Đề toán học lớp 12 - đề 3

Chia sẻ: Hoàng Minh Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề toán học lớp 12 - đề 3', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề toán học lớp 12 - đề 3

Đ ra kì này - T p chí Kvant 01-2008 Nhóm d ch thu t Kvant - C ng đ ng MathVn http://mathvn.org M2071. S t nhiên nh nh t sao cho t s g ch b đi các ch s c a nó có th nh n đư c b t kì s t nhiên nào t 1 đ n n, kí hi u là U (n), g i là s "ph d ng". H i s ph d ng U (2008) có bao nhiên ch s ? C. Volchenkov √ M2072. Tìm ch s th n + 1 sau d u ph y trong các vi t th p phân c a s 99...99 (Trong đó có 2n ch s 9) Ya. Aliev M2073. Cho hai đư ng tròn, c t nhau tai đi m P và Q. Đ t C là đi m b t kì n m trên m t trong hai đư ng tròn khác P, Q. Đi m A, B là giao đi m th hai c a các đư ng th ng CP, CQ v i đư ng tròn kia. Tìm v trí hình h c c a tâm đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . A. Zaslavskij M2074. M t ngư i khách vi ng thăm đi vòng quanh các phòng c a b o tàng theo quy lu t sau: N u đang trong m t phòng nào đó, anh ta s l a ch n gi a t t c các phòng k c n v i phòng này mà có s l n vi ng thăm nh hơn và đi vào đó. H i ph i chăng sao m t th i gian thì ngư i khách đó có th đi qua t t c các phòng c a b o tàng. Bi t r ng t b t c phòng nào đ u có th đi đ n m t phòng khác b t kì c a b o tàng. C. Volchenkov M2075. M i c nh c a m t hình đa di n l i này song song v i m t c nh c a hình đa di n l i khác. H i có ph i chúng có cùng th tích hay không? A. Zaslavskij M2076. Tìm t t c các hàm s f : R → R, th a mãn v i m i x = 0 và y sao cho y xf (y ) − yf (x) = f ( ) x E. Turkevich M2077. Tìm s t nhiên k nh nh t th a mãn tính ch t sao đây: Trong b ng vuông n × n b t kì v i các ô đư c đi n các s th c, có th làm tăng không quá k s sao cho t ng các s t t c các hàng d c và t t c các hàng ngang đ u tr nên b ng nhau. P. Kojevhikov. Typeset by L TEX 2ε 1 A
M2078. Đi m A , B , C là chân c a các đư ng cao c a tam giác nh n ABC . Đư ng tròn tâm B bán kính BB c t đư ng th ng A C t i K, L (K, A n m v m t phía c a đư ng th ng BB ). Ch ng t r ng giao đi m c a đư ng th ng AK, CL n m trên đư ng th ng BO, v i O là tâm đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . V. Protasov M2079. T n t i hay không b ba s t nhiên đôi m t nguyên t cùng nhau x, y, z l n hơn 1010 , sao cho x8 + y 8 + z 8 chia h t cho x4 + y 4 + z 4 ? V. Senderov M2080. Dãy véc-tơ {en } trên m t ph ng th a mãn đi u ki n e1 = (0, 1), e2 = (1, 0), en+2 = en+1 + en v i n ≤ 1. Đ t l i t t c các véc-tơ là t ng c a m t nhóm s h ng nào đó c a dãy trên v g c t a đ . Ch ng t r ng t p các đ u mút c a các véc-tơ là các đi m có t o đ nguyên n m bên trong m t d i t o nào đó t o b i hai đư ng th ng song song. I. Pushkarev 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant 02-2008 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 06 - 2008 M2081. Trên b ng vi t 3 s dương x, y, 1. Đư c phép vi t lên b ng t ng ho c hi u hai s nào đó đã đư c vi t trên b ng ho c là vi t s ngh ch đ o c a s nào đó đã đư c vi t. Có ph i là luôn có th nh n đư c trên b ng s a) x2 ; b) xy hay không? G. Galperin M2082. Các đư ng chéo c a t giác n i ti p ABCD c t nhau t i P . Gi s K, L, M, N là trung đi m các c nh AB , BC , CD, DA theo th t . Ch ng t r ng bán kính đư