Hệ phương trình đối xứng

Chia sẻ: Luong Quang Thanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

1.451
lượt xem 263
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về hệ phương trình đối xứng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ phương trình đối xứng

http://kinhhoa.violet.vn CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Phần I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN I. Hệ đối xứng loại (kiểu) I có dạng tổng quát: ì f(x, y) = 0 ï ì f(x, y) = f(y, x) ï ï ï í , trong đó í ï g(x, y) = 0 ï ï g(x, y) = g(y, x) ï î î Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P . iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi–et đảo tìm x, y. Chú ý: i) Cần nhớ: x2 + y2 = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3SP. ii) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv. iii) Có những hệ phương trình trở thành đối xứng loại I sau khi đặt ẩn phụ. ì x2y + xy2 = 30 ï Ví dụ 1. Giải hệ phương trình ï 3 í . ï x + y3 = 35 ï î GIẢI Đặ t S = x + y, = xy , điều kiện S2 ³ 4P . Hệ phương trình trở thành: P ì ï ì SP = 30 ï P = 30 ï ìS=5 ì x+ y= 5 ìx=2 ìx=3 ï ï ï ï ï ï ï í Û í æ S ö Û ï í Û ï í Û ï í Úï í . ï S( - 3P) = 35 ï S 2 ï ç 2 90 ÷ ï SçS - ïP=6 ï ï xy = 6 ï ïy=3 ïy=2 ï ï î ï ç ÷= 35 î î î î ï è ï î S÷ø ì xy( - y) = - 2 ï x Ví dụ 2. Giải hệ phương trình ï 3 í . ï x - y3 = 2 ï î GIẢI Đặt t = - y, = x + t P = xt, điều kiện S ³ 4P. Hệ phương trình trở thành: S , 2 ì ( ï xt x + t = 2 ) ì ï SP = 2 ì ïS=2 ì ïx=1 ì ïx=1 ï í 3 Û ï 3 í Û ï í Û ï í Û ïí . ïx + t =2 ï 3 ï S - 3SP = 2 ï P = 1 ï ï ï t= 1 ï ïy=- 1 ï î î î î î ì ï ï x+ y+ 1+ 1 = 4 ï ï x y Ví dụ 3. Giải hệ phương trình ï í . ï 2 ï x + y2 + 1 + 1 = 4 ï ï ï î x2 y2 http://kinhhoa.violet.vn 1 Trang
GIẢI Điều kiện x ¹ 0,y ¹ 0 . ìæ ïç ö æ 1ö 1÷ ç ï çx + ïç ÷ çy + ÷= 4 + ÷ ïè x÷ ç ø è y÷ ø Hệ phương trình tương đương với: ï í 2 2 ïæ ï çx + 1÷ æ 1÷ ö ö ïç ÷+ ççy + ÷ = 8 ïç ïè x÷ ç ø è y÷ ø î æ 1ö æ 1ö æ 1 öæ 1 ö 2 Đặt S = çx + ÷+ çy + ÷ = çx + ÷ y + ÷S ³ 4P ta có: ç ÷ ç ÷,P ç ÷ç ç ÷, ç è x÷ ç ø è y÷ ø ç è x÷ç øè y÷ ø ìæ ïç 1ö æ 1ö ÷+ çy + ÷= 4 ì ï 1 ï çx + ï ÷ ç ÷ ï x+ =2 ìS=4 ï ìS=4 ï ÷ ç ÷ ï ì ï ï í 2 Û ï í Û ïç ïè íæ xø è yø ï Û í x Û ï x = 1. í ï S - 2P = 8 ï ïP=4 ï ïç ï çx + 1 öæ 1 ö ç ÷ y + ÷= 4 ï ï y+ 1 ïy=1 ï î î ïç ÷ç ÷ ï =2 î ïè ÷ç x øè ÷ yø ï ï y ï î î ì ï x2 + y2 + 2xy = 8 2 1) ( ï Ví dụ 4. Giải hệ phương trình í . ï ï x+ y = 4 ( 2) ï î GIẢI Điều kiện x,y ³ 0 . Đặt t = xy ³ 0 , ta có: xy = t và ( Þ x + y = 16 - 2t. 2 2) Thế vào (1), ta được: t - 32t+ 128 = 8 - t Û t = 4 2 Suy ra: ì xy = 16 ï ìx=4 ï ï í Û ï í . ï x+ y= 8 ï ïy=4 ï î î II. Điều kiện tham số để hệ đối xứng loại (kiểu) I có nghiệm Phương pháp giải chung: i) Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). ii) Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S2 ³ 4P (*). iii) Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P theo m rồi từ điều kiện (*) tìm m. Chú ý: Khi ta đặt ẩn phụ u = u(x), v = v(x) và S = u + v, P = uv thì nhớ tìm chính xác điều kiện u, v. Ví dụ 1 (trích đề thi ĐH khối D – 2004). Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: ì x+ y=1 ï ï í . ï x x + y y = 1 - 3m ï ï î GIẢI htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 2 Trang
