Hệ thức Viet và ứng dụng trong toán

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

905
lượt xem 182
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Hệ thức Viet và ứng dụng trong toán " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp giải hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ thức Viet và ứng dụng trong toán

CHUYÊN ð : NG D NG H TH C VIET TRONG GI I TOÁN A. M ð U Trong m t vài năm tr l i ñây thì trong các ñ thi vào l p 10 trung h c ph thông , các bài toán v phương trình b c hai có s d ng t i h th c Vi- Et xu t hi n khá ph bi n . Trong khi ñó n i dung và th i lư ng v ph n này trong sách giáo khoa l i r t ít, lư ng bài t p chưa ña d ng . Ta cũng th y ñ gi i ñư c các bài toán có liên qua ñ n h th c Vi – Et, h c sinh c n tích h p nhi u ki n th c v ñ i s , thông qua ñó h c sinh có cách nhìn t ng quát hơn v hai nghi m c a phương trình b c hai v i các h s . V y nên nhóm toán chúng tôi xây d ng chuyên ñ này ngoài m c ñích giúp h c sinh nâng cao ki n th c còn giúp các em làm quen v i m t s d ng toán có trong ñ thi vào l p 10 trung h c ph thông N i dung chính c a chuyên ñ g m : I. ng d ng 1 Nh m nghi m c a phương trình b c hai m t n II. ng d ng 2 L p phương trình b c hai III. ng d ng 3 Tìm hai s bi t t ng và tích c a chúng IV. ng d ng 4 Tính giá tr c a bi u th c nghi m c a phương trình V. ng d ng 5 Tìm h th c liên h gi a hai nghi m c a phương trình sao cho hai nghi m này không ph thu c vào tham s VI. ng d ng 6 Tìm giá tr tham s c a phương trình th a mãn bi u th c ch a nghi m VII. ng d ng 7 Xác ñ nh d u các nghi m c a phương trình b c hai VIII. ng d ng 8 Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c nghi m http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
B. N I DUNG CHUYÊN ð : NG D NG C A H TH C VI-ET TRONG GI I TOÁN Cho phương trình b c hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) −b − ∆ −b + ∆ x1 = x2 = Có hai nghi m 2a ; 2a −b − ∆ − b + ∆ −2b −b x1 + x2 = = = Suy ra: 2a 2a a (−b − ∆ )(−b + ∆ ) b 2 − ∆ 4ac c x1 x2 = = = 2 = 4a 2 4a 2 4a a −b x1 + x2 = V yñ t: - T ng nghi m là S : S = a c x1 x2 = - Tích nghi m là P : P = a Như v y ta th y gi a hai nghi m c a phương trình (*) có liên quan ch t ch v i các h s a, b, c. ðây chính là n i dung c a ð nh lí VI-ÉT, sau ñây ta tìm hi u m t s ng d ng c a ñ nh lí này trong gi i toán. I. NH M NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH : 1. D ng ñ c bi t: Xét phương trình (*) ta th y : a) N u cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 a+b+c=0 c x =1 x2 = Như vây phương trình có m t nghi m 1 và nghi m còn l i là a b) N u cho x = − 1 thì ta có (*) a.( − 1)2 + b( − 1) + c = 0 a − b+c=0 −c x = −1 x2 = Như v y phương trình có m t nghi m là 1 và nghi m còn l i là a Ví d : Dùng h th c VI-ÉT ñ nh m nghi m c a các phương trình sau: 1) 2 x + 5 x + 3 = 0 2) 3 x + 8 x − 11 = 0 2 2 (1) (2) Ta th y : −3 x2 = x = −1 Phương trình (1) có d ng a − b + c = 0 nên có nghi m 1 và 2 −11 x2 = x1 = 1 3 Phương trình (2) có d ng a + b + c = 0 nên có nghi m và Bài t p áp d ng: Hãy tìm nhanh nghi m c a các phương trình sau: 1. 35 x − 37 x + 2 = 0 2. 7 x + 500 x − 507 = 0 2 2 3. x − 49 x − 50 = 0 4. 4321x + 21x − 4300 = 0 2 2 2. Cho phương trình , có m t h s chưa bi t, cho trư c m t nghi m tìm nghi m còn l i và ch ra h s c a phương trình : Víd : a) Phương trình x − 2 px + 5 = 0 . Có m t nghi m b ng 2, tìm p và nghi m th 2 hai. b) Phương trình x + 5 x + q = 0 có m t nghi m b ng 5, tìm q và nghi m th hai. 2 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