ng tròn ngo i ti p tam giác P KL, P LM, P M N, P N K b ng nhau. A. Zaslavskij M2083. Cho m t d i ô vuông 1 × N . Có hai ngư i tham gia trò chơi như sau:Theo l n lư t thì ngư i chơi th nh t đ t vào m t ô tr ng m t quân c màu đen, và ngư i chơi th hai đ t vào m t ô tr ng khác m t quân c màu tr ng. Không đư c phép đ t hai hai ô k nhau hai quân c cùng màu. Ngư i thua cu c là ngư i đ u tiên không th đi đư c theo. H i ai trong h có m t chi n lư c th ng. B. Frenkin M2084*. Tìm t t c các c p s nguyên (x, y ) th a mãn đ ng th c x7 − 1 = y5 − 1 x−1 A. Efimov M2085.* Gi a nh ng ngư i tham d m t cu c thi Toán h c thì có m t s làm b n v i nhau, sao cho n u A làm b n v i B thì B cũng làm b n v i A. G i m t nhóm các ngư i tham d là m t "h i" n u b t c 2 ngư i thu c nhóm này đ u làm b n v i nhau. G i s lư ng ngư i trong m t nhóm là "b c" c a nhóm đó. Bi t r ng b c l n nh t c a các h i là s ch n. Ch ng t r ng t t c ngư i tham d cu c thi có th s p x p vào phòng sao cho, b c nhóm l n nh t c a phòng này b ng b c nhóm l n nh t c a phòng kia. V. Astakhov. Typeset by TEX 1
Đ ra kì này - T p chí Kvant s 03-2008 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 10-2008 M2086. Cho hai c p s c ng a1 , a2 , ..., an , ... và b1 , b2 , ..., bn , ... t các s t nhiên. Bi t r ng a1 = b1 và v i m i ch s n thì các s an , bn đ ng dư khi chia cho n. Ch ng t r ng hai dãy này trùng nhau. N. Kalinin. 2087. M2087. Trên bàn c vua m t quân "projector" có th tiêu di t (chi u) đư c m i ô n m trong m t trong 4 góc vu ng (ch m t trong 4) v i đ nh là m t trong 4 đ nh c a ô nó đang đ ’ng, các tia c a góc n m trên đư ng ngang và d c chia bàn c (xem 4 góc tô màu trên hình, ô màu đen là v trí đ t "projector", nó có th quay v m t trong 4 góc đó). Th d "projector" n m phía dư i bên trái cùng c a bàn c thì có th chi u đư c 1 ô đ t nó ho c c bàn c , ho c c tt biên trái cùng, ho .c c t biên dư ii cùng. H i s các "projector" có th đ t l n nh t là bao nhiêu trên bàn c đ hai quân "projector" không th tiêu di t l n nhau. A. Shapovalov. 2088. Ch ng minh r ng v i các s dương x, y, z v i t ng c a chúng b ng 1 thì x2 + 3xy y 2 + 3yz z 2 + 3zx ≤2 + + x+y y+z z+x R. Pirkulyev. 2089. Gi s B0 là trung đi m c a c nh AC tam giác ABC . G i A1 , A2 là tâm đư ng tròn n i ti p và bàng ti p ti p xúc c nh AB c a tam giác ABB0 . Tương t v i tam giác CBB0 là đi m C1 , C2 . Ch ng minh r ng t giác A1 A2 C2 C1 n i ti p. L. Emeljanov. 2090. Gi s c1 , c2 , ..., cn là các s th c. S1 = c1 , S2 = c1 + c2 ,...,Sn = c1 + c2 + ... + cn . M, n là s l n nh t và nh nh t c a S1 , S2 , ..., Sn . Ch ng minh các b t đ ng th c: 1
1. m ≤ c1 + 1 c2 + ... + n cn ≤ M.. 1 2 2. nm ≤ nc1 + (n − 1)c2 + ... + cn ≤ nM . 3. N u α1 ≥ α2 ≥ ... ≥ αn > 0 thì α1 m ≤ α1 c1 + α2 c2 + ... + αn cn ≤ α1 M A. Egorov. 2091. Ch ng minh r ng v i b t kì s t nhiên n > 2 và m t n t i n s t nhiên đôi m t nguyên t cùng nhau l n hơn 1010 sao cho t ng lũy th a b c m c a chúng chia h t cho t ng c a chúng. V. Senderov. 