Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
ðIỂM UỐN CỦA ðỒ THỊ. PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ðỘ TÓM TẮT LÝ THUYẾT
là một ñiểm uốn của ñồ thị
''f ñổi dấu khi x qua ñiểm
;a x
0x thì
0
);a b chứa ñiểm 0x và có ñạo hàm cấp hai trên ) ( ) ( I x f x ; 0
1. ðiểm uốn của ñồ thị : Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một liên tục trên khoảng ( khoảng ( của hàm số
là một ñiểm uốn của ñồ thị hàm số thì
) vì ( )0 0;x b .Nếu ) ( f x y = Nếu hàm số f có ñạo hàm cấp hai tại ñiểm
0x thì
0
)
( ( I x f x ; 0
)
f
x
''
= 0
(
)0
2. Phép tịnh tiến hệ tọa ñộ :
+
o
(cid:1)(cid:1)(cid:2) Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tình tiến theo vectơ OI
,
là
.
0
)
( ( I x f x ; 0
)
+
0
= x X x y Y y =
2
3
Ví dụ 1 : Cho hàm số
x
x
−
=
−
x 4
+ 6
( f x
f
)a Giải phương trình
f
) ( ' sin ( '' cos
1 1 2 3 ) x = 0 ) x = 0
)b Giải phương trình )c Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ñã cho tại ñiểm có hoành ñộ là nghiệm của phương
f
trình
''
0
(
) x = .
Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ .
±
1
17
2
f
x
x
x
f
x
x
=
− − ⇒
= ⇔ =
. Cả hai nghiệm x ñều nằm ngoài ñoạn
)a
'
4
0
'
(
)
(
)
2
f
Do ñó phương trình
− . 1;1
( ' sin
) x = vô nghiệm.
f
x
f
x
x
0
x 2
(
)
(
)
f
x
x
x
k
k
= = ⇔ = . Do ñó phương trình )b '' − ⇒ 1 '' 0 1 2
π 2 ,
( '' cos
)
π 3
f
x
f
x
x
f
f
=
= ⇔ =
=
= −
= ⇔ = ± + ∈ ℤ . = ⇔ 0 cos
''
x 2
− ⇒ 1
''
0
,
,
'
)c
(
)
1 2 (
)
1 2
1 2
47 12
1 2
17 4
y
x
hay
y
x
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
= −
+
−
= −
+
1 2
17 4
17 4
145 24
3
x
+ có ñồ thị là ( 1
47 12 )C
( f x
)
f
=
23 x Ví dụ 2 : Cho hàm số − 1. Xác ñịnh ñiểm I thuộc ñồ thị ( )C của hàm số ñã cho , biết rằng hoành ñộ của ñiểm I nghiệm ñúng ( phương trình ''
) x = .
0
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
)C ñối với hệ IXY . Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñồi xứng của ñường cong (
và viết phương trình ñường )C .
)C tại ñiểm I ñối với hệ tọa ñộ Oxy .Chứng minh rằng
)C nằm phía dưới tiếp tuyến tại ñiểm I của (
)C và trên khoảng
)C nằm phía trên tiếp tuyến ñó.
(cid:1)(cid:1)(cid:2) 2. Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI cong ( 3. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong ( trên khoảng ( );1−∞ ñường cong ( 1; +∞ ñường cong ( ) ( Giải :
2
f
x
x
x
1. Ta có
x 6
6
x 3
(
)
. Hoành ñộ ñiểm I thuộc (
)C là
)
x
I
.
f= 1,
( = − Vậy 1.
− = ⇔ = = − '' 0 1 ''
f ' ( ) 1
x 6 , (
( ) f x ( ) C − ∈
1; 1 = )
là
(cid:1)(cid:1)(cid:2) 2. Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ OI
+ 1
3
2
3
X
Y X
− 1 = x X y Y =
X 3 .
)C ñối với hệ tọa ñộ IXY là : Y
)
(
)
( X 1 )C của nó nhận gốc toạ ñộ I làm tâm ñối xứng .
2
f
f
x
+ − + + ⇔ = − − = 1 1 3 1
x 3
)C tại ñiểm I ñối với hệ
f
x
y
y
x
= '
) ( tọa ñộ Oxy :
( g x
)
(
3
x
x
= = − = − . Phương trình tiếp tuyến của ñường cong ( + . − ⇔ = + 2 1 3 1
Xét hàm
trên ℝ
23 x
x 3
( g x
( ) ' 1 ) − 1 )
) ( − −
)
(
x = − 3 )3
f (
x
Phương trình của ( Vì ñây là một hàm số lẻ nên ñồ thị ( x 3. − ⇒ 3 6 ( ) ( )( 1 ' 1 ) <
<
( f x 0,
1
Dễ thấy
. ðiều này chứng tỏ trên khoảng (
);1−∞ ñường cong (
)C nằm phía dưới tiếp
>
0,
= = − − + + = − 1 2 1 − )
)
)C nằm phía trên tiếp tuyến ñó.