c) Cho phương trình : x − 7 x + q = 0 , bi t hi u 2 nghi m b ng 11. Tìm q và hai nghi m c a 2 phương trình. d) Tìm q và hai nghi m c a phương trình : x − qx + 50 = 0 , bi t phương trình có 2 nghi m và 2 có m t nghi m b ng 2 l n nghi m kia. Bài gi i: x1 = 2 a) Thay v à phương trình ban ñ u ta ñ ư c : 1 4−4p +5 = 0 ⇒ p = 4 5 5 x2 = = x1 x2 = 5 x1 2 T suy ra x1 = 5 b) Thay v à phương trình ban ñ u ta ñ ư c 25 + 25 + q = 0 ⇒ q = −50 −50 −50 x2 = = = −10 x1 x2 = −50 x1 5 T suy ra x1 − x2 = 11 x1 + x2 = 7 c) Vì vai trò c a x1 và x2 bình ñ ng nên theo ñ bài gi s và theo VI-ÉT ta có ,  x1 − x2 = 11  x1 = 9  ⇔ ta gi i h sau:  x1 + x2 = 7  x2 = −2 q = x1 x2 = −18 Suy ra x1 = 2 x2 x1 x2 = 50 d) Vì vai trò c a x1 và x2 bình ñ ng nên theo ñ bài gi s và theo VI-ÉT ta có . Suy ra  x = −5 2 x2 = 50 ⇔ x2 = 52 ⇔  2 2 2  x2 = 5 x2 = −5 x = −10 V i th ì 1 x =5 x = 10 V i 2 th ì 1 II. L P PHƯƠNG TRÌNH B C HAI 1. L p phương trình b c hai khi bi t hai nghi m x1 ; x2 x = 3 x2 = 2 Ví d : Cho 1 ; l p m t phương trình b c hai ch a hai nghi m trên  S = x1 + x2 = 5  P = x1 x2 = 6 Theo h th c VI-ÉT ta có  x ;x v y 1 2 là nghi m c a phương trình có d ng: x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 Bài t p áp d ng: 1. x1 = 8 v x2 = -3 2. x1 = 3a v x2 = a 3. x1 = 36 v x2 = -104 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
4. x1 = 1 + 2 v x2 = 1 − 2 2. L p phương trình b c hai có hai nghi m tho mãn bi u th c ch a hai nghi m c a m t phương trình cho trư c: x ;x V í d : Cho phương trình : x − 3 x + 2 = 0 có 2 nghi m phân bi t 1 2 . Không gi i phương trình trên, 2 1 1 y1 = x2 + y2 = x1 + hãy l p phương trình b c 2 có n là y tho mãn : x1 và x2 Theo h th c VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 1 x +x 3 9 S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  +  = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + = x1 x2  x1 x2  x1 x2 2 2 1 1 1 1 9 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 + = 2 +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 2 V y phương trình c n l p có d ng: y 2 − Sy + P = 0 9 9 y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 0 hay 2 2 Bài t p áp d ng: x ;x 1/ Cho phương trình 3 x + 5 x − 6 = 0 có 2 nghi m phân bi t 1 2 . Không gi i phương trình, Hãy l p 2 1 1 y1 = x1 + y2 = x2 + phương trình b c hai có các nghi m x2 và x1 5 1 y2 + y− =0 hay 6 y + 5 y − 3 = 0 ) 2 (ðáp s : 6 2 x ;x 2/ Cho phương trình : x − 5 x − 1 = 0 có 2 nghi m 1 2 . Hãy l p phương trình b c 2 có n y tho mãn 2 y1 = x14 y2 = x2 4 và (có nghi m là lu th a b c 4 c a các nghi m c a phương trình ñã cho). (ðáp s : y − 727 y + 1 = 0 ) 2 x ;x 3/ Cho phương trình b c hai: x − 2 x − m = 0 có các nghi m 1 2 . Hãy l p phương 2 2 trình b c hai y1 ; y2 có các nghi m sao cho : y1 = x1 − 3 y2 = x2 − 3 y1 = 2 x1 − 1 y2 = 2 x2 − 1 a) và b) và a) y − 4 y + 3 − m = 0 b) y − 2 y − (4m − 3) = 0 2 2 2 2 (ðáp s ) III. TÌM HAI S BI T T NG VÀ TÍCH C A CHÚNG N u hai s có T ng b ng S và Tích b ng P thì hai s ñó là hai nghi m c a phương trình : x 2 − Sx + P = 0 (ñi u ki n ñ có hai s ñó là S2 − 4P ≥ 0 ) Ví d : Tìm hai s a, b bi t t ng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4 Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghi m c a phương trình : x + 3 x − 4 = 0 2 x =1 x = −4 gi i phương trình trên ta ñư c 1 và 2 V y n u a = 1 thì b = − 4 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