Điều kiện x,y ³ 0 ta có: ì x+ y=1 ï ì x+ y=1 ï ï ï í Û í ï x x + y y = 1 - 3m ï ï ( x) + ( y) = 1 - 3m ï 3 3 ï î ï î Đặt S = x + y ³ 0, = xy ³ 0 , S2 ³ 4P. Hệ phương trình trở thành: P ì ïS=1 ì ïS=1 ï í 2 Û ï í . ï S - 3SP = 1 - 3m ï ïP=m ï î î 1 Từ điều kiện S ³ 0,P ³ 0, 2 ³ 4P ta có 0 £ m £ . S 4 ì x + y + xy = m ï Ví dụ 2. Tìm điều kiện m để hệ phương trình ï 2í có nghiệm thực. ï x y + xy2 = 3m - 9 ï î GIẢI ì x + y + xy = m ï ì ( + y)+ xy = m ï x ï í 2 Û ïí . ï x y + xy = 3m - 9 ï 2 ï xy( + y) = 3m - 9 ï x î î ì S+ P = m ï Đặt S = x + y, P = xy, S2 ³ 4P. Hệ phương trình trở thành: ï í . ï SP = 3m - 9 ï î Suy ra S và P là nghiệm của phương trình t - m t+ 3m - 9 = 0 2 ìS=3 ï ìS=m - 3 ï Þ ïí Úï í . ïP=m - 3 ïP=3 ï ï î î é 2 ³ 4( - 3) 3 m 21 Từ điều kiện ta suy ra hệ có nghiệm Û ê êm - 3) ³ 12 Û m £ 4 Ú m ³ 3 + 2 3 . 2 ( ê ë ì x- 4 + y- 1 = 4 ï ï Ví dụ 3. Tìm điều kiện m để hệ phương trình í có nghiệm. ï x + y = 3m ï î GIẢI Đặt u = x - 4 ³ 0,v = y - 1 ³ 0 hệ trở thành: ì u+ v= 4 ì ï u+ v= 4 ï ï ï ï í 2 Û í . ï u + v = 3m - 5 ï 2 ï uv = 21 - 3m ï î ï î 2 21 - 3m Suy ra u, v là nghiệm (không âm) của t - 4t+ 2 = 0 (*). 2 Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm ì D/ ³ 0 ï ì 3m - 13 ï ï ï ³ 0 Û íïS³ 0 Û ï ï ï í 2 Û 13 £ m £ 7. ï ïP³ 0 ï 21 - 3m ï 3 ï ï ³ 0 ï î ï î 2 ì x2 + y2 + 4x + 4y = 10 ï Ví dụ 4. Tìm điều kiện m để hệ phương trình ï í có nghiệm thực. ï xy( + 4) y + 4) = m ï x ( î htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 3 Trang
GIẢI ì x + y + 4x + 4y = 10 ï 2 2 ì ( 2 + 4x)+ ( 2 + 4y) = 10 ï x y ï í Û ï 2 í . ï xy( + 4) y + 4) = m ï x ( ï ( + 4x) y + 4y) = m ï x ( 2 î î Đặt u = ( + 2) ³ x 2 0,v = ( + 2) ³ 0 . Hệ phương trình trở thành: y 2 ì ï u + v = 10 ì S = 10 ï ï í Û ï í (S = u + v, P = uv). ï ï uv - 4( + v) = m - 16 u ï P = m + 24 ï î î ì S2 ³ 4P ï ï ï Điều kiện ï S ³ 0 Û - 24 £ m £ 1 . í ï ïP³ 0 ï ï î BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau ì x + y + xy = 5 ï ìx=1 ìx=2 ï ï 1. ï í 2 . Đáp số: ï í Úï í . ï x + y + xy = 7 ï 2 ïy=2 ïy=1 ï ï î î î ì ï x2 + xy + y2 = 3 ìx=- 1 ìx= 3 ï ï ï ìx=- 3 ï ï 2. ï í . Đáp số: ï í Úí Úí . ï 2x + xy + 2y = - 3 ï ïy=- 1 ïy=- 3 ïy= 3 ï ï ï î î ï î ï î ì x + y + 2xy = 2 ï ìx=2 ìx=0 ï ï 3. ï í 3 . Đáp số: ï í Úï í . ïx + y =8 ï 3 ïy=0 ïy=2 ï ï î î î ì x3 - y3 = 7 ï ìx=- 1 ìx=2 ï ï 4. ï í . Đáp số: ï í Úï í . ï xy( - y) = 2 ï x ïy=- 2 ïy=1 ï ï î î î ì ï 1 - 37 ì ï ì - y + 2xy = 5 ìx=2 ìx=- 1 ïx= ï ï x = 1 + 37 ï ï x ï ï ï ï ï 5. í 2 . Đáp số: ï í Úï í Úí 4 Úí 4 . ï x + y + xy = 7 ï 2 ïy=1 ïy=- 2 ï ï ï ïy= - 1 - 37 ï ïy= - 1 + 37 î î î ï ï ï ï î 4 ï ï î 4 ì ï ï ( + y) 1 + 1 ) = 5 ï x ( ï ï xy 6. í . Đáp số: ï 2 ï ( + y2) 1 + 1 ) = 49 ï x ï ( ï î x2y2 ì ï ì ì ìx=- 1 ï x = 7- 3 5 ï x = 7+ 3 5 ï x = - 1 ï ï ï ï ï ï ï í 2 Úí 2 Úí Úï í . ï ïy=- 1 ï ïy=- 1 ï y = 7- 3 5 ï y = 7+ 3 5 ï ï ï î ï î ï î 2 ï î 2 ì ï x y + y x = 30 ìx=4 ìx=9 ï ï ï 7. í . Đáp số: ï í Úï í . ï x x + y y = 35 ï ïy=9 ïy=4 ï ï ï î î î htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 4 Trang