2092. M t projector trên bàn c vua là mi n n m góc chia bàn c đi qua l ngang và l d c c a bàn c và bao hàm 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant s 04-2008 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 10-2008 M2096. Ngư i ta t ch c các y viên qu c h i thành 2008 y ban, m i y ban có không quá 10 ngư i. Bi t r ng 11 y ban b t kì thì có chung m t thành viên. Ch ng minh r ng t t c các y ban này đ u có chung m t thành viên. F. Petrov. M2097. Tìm t t c các s nguyên t p d ng a2 + b2 + c2 v i a, b, c là các s t nhiên sao cho a4 + b4 + c4 chia h t cho p. V. Senderov. M2098. Hai ngu i chơi trò chơi, đi l n lư t nhau theo các bư c như sau: ngư i th nh t v lên m t ph ng m t đa giác không đè vào hình đã v , ngư i th hai s s tô hình đa giác đó m t trong s 2008 màu đã cho và c th ti p t c liên ti p các bư c. Ngư i chơi th hai mu n r ng b t kì giáp nhau m t c nh s có các màu khác nhau. H i ngư i th nh t có th b trí cho anh ta đư c hay không? Folklor. M2099. Gi s a0 > a1 > ... > as = 0 là dãy các s t nhiên sao cho a0 , a1 nguyên t cùng nhau và v i i ≥ 1 thì ai+1 là ph n dư c a ai−1 cho ai v i thương l y nguyên là ti = [ ai−1 ]. Đ t dãy s b0 , b1 , ..., bn sao cho bi+1 = bi−1 + ti bi và b0 = 0, b1 = 1. Ch ng minh ai r ng bs = a0 . V. Bikovskij. M2100. Trong m t góc đ nh O n i ti p hai đư ng tròn ω1 và ω2 . M t tia g c O c t ω1 t i A1 , B1 , và ω2 t i A2 , B2 sao cho OA1 < OB1 < OA2 < OB2 . Đư ng tròn γ1 ti p xúc trong v i ω1 và các ti p tuy n c a ω2 đi qua A1 . Đư ng tròn γ2 ti p xúc trong v i ω2 và các ti p tuy n c a ω1 đi qua B2 . Ch ng minh hai đư ng tròn γ1 , γ2 b ng nhau. P. Kozhevnikov. 1
Đ ra kì này - T p chí Kvant s 05-2008 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 01-2009 M2101. Cho tam th c b c hai f (x) = x2 + ax + b. Bi t r ng đ i v i b t kì s th c x thì t n t i s th c y sao cho f (y ) = f (x) + y . Tìm giá tr l n nh t c a a. D. Tereshin. M2102. Các s đư c tô màu đ mà tô màu xanh đư c s p đ t theo m t vòng tròn, M i s màu đ b ng t ng hai s k v i nó, và m i s màu xanh b ng m t n a t ng hai s k v i nó. Ch ng minh r ng t ng c a các s màu đ b ng 0. Y. Bogdanov. M2103. Cho b ng vuông kích thư c n × n, các c t c a nó đư c đánh s t 1 đ n n. Ngư i ta s p đ t các s 1, 2, ..., n vào các ô c a m i c t sao cho trong cùng m t dòng và trong cùng m t c t b t kì các s đ u khác nhau. Ô đư c g i là t t n u s c a nó l n hơn s đư c đánh cho c t ch a nó. V i s t nhiên n nào thì t n t i cách s p đ t sao cho trong t t c các dòng đ u cùng m t s lư ng các ô t t. K. Chuvilchin. M2104. Nhà o thu t ti n hành đoán di n tích c a hình đa giác l i A1 A2 ...A2008 đ ng sau m t b c rèm. Trong m i l n đ i đáp v i m t khán gi thì o thu t gia g i tên 2 đi m trên đư ng chu vi c a đa giác, ngư i khán gi s đánh d u hai đi m này và k m t đư ng th ng qua chúng, sau đó anh ta thông báo cho o thu t gia ph n v i di n tích nh hơn sau s chia đa giác đã cho b ng đư ng th ng đã k . Trong s các đi m mà o thu t gia có th g i tên thì chúng ho c là các đ nh ho c là đi m n m trên c nh v i t l đư c nhà o thu t đ nh ra. Ch ng t r ng sau 2006 l n v n đáp nhà o thu t có th đoán ra di n tích c a đa giác này. N. Agakhanov. M2105. Đư ng tròn ω v i tâm O n i ti p trong góc BAC và ti p xúc v i các c nh c a nó t i các đi m B, C . Trong góc BAC l y đi m Q. Trên đo n AQ l y đi m P sao cho AQ ⊥ OP . Đư ng th ng OP c t các đư ng tròn ω1 , ω2 ngo i ti p tam giác BP Q và CP Q l n th hai t i các đi m M và N . Ch ng t r ng OM = ON . A. Akopian. M2016. V i nh ng s t nhiên n > 1 nào thì t n t i các s t nhiên b1 , b2 , ..., bn (không b t bu c t t c các s này đ u khác nhau) sao cho v i m i s t nhiên k thì s (b1 +k )(b2 +k )...(bn +k ) là lũy th a c a m t s t nhiên. (S mũ c a lũy th a có th ph thu c theo k nhưng ph i nh t thi t l n hơn 1) V. Proizvolov, V. Senderov. 1
