Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lý lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

====== PHẠM THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG

TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

====== PHẠM THỊ HƯỜNG

MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG

TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN

T ƣ ậ ố ệ ỏ

ò ế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo ƣờ đã ú đỡ đị ƣ ng

ê ứu, cung cấp nhữ ệ q ý á ậ ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện

tốt nhất o o q á o oá ận tốt nghiệp.

ờ ả ơ ả ê Vậ ý ý ế ƣờ

ạ ọ sƣ ạ H N đã ợ ú đỡ o ờ ọ ậ

ƣ ệ ậ

Cuố ù xin cả ơ s đ ê ú đỡ c đ ạ è

L s ê ầ đầ ê ê ứu khoa họ ê oá ận chắc

chắn á ỏi s thiế s ậy rất mong nhậ đƣợc nhữ đ

ý ến c a thầ ạ è để oá ậ đƣợ o ệ ơ

T â ảm ơ !

Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018

Sinh Viên

Phạm Thị Hường

LỜI CAM ĐOAN

Cù v i s ƣ ng dẫn c a TS. Nguyễn Huy Thảo, ậ ố ệ

ê Vậ ý ý ế đề M t số ơ sở oá ọ ƣờ ù o

vậ ý ƣợng tử” đƣợ á â c hiện T o q á ê ứ o

ả ận ảo m t số ệu c a m t số á ả đã

trong phầ ệu tham khảo.

T đo ững kết quả ê ứ o oá ậ o o

trung th ƣ ừ đƣợ ố trong bấ o ọ o

á .

Hà Nội, ngày.... tháng... năm 2018

Sinh Viên

Phạm Thị Hường

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ẦU .......................................................................................... 1

1. Lý o ọ đề ..................................................................................... 1

2. Mụ đ ê ứu ............................................................................... 2

3. ối ƣợ ạ ê ứu ........................................................... 2

4. Nhiệm vụ ê ứu ............................................................................... 2

5. P ƣơ á ê ứu ......................................................................... 2

6. Cấ ú ận ................................................................................... 2

PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................... 3

CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT

LÝ LƢỢNG TỬ ............................................................................................... 3

1 1 K H e .................................................................................. 3

1 1 1 K ế ........................................................................ 3

1 1 K H e ............................................................................ 5

1.1.3. S o ....................................................................................... 6

1.1.4. Hệ tr c chuẩn .................................................................................... 7

1 Toá ử oá ử t ê ợp tuyế á é oá ê oá ử ........ 8

1 1 Toá ử .............................................................................................. 8

1 Toá ử ê ợ ế oá ử Hermite) ............................ 10

1 Cá é oá ê oá ử ............................................................... 10

1 H ê ị ê oá ử ......................................................... 12

1 Lý ế ề ể ễ ................................................. 14

1 1 Lý ết về .......................................................................... 14

1 Lý ế ể ễ ................................................................ 17

CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ....................................... 21

1 B oá ề H e ............................................................. 21

B oá ề ê ị ê oá ử ...................................... 23

B oá ề ểu diễ .................................................... 28

PHẦN 3: KẾT LUẬN .................................................................................... 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 39

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Vậ ý ọ o ữ o ọ ê ứ á q ậ ậ

đ ê ừ o đế

T o s ố q á á ể ậ ý ầ đị

ứ ệ ụ Vậ ý đ ể đã đe ạ ề

ê ứ đạ ƣ: đị luậ q á định luậ ạ ậ ấp dẫ

ƣ ừ ạ ê ứ ế ể ải

đƣợc nhiều hiệ ƣợng trong t ê từ cấ đ đế o

vậy, s đời c a vậ ý ệ đại nhằm giả t số hiệ ƣợ ật ý

c đ ể ƣ đƣợ ng thời vậ ý ệ đạ đã ại m á sâ

sắc c o ƣời về t ê ú đẩy s tiến b c o ƣờ N

s á ể ậ ý ệ đạ o ƣờ đã đ sâ o ê ứ

á á đ đ ể ấ ế

Vậ ý ệ đạ - ò đƣợ ọ ậ ý ƣợ ử đƣợ e

o ọ ơ ả ở á đị ậ ậ ý ố ầ ế á o

ọ ê ác. Vậ ý ọc giao nhau v i nhiề ê ứ ê

á ƣ: vậ ý s ọc, ọ ƣợng tử i hạn

c a vậ ý Cá á ện m i trong vậ ý ƣờng giải

ữ ơ ế ơ ản c á o ọ á đ ng thời mở ra

nhữ ƣ ê ứu m i t o á ƣ oá ọc ho c triết học.