ì x ï y 7 ï ï +1 ìx=4 ìx=9 ï ï ï y+ x = 8. í (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số: ï í Úï í . xy ï ï x xy + y xy = 78 ïy=9 ïy=4 ï ï ï î î ï î ì 2( + y) = 3 3 x2y + 3 xy2 ï x ( ) ì x = 8 ì x = 64 ï ï ï 9. í 3 . Đáp số: ïí Úï í . ï x+ 3y=6 ï ï y = 64 ï y = 8 ï ï ï î î î ì x + y + z2 = 8 ï 2 2 8 8 10. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình ï í . Chứng minh - £ x,y,z £ . ï xy + yz + zx = 4 ï 3 3 î HƯỚNG DẪN GIẢI ì x2 + y2 = 8 - z2 ï ì ( + y) - 2xy = 8 - z2 ï x 2 Hệ phương trình Û í ï Û í ï ï xy + z x + y) = 4 ï ( ï xy + z x + y) = 4 ï ( î î ì ( + y) - 2[ - z x + y) = 8 - z2 ï x 2 4 ( ] ì ( + y) + 2z x + y)+ ( 2 - 16) = 0 ï x 2 ( z Û í ï Û íï ï xy + z x + y) = 4 ï ( ï xy + z x + y) = 4 ï ( î î ì x + y = 4- z ì x + y = - 4- z ï ï Û ï í Úï í . ï xy = ( - 2) ï z 2 ï xy = ( + 2) ï z 2 î î Do x, y, z là nghiệm của hệ nên: é4 - z) ³ 4( - 2) ( 2 z 2 8 8 ( + y) ³ 4xy Û ê x 2 ê- 4 - z) ³ 4( + 2) Û - 3 £ z £ 3 . 2 2 ê( z ë 8 8 Đổi vai trò x, y, z ta được - £ x,y,z £ . 3 3 ìæ ö æ ö ì ï ï 1 x ïx=1 y ïç ÷+ ç1÷ = 1 ïç ÷ ç ÷ ï ï 11. ï ç16 ÷ ç16 ÷ 2 . Đáp số: í íè ø è ø 2. ï ï x+ y=1 ï ïy= 1 ï ï î ï ï î 2 ì 2sin p(x+ y) = 1 ï 12. ï í ï 2( 2 + y2) = 1 ï x î HƯỚNG DẪN GIẢI Cách 1: ì 2sin p(x+ y) = 1 ï ì s n p( + y) = 0 ï i x ì x + y Î Z ( ï 1) ï í Û ï í Û ï í ï 2( + y ) = 1 ï x 2 2 ï 2( + y ) = 1 ï x 2 2 ï 2( + y ) = 1 2) ï x 2 2 ( î î î ì 2 1 ï ì ï ïx £ ï- 2£ x£ 2 ï 1 ï ( Û x2 + y2 = Þ ï 2) í 2Þ ï í 2 2 Þ - 2 £ x + y £ 2. 2 ï 2 1 ïy £ ï ï- 2£ y£ 2 ï ï ï ï î 2 ï î 2 2 é + y=0 x ( Þ ê 1) ê thế vào (2) để giải. ê + y = ±1 ë x Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy. Hệ trở thành: htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 5 Trang
ì 2sinSp = 1 ì ï ï í Û ïSÎ Z ï í . ï 2( 2 - 2P) = 1 ï S ï 4P = 2S2 - 1 ï î î Từ điều kiện S ³ 4P ta suy ra kết quả tương tự. 2 ì ï ì ì ì ïx=1 ï ï ï ï x=- 1 ï ïx=1 ï ï ïx=- 1 ï ï 2Úï 2Úï 2 Úï 2. Hệ có 4 nghiệm phân biệt í í í í ï ïy= 1 ï ï 1 ï ïy=- 1 ï ïy= 1 ï ï y=- ï ï ï î 2 ï î 2 ï î 2 ï î 2 Tìm điều kiện của m để các hệ phương trình thỏa yêu cầu ì x2 + xy + y2 = m + 6 ï 1. Tìm m để hệ phương trình ï í có nghiệm thực duy nhất. ï 2x + xy + 2y = m ï î HƯỚNG DẪN GIẢI Hệ có nghiệm duy nhất suy ra x = y, hệ trở thành: ì 3x2 = m + 6 ï ì 3x2 - 6 = m ï é =- 3 m ï í 2 Û ï 2 í Þ ê ï x + 4x = m ï x + 4x = 3x2 - 6 ê = 21 . m ï î ï î ê ë ì x2 + xy + y2 = 3 ï ì ( + y) - xy = 3 ï x 2 + m = – 3: íï Û íï ï 2( + y)+ xy = - 3 ï x ï 2( + y)+ xy = - 3 ï x î î ì x+ y = 0 ì x+ y = - 2 ï ï ìx= 3 ï ìx=- 3 ìx=- 1 ï ï ï ï Û ïí Úï í Û í Úí Úï í (loại). ï xy = - 3 ï xy = 1 ï ï ïy=- 1 ï î ï î ïy=- 3 ïy= 3 ï î ï î ï î ì x2 + xy + y2 = 27 ï ì ( + y) - xy = 27 ï x 2 ï + m = 21: í Û íï ï 2x + xy + 2y = 21 ï ï 2( + y)+ xy = 21 ï x î î ì x+ y = - 8 ì x+ y = 6 ï ï ìx=3 ï Û ïí Úï í Û ï í (nhận). ï xy = 37 ï ï xy = 9 ï ïy=3 ï î î î Vậy m = 21. ì x + xy + y = m + 1 ï 2. Tìm m để hệ phương trình: ï 2 í có nghiệm thực x > 0, y > 0. ï x y + xy2 = m ï î HƯỚNG DẪN GIẢI ì x + xy + y = m + 1 ï ì ( + y)+ xy = m + 1 ï x ì x+ y = 1 ì x+ y = m ï ï ï í 2 Û ï í Û ï í Úïí . ï x y + xy = m ï 2 ï xy( + y) = m ï x ï xy = m ï ï xy = 1 ï î î î î ìm > 0 ï 1 Hệ có nghiệm thực dương Û ï í Û 0 < m £ Ú m ³ 2. ï 1 ³ 4m Ú m ³ 4 ï 2 4 î 1 Vậy 0 < m £ Ú m ³ 2. 4 ì x+ y=m ï ï 3. Tìm m để hệ phương trình í có nghiệm thực. ï x + y - xy = m ï ï î HƯỚNG DẪN GIẢI htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 6 Trang
