S GD&ĐT NGH ANỞ Ệ Đ THI KH O SÁT CH T L NG L N I NĂM 2010Ề Ả Ấ ƯỢ Ầ
TR NG THPT THANH CH NG IƯỜ ƯƠ Môn Toán
(Th i gian làm bài: 180 phút)ờ
I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH Ầ Ấ Ả ( 7,0 đi m )ể
Câu I (2,0 đi m)ể.
Cho hàm s y = -xố3+3x2+1
1. Kh o sát và v đ th c a hàm s ả ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm m để ph ng trình xươ 3-3x2 = m3-3m2 có ba nghi m phân bi t.ệ ệ
Câu II (2,0 đi m )ể.
1. Gi i b t ph ng trìnhả ấ ươ :
2
4 4 16 6
2
x x x x
+ + − ≤ + − −
2.Gi i ph ng trình: ả ươ
2
1
3 sin sin 2 tan
2
x x x+ =
Câu III (1,0 đi m)ể.
Tính tích phân:
ln3 2
ln 2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
=− + −
∫
Câu IV (1,0 đi mể).
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=
2a
. Đáy là tam giác ABC cân
·
0
120BAC =
, c nhạ
BC=2a Tính th tích c a kh i chóp S.ABC.G i M là trung đi m c a SA.Tính kho ng cách t Mể ủ ố ọ ể ủ ả ừ
đ n m t ph ng (SBC).ế ặ ẳ
Câu V (1,0 đi m).ể
Cho a,b,c là ba s th c d ng. ố ự ươ Ch ng minh:ứ
( )
3 3 3
3 3 3
1 1 1 3
2
b c c a a b
a b c a b c a b c
+ + +
+ + + + ≥ + +
II. PH N RIÊNG Ầ( 3,0 đi m )ể
Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B).ỉ ượ ộ ầ ầ ặ ầ
A. Theo ch ng trình Chu n :ươ ẩ
Câu VI.a(2,0 đi m).ể
1. Trong m t ph ng t a đ Oxy. Cho đ ng tròn (C) : ặ ẳ ọ ộ ườ
2 2
4 2 1 0x y x y+ − − + =
và đi m A(4;5). Ch ngể ứ
minh A n m ngoài đ ng tròn (C) . Các ti p tuy n qua A ti p xúc v i (C) t i Tằ ườ ế ế ế ớ ạ 1, T2, vi t ph ngế ươ
trình đ ng th ng Tườ ẳ 1T2.
2. Trong không gian Oxyz. Cho m t ph ng (P): x+y-2z+4=0 và m t c u (S):ặ ẳ ặ ầ
2 2 2
2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − =
Vi t ph ng trình tham s đ ng th ng (d) ti p xúc v i (S) t i ế ươ ố ườ ẳ ế ớ ạ
A(3;-1;1) và song song v i m t ph ng (P).ớ ặ ẳ
Câu VII.a(1,0 đi m)ể
Trong m t ph ng t a đ . Tìm t p h p đi m bi u di n các s ph c z th a mãn các đi u ki n: ặ ẳ ọ ộ ậ ợ ể ể ễ ố ứ ỏ ề ệ
. Trong các s ph c th a mãn đi u ki n trên, tìm s ph c có mô đun nh nh t.ố ứ ỏ ề ệ ố ứ ỏ ấ
B. Theo ch ng trình Nâng cao :ươ
Câu VI.b(2,0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng to đ Oxy. Cho tam giác ABC cân t i A có chu vi b ng 16, A,B thu c đ ngặ ẳ ạ ộ ạ ằ ộ ườ