Vậ ý oá ọ ố ê ệ ậ ế á ơ sở oá ọ ƣ:

H e oá ử He e ê ị ê oá ử ữ

ế ứ ề ả ơ ọ ƣợng tử ê ậ ý ƣợ ử

V o ố mở ể ế ơ ề á ế ứ ê

ọ đề M t s c sở to n học thường d ng trong vật lý lư ng t

đề ậ ố ệ

1

2. Mục đích nghiên cứu

N ê ứu số ơ sở oá ọ sử ụ số ơ sở oá ọ o

ọ ậ ê ứ

3. Đ i tư ng và phạm vi nghiên cứu

K H e .

Toá ử oá ử Hermite.

H ê ị ê oá ử.

Lý ế ểu diễ

M t số ậ ê q

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

N ê ứ số ơ sở oá ọ ƣờ ù o ậ ý ƣợ ử

5. Phư ng ph p nghiên cứu

Sử ụ ƣơ á đọ ệ

Sử ụ oá ọ o ậ ý

Sử ụ ƣơ á ả oá ọ

6. Cấu trúc khóa luận

Phần 2: N i dung

Phần 1: Mở đầu

Phần 3: Kết luận

2

PHẦN 2: NỘI DUNG

CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG

VẬT LÝ LƯỢNG TỬ

K H e t dạng t q á a E e

1.1. Không gian Hilbert

ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều. N mở r ng c á ƣơ

á đại số e ơ á oá từ m t ph ng Euclide hai chiề

gian ba chiều cho đến hữu hạn ho ạn chiều. M

H e e ơ ƣ ng, hay đƣợc hiể o đ

oả á đo đƣợc.

K H e xuất hiện m á t ê ƣờ ê o

oá ọ ậ ý ƣờ á ạn chiều Cá

gian Hilbert s m nhấ đƣợ ê ứu trong thập kỷ đầ ê a thế kỷ 20

bởi David Hilbert, Erhard Schmidt F es R esz C ú ữ ụ

ể thiế o á ý ết về á ƣơ â ừng phầ ơ

họ ƣợng tử é ế đ i Fourier ý ết ergodic ơ sở oá ọc c a

nhiệ đ ng l c học.

Cá H e o é á tr á ọc ể đƣợ á

dụ o t số ạn chiều. C ú ấp m t khung

để hệ thố q á á ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ

c á số tr c giao é biế đ i Fourier ữ á ệm

â a giả K H e đ m t ò q ọng

trong việ ứ oá ọc ơ ọ ƣợng tử.

1.1.1. Không gian tuyến tính

M ế ậ o đ á đị é c a

ầ ử é â ầ ử số é

é â á ấ ƣờng c é e ơ ọc

3

é â e ơ ọc v i m t số. C á ơ m ậ X đƣợc gọi

m t ế ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X á đị

é é á ầ ử X ệ x + y é â

c á phần ử X số a ( T ể ập số th c ho c phức,

ệ ax ỏ ã á ê đề s :

1. T ấ o oá : v ầ ử ất kỳ ta

2. T ất kết hợp: v i mọi

3. T ạ ầ ử ọ sao cho

e ơ

4. T ạ phần tử đơ ị v i mọi

5.

6.

7.

8. T ạ ầ ử đố ầ ử sao cho

Ở ê ố q ệ ữ á ầ ử a X á số Nế a

số đị ế c. Nếu a số phứ

ế ức [1,3].