ì x+ y=m ì ï ì x+ y=m ï ï ï ï x+ y=m ï í Û ï í Û ïí 2 . ï xy = m - m 2 ï x + y - xy = m ï ï ï ( ) x + y - 3 xy = m ï ï î ï î ï ï î 3 2 m - m Suy ra x, y là nghiệm (không âm) của phương trình t - m t+ 2 = 0 (*). 3 ì D/ ³ 0 ï ì m 2 - 4m £ 0 ï ï ï é =0 Hệ có nghiệm Û (*) có 2 nghiệm không âm Û í ïS³ 0 Û ïm ³ 0 ï ï í Û ê m ï ï 2 ê £ m £ 4. 1 ïP³ 0 ï ïm - m ³ 0 ï ê ë ï î ï î Vậy m = 0 Ú 1 £ m £ 4 . ì x2 + y2 = 2( + m ) ï 1 4. Tìm m để hệ phương trình ï í có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. ï ( + y) = 4 ï x 2 î HƯỚNG DẪN GIẢI ì x + y = 2( + m ) ì ( + y) - 2xy = 2( + m ) ì xy = 1 - m ì xy = 1 - m ï 2 2 1 ï x 2 1 ï ï ï í Û í ï Û ïí Úïí . ï ( + y) = 4 ï x 2 ï ( + y) = 4 ï x 2 ï x+ y= 2 ï ï x+ y = - 2 ï î î î î 2 Hệ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt khi ( ±2) = 4( - m ) Û m = 0 . 1 ì x + y = 2m - 1 ï 5. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình ï 2 í . Tìm m để P = xy nhỏ nhất. ï x + y2 = m 2 + 2m - 3 ï î HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt S = x + y, = xy , điều kiện S2 ³ 4P. P ì x + y = 2m - 1 ï ì S = 2m - 1 ï ï í 2 Û ï 2 í ï x + y = m + 2m - 3 ï 2 2 ï S - 2P = m 2 + 2m - 3 ï î î ì S = 2m - 1 ì S = 2m - 1 ï ï ï ï ï Û í Û í ï ( - 1) - 2P = m 2 + 2m - 3 ï 2m 2 ï P = 3 m 2 - 3m + 2 ï î ï î 2 4- 2 4+ 2 Từ điều kiện suy ra ( - 1) ³ 6m 2 - 12m + 8 Û 2m 2 £ m £ . 2 2 3 4- 2 4+ 2 Xét hàm số f m ) = m 2 - 3m + 2, ( £ m £ . 2 2 2 æ - 2 ö 11 - 6 2 é - 2 4 + 2ù ç4 ÷= ," m Î ê 4 ú Ta có m i f m ) = fç n ( ç 2 ÷ ÷ ê 2 ; 2 ú ç è ÷ ø 4 ê ú ë û 11 - 6 2 4- 2 Vậy m i P = n Û m = . 4 2 http://kinhhoa.violet.vn CHUYÊN ĐỀ Phần II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 7 Trang
ì f x,y)= 0 ï ( 1. Dạng 1: ï í (đổi vị trí x và y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình ï f y,x)= 0 ï ( î kia) Phương pháp giải chung Cách giải 1 Trừ hai phương trình cho nhau, đưa về phương trình tích, giải x theo y (hay ngược lại) rồi thế vào một trong hai phương trình của hệ. ì x3 + 2x = y 1) ï ( ï Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í 3 . ï y + 2y = x 2) ï ( ï î Giải Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: x3 - y3 + 3x - 3y = 0 Û ( - y) x2 + y2 + xy + 3) = 0 x ( éæ yö 2 ù 3y2 Û ( - y)ê x + ÷ + x ê ç ç ÷ ÷ + 3ú= 0 Û y = x ú êç è 2ø 4 ú ë û Thế y = x vào (1) hoặc (2) ta được: x3 + x = 0 Û x = 0 ìx=0 ï Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ï í . ïy=0 ï î ì ï 2x + 3 + 4 - y = 4 ( 1) ï Ví dụ 2. Giải hệ phương trình í ï ï 2y + 3 + 4 - x = 4 ( 2) ï î Giải ì 3 ï ï- £ x£ 4 ï ï Điều kiện: í 2 . ï 3 ï- £ x£ 4 ï ï 2 î Trừ (1) và (2) ta được: ( + 3)- ( + 3) 2x 2y ( - y)- ( - x) 4 4 ( 2x + 3 - ) ( 2y + 3 + 4- y - ) 4- x = 0 Û 2x + 3 + 2y + 3 + 4- y + 4- x =0 æ 2 1 ö Û ( - y)ç x ç ç 2x + 3 + 2y + 3 + 4 - y + ÷= 0 Û x = y ÷ ÷ . è ÷ 4- xø Thay x = y vào (1), ta được: 2x + 3 + 4 - x = 4 Û x + 7 + 2 ( + 3) 4 - x) = 16 2x ( ì 9- x ³ 0 ï 11 Û 2 - 2x2 + 5x + 12 = 9 - x Û ï 2 í Û x = 3Ú x = (nhận). ï 9x - 38x + 33 = 0 ï 9 î htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 8 Trang
ì ï 11 ìx=3 ïx= ï ï Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt ï í Úï í 9. ïy=3 ï ï ï 11 î ïy= ï î 9 Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Cộng và trừ lần lượt hai phương trình đưa về hệ phương trình mới tương đương gồm hai phương trình tích (thông thường tương đương với 4 hệ phương trình mới). ì x3 = 2x + y 1) ï ( ï Ví dụ 3. Giải hệ phương trình í 3 ï y = 2y + x 2) ï ( ï î Giải Trừ và cộng (1) với (2), ta được: ì x3 = 2x + y ï ì ( - y) x2 + xy + y2 - 1) = 0 ï x ( ï Û ï í 3 í ï y = 2y + x ï ï ( + y) x2 - xy + y2 - 3) = 0 ï x ( ï î ï î ì x- y = 0 ì x- y = 0 ï ï ì x+ y = 0 ï ì x2 + xy + y2 = 1 ï Û ïí Úï 2 í Úï 2 í Úï 2 í ï x + y = 0 ï x - xy + y2 = 3 ï x + xy + y2 = 1 ï x - xy + y2 = 3 ï ï ï ï î î î ï î ì x- y = 0 ï ìx=0 ï +ïí Û ïí ï x+ y= 0 ï