Đề thi thử và đáp án: Môn Toán

ĐỀ MEGABOOK SỐ 1 MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .

b) Tìm các giá trị của để đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt . Tính tổng

các hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm .

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân .

Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm số phức thỏa mãn đẳng thức . Hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức ,

biết b) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau. Tính số phần tử của S. từ tập hợp S chọn ngẫu nhiên một số, tính xác suất để trong 5 chữ số của nó có đúng 2 chữ số lẻ.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt

phẳng . Viết phương trình đường thẳng nằm trong ; qua giao điểm của

và và góc giữa và bằng .

có đáy là tam giác vuông tại . Tam giác cân tại

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và đáy bằng . Biết và .

thể tích khối chóp . và khoảng cách giữa hai đường thẳng

, cho hình thang và và vuông tại

Tính theo Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ chéo nằm trên đường thẳng . Đỉnh thuộc đường thẳng . Đường có , đỉnh

tọa độ nguyên. Tìm tọa độ biết và .

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình .

thỏa mãn . Tìm giá trị lớn Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực nhất của biểu thức

..................HẾT.................. HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.a.

- Tập xác đinh: - Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: ; .

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1

, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và .

, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

. Hàm số đạt cực tiểu tại .

+ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại + Giới hạn: .

+ Bảng biến thiên

0 0

- Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm

+ Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm .

làm trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số nhận trục + Đồ thị hàm số đi qua điểm .

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. Từ đồ thị suy ra, để đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi .

(*).

Hoành độ 4 giao điểm là nghiệm của phương trình Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt .

Khi đó 4 nghiệm của pt (*) là .

Như vậy ta có . Ta có .

Suy ra tổng hệ số góc của 4 tiếp tuyến tại 4 giao điểm với đồ thị là:

với một hàm số cho trước.

Nhận xét: Đây là dạng toán biện luận số giao điểm của một đường thẳng Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dựa vào dáng điệu của đồ thị xét các trường hợp: + điểm phân biệt. cắt tại

và không có điểm chung.

+ Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2

+Kiến thức cần nhớ: Điểm là tọa độ tiếp điểm của hàm số . Phương trình tiếp tuyến tại

là , hệ số góc tiếp tuyến là .

+ Tìm để đường thẳng cắt tại 4 điểm : Dựa vào dáng điệu đồ thị , đường thẳng

song song với trục nên sẽ cắt tại 4 điểm phân biệt khi .

+ Tính tổng hệ số góc tiếp tuyến: Đổi biến ta có cắt tại 4 điểm phân biệt nên phương trình có

tính được 4 hệ số góc tiếp tuyến tại 4 hoành độ ) , từ đó tính được tổng hệ số góc.

hai nghiệm dương phân biệt. Tham số các nghiệm theo giao điểm ( đối xứng qua trục Lưu ý: Ngoài cách sử dụng dáng điệu đồ thị ta có thế làm như sau: Viết phương trình giao điểm có 4 nghiệm . Bài toán tương đương tìm để phương trình phân biệt.

Đổi biến , ta tìm để phương trình có 2 nghiệm .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của để tiếp tuyến của đồ thị tại

điểm có hoành độ bằng 1 tạo 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Đáp số: b. Cho hàm số . Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số để tiếp tuyến của hàm số tại M cắt đồ

thị tại điểm thứ hai là N thỏa mãn (Thi thử lần 3-THPT Thái Hòa-Nghệ An).

Đáp số: .

Câu 2. Điều kiện .

Phương trình tương đương

+ Với .

Phương trình có nghiệm: .

Nhận xét: Bài toán lượng giác cơ bản , ta chỉ cần sử dụng bến đổi các công thức hạ bậc , cosin của một hiệu và phân tích nhân tử. Tuy nhiên cần hết sức lưu ý việc xem xet điều kiện xác định của phương trình để tránh kết luận thừa nghiệm dẫn tới lời giải sai. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Công thức cosin của một tổng , hiệu :

, -Công thức hạ bậc: -Công thức nghiệm cơ bản của phương trình lượng giác:

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3

. . . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Giải phương trình . Đáp số: .

b. Giải phương trình . Đáp số: .

Câu 3.

Nhận xét: Bản chất của bài toán là tách tử của biểu thức dưới dấu tích phân theo mẫu và đạo hàm của mẫu. Từ biểu thức dưới dấu tích phân ta khó có thể sử dụng một trong hai phương pháp đổi biến số hoặc tích phân từng phần. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Ta có .

Tổng quát : .

