Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp
Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc
ÑEÀ THI OLYMPIC ÑBSCL
Moân: TOAÙN – Khoái 12
Baøi 1:
Cho soá nguyeân n > 1 vaø soá thöïc p > 0 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa:
1
11
n
iii xx
khi
i
x
chaïy khaép moïi giaù trò thöïc khoâng aâm sao cho
px
n
ii
1
.
Baøi 2:
Trong maët phaúng toïa ñoä vuoâng goùc oxy cho n veùctô :
n
OAOAOA ,,, 21
, thoûa
1
21 n
OAOAOA
Chöùng minh raèng coù theå choïn ra k veùctô coù tính chaát :
4
1
21 k
iii OAOAOA
.
Baøi 3:
Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp
Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc
Daõy soá
()
n
u
, (n =1, 2, 3,....) ñöôïc xaùc ñònh bôûi
, vôùi n=1, 2, 3, ....
Chöùng minh raèng daõy soá naøy coù giôùi haïn vaø tìm giôùi haïn ñoù.
Baøi 4:
Giaûi phöông trình sau :
01464 234 TTTT
Baøi 5:
Cho tam giaùc ABC, O laø ñieåm tuøy yù trong tam giaùc. Ñaët : OA = x; OB = y;
OC = z. Goïi u, v, w töông öùng laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong caùc goùc
BOC,
COA, AOB cuûøa caùc tam giaùc BOC, COA, AOB.
Chöùng minh raèng :
2( )x y z u v w
.
Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp
Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc
ÑAÙP AÙN
Baøi 1:
Ñaët : S = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn ; p = x1 + x2 + … + xn .
Giaû söû : xk = Max { x1, x2 , … , xn}
S =
1
11
n
iii xx
=
k
iii xx
11
+
1
1
n
ki ii xx
1
1
.k
iik xx
+
1
1
.n
ki ik xx
xk(p – xk)
4
2
p
,(Coâsi).
Vaäy : Max S =
4
2
p
khi xk = xk+1 = p/2 vaø xi = 0, i = 1,…n, i k vaø i k + 1.
Baøi 2:
Goïi (xi,yi) laø toïa ñoä veùctô
i
OA
, i = 1,…,n.
Ta coù:
iiiii yxyxOA 22
, (1). Daáu ‘’=’’ xaõy ra khi xi = 0 hay yi = 0.
Töø gthieát ta coù:
n
ii
n
iin yxOAOAOA
11
21
1
Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp
Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc
000011
1
iiii yi
yi
xi
xi
n
ii
n
iiyyxxyx
.
Theo nguyeân lyù Ñirichleâ seõ toàn taïi
4
1
0
i
xi
x
.
Goïi
ikii OAOAOA ,...,,21
laàn löôït laø caùc veùctô coù hoaønh ñoä xi1, xi2, …, xik > 0.
Ta coù:
4
1
0
1
2
21
2
2121
i
xiikiikiiikiiikii xxxyyyxxxOAOAOA
.
Baøi 3:
Ta vieát :
2
211
11
22
mm
mkk
ukk



=
2
1 1 1
1 1 1
m m m
k k k
k k k m

Maët khaùc, ta coù nhaän xeùt : vôùi
(0,1)x
thì
ln( 1) ln(1 )x x x
, (1)
Thaät vaäy:
+ Xeùt
( ) ln( 1)f x x x
1
'( ) 1 0, (0,1)
11
x
f x x
xx

, suy ra f(x)
nghòch bieán treân
(0,1)
( ) (0) 0 ln( 1)f x f x x
, (2)
+ Xeùt
( ) ln(1 )g x x x
1
'( ) 1 0, (0,1)
11
x
g x x
xx

, suy ra g(x)
nghòch bieán treân
(0,1)
( ) (0) 0 ln(1 )g x g x x
, (3)
Töø (2) vaø (3) suy ra (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh
Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng Thaùp
Tröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc
Aùp duïng (1) vôùi
1
xkm
, ( k = 1, 2, 3, ...) , ta ñöôïc :
21
ln( ) ln( )
1 1 1
mm
m m m
1
ln( 2) ln( 1) ln( 1) ln
1
m m m m
m
Töông töï:
1
ln( 3) ln( 2) ln( 2) ln( 1)
2
m m m m
m
1
ln( 4) ln( 3) ln( 3) ln( 2)
3
m m m m
m
..............................................
1
ln(2 1) ln(2 ) ln(2 ) ln(2 1)
2
m m m m
m
1
1
ln(2 1) ln( 1) ln(2 ) ln
m
k
m m m m
km
2
1
ln(2 ) ln2
1m
u
m
2
lim ln2
m
mu

.
Maët khaùc
2 1 2 1
21
mm
uum

neân
2 1 2
lim lim
mm
mm
uu
 
.
Suy ra
lim ln2
n
nu

.
Vaäy :
lim ln2
n
nu

, (n=1, 2, 3, ...)
Baøi 4:
Phöông trình
(*)16)1(4 242 TTTT