n u a = − 4 thì b = 1 Bài t p áp d ng: Tìm 2 s a và b bi t T ng S và Tích P 1. S = 3 và P=2 2. S = −3 và P=6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 − y2 Bài t p nâng cao: Tìm 2 s a và b bi t 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a − b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hư ng d n: 1) Theo ñ bài ñã bi t t ng c a hai s a và b , v y ñ áp d ng h th c VI- ÉT thì c n tìm tích c a a v à b. 81 − ( a 2 + b 2 ) a + b = 9 ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = 2 2 2 = 20 T 2 x = 4 x 2 − 9 x + 20 = 0 ⇔  1 Suy ra : a, b là nghi m c a phương trình có d ng :  x2 = 5 V y: N u a = 4 thì b = 5 n u a = 5 thì b = 4 2) ðã bi t tích: ab = 36 do ñó c n tìm t ng : a + b Cách 1: ð t c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36  x = −4 x 2 − 5 x − 36 = 0 ⇔  1 Suy ra a,c là nghi m c a phương trình :  x2 = 9 Do ñó n u a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9 n u a = 9 thì c = −4 nên b = 4 ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 2 2 2 2 Cách 2: T  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒  2  a + b = 13  x = −4 x 2 + 13 x + 36 = 0 ⇔  1 *) V i a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a phương trình :  x2 = −9 V y a = −4 thì b = −9 x = 4 x 2 − 13 x + 36 = 0 ⇔  1 *) V i a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a phương trình :  x2 = 9 V y a = 9 thì b = 4 3) ðã bi t ab = 30, do ñó c n tìm a + b:  a + b = −11 2 ⇒  ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 11 2 2 2 T : a2 + b2 = 61  a + b = 11  x = −5 x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔  1 *) N u a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a phương trình:  x2 = −6 V y n u a = −5 thì b = −6 ; n u a = −6 thì b = −5 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
x = 5 x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔  1 *) N u a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a phương trình :  x2 = 6 V y n u a = 5 thì b = 6 ; n u a = 6 thì b = 5. IV. TÍNH GIÁ TR C A CÁC BI U TH C NGHI M ð i các bài toán d ng này ñi u quan tr ng nh t là ph i bi t bi n ñ i bi u th c nghi m ñã cho v bi u th c có ch a t ng nghi m S và tích nghi m P ñ áp d ng h th c VI-ÉT r i tính giá tr c a bi u th c 1. Bi n ñ i bi u th c ñ làm xu t hi n : ( x1 + x2 ) và x1 x2 x 2 + x2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 2 2 Ví d 1 a) 1 x13 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2  3 2 2 b)   x 4 + x2 = ( x12 )2 + ( x2 )2 = ( x12 + x2 ) − 2 x12 x2 =  ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 4 2 2 2 2 2 2 c) 1   1 1 x1 + x2 + = d) x1 x2 x1 x2 x1 − x2 = ? Ví d 2 ( x − x ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ± ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 2 2 2 Ta bi t 1 2 T các bi u th c ñã bi n ñ i trên hãy bi n ñ i các bi u th c sau: x 2 − x2 2 = ( x1 − x2 )( x1 + x2 ) 1. 1 ( =…….) ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  2 2 x13 − x2 3   =……. ) 2. (= x 4 − x2 3. 