M2107. Cho tam giác không cân ABC , đi m H, M là giao đi m c a các đư ng cao và các đư ng trung tuy n. Qua các đ nh A, B, C k các đư ng th ng vuông góc v i các đư ng th ng AM, BM, CM . Ch ng t giao đi m c a các đư ng trung tuy n c a c a tam giác đư c t o thành b ng cách d ng các đư ng th ng trên n m trên đư ng th ng M H . L. Emelianov. M2108. Cho P là m t t p h p h u h n các s nguyên t . Ch ng t r ng t n t i s t nhiên x sao cho nó đư c bi u di n dư i d ng x = ap + bp (a, b là các s t nhiên) v i m i p ∈ P và không bi u di n đư c d ng nàu v i m i p ∈ P/ V. Senderov. M2109. Cho t giác l i ABCD. Gi s đi m P và Q l n lư t là giao đi m c a tia BA và CD, BC và AD và H là hình chi u c a D trên P Q. Ch ng t r ng t giác ABCD là ngo i ti p khi và ch khi các đư ng tròn n i ti p tam giác ADP và CDQ nhìn đi m H dư i hai góc b ng nhau. V. Shmarov. M2110. Có 2n + 3 các đ u th tham gia trong m t gi i đ u c vua giao h u, M i ngư i đ u v i m i ngư i đúng 1 l n. Gi i đ u đư c t ch c theo k ho ch đ các tr n ti n hành tr n này sau tr n khác sao cho m i đ u th sau các ván đã đư c đ u đư c ngh không ít hơn n tr n. Ch ng t r ng m t trong các đ u th mà đã chơi ván đ u tiên c a gi i, đư c s p đ đư c chơi ván đ u cu i cùng. A. Gribalko. 2
Đ ra kì này - T p chí Kvant s 06-2008 Nhóm d ch thu t Kvant - http://mathvn.org Tháng 04-2009 M2111. M t ô trong d i băng d ng k ô vuông (vô h n) đư c sơn màu. M t hòn b lúc đ u n m cách n ô so v i ô đư c tô ban đ u (theo phương ngang, ho c d c). Gieo m t quân xúc s c, trư ng h p đư c k đi m (1 ≤ k ≤ 6) thì hòn bi đư c d ch chuy n v phía ô đư c tô ban đ u đó k ô. Ti p t c quá trình gieo xúc s c và d ch chuy n như v y cho đ n khi hòn bi n m t i vi trí ô đư c sơn (chi n th ng), ho c vư t qua ô đư c sơn (thua cu c). V i s t nhiên n nào thì xác su t th ng là l n nh t, tính xác su t này. V. Lechko M2112. H - là giao đi m các đư ng cao c a tam giác nh n ABC . Đư ng tròn tâm là trung đi m c nh BC đi qua H , c t đư ng th ng BC t i A1 , A2 . Đư ng tròn v i tâm là trung đi m c nh CA, đi qua đi m H c t đư ng th ng CA t i B1 , B2 . Đư ng tròn v i tâm là trung đi m c nh AB đi qua H c t đư ng th ng AB t i C1 , C2 . Ch ng minh r ng A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 n m trên m t đư ng tròn. A. Gavrilyuk M2113. Đa th c b c n, n > 1 có các nghi m phân bi t x1 , x2 , ..., xn và đ o hàm c a nó có các nghi m y1 , y2 , ..., yn−1 . Ch ng minh r ng trung bình c ng các bình phương c a x1 , x2 , ..., xn l n hơn trung bình c ng c a y1 , y2 , ..., yn−1 M. Murashkin M2114. Ch ng minh r ng t n t i vô h n các s t nhiên, vi t trong h th p phân thì bình phương c a nó không t n cùng b ng s 0, và các ch s khác 0 đ u l . V. Senderov M2115. ABCD - là t giác l i, BA = BC và t n t i đư ng tròn ti p xúc v i đo n BA kéo dài v phía A, đo n BC kéo dài v phía C, và đư ng th ng AD, CD. Ch ng minh r ng. Đư ng tròn này c t đư ng tròn ti p xúc ngoài chung c a hai đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và ADC V. Shmarov 1