ïx=0 ï î î ì x- y = 0 ï ìy=x ï ìx= 3 ìx=- 3 ï ï ï ï ï +í 2 Û ï 2 í Û í Úí ï x - xy + y2 = 3 ï ïx =3 ï ïy= 3 ïy=- 3 ï ï î î ï î ï î ì x+ y= 0 ï ìy=- x ï ìx=- 1 ìx=1 ï ï ï Û ï 2 Û íï Úíï +í 2 í ï x + xy + y = 1 ï 2 ïx =1 ï ïy=1 ï ïy=- 1 ï î î î î ì x2 + xy + y2 = 1 ï ì ï xy = - 1 ì ï xy = - 1 ì ïx=1 ìx=- 1 ï ï Û ï 2 Û ï Û ï Úï +í 2 í í í í ï x - xy + y2 = 3 ï ï x + y2 = 2 ï ï x+ y = 0 ï ïy=- 1 ïy=1 ï ï ï î î î î î Vậy hệ phương trình có 5 nghiệm phân biệt: ìx=0 ìx=- 1 ìx=1 ï ï ï ìx= 3 ìx=- 3 ï ï ï ï ï í Úïí Úïí Úí Úí . ïx=0 ïy=1 ï ï ïy=- 1 ïy= 3 ïy=- 3 ï ï ï î î î ï î ï î Cách 3. Sử dụng hàm số đơn điệu để suy ra x = y ì ï 2x + 3 + 4 - y = 4 ( 1) ï Ví dụ 4. Giải hệ phương trình í ï ï 2y + 3 + 4 - x = 4 ( 2) ï î Giải ì 3 ï ï- £ x£ 4 ï ï Điều kiện: í 2 . ï 3 ï- £ x£ 4 ï ï 2 î Trừ (1) và (2) ta được: http://kinhhoa.violet.vn 9 Trang
2x + 3 - 4- x = 4 - y (3) 2y + 3 - é 3 ù Xét hàm số f t = 2t+ 3 - 4 - t t Î ê ; ú ta có: () , - 4, ê 2 ú ë û 1 1 æ3 ÷ ö / f( = x) + > 0, t Î ç- ; ÷ ( Û f x) = f y) Û x = y . " ç 4 Þ 3) ( ( 2t+ 3 2 4 - t ç 2 ÷ è ø Thay x = y vào (1), ta được: 2x + 3 + 4 - x = 4 Û x + 7 + 2 ( + 3) 4 - x) = 16 2x ( 11 Û 2 - 2x2 + 5x + 12 = 9 - x Û x = 3 Ú x = (nhận). 9 ì ï 11 ìx=3 ïx= ï ï Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt ï í Úï í 9. ïy=3 ï ï ï 11 î ïy= ï î 9 ì x3 + 2x = y ï ï Ví dụ 5. Giải hệ phương trình í 3 . ï y + 2y = x ï ï î Giải 3 / 2 Xét hàm số f t = t + 2t Þ f ( ) = 3t + 2 > 0, t Î ¡ . () t " ì ( ï f x) = y ( 1) Hệ phương trình trở thành ï í . ï f y) = x ( ï ( 2) î + Nếu x > y Þ f x) > f y) Þ y > x (do (1) và (2) dẫn đến mâu thuẩn). ( ( + Nếu x < y Þ f x) < f y) Þ y < x (mâu thuẩn). ( ( Suy ra x = y, thế vào hệ ta được x3 + x = 0 Û x = 0. ìx=0 ï Vậy hệ có nghiệm duy nhất ï í . ïy=0 ï î Chú ý: Khi gặp hệ phương trình đối xứng loại II dạng 1, ta nên giải cách 1. Nếu giải không được mới nghĩ đến cách 2 và 3, nếu vẫn không giải được thì quay trở về đề bài và tìm điều kiện chính xác rồi giải lại cách 1! ì ï 2 ï 3x = x + 2 ï ï y2 Ví dụ 6 (trích đề thi ĐH khối B – 2003). Giải hệ phương trình: ï í ï 2 ï 3y = y + 2 ï ï ï î x2 Giải ìx> 0 ï Nhận xét từ hệ phương trình ta có ï í . Biến đổi: ï y> 0 ï î http://kinhhoa.violet.vn 10 Trang
ì ï 2 ï 3x = x + 2 ï ï ì ï 2 2 ï í y2 Û ï 3xy = x + 2 ( í 1) ï 2 ï 2 2 ï 3yx = y + 2 ( ï 3y = y + 2 ï 2) ï î ï ï î x2 Trừ (1) và (2) ta được: ( - y) 3xy + x + y) = 0 Û x = y 3xy + x + y > 0) x ( ( . Với x = y :( Û 3x3 - x2 - 2 = 0 Û ( - 1) 3x2 + 2x + 2) = 0 Û x = 1. 1) x ( ìx=1 ï Vậy hệ có 1 nghiệm ï í . ïy=1 ï î ì f x,y)= 0 ï ( 2. Dạng 2: ï í , trong đó chỉ có 1 phương trình đối xứng ï g( ï x,y)= 0 î Phương pháp giải chung Cách giải 1 Đưa phương trình đối xứng về dạng tích, giải y theo x rồi thế vào phương trình còn lại. ì ï ï x - 1 = y - 1 ( ï 1) Ví dụ 1. Giải hệ phương trình í x y . ï 2 ï 2x - xy - 1 = 0 ( ï ï 2) î Giải Điều kiện: x ¹ 0, ¹ 0 . Ta có: y æ 1ö÷= 0 Û y = x Ú y = - 1 . ( Û ( - y)ç1 + 1) x ç ÷ ç è xy ÷ ø x + Với y = x: ( Û x2 - 1 = 0 Û x = ±1. 2) 1 + Với y = - : (2) vô nghiệm. x ìx=1 ìx=- 1 ï ï Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt ï í Úï í . ïy=1 ïy=- 1 ï ï î î Cách giải 2 (nên dùng khi cách 1 không giải được) Đưa phương trình đối xứng về dạng f x) = f y) Û x = y với hàm f đơn điệu. ( ( ì x - y = cosx - cosy ( ï 1) ï Ví dụ 2. Giải hệ phương trình í 2 . ï x y - 3y - 18 = 0 ( ï 2) î Giải Tách biến phương trình (1), ta được: ( Û x - cosx = y - cosy (3). 1) / Xét hàm số f t = t- cost Þ f ( ) = 1 + s n t > 0, t Î ¡ . () t i " Suy ra ( Û f x) = f y) Û x = y . 3) ( ( Thay x = y vào (2), ta được: htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 11 Trang