1 4 (= 1 ( x 2 + x22 )( x12 − x22 ) =…… ) x 6 + x2 6 ( x 2 )3 + ( x2 )3 = ( x12 + x2 )( x14 − x12 x2 + x2 ) 2 2 2 4 4. 1 (= 1 = ……..) Bài t p áp d ng 1 1 + x − x2 x + x2 x + x2 8. x1 − 1 x2 − 1 6 6 5 5 7 7 5. 1 6. 1 7. 1 2. Không gi i phương trình, tính giá tr c a bi u th c nghi m a) Cho phương trình : x − 8 x + 15 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính 2 1 1 + 8 x +x 2 2   1. 1 2 (34) 2. x1 x2  15  x1 x2 +  34    ( x1 + x2 ) 2 3. x2 x1  15  4. (46) b) Cho phương trình : 8 x − 72 x + 64 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính: 2 1 1 + 9   x12 + x2 2 1. x1 x2 8 2. (65) http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
c) Cho phương trình : x − 14 x + 29 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính: 2 1 1 +  14    x12 + x2 2 1. x1 x2  29  2. (138) d) Cho phương trình : 2 x − 3 x + 1 = 0 Không gi i phương trình, hãy tính: 2 1 1 1 − x1 1 − x2 + + 1. x1 x2 (3) 2. x1 x2 (1) x1 + 2 x 5 x +x   4. x2 + 1 x1 + 1 2 2 3. 1 2 (1) 6 e) Cho phương trình x − 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghi m x1 ; x2 , không gi i phương trình, tính 2 6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2 Q= 5 x1 x2 + 5 x13 x2 3 6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2 6( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 6.(4 3)2 − 2.8 17 Q= = = = 5 x1 x2 + 5 x1 x2 3 3 5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80 2  2  HD:   V. TÌM H TH C LIÊN H GI A HAI NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHI M NÀY KHÔNG PH THU C (HAY ð C L P) V I THAM S ð làm các bài toán lo i này, ta làm l n lư t theo các bư c sau: - ð t ñi u ki n cho tham s ñ phương trình ñã cho có hai nghi m x1 và x2 (thư ng là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - Áp d ng h th c VI-ÉT vi t S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham s - Dùng quy t c c ng ho c th ñ tính tham s theo x1 và x2 . T ñó ñưa ra h th c liên h gi a các nghi m x1 và x2. Ví d 1: Cho phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 có 2 nghi m x1 ; x2 . L p h th c liên h x ;x gi a 1 2 sao cho chúng không ph thu c vào m. ð phương trình trên có 2 nghi m x1 và x2 th ì : m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ 1   ⇔ 2 ⇔ ⇔ 4 V' ≥ 0 m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 5m − 4 ≥ 0 m ≥ 5  Theo h th c VI- ÉT ta có :  2m  2  x1 + x2 = m − 1   x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)   ⇔  x .x = m − 4  x .x = 1 − 3 (2)   1 2 m −1  1 2  m −1 Rút m t (1) ta có : http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
2 2 = x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 = m −1 x1 + x2 − 2 (3) Rút m t (2) ta có : 3 3 = 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 = m −1 1 − x1 x2 (4) ð ng nh t các v c a (3) và (4) ta có: 2 3 = ⇔ 2 (1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0 x1 + x2 − 2 1 − x1 x2 Ví d 2: G i x1 ; x2 là nghi m c a phương trình : ( m − 1) x 2 − 2mx + m − 4 = 0 . Ch ng minh r ng bi u A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 th c không ph thu c giá tr c a m. ð phương trình trên có 2 nghi m x1 và x2 th ì : m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 m ≠ 1 m ≠ 1   ⇔ 2 ⇔ ⇔ 4 V' ≥ 0 m − (m − 1)(m − 4) ≥ 0 5m − 4 ≥ 0 m ≥ 5  Theo h th c VI- ÉT ta c ó :  2m  x1 + x2 = m − 1    x .x = m − 4  1 2 m −1  thay v ào A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − 8 − 8(m − 1) 0 A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3. + 2. −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 4 m≥ V y A = 0 v i m i m ≠ 1 và 5 . Do ñó bi u th c A không ph thu c vào m Nh n xét: - Lưu ý ñi u ki n cho tham s ñ phương trình ñã cho có 2 nghi m - Sau ñó d a vào h th c VI-ÉT rút tham s theo t ng nghi m, theo tích nghi m sau ñó ñ ng nh t các v ta s ñư c m t bi u th c ch a nghi m không ph thu c vào tham s . Bài t p áp d ng: x 2 − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 x1 ; x2 1. Cho phương trình : có 2 nghi m . Hãy l p h th c liên h gi a x1 ; x2 x1 ; x2 sao cho ñ c l p ñ i v i m. ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0 2 2 Hư ng d n: D th y do ñó phương trình ñã cho luôn có 2 nghi m phân bi t x1 và x2 Theo h th c VI- ÉT ta có http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
m = x1 + x2 − 2(1)  x1 + x2 = m + 2   ⇔ x1 x2 + 1  x1.x2 = 2m − 1 m = 2 (2)  T (1) và (2) ta có: x1 x2 + 1 x1 + x2 − 2 = ⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0 2 x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 2. Cho phương trình : . x1 x2 Tìm h th c liên h gi a và sao cho chúng không ph thu c vào m. Hư ng d n: D th y ∆ = (4m + 1) − 4.2(m − 4) = 16m + 33 > 0 do ñó phương trình ñã cho luôn có 2 2 2 nghi m phân bi t x1 và x2 Theo h th c VI- ÉT ta có  x1 + x2 = −(4m + 1) 4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)  ⇔  x1.x2 = 2(m − 4) 4m = 2 x1 x2 + 16(2) T (1) và (2) ta có: −( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0 VI.TÌM GIÁ TR THAM S C A PHƯƠNG TRÌNH THO MÃN BI U TH C CH A NGHI M ðÃ CHO ð i v i các bài toán d ng này, ta làm như sau: - ð t ñi u ki n cho tham s ñ phương trình ñã cho có hai nghi m x1 và x2 (thư ng là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) - T bi u th c nghi m ñã cho, áp d ng h th c VI-ÉT ñ gi i phương trình (có n là tham s ). - ð i chi u v i ñi u ki n xác ñ nh c a tham s ñ xác ñ nh giá tr c n tìm. mx 2 − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0 Ví d 1: Cho phương trình : x x x + x = x1.x2 Tìm giá tr c a tham s m ñ 2 nghi m 1 và 2 tho mãn h th c : 1 2 Bài gi i: ði u ki n ñ phương trình c ó 2 nghi m x1 và x2 l à : m ≠ 0  m ≠ 0  m ≠ 0  m ≠ 0  ⇔ ⇔ ⇔ ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 0 ∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0 ∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0 2 m ≥ −1 2 2       6(m − 1)  x1 + x2 =  m   x x = 9(m − 3) x + x = x1 x2 Theo h th c VI- ÉT ta c ó:  1 2  m v à t gi thi t: 1 2 . Suy ra: 6(m − 1) 9(m − 3) = ⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7 m m (tho mãn ñi u ki n xác ñ nh ) V y v i m = 7 thì phương trình ñã cho có 2 nghi m x1 và x2 tho mãn h th c : x1 + x2 = x1.x2 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