Cho hệ n e ơ e ơ:

ƣợc gọ hợp tuyế á e ơ

Nếu t n tạ ất m o á ệ số

á ệ đƣợc gọ ụ thu c tuyế T ƣờng hợp

ƣợc lại nếu ệ e ơ ê đƣợc gọ đ c lập tuyế

4

N ƣờ đã ứ đƣợc rằng:

a. T o X t n tạ ất m t hệ tố đ p e ơ đ c lập tuyến

Cá ệ tố đ e ơ đ c lập tuyế o X đề số e ơ ằng p.

b. Nế ê o ệ p e ơ đ c lập tuyế a m e ơ bấ

ệ (p + 1 e ơ ụ thu c tuyế :

V ất hệ số c a x á :

c. T o X ể ều hệ ơ sở Cá ệ ơ sở c a X đều

số e ơ ằ ằng p N ƣời ta gọi p số chiều c X

ệu

d. Phần tử X’ c X thỏ ã 8 ê đề về ến

e ơ đƣợc gọ o a X. N ƣời ta

chứng minh rằng [1].

K ế ƣờ đƣợc gọi e ơ á

phần tử c ọ á e ơ

1.1.2. Không gian Hilbert

M ế th c X đƣợ ọ ề H e ế

tro đ á định ế (x, y), gọ ƣ ng

e ơ á ấ s [4,7]:

1.

2.

3.

a số

4.

V ƣ đƣợ đị ở á ất từ 1– 4 ò t

đị ề chuẩn c a m e ơ x ê X.

5

t chuẩn ê X, gọ ẩn sinh bở ƣ ng

tiề H e đƣợ đị ƣ ê định chuẩn [5].

Định nghĩa 1: M ế i chuẩn đƣợc gọi

ền Hilbert [1].

V t ền Hilbert định chuẩ ê ọ á

niệm về định chuẩ đề á ụ o M tiền

H e ể đ đ . M ề H e đ gọ

gian Hilbert.

Định nghĩa 2: M ề H e t hệ ơ sở tr c chuẩ đ

đƣợc gọ H e [1].

T o H e X e ơ x bấ ể khai triển theo hệ

ơ sở tr c chuẩ đ

N â ƣ ng hai vế v i :

Ta sẽ đ ứng minh: khi

Thật vậy:

1.1.3. Sự trực giao

Định nghĩa

Định nghĩa 3: Cho H e X á ầ ử ƣờ

ta á e ơ x, y o ế ệ

6

C c tính chất

1. Nế T

2. Nế

T ậ ậ

3. Nế ,

T ậ ậ

4. Nếu đ t tr o

đị ý Pythagore).

1.1.4. Hệ trực chuẩn

C o H e X.

1. Hệ ọ ệ ẩ ế :

T o đ : nếu

nếu

N ƣ ậ ệ ẩ ế

2. Nếu ệ ẩ ọ số ọ ệ số

ọ Fo e x eo ệ Fo e x đố ei

3. M ệ ẩ đƣợ ọ đầ đ e ơ

giao ấ ả á ầ ử ệ:

7

1.2. To n t , to n t tự liên h p tuyến tính, c c phép to n trên to n t

N o ữ đạ ƣợng vậ ý đ ƣ ạ á ể đ ng c a hạt vi

o ƣ tọ đ ƣợ ƣợng,... ò ữ đại

ƣợng vậ ý ắn liền v i bản chất c a hạ ƣ ố ƣợ đ ệ

spin,... Trong ơ ọ ƣợng tử, m đạ ƣợng hay thu ậ ý đề đƣợc

đ ƣ ởi m oá ử.

1.2.1. To n t

Kh i niệm

C o X, Y,

a. M é oá o đ ến phần tử ần tử đƣợc

gọ á ạ K ệ é oá é oá biến

đƣợc viế ƣ s [1]:

(1.1)

Á ạ đƣợc gọ ế ếu:

(1.2)

M t s to n t

Toán tử tuyến tính: T ê tuyế X, v i oá ử

đƣợc gọ oá ử tuyế ếu thỏ ã đ ng thời hai đ ều kiện sau:

(1.3) v i

(1.4) v i a bấ

H 1 1 ƣơ đƣơ i nhau ể viết gọn lạ ƣ s :

T o đ ững số th c ho c phức bấ

8

Toán tử đơn vị: T n tạ oá ử đơ ị oá ử á đ ng c ê

s đ s

(1.5)