x3 - 3x - 18 = 0 Û ( - 3) x2 + 3x + 6) = 0 Û x = 3. x ( ìx=3 ï Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ï í . ïy=3 ï î Chú ý: ì ï ï x - 1 = y - 1 ( ï 1) Cách giải sau đây sai: í x y . ï 2 ï 2x - xy - 1 = 0 ( ï ï 2) î Giải Điều kiện: x ¹ 0, ¹ 0 . y 1 / 1 Xét hàm số f t = t- , Î ¡ \{0} Þ f ( ) = 1 + 2 > 0, t Î ¡ \ {0}. () t t " t t Suy ra ( Û f x) = f y) Û x = y ! 1) ( ( Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên 2 khoảng rời nhau (cụ thể f(–1) = f(1) = 0). BÀI TẬP Giải các hệ phương trình sau ì x2 - 3y + 2 = 0 ï ì ïx=1 ìx=2 ï ï 1) í 2 . Đáp số: ï í Úï í . ï y - 3x + 2 = 0 ï ïy=1 ïy=2 ï ï ï î î î ì ï 3 ì x2 + xy = x + 2y ï ï ìx=0 ïx= ï ï 2) í 2 . Đáp số: ï í Úïí 2. ï y + xy = y + 2x ï ïy=0 ï ï ïy= 3 ï î î ï ï î 2 ì x + 1+ y- 7 = 4 ï ìx=8 ï ï 3) í . Đáp số: ï í . ï y+ 1+ x- 7 = 4 ï ïy=8 ï ï î î ì x + 1+ y- 2 = 3 ï ìx=3 ï ï 4) í . Đáp số: ï í . ï y+ 1+ x- 2 = 3 ï ïy=3 ï ï î î ì x + 3 + 2- y = 3 ï ìx=1 ìx=- 2 ï ï ï 5) í . Đáp số: ï í Úï í . ï y + 3 + 2- x = 3 ï ïy=1 ïy=- 2 ï ï ï î î î ì x3 = x + 2y ï ï ìx=0 ìx= 3 ìx=- ï ï ï 3 6) í 3 . Đáp số: ï í Úï í Úï í . ï y = y + 2x ï ïy=0 ïy= 3 ïy=- ï ï ï 3 ï î î ï î ï î ì ï ì 2 ï 2x + y = 3 ï ï ï 2x = y+ 1 ï 2 ìx=1 ï ï ìx=1 ï ï 7) í x . Đáp số: ï í . 8) ï í y . Đáp số: ï í . ï ï 2y + x = 3 ïy=1 ï ï 2 ï 2y 1 ïy=1 ï ï î ï = x+ î ï ï î y2 ï ï î x ì x2y - 4 = y2 ï ìx=2 ï ï 9) í 2 . Đáp số: ïí . ï xy - 4 = x2 ï ïy=2 ï ï î î http://kinhhoa.violet.vn 12 Trang
ì x3 - x2 + x + 1 = 2y ï ìx=1 ìx=- 1 ï ï ï 10) í 3 . Đáp số: ï í Úïí . ï y - y2 + y + 1 = 2x ï ïy=1 ïy=- 1 ï ï ï î î î ì ï ï x - 1 = y - 1 ( ï 1) 11) (trích đề thi ĐH khối A – 2003) í x y . ï ï 2y = x3 + 1 ( ï ï î 2) Hướng dẫn giải Điều kiện: x ¹ 0, ¹ 0. y x- y æ 1ö÷= 0 Û x = y Ú y = - 1 . ( Û x- y+ 1) = 0 Û ( - y)ç1 + x ç ÷ xy ç è xy ÷ ø x - 1± 5 + Với x = y : (2) Û x = 1 Ú x = . 2 1 + Với y = - :( Û x4 + x + 2 = 0. 2) x - 1 Xét hàm số f x) = x4 + x + 2 Þ f ( = 4x3 + 1 = 0 Û x = ( / x) 3 . 4 æ 1ö - 3 fç ÷= 2 - ç3 ÷ ÷ > 0, lm = + ¥ Þ f x) > 0, x Î ¡ Þ x4 + x + 2 = 0 vô nghiệm. i ( " ç 4ø è 43 4 x® ±¥ Cách khác: + Với x < 1 Þ x + 2 > 0 Þ x4 + x + 2 > 0 . + Với x ³ 1 Þ x4 ³ x ³ - x Þ x4 + x + 2 > 0 . Suy ra (2) vô nghiệm. ì ï - 1+ 5 ì ï ìx=1 ïx=ï ï x = - 1- 5 ï ï ï ï Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt ïí Úí 2 Úí 2 . ïy=1 ï ï ïy= - 1+ 5 ï ïy= - 1- 5 î ï ï ï ï î 2 ï ï î 2 ì x = s n y 1) ï i ( 12) ï í ï y = s n x 2) ï i ( î Hướng dẫn giải Trừ (1) và (2) ta được: x - y = s n y - s n x Û x + s n x = y + s n y 3) i i i i ( . / Xét hàm số f t = t+ s n t Þ f ( ) = 1 + cost ³ 0, t Î ¡ . () i t " ( Û f x) = f y) Û x = y Þ ( Û x - s n x = 0 ( . 3) ( ( 1) i 4) Xét hàm số g( = x - s n x Þ g/( = 1 - cosx ³ 0, x Î ¡ Þ (4) có không quá 1 nghiệm. x) i x) " ì ïx=0 Do g( = 0 Þ ( Û x = 0.Vậy hệ có 1 nghiệm ï 0) 4) í . ïy=0 ï î htt p:/ / ki nhhoa. vi ol et. vn 13 Trang