x 2 − ( 2m + 1) x + m2 + 2 = 0 Ví d 2: Cho phương trình : . x1 x2 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 Tìm m ñ 2 nghi m và tho mãn h th c : x1 & x2 Bài gi i: ði u ki n ñ phương trình có 2 nghi m là : ∆ ' = (2m + 1) − 4(m + 2) ≥ 0 2 2 ⇔ 4m 2 + 4 m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0 7 ⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥ 4  x1 + x2 = 2m + 1  3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 Theo h th c VI-ÉT ta có:  x1 x2 = m + 2 2 và t gi thi t . Suy ra 3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0 ⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0  m = 2(TM ) ⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔  2  m = 4 ( KTM )  3 x1 x2 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 V y v i m = 2 thì phương trình có 2 nghi m và tho mãn h th c : Bài t p áp d ng mx 2 + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0 1. Cho phương trình : x1 x2 x1 − 2 x2 = 0 Tìm m ñ 2 nghi m và tho mãn h th c : x 2 + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0 2. Cho phương trình : x1 x2 4 x1 + 3 x2 = 1 Tìm m ñ 2 nghi m và tho mãn h th c: 3x 2 − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 3. Cho phương trình : . x1 x2 3 x1 − 5 x2 = 6 Tìm m ñ 2 nghi m và tho mãn h th c : Hư ng d n cách gi i: ð i v i các bài t p d ng này ta th y có m t ñi u khác bi t so v i bài t p Ví d 1 và ví d 2 ch x +x xx + Trong ví d thì bi u th c nghi m ñã ch a s n t ng nghi m 1 2 và tích nghi m 1 2 nên ta có th v n d ng tr c ti p h th c VI-ÉT ñ tìm tham s m. + Còn trong 3 bài t p trên thì các bi u th c nghi m l i không cho s n như v y, do ñó v n ñ ñ t ra x +x ñây là làm th nào ñ t bi u th c ñã cho bi n ñ i v bi u th c có ch a t ng nghi m 1 2 và tích xx nghi m 1 2 r i t ñó v n d ng tương t cách làm ñã trình bày Ví d 1 và ví d 2. 16 m ≠ 0&m ≤ BT1: - ðKX ð: 15 http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
 −(m − 4)  x1 + x2 =  m  (1) x x = m + 7 -Theo VI-ÉT:  1 2  m  x1 + x2 = 3x2  ⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 x − 2 x2 = 0 2( x1 + x2 ) = 3 x1 -T 1 Suy ra:  (2) m + 127 m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128 2 - Th (1) vào (2) ta ñưa ñư c v phương trình sau: BT2: - ðKXð: ∆ = m − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 96 2  x1 + x2 = 1 − m  (1) - Theo VI-ÉT:  x1 x2 = 5m − 6  x1 = 1 − 3( x1 + x2 )  ⇒ x1 x2 = [1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1 4 x1 + 3 x2 = 1 ⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) 2 − 1 -T : . Suy ra: (2) m = 0 12m(m − 1) = 0 ⇔  - Th (1) vào (2) ta có phương trình :  m = 1 (tho mãn ðKXð) BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) + 4.3(3m + 1) = 9m + 24m + 16 = (3m + 4) ≥ 0 v i m i s th c m nên phương 2 2 2 trình luôn có 2 nghi m phân bi t.  3m − 2  x1 + x2 = 3   (1)  x x = −(3m + 1) - -Theo VI-ÉT:  1 2  3 8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6  ⇒ 64 x1 x2 = [5( x1 + x2 ) + 6] .[3( x1 + x2 ) − 6] 8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra: ⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) − 36 2 - T gi thi t: (2) m = 0 m(45m + 96) = 0 ⇔  32 m = − - Th (1) vào (2) ta ñư c phương trình:  15 (tho mãn ) VII. XÁC ð NH D U CÁC NGHI M C A PHƯƠNG TRÌNH B C HAI Cho phương trình: ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm ñi u ki n ñ phương trình có 2 2 nghi m: trái d u, cùng d u, cùng dương, cùng âm …. Ta l p b ng xét d u sau: D u nghi m x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2 ∆ ði u ki n chung trái d u ± m P
