔN : TOÁN (B ng Aả)
Ngày thi th nh tứ ấ
Bài 1 : Cho c là m t s th c d ng . Dãy s {ộ ố ự ươ ố x
n
}, n = 0,1,2,…., đ c xâyượ
d ng theo cách sau :ự
x
1+n
=
n
xcc +−
(n=0,1,2,….) n u các bi u th c d i căn là không âm .ế ể ứ ướ
Tìm t t c các giá tr c a c đ v i m i giá tr ban đ u ấ ả ị ủ ề ớ ọ ị ầ x
0
∈
(0,c) dãy
{x
n
} đ c xác đ nh v i m i giá tr n và t n t i gi i h n h u h n lim ượ ị ớ ọ ị ồ ạ ớ ạ ữ ạ x
n
khi n
∞→
.
Bài 2 : Trên m t ph ng cho tr c hai đ ng tròn (Oặ ẳ ướ ườ
1
,r
1
) và (O
,r
2
). Trên
đ ng tròn (Oườ
1
,r
1
) l y m t đi m Mấ ộ ể
1
và trên đ ng tròn (Oườ
2
,r
) l y m tấ ộ
đi m Mể
sao cho đ ng th ng Oườ ẳ
1
M
1
c t đ ng th ng Oắ ườ ẳ
2
M
t i m tạ ộ
đi m Q. Cho Mể
1
chuy n đ ng trên đ ng tròn (Oể ộ ườ
1
,r
1
) , M
2
chuy n đ ngể ộ
trên đ ng tròn (Oườ
,r
2
) cùng theo chi u kim đ ng h và v i v n t c gócề ồ ồ ớ ậ ố
nh nhau .ư
1/ Tìm quĩ tích trung đi m đo n th ng Mể ạ ẳ
1
M
.
2/ Ch ng minh r ng đ ng tròn ngo i ti p tam giác Mứ ằ ườ ạ ế
1
QM
luôn đi
qua m t đi m c đ nh .ộ ể ố ị
Bài 3 : Cho đa th c :ứ
P(x) = x
3
+ 153x
- 111x + 38
1/ Ch ng minh r ng trong đo n [1;3ứ ằ ạ
2000
] t n t i ít nh t 9 s nguyênồ ạ ấ ố
d ng a sao cho P(a) chia h t cho 3ươ ế
2000
2/ H i trong đo n [1;3ỏ ạ
2000
] có t t c bao nhiêu s nguyên d ng aấ ả ố ươ
mà P(a) chia h t cho 3ế
2000
?
--------------------
Đ THI QU C GIA NĂM H C 1999-2000Ề Ố Ọ
MÔN : TOÁN (B ng Aả)
Ngày thi th haiứ
Bài 4 : Cho tr c góc α v i 0<α<πướ ớ
1/ Ch ng minh r ng t n t i duy nh t m t tam th c b c hai d ngứ ằ ồ ạ ấ ộ ứ ậ ạ
f(x) = x
+ ax + b (a,b là s th c ) sao cho v i m i n>2 đa th c ố ự ớ ọ ứ
P
n
(x) = x
n
sinα – xsin(nα) + sin(n-1)α
chia h t cho f(x)ế
2/ Ch ng minh r ng không t n t i nh th c b c nh t d ng g(x) = xứ ằ ồ ạ ị ứ ậ ấ ạ
+ c (c là s th c) sao cho v i m i n>2 đa th c Pố ự ớ ọ ứ
n
(x) chia h t cho g(x)ế
Bài 5 : Tìm t t c các s t nhiên n>3 sao cho t n t i n đi m trong khôngấ ả ố ự ồ ạ ể
gian tho mãn đ ng th i các các tính ch t sau đây :ả ồ ờ ấ
a/ Không có ba đi m nào trong chúng th ng hàng .ể ẳ
b/ Không có b n đi m nào trong chúng cùng n m trên m t đ ngố ể ằ ộ ườ
tròn
c/ T t các các đ ng trong đi qua ba đi m trong chúng đ u có bánấ ườ ể ể
kính b ng nhau.ằ
Bài 6 : V i m i đa th c h s th c P(x) , kí hi u Aớ ỗ ứ ệ ố ự ệ
P
là t p h p các sậ ợ ố
th c x sao cho P(x) = 0 .ự
Tìm s ph n t nhi u nh t có th có c a Aố ầ ử ề ấ ể ủ
P
khi P(x) thu c t pộ ậ
h p các đa th c có h s th c v i b c ít nh t là 1 và tho mãn đ ng th c :ợ ứ ệ ố ự ớ ậ ấ ả ẳ ứ
P(x
- 1) = P(x).P(-x)
v i m i giá tr th c xớ ọ ị ự
--------------------