http://kinhhoa.violet.vn Phần III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN 3.1 Dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đối xứng không giải được theo cách giải “quen thuộc” về hệ phương trình đối xứng giải được theo cách giải “quen thuộc”  x y + y x = 30  Ví dụ 1. Giải hệ phương trình   x x + y y = 35  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”. • Dùng ẩn phụ u = x và v = y đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”. • Nghiệm của hệ phương trình là (4;9), (9; 4). x + 4 y −1 = 1  Ví dụ 2. Giải hệ phương trình   y + 4 x −1 = 1  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”. • Dùng ẩn phụ u = 4 x − 1 và v = 4 y − 1 đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”. • Nghiệm của hệ phương trình là (1;1).  x = y2 − y  Ví dụ 3. Giải hệ phương trình  y =x − x 2  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại hai đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”. • Dùng ẩn phụ u = x và v = y đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”. http://kinhhoa.violet.vn 14 Trang
• Nghiệm của hệ phương trình là (0;0), (2; 2), (2; −2), ( −2; 2), (−2; −2). 2 x 2 + 2 y 2 = 5  Ví dụ 4. Giải hệ phương trình   x− y + x+ y + x − y =5 2 2  • Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và không giải được theo cách giải “quen thuộc”. • Dùng ẩn phụ u = x + y và v = x − y đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách giải “quen thuộc”. 1 3 3 1 1 3 3 1 3 1 3 1 1 3 • Nghiệm của hệ phương trình là ( ; ), ( ; ), (− ; − ), ( − ; − ), ( ; − ), (− ; ), ( ; − ), 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 (− ; ). 2 2  1 1 x + y + x + y = 4  Ví dụ 5. Giải hệ phương trình   x2 + y2 + 1 + 1 = 4   x2 y 2 • Đây là hệ phương trình đối xứng loại một đối với hai ẩn x và y và nếu giải theo cách giải “quen thuộc” thì dẫn đến hệ phương trình rất phức tạp. 1 1 • Dùng ẩn phụ u = x + và v = y + đưa hệ phương trình về hệ phương trình giải được theo cách x y giải “quen thuộc”. • Nghiệm của hệ phương trình là (1;1). Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình đối xứng ta không thể giải được theo cách giải “quen thuộc” và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc”, khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết. Các ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho hai trường hợp như thế.  7 + x + 11 − y = 6  Ví dụ 6. Giải hệ phương trình   7 + y + 11 − x = 6  Giải. Điều kiện x, y ∈ [ −7;11] Cộng vế theo vế ta có ( 7 + x + 11 − x ) + ( 7 + y + 11 − y ) = 12 (*) http://kinhhoa.violet.vn 15 Trang
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có ( 7 + x + 11 − x ) ≤ 6 và ( 7 + y + 11 − y ) ≤ 6 nên  7 + x = 11 − x  ( 7 + x + 11 − x ) + ( 7 + y + 11 − y ) ≤ 12 . Do đó (*) ⇔  ⇔ x = y = 2.  7 + y = 11 − y  Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 2).  x + 2− y = 2  Ví dụ 7. Giải hệ phương trình   y + 2− x = 2  Bài toán này không thể giải quyết được theo phương pháp đánh giá như trên. Giải. Điều kiện x, y ∈ [ 0; 2] Trừ từng vế hai phương trình cho nhau ta được : x − y + 2− y − 2− x = 0 ⇔ x − 2− x = y − 2 − y ⇔ f ( x) = f ( y ) trong đó f (t ) = t − 2 − t với 0 ≤ t ≤ 2. Dễ thấy f (t ) là hàm đồng biến trên khoảng (0; 2). Vì thế f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y. Thay x = y vào phương trình x + 2 − y = 2 ta được x + 2 − x = 2 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;0) và (2; 2). 3.2. Dùng ẩn phụ để đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng Ví dụ 8. Giải phương trình 4 6− x + 4 x−2 = 2 • Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi tương đương. • Dùng ẩn phụ u = 4 6 − x và v = 4 x − 2 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại một với cách giải “quen thuộc”. • Nghiệm của phương trình là x = 2 và x = 6. • Dạng tổng quát của bài toán này là n a + f ( x) + n b − f ( x ) = c. Ví dụ 9. Giải phương trình x 3 + 1 = 2 3 2 x − 1 • Phương trình này không thể giải quyết được bằng phép biến đổi trực tiếp. • Dùng ẩn phụ u = 3 2 x − 1 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”. http://kinhhoa.violet.vn 16 Trang