Toán tử ngược: Toá ử đƣợ ọ oá ử ƣợ ế á đ

ƣợ oá ử ế

Toán tử Unita: Toá ử ọ oá ử U e ế oá ử ị

:

(1.6) hay

Toán tử liên hợp oá ử oá ử ê ợ ằ

(1.7)

Chứng minh

Xé ƣ ng:

Ta gọi ần tử (i, j) c oá ử

N ƣ ậy:

Tƣơ ứ á ần tử c oá ử đƣợc bằ á Phần tử

vừa chuyển vị vừa lấ ê ợp phức c a phần tử đƣợc gọ ần tử ê

hợp c a phần tử Tƣơ ứng v đ ề đ oá ử đƣợc gọ oá ử

ê ợp c oá ử

Toán tử tự liên hợp (toán tử hermite)

Nếu xả đ ng thức

9

Tứ

Hay

oá ử đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử Hermite [1].

1.2.2. To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite

ối v i m oá ử ế đƣợc đị ê ến

Ф, ƣờ đị m oá ử ƣ s :

(1.8) ọi

Cá oá ử đƣợc gọ á oá ử ê ợp oá ử oá

ử ế oá ử đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử

Hermite. T o (1.8 đƣợc [4,5]:

ọi (1.9)

Xé oá ừ Hermite M t số chất c oá ừ

Hermite:

1. T ng c oá ử He e oá ử Hermite.

2. T oá ử Hermite v i m t số oá ử Hermite nếu số đ

c.

3. T a hai oá ử He e oá ử He e oá ử đ o

oá i nhau.

1.2.3. C c phép to n trên to n t

10

Xé oá ử số ấ á é sau:

1. P é oá ử: hay

2. P é ừ oá ử: hay

Vậ oá ử ậ ừ oá ử ằ é ừ P é

ấ o oá ế ợ

3. P é â oá ử:

o oá ƣợ ạ

o oá

N chung

P é ấ oá ử ấ o oá ê

ế ể ứ ầ ú ý ứ oá ử ƣ oá ử s

Thí dụ 1:

Cho P á ụ ê ấ

Vậ

T

Dễ thấy rằ o ƣờng hợ N ƣ ậy, tứ oá

tử o oá .

Thí dụ 2: Cho ta thấy ngay rằng:

11

â ƣờng hợ oá ử o oá

4. Giao oá ử: . Nế gọ o

oá v i nhau, ƣợc lại o oá i nhau.

1.3. Hàm riêng và trị riêng của to n t

Định nghĩa

Xé oá ử á bấ C o oá ử á

dụ ê bấ đƣợc m á :

(1.10)

Trong ƣờng hợp khi m oá ử á ụ ê

chuyể t hằng số λ â :

(1.11)

Trong ƣờng hợ ƣời ta gọi ò ê c oá ử

λ đƣợc gọ á ị ê ị ê ƣơ ứng v ê c oá

tử P ƣơ 1 11 đƣợc gọ ƣơ o á trị ê

ê c oá ử. Giả ƣơ 1 11) ể đƣợ ê ị

ê oá ử.

M oá ử ể ề ê ê ại ứng v i m t

trị riê ể viết lại (1.11 :

(1.12)

T o đ ê ứng v i trị ê

Tập hợp những trị ê oá ử đƣợc gọ c oá ử đ

12

Nếu trị ê λ ữ á trị rời rạc, ta gọi ph c oá ử

rời rạ ; ò ếu trị ê λ ữ á ị ê ục, ta gọi ph c oá ử

ê ục. Ph c oá ử vừ ể ê ục, vừ ể rời rạc.

Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite

T p ƣơ ê ị ê oá ử:

T eo đị oá ử Hermite:

Nếu oá ử oá ử Hermite, á ê á ị ê

nhữ ất sau:

 Cá á ị ê oá ử He e ững số th c.

P ƣơ o ị ê oá ử Hermite o ƣờng hợ ị

ê á đoạ :

V

V :

V c.

Vậ á ị ê oá ử He e ững số th c.

 Cá ê ứng v á ị ê á oá ử Hermite

tr c giao v i nhau.