-Với các nguyên hàm cơ bản của , công thức nguyên hàm tổng quát . Thay cận ta tính

được . Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Tính tích phân . Đáp số: .

b. Tính tích phân . Đáp số: .

Câu 4.a. Ta có (1).

thuộc Thay vào (1) ta được .

Vậy tập hợp điểm là đường .

theo số phức thỏa mãn điều kiện nào đó.

: Thay . Tìm được mối quan hệ giữa phần thực và

Nhận xét: Đây là dạng toán toán tìm biếu diễn của số phức Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Mọi số phức có dạng . -Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của 2 số đó bằng nhau. vào phương trình - Từ số phức phần ảo.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4

, thay lại biểu thức mối quan hệ phần thực và ảo của ta tìm được tập hợp điểm biểu diễn.

- Đặt -Các trường hợp biểu diễn cơ bản :

+Đưởng tròn: .

+Hình tròn: .

+Parapol: .

+Elipse: .

Bài toan kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Cho số phức thỏa mãn . Tìm modul của số phức . Đáp số: .

b. Tìm số phức thỏa mãn là số thực và . Đáp số: .

là biến cố số được chọn là số có 5 chữ số khác nhau và trong 5 chữ số của nó có đúng 2 số

như sau: Gọi

cách;

Câu 4.b. Gọi lẻ. Ta tìm số phần tử của , ta có: + Trường hợp 1: Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0: Lấy thêm 2 số lẻ và 2 số chẵn có Xếp 5 số được chọn vào các vị trí có 4.4! cách.

cách;

Suy ra trường hợp 1 có + Trường hợp 2: Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt số 0: Lấy thêm 2 số lẻ và 3 số chẵn có Xếp 5 số được chọn vào các vị trí có 5! cách.

Suy ra trường hợp 2 có .

Vậy . Do đó .

Nhận xét: Bài toán xác suất cơ bản , ta chỉ cần áp dụng công thức tính xác suất với biến cố theo dữ kiện trong giả thiết. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Công thức tính xác suất của một biến cố : ( trong đó là số trường hợp thuận lợi cho

, là tổng số kết quả có thể xảy ra ).

là biến cố số được chọn là số có 5 chữa số khác nhau và trong 5 chữa số của nó có đúng 2 số lẻ.

. Ta chia các trường hợp sau:

- Ta tính tổng số kết quả có thể xảy ra. - Gọi - Tính số phần tử của A bằng cách gọi +Trong 5 chữ số của số được chọn có mặt số 0. +Trong 5 chữ số của số được chọn không có mặt chữ số 0. - Áp dụng công thức tính xác suất ta được Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thế lập được bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 2. Đáp số: 204. b. Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít

nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn .(Thi thử THPT chuyên Vĩnh Phúc khối D 2012-

2013). Đáp số: Rút ít nhất 6 thẻ.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5

Câu 5. Gọi là giao điểm của và , suy ra . Gọi là một vectơ chỉ phương của

Ta có một vectơ pháp tuyến của là .

Ta có .

+ Với , chọn .

ta tìm một điểm thuộc và một .

Nhận xét: Hướng giải cho bài toán: Để viết phương trình đường thẳng vector chỉ phương của Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Tìm tọa độ giao điểm : Tham số hóa , thay vào mặt phẳng ta tính được .

- Viết phương trình đường thẳng : Tham số hóa là một vector chỉ phương của . Do

(Với là một vector pháp tuyến của ). Ta tìn được mối quan hệ giữa . Chọn

vector chỉ phương viết được .

- Lại có công thức tính góc giữa hau đường thẳng

cho các trường hợp tương ứng.

- Một đường thẳng có vố số vector chỉ phương nên lần lượt chọn giá trị Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Trong hệ trục tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng

. Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt và song song với mặt phẳng

. Đáp số:

b. Trong hệ trục tọa độ , cho điểm và đường thẳng . Hãy tìm các điểm

thuộc đường thẳng sao cho tam giác đều.

Đáp số: .

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6

Câu 6. Gọi là trung điểm , suy ra .

Kẻ .

Góc giữa và đáy là .

(đvtt).

song song với , cắt tại vuông góc với .

. Kẻ . Kẻ Ta có

Tam giác đều, suy ra .

Nhận xét: Đây là toán có sử dụng hình học không gian tổng hợp lớp 11, yếu tố vuông góc của hai mặt phẳng , góc giữa hai mặt phẳng. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

. -Công thức tính thể tích khối chóp

-Dựng góc giữa hai mặt phẳng : Goi là trung điểm của . Do mặt phẳng

. nên .