và
(cid:1)(cid:1)(cid:2) )P . Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI
2
2
x
c
1; +∞ ñường cong (
)P ñối với hệ tọa ñộ IXY . x = 2 1
)
x 3
) ( h x ) ( h x ) ( h x x > 1 )C và trên khoảng ( tuyến tại ñiểm I của ( 1. Gọi I là ñỉnh của parabol ( viết phương trình của parabol ( ( x a f x − ) 4
( f x
)
)
e
x − −
)
2
2
b
= + − + 3 = 3
)
x 2
x 3
f
)
21 x 2 x= 2
( f x
)
)
( d f x )
x x 2
3
2
4
2
3
2
x
e
c
x = −
= + − = − 5 + − 7 8
x 2
x 3
)
)
x 3
3
2
4
2
3
2
x
b
f
x
x + −
+ + − = + − 3 4
x = −
)
x 6
x 24
)
x 3
2. Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị ( ( a f x + ) ( f x
) )
( f x 1 ( f x 3 )C . Chứng minh rằng I là tâm ñối xứng của ( ( f x x 12 ( f x
( f x ( d f x )
) ) )C . ) x = )
) )
= + = − + − + 12 20 1
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
3. Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của ñường cong
. Viết công thức
)
x x 2
( ) ( G f x )G ñối với hệ tọa ñộ và viết phương trình của (
2
= − + 5 3
22 x
( d f x )
)
( a f x )
)
( f x
)
(cid:1)(cid:1)(cid:2) chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI )G . IXY . Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của ( Cùng câu hỏi ñối với ñồ thị của các hàm số sau : x 3 3 x
2
x − 3 = g = = ) − x x 3 − 2
( f x
)
( f x
)
( h f x )
)
2
x 4 e ) = − 2 b = ) x 3 + + 4 = x − 2 + 1 1 + 2 x 2 + 1
( f x
)
( f x
)
( f x
)
3
x 19 f − = 1 ) c = ) i = ) x 2 + 1 x x 2 + 5 + 1 x + − 2 x − 3 x + − x + 2 x + − 8 x − 5
23 x
)
)C .
)C ñối với hệ tọa ñộ IXY . Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của (
x − = − có ñồ thị là ( 1
( f x 4. Cho hàm số + )a Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị ( (cid:1)(cid:1)(cid:2) và viết phương trình của ( OI )b Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị ( có hệ số góc nhỏ nhất .
3
x 2 )C .Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ )C . )C tại ñiểm uốn . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn
23 x
)
( f x
)C .
)C .
)C và tiếp tuyến ( )t (tức là xác ñịnh khoảng trên ñó (
)C nằm
x − =
khi x
< −
1
1 1
.
2
( f x
)
+ có ñồ thị là ( 5.Cho hàm số 4 )a Viết phương trình tiếp tuyến ( )t tại ñiểm uốn I của ñường cong ( )b Xét vị trí tương ñối cuả ñường cong ( phía trên hoặc phía tiếp tuyến ( )t ). 6.
)C của hàm số
khi x
≥ −
1
+ x − x = x + 2
x 2 x = − .
1
)
y
=
( f x tại ñiểm là ñiểm uốn của ñường cong
.
)c Chứng minh rằng
)b Tìm ñạo hàm cuả hàm số )1; 0
( I −
khi x
−
< −
1
1 1
y
= −
+ − 2
)d Từ ñồ thị (
)C suy ra cách vẽ ñồ thị của hàm số
( f x
)
khi x
−
≥ − 1
( f x = −
) x x x 2
x 2
Hướng dẫn :
)a Vẽ ñồ thị (
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt
f
−
−
1
( f x
)
= −
−
f
−
−
1
x
1 2
( f x
)
lim ( ) → − 1
. Hàm số
⇒
= −
)b
x = − và 1
( f x tại ñiểm
)
lim x →− 1
) x
+
− 1
( 1
1 2
( f x
)
= −
+
x
) x ) x
+
( + 1 ( f − 1
1 2
lim ( ) → − 1
( f − 1
)
1 = − . 2
2
khi x
−
< − 1
2
x
−
1
4
khi x
< −
1
3
f
x
f
x
) khi x
= −
⇒
=
)c
'
1
''
(
)
(
)
( 1 2
> − 1
) ( x − 1 khi x 1
khi x
+
> −
1
1 2
= − x
x
f
<
''
< − 1
Dễ thấy
'f
1; 0
( I ⇒ −
)
(
) x liên tục trên ℝ và
là ñiểm uốn của ñồ thị của (
)C .
x
f
>
> −
''
khi x 0 khi x 0
1
( (
) )
7.
khi x
≤ −
1
.
)
( f x
)a Vẽ ñồ thị (
)C của hàm số
2
khi x
x + −
1
)
=
( f x
)
1 = x x > − 1 )C . Viết phương trình của ñường cong I − − là ñiểm uốn của ñường cong ( ( 1; 1 )C suy ra cách vẽ ñồ thị của hà số . y
)b Chứng minh rằng )C tại ñiểm I . Từ ñồ thị ( (