th ng d: ẳ
2 2 2 2 0x y− − =
và B, C thu c tr c Ox . Xác đ nh to đ tr ng tâm c a tam giác ABC.ộ ụ ị ạ ộ ọ ủ
2. Trong không gian v i h tr c to đ Oxyz. ớ ệ ụ ạ ộ Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2).
Vi t ph ng trình tham s đ ng cao t ng ng v i đ nh A c a tam giác ABC.ế ươ ố ườ ươ ứ ớ ỉ ủ
Câu VII.b(1,0 đi m).ể
Cho hàm s (Cốm):
2
1
x x m
yx
− +
=−
(m là tham s ). Tìm m đ (Cố ể m) c t Ox t i hai đi m phân bi t A,B saoắ ạ ể ệ
cho ti p tuy n c a (Cế ế ủ m) t i A, B vuông góc.ạ
1
..……………………….H t…………………………ế
S GD & ĐT NGH ANỞ Ệ
TR NG THPT THANH CH NG 1ƯỜ ƯƠ
KÌ THI KH O SÁT CH T L NG L N 1Ả Ấ ƯỢ Ầ
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI M MÔN TOÁNỂ
Câu N i DungộĐi mể
I.1
(1
đi m)ể
* TXĐ: R
S bi n thiên: y' = -3xự ế 2 + 6x = -3x(x - 2)
y' = 0
⇔
0
2
x
x
=
=
* Hàm s ngh ch bi n trên (-∞;0) và (2;+∞)ố ị ế
Hàm s đ ng bi n trên (0;2)ố ồ ế
Hàm s đ t c c đ i t i x = 2, yố ạ ự ạ ạ CĐ = 5
Hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yố ạ ự ể ạ CT = 1
*
lim
x→−∞
y = + ∞,
lim
x→+∞
y = - ∞
B ng bi n thiên: x -∞ 0 2 +∞ả ế
y' - 0 + 0 -
+ ∞ 5
y
1 -∞
*Đ th : y'' = -6x + 6ồ ị
y'' = 0
⇔
x = 1
⇒
đi m u n I(1;3) là tâm đ i x ng c a để ố ố ứ ủ ồ
thị
0,25
0,25
0,25
0,25
I.2
(1
đi m)ể
* PT đã cho
⇔
-x3 + 3x2 + 1 = -m3 + 3m2 + 1. Đ t k = -mặ3 + 3m2 + 1
* S nghi m c a PT b ng s giao đi m c a đ th (C) v i đt y =ố ệ ủ ằ ố ể ủ ồ ị ớ
k.
* T đ th (C ) ta có: PT có 3 nghi m phân bi t ừ ồ ị ệ ệ
⇔
1 < k < 5
*
⇔
m
∈
(-1;3)\
{ }
0;2
.
0,25
0,25
0,25
0,25
II.1
(1
đi m)ể
* Đk:
4 0
4 0
x
x
+ ≥
− ≥
⇔
x
≥
4. Đ t t = ặ
4 4x x+ + −
(t > 0)
BPT tr thành: tở2 - t - 6
≥
0
⇔
2( )
3
t L
t
≤ −
≥
0,25
2
* V i t ớ
≥
3
⇔
2
2
16x−
≥
9 - 2x
2 2
( )
0 ( )
4( 16) (9 2 )
a
b
x x
≥
≤
≥
>
− ≥ −
x 4
9-2x 0
x 4
9-2x
* (a)
⇔
x
≥
9
2
.
* (b)
⇔
145 9
36 2
≤x <
.
*T p ngh m c a BPT là: T=ậ ệ ủ
145;
36
+∞
0,25
0,25
0,25
II.2
(1
đi m)ể
* Đk: cosx
≠
0
⇔
x
≠
2k
ππ
+
.
PT đã cho
⇔
3
sin2x + sinxcosx -
sinx
cos x
= 0
*
⇔
sinx(
3
sinx + cosx -
1
cos x
) = 0
⇔
sinx 0
1
3sinx cos 0
osx
xc
=
+ − =
* Sinx = 0
⇔
x = k
π
.
*
3
sinx + cosx -
1
cos x
= 0
⇔
3
tanx + 1 -
2
1
cos x
= 0
⇔
tan2x -
3
tanx = 0
⇔
t anx 0
t anx 3
=
=
⇔
x
x3
k
k
π
ππ
=
= +
V y PT có các h nghi m: x = kậ ọ ệ
π
, x =
3k
ππ
+
0,25
0,25
0,25
0,25
III.
(1
đi m)ể
* Đ t t = ặ
2
x
e−
, Khi x = ln2
⇒
t = 0
x = ln3
⇒
t = 1
ex = t2 + 2
⇒
e2x dx = 2tdt
* I = 2
12
2
0
( 2)
1
t tdt
t t
+
+ +
∫
= 2
1
2
0
2 1
( 1 )
1
t
t dt
t t
+
− + + +
∫
* = 2
1
0
( 1)t dt−
∫
+ 2
12
2
0
( 1)
1
d t t
t t
+ +
+ +
∫
* =
2
1
( 2 ) 0
t t−
+ 2ln(t2 + t + 1)
1
0
= 2ln3 - 1
0,25
0,25
0,25
0,25
3
IV.
(1
đi m)ể
* Áp d ng đ nh lí cosin trong ụ ị
∆
ABC có AB = AC =
2
3
a
⇒
SABC∆
=
1
2
AB.AC.sin1200 =
2
3
3
a
. G i H là hình chi u c aọ ế ủ
S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC
⇒
HA = HB = HC
⇒
H là tâm đ ng tròn ngo i ti p ườ ạ ế
∆
ABC.
* Theo đ nh lí sin trong ị
∆
ABC ta có:
sin
BC
A
= 2R
⇒
R =
2
3
a
= HA
∆
SHA vuông t i H ạ
⇒
SH =
2 2
SA HA−
=
6
3
a
⇒
.S ABC
V
=
1
3
SABC∆
.SH =
2
2
9
a
* G i họA, hM l n l t là kho ng cách t A, M t i mp(SBC) ầ ượ ả ừ ớ
⇒
1
2
M
A
h SM
h SA
= =
⇒
hM =
1
2
hA .