13

T eo đị oá ử Hermite:

V

tr c giao v i nhau. Do đ

 Cá ê oá ử Hermite lậ t hệ đ .

Nế c oá ử Hermite bấ á ê

ể â :

1.4. Lý thuyết về nhóm và bi u di n nhóm

1.4.1. Lý thuyết về nhóm

Định nghĩa

M ậ G á ầ ử đƣợ ọ ế

oá ử é â ỏ ã ấ sau:

Tính kín: V ọ ọ

Tính có đơn vị: T ê ậ ợ G ạ ầ ử đơ ị đƣợ

Tính có nghịch đảo: V m ầ ử o ậ G ầ ử

ệ e, sao cho:

ị đảo :

ọ

Tính chất kết hợp:

v ọ

14

T o á ầ ử ấ o oá

Nhóm Abel

T o oá ọ A e ò đƣợ ọ o oá

o đ ế q ả ệ á ụ á é â

ầ ử ụ o ứ ú đƣợ ế N

á ữ â theo ê đề ề o oá

ọ

M á é oá o oá ả

A e o oá

Nhóm tuần hoàn

Ký ệ

p ầ ử gọ ừa bậc n c a x.

M o đ á ần tử đề ững ừ á ù

m t phần tử gọ ầ o

M ầ o ấ ê o oá

Nhóm hữu hạn, vô hạn, liên tục

Số phần tử c a m ọ ấp c Nếu cấ t số gi i

n ọ ữu hạ T o ƣờng hợ á ạ ọ ạn. M t

ạ á ần tử biế ê ê ục gọ ê ục.

Bảng nhân nhóm

Bả â ả ể ệ q ắ â á ầ ử o

đƣợ ể ệ o ả ƣ đâ :

15

e a b c

e e a b c

a a a.a a.b a.c

b b b.a b.b b.c

c c c.a c.b c.c

Ví dụ 1: N đơ ả ấ ầ ử đơ ị e ị đảo e

e ậ â R ấ ằ ấ ả á ê đề

đề đƣợ ỏ ã

Ví dụ 2: Xé ầ ử o đ ầ ử đơ ị T ể

ị ở Tù eo ấ e ả

Vậ òn a.a ầ đƣợ á đị C ể ả ƣờ ợ :

o K ả ứ ể ế â ả ế

ẫ đế T ệ C2. Luậ â đƣợc

biểu thị qua bả ƣ đâ :

e a

e e a

a a e

Nhóm quay SO(2) - nhóm quay trong mặt phẳng

Xé á é q xOy q ố ọ đ Cá é q

ạo SO M é q đƣợ đ ƣ ở ậ S

á q ệ T ệ ê ế

á é q á q

Th c hiệ é q ê ế đƣợc m é q a

ú hay é q é q

16

T ấ o oá :

ơ ị:

T ạ ầ ử ị đảo:

Cá é q ấ o oá ê SO o oá [2,7].

Nhóm con

Trong ý thuyế , ƣờ đƣ G v i m t é â

. Nếu gọi H t tập con c a G H ể o

T o ƣờng hợp H H đƣợc gọ o c a G.

Định nghĩa 4: Cho m t G v i é â ập

con H c a G. H đƣợc gọ o c a G nế H

v é â c a G.

M ậ o H G o G khi ỏ ã á đ ề

ệ s :

V ọ

Tậ ợ o H ứ ầ ử đơ ị e G: Nế a ầ ử H ầ ử ị đảo a a-1 c ần

tử c a H.

G o ọ ấ ữ o G

o G.

1.4.2. Lý thuyết bi u di n nhóm

Kh i niệm

Xé G g m á ần tử a, b, c U á é ến

đ i trong m tuyế n chiều Xn. Gọ U á é ến

17

đ o X t biểu diễn c G nế é đ ng

cấu c G ê U, tứ ứng v i é ế đ i

U(a), U(b), U(c o U thỏ ã : v i

[2,7].

P é đ ng cấu: đƣợc gọ é ểu diễ G o

gian Xn. T o đ Xn gọ ểu diễn, n ều biểu diễn. Nếu U

ế đ i tuyế é ểu diễn c G é ểu diễn

tuyế á ạ é ểu diễn gọ ến.