cùng d u, ± ± P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0 cùng dương, + + S>0 P>0 ∆≥0 ∆≥0 ;P>0;S>0 cùng âm − − S0 ∆≥0 ∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví d : Xác ñ nh tham s m sao cho phương trình: 2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghi m trái d u. ð phương trình có 2 nghi m trái d u thì ∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m 2 − m − 6) ≥ 0 ∆ ≥ 0  ∆ = (m − 7)2 ≥ 0∀m  ⇔ m −m−6 2 ⇔ ⇔ −2 < m < 3 P < 0  P=
= ( 2m − 1) + 8m 2 = 4m 2 − 12m + 1 = (2m − 3)2 − 8 ≥ −8 3 m= Suy ra: min A = −8 ⇔ 2m − 3 = 0 hay 2 Ví d 2: Cho phương trình : x − mx + m − 1 = 0 2 G i x1 và x2 là các nghi m c a phương trình. Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a bi u th c sau: 2 x1 x2 + 3 B= x + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) 2 1 2  x1 + x2 = m  x x = m −1 Ta có: Theo h th c VI-ÉT thì :  1 2 2 x1 x2 + 3 2 x1 x2 + 3 2(m − 1) + 3 2m + 1 ⇒B= 2 = = = 2 x1 + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2 2 2 m2 + 2 m +2 Cách 1: Thêm b t ñ ñưa v d ng như ph n (*) ñã hư ng d n Ta bi n ñ i B như sau: m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1) ( m − 1) 2 B= = 1− 2 m2 + 2 m +2 ( m − 1) ≥ 0 ⇒ B ≤ 1 2 ( m − 1) ≥ 0 ⇒ 2 2 Vì m +2 V y max B=1 ⇔ m = 1 V i cách thêm b t khác ta l i có: 1 2 m + 2m + 1 − m 2 1 1 2 ( m + 4m + 4 ) − 1 ( m 2 + 2 ) ( m + 2 ) 2 1 B= 2 2 =2 2 = − m +2 m +2 2 ( m2 + 2 ) 2 2 2 ( m + 2) 2 1 ( m + 2) 2 ≥0⇒ ≥0⇒ B≥− 2 ( m + 2) 2 2 Vì 1 min B = −⇔ m = −2 V y 2 Cách 2: ðưa v gi i phương trình b c 2 v i n là m và B là tham s , ta s tìm ñi u ki n cho tham s B ñ phương trình ñã cho luôn có nghi m v i m i m. 2m + 1 B= 2 ⇔ Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0 m +2 (V i m là n, B là tham s ) (**) Ta có: ∆ = 1 − B (2 B − 1) = 1 − 2 B + B 2 ð phương trình (**) luôn có nghi m v i m i m thì ∆ ≥ 0 −2 B 2 + B + 1 ≥ 0 ⇔ 2 B 2 − B − 1 ≤ 0 ⇔ ( 2 B + 1)( B − 1) ≤ 0 hay http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
 1  2 B + 1 ≤ 0 B ≤ − 2   B −1 ≥ 0  B ≥ 1 ⇔ 1 ⇔ ⇔ − ≤ B ≤1  2 B + 1 ≥ 0 B ≥ − 1 2   B − 1 ≤ 0   2 B ≤ 1  V y: max B=1 ⇔ m = 1 1 min B = − ⇔ m = −2 2 Bài t p áp d ng x 2 + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .Tìm m ñ bi u th c A = ( x1 − x2 ) 2 1. Cho phương trình : có giá tr nh nh t. 2. Cho phương trình x − 2(m − 1) x − 3 − m = 0 . Tìm m sao cho nghi m 1 2 th a mãn ñi u 2 x ;x x 2 + x2 ≥ 10 2 ki n 1 . 3. Cho phương trình : x − 2(m − 4) x + m − 8 = 0 xác ñ nh m ñ phương trình có 2 nghi m 1 2 th a 2 2 x ;x mãn A = x1 + x2 − 3 x1 x2 a) ñ t giá tr l n nh t B = x1 + x2 − x1 x2 2 2 b) ñ t giá tr nh nh t C = x12 + x22 4. Cho phương trình : x − (m − 1) x − m + m − 2 = 0 . V i giá tr nào c a m, bi u th c 2 2 d t giá tr nh nh t. E = x12 + x2 2 5. Cho phương trình x + (m + 1) + m = 0 . Xác ñ nh m ñ bi u th c 2 ñ t giá tr nh nh t. http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí
C. K T LU N Do th i gian có h n và m c ñích chính c a chuyên ñ là áp d ng cho h c sinh ñ i trà, riêng m c VII và VIII dành cho h c sinh khá gi i nên lư ng bài t p còn ñơn gi n và chưa th t s ña d ng, ñ y ñ , do ñó không tránh kh i thi u sót, rât mong các ñ ng nghi p tham gia góp ý xây d ng ñ chuyên ñ c a chúng tôi có kh năng áp d ng r ng rãi và có tính thi t th c hơn! Chúng tôi xin chân thành c m ơn! Thanh Lãng, ngày 15 tháng 3 năm 2008. Ngư i vi t Ngô Qu c Hưng Dương Th Nam http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách giáo khoa, Bài gi ng, ð thi mi n phí