∆
SBC vuông t i S ạ
⇒
SSBC∆
= a2
* L i có: ạ
.S ABC
V
=
1
3
SSBC∆
.hA
⇒
hA =
.
3
S ABC
SBC
V
V
∆
=
2
3
a
V y hậM = d(M;(SBC)) =
2
6
a
0,25
0,25
0,25
0,25
V
(1
đi m)ể
* Ta cm v i a, b > 0 có aớ3 + b3
≥
a2b + ab2 (*)
Th t v y: (*) ậ ậ
⇔
(a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b)
≥
0
⇔
(a + b)(a - b)2
≥
0 đúng
Đ ng th c x y ra khi a = b.ẳ ứ ẩ
* T (*) ừ
⇒
a3 + b3
≥
ab(a + b)
b3 + c3
≥
bc(b + c)
c3 + a3
≥
ca(c + a)
⇒
2(a3 + b3 + c3 )
≥
ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) (1)
* Áp d ng BĐT co si cho 3 s d ng ta có:ụ ố ươ
3
1
a
+
3
1
a
+
3
1
a
≥
3
33 3 3
111
ab c
=
3
abc
(2)
* Nhân v v i v c a (1) và (2) ta đ c BĐT c n cmế ớ ế ủ ượ ầ
Đ ng th c x y ra khi a = b = c. ẳ ứ ẩ
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.a.1
(1
đi m)ể
* Đ ng tròn (C) có tâm I(2;1), bán kính R = 2.ườ
Ta có IA = 2
5
> R
⇒
A n m ngoài đ ng tròn (C)ằ ườ
* Xét đ ng th ng ườ ẳ
1
∆
: x = 4 đi qua A có d(I;
1
∆
) = 2
⇒
1
∆
là 1 ti pế
tuy n c a (C)ế ủ
*
1
∆
ti p xúc v i (C ) t i Tế ớ ạ 1(4;1)
0,25
0,25
0,25
4
* T1T2
⊥
IA
⇒
đ ng th ng Tườ ẳ 1T2 có vtpt
n
r
=
1
2
IA
uur
=(1;2)
ph ng trình đ ng th ng Tươ ườ ẳ 1T2 : 1(x - 4) + 2(y - 1)
⇔
x + 2y - 6 = 0
0,25
VI.a.2
(1
đi m)ể
* Mp(P) có vtpt
P
n
ur
= (1;1;-2).
(S) có tâm I(1;-2;-1)
*
IA
uur
= (2;1;2). G i vtcp c a đ ng th ng ọ ủ ườ ẳ
∆
là
u
∆
ur
∆
ti p xúc v i (S) t i A ế ớ ạ
⇒
u
∆
ur
⊥
IA
uur
Vì
∆
// (P)
⇒
u
∆
ur
⊥
P
n
ur
* Ch n ọ
0
u
ur
= [
IA
uur
,
P
n
ur
] = (-4;6;1)
* Ph ng trình tham s c a đ ng th ng ươ ố ủ ườ ẳ
∆
:
3 4
1 6
1
x t
y t
z t
= −
= − +
= +
0,25
0,25
0,25
0,25
VII.a
(1
đi m)ể
* Đ t z = x + yi (x; y ặ
∈
R)
|z - i| = |
Z
- 2 - 3i|
⇔
|x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
*
⇔
x - 2y - 3 = 0
⇔
T p h p đi m M(x;y) bi u di n só ph c zậ ợ ể ể ễ ứ
là đ ng th ng x - 2y - 3 = 0 ườ ẳ
* |z| nh nh t ỏ ấ
⇔
|
OM
uuuur
| nh nh t ỏ ấ
⇔
M là hình chi u c a O trên ế ủ
∆
*
⇔
M(
3
5
;-
6
5
)
⇒
z =
3
5
-
6
5
i
Chú ý:
HS có th dùng ph ng pháp hình h c đ tìm qu tích đi mể ươ ọ ể ỹ ể
M
0,25
0,25
0,25
0,25
VI.b.1
(1
đi m)ể
* B = d
∩
Ox = (1;0)
G i A = (t;2ọ
2
t - 2
2
)
∈
d
H là hình chi u c a A trên Ox ế ủ
⇒
H(t;0)
H là trung đi m c a BC.ể ủ
* Ta có: BH = |t - 1|; AB =
2 2
( 1) (2 2 2 2)t t− + − =
3|t - 1|
∆
ABC cân t i A ạ
⇒
chu vi: 2p = 2AB + 2BH = 8|t - 1|
*
⇒
16 = 8|t - 1|
⇔
t 3
t 1
=
= −
* V i t = 3 ớ
⇔
A(3;4
2
), B(1;0), C(5;0)
⇒
G(
3
;
4 2
3
)
V i t = -1 ớ
⇔
A(-1;-4
2
), B(1;0), C(-3;0)
⇒
G(
1−
;
4 2
3
−
)
0,25
0,25
0,25
0,25
5