−1 ± 5 • Nghiệm của phương trình là x = và x = 1. 2 • Dạng tổng quát của bài toán này là x n + b = a n ax − b . Ví dụ 10. Giải phương trình 9 + 9 + x = x • Nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến phương trình bậc bốn phức tạp. • Dùng ẩn phụ u = 9 + x đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”. 19 + 37 • Nghiệm của phương trình là x = . 2 • Dạng tổng quát của bài toán này là x = a + a + x . Ví dụ 11. Giải phương trình 3 x − 9 = ( x − 3)3 + 6 • Nếu dùng phép biến đổi tương đương sẽ dẫn đến phương trình rất phức tạp. • Dùng ẩn phụ u − 3 = 3 x − 9 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai với cách giải “quen thuộc”. • Nghiệm của phương trình là x = 1. • Dạng tổng quát của bài toán này là n ax + b = c( dx + e) n + α x + β trong đó d = ac + α và e = bc + β . Ta sử dụng ẩn phụ du + e = n ax + b . Ví dụ 12. Giải phương trình 7 = 2 log 7 (6 x + 1) + 1 x 3 • Bài toán này rất khó giải nếu không dùng ẩn phụ. • Dùng ẩn phụ u = log 7 (6 x + 1) đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. • Nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 1. α x+β • Dạng tổng quát của bài toán này là a 1 1 = p log a (α 2 x + β 2 ) + qx + r. Ví dụ 13. Giải phương trình 1 − 2(1 − 2 x 2 ) 2 = x • Dùng ẩn phụ u = 1 − 2 x 2 đưa phương trình về hệ phương trình đối xứng loại hai. 1± 5 1 • Nghiệm của phương trình là x = , x= và x = −1. 4 2 Dạng tổng quát của bài toán này là a − b(a − bx ) = x. 2 2 • http://kinhhoa.violet.vn 17 Trang
http://kinhhoa.violet.vn Phần IV. BÀI TẬP BỔ SUNG x − xy + 2000 y = 0  3 2 1)   y 3 − yx 2 − 500 x = 0  12 x 2 − 48x + 64 = y 3   2 3 2) 12 y − 48 y + 64 = z  2 3 12z − 48z + 64 = x  x 19 + y 5 = 1890 z + z 2001  19  5 2001 3)  y + z = 1890 x + x  19 5 2001 z + x = 1890 y + y  2 x + 1 = y 3 + y 2 + y   3 2 4) 2 y + 1 = z + z + z  3 2 2 z + 1 = x + x + x  x 5 − x 4 + 2 x 2 y = 2   5 4 2 5)  y − y + 2 y z = 2 Tìm nghiệm dương của phương trình  5 4 2 z − z + 2 z x = 2   y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0  3  2 6) x − 6z + 12 z − 8 = 0  3 2 z − 6 y + 12 y − 8 = 0  7) Tìm m để hệ phương trình sau có đúng 2 nghiệm. ( x + y ) = 256  8  8 x + y 8 = m + 2  ( ) x 2 ( x + 1) = 2 y 3 − x + 1   2 ( ) 8)  y ( y + 1) = 2 z − y + 1 3  2 ( ) z ( z + 1) = 2 x − z + 1  3 http://kinhhoa.violet.vn 18 Trang
x 3 + y = 2  9)  y 3 + x = 2  x 6 k +3 + y = 2  Tổng quát:  ( k ∈ N)  y 6 k +3 + x = 2  ( ) 10) 2 x 2 − 3x + 2 = 3 x 3 + 8  y 3 − 9x 2 + 27 x − 27 = 0   3 2 11) z − 9 y + 27 y − 27 = 0  3 2 x − 9z + 27 z − 27 = 0   y 30 2 + 4 y = 2004  x  z 12) 30 2 + 4z = 2004  y  x 30 2 + 4x = 2004  z  y 3 − 6x 2 + 12 x − 8 = 0   3 2 13 z − 6 y + 12 y − 8 = 0  3 2 x − 6z + 12z − 8 = 0  2 x + x 2 y = y   2 14) 2 y + y z = z  2 2 z + z x = x   x 2 + 21 = y − 1 + y 2  15   y 2 + 21 = x − 1 + x 2   x + 30.4 + y − 2001 = 2121  16)   x − 2001 + y + 30.4 = 2121  http://kinhhoa.violet.vn 19 Trang