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp .

: Lí thuyết tính bằng cách khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này

, kẻ . Suy ra .

- Tính khoảng cách tới một mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại. Kẻ Lưu ý: Có thể sử dụng tỉ lệ khoảng cách. Bài toán kết thúc Bài tập tương tự:

a. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bân và đáy bằng . Gọi là trung điểm của . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và

. Đáp số: (đvtt) và .

b. Cho hình chóp có , tạo với đáy một góc bằng . Tam giác

vuông tại , . là trọng tâm tam giác , hai mặt phẳng cùng vuông

góc với mặt phẳng . Tính thể tích khối chóp .

Đáp số: (đvtt).

Câu 7. Do , suy ra .

Ta có .

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 7

và ở khác phía đối với đường thẳng nên .

Do đó ta được , suy ra .

và . Ta có

Do đó .

Ta có .

Vậy và là điểm cần tìm.

Nhận xét: Để giải bài toán ta sử dụng kiến thức tham số hóa điểm thuộc đường thẳng cho trước, sử dụng

khoảng cách-tỉ lệ khoảng cách tìm tọa độ các đỉnh .

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Phương pháp tham số hóa điểm theo đường thẳng cho trước: Điểm

-Khoảng cách từ điểm tới phương trình đường thẳng được xác định theo

công thức .

-Tính chất vector: với .

Áp dụng cho bài toán:

- Tham số hóa tọa độ điểm . Do ( ), ta có điểm .

-Để loại nghiệm sử dụng tính chất: .

-Tương tự . Mặt khác , .

- Tính tọa độ điểm : .

Bài tập tương tự:

a. Trong mặt phẳng , cho tam giác cân tại , trực tâm . Gọi lần lượt là chân

đường cao kẻ từ . Biết điểm thuộc đường thẳng , điểm thuộc đường

thẳng và . Tìm tọa độ đỉnh .

Đáp số: .

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 8

b. Trong mặt phẳng , cho tam giác có . Điểm thuộc đường thẳng

. Tìm tọa độ đỉnh biết và đường thẳng có hệ số góc nguyên. sao cho

Đáp số: .

Câu 8. Phương trình thứ hai tương đương .

Đặt , ta được .

Xét ; ta có , suy ra đồng biến trên .

Nhận thấy là nghiệm duy nhất cua phương trình.

Thay vào phương trình thứ nhất, ta được

Đặt .

Phương trình trở thành .

+ Với .

. Hệ phương trình có nghiệm:

Nhận xét: Bài toán sử dụng phương pháp hàm đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên .

-Hàm số đồng biến(nghịch biến) trên có nhiều nhất 1 nghiệm.

đồng biến trên có nghiệm duy nhất. nghịch biến trên ,

-Hàm số Ý tưởng: Từ phương trình thứ nhất tách hoặc bình phương sẽ ra phương trình khó bậc cao, khó tìm mối quan hệ giữa .

với có cùng dạng - Nhận thấy phương trình thứ 2 của hệ có sự tương đồng

trong đó . - Phương trình thứ hai của hệ biến đổi thành:

đồng biến trên . Thay lại phương trình thứ nhất , sử - Xét hàm số

dụng hai ẩn phụ thu được phương trình đẳng cấp bậc 2.

Lần lượt giải 2 phương trình vô tỉ cơ bản ứng với 2 trường hợp kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của hệ.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 9

Lưu ý: Từ phương trình , ta có thể chia 2 vế cho giải

phương trình ẩn .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Giải phương trình . Đáp số: .

b. Giải phương trình . Đáp số: .

Câu 9.

Xét hàm số trên khoảng .

Ta có .

2 0 +

Vậy .

. .

Dấu “=” xảy ra khi Kết luận: Nhận xét: Bài toán thuộc lớp cực trị của hàm nhiều biến sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng để tìm giá trị lớn nhất. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

- Ta thấy đối xứng qua biểu thức , dự đoán điểm rơi .

- Tách biểu thức , ta được . Sử dụng bất đẳng thức cơ bản

suy ra . Tới đây hàm số đã rõ.

- Khảo sát hàm số với

-Lập bảng biến thiên của hàm số trên thu được .

Bài tập tương tự: a. Cho là 3 số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

. Đáp số: .

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10

b. Cho . Chứng minh rằng .

a. giác trong góc có phương trình , đường cao kẻ từ là . Tìm tạo độ

đỉnh .

Đáp số: .