T eo đị s đƣợ á ất sau:

V i mọi :

(1.13)

Ứng v i yếu tố đơ ị e c G é ế đ đ ng nhất trong

X.

hay (1.14)

Yếu tố nghị đảo:

(1.15)

Nếu n G g m n phần tử a é â á ần tử trong :

Bi u di n khả quy và bi u di n t i giản

Cho m t biểu diễn U c G o e ơ X. Nếu trong X

o X1 bất biế đối v i tất cả á é ế đ i U(a) c a

biểu diễn U, v i mọi yếu tố a c G ằng U t biểu diễn

khả q T o ƣờng hợ ƣợc lại, nế o X t

o o ất biế đối v i tất cả á é ế đối v i tất cả á

18

é ế đ i U(a), trừ on tầ ƣờ X

o ằ ằng U ểu diễn tối giản [2].

Bi u di n bất khả quy

Cho U(G) ể ễ G ê e ơ Xn V s

ọ e ơ ơ sở ê Xn o đ s o o ậ ể ễ U(G)

ạ :

Trong đ ậ ậ

” ậ ữ ậ ấ

ế đƣợ ệ

:

T U(G) ể ễ G ê e ơ Xn U(G) ấ

ả q ế X ứ o ấ ế ầ ƣờ o

U(G). N ƣợ ạ ể ễ ả q

T o ƣờ ợ ế ầ ù o X1 o á e ơ

o ọ e ơ o X1 ố e ơ ữ ạ ề ầ

ù o X1 ạo o ọ X2 :

.

M ể ễ o o ả q ế ƣơ đƣơ ể ễ

á ậ ầ ử ạ :

19

o đ ấ ả q â ọ ậ

ạ éo ố M ể ễ ƣ ạ éo ố ế á

ể ễ o

T o ệ ế đ ể ễ ƣ ạ éo ố sẽ â

ể ễ ố ế á ầ ấ ả q Vậ

ể đị á ề ể ễ ấ ả q ƣ s :

M ể ễ o o ả q ế ể â đƣợ

ế á ể ễ ấ ả q ” [2,6].

Bi u di n unita

B ể ễ U G trong L ọ ể ễ ế ấ ả á

ế ố a G ấ ả á é ế đ U(a) đề

V á ữ ạ ọ ể ễ đề ƣơ đƣơ ể ễ

V á ậ ữ đ ê ê ú ầ ả

ọ ễ ễ o ấ ả á ể ễ ƣơ đƣơ ố

ữ ạ ữ ể ễ ƣơ đƣơ ể ễ

V đế ể ễ á ữ ạ đ ể ễ

unita [2,7].

Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn

unita.

Từ ấ ể ứ 1 15 đƣợ :

ọ

20

CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

2.1. Bài to n về không gian Hilbert

Bài 1: Chứ á oá ử s đâ oá ử Hermite.

, a) ,

b) ( ố ƣợng, U ế a hạt)

Lời giải

a)

ều kiệ để oá ử Hermite:

Ta é :

:

Nếu khi bằ :

Vậy oá ử Her e Tƣơ ,

oá ử Hermite.

b)

21

T eo â ) á oá ử ững oá ử Her e ê á

oá ử oá ử Hermite. Suy ra oá

tử Hecmite, oá ử Hermite.

Thế c c á ến x, y, z ê :

Suy ra oá ử Hecmite. Vậ oá ử:

oá ử Hecmite.

Bài 2: Cho á hệ tọ đ cong sau:

Khảo sá s tr c giao c a hệ tọ đ o

Lời giải

ể m t hệ tọ đ o o ệ tọ đ o đ ần thỏ ã đ ều

kiện sau:

Xé p tọ đ

(2.1)

Do đ i nhau.

22

Xé p tọ đ

(2.2)

Do đ i nhau.

Xé p tọ đ

(2.3)

Do đ i nhau.

Từ (2.1), (2.2), (2.3) ta suy ra hệ tọ đ o ê tr c giao.

Bài 3: Trạ á a hạ đƣợ ả bở s s :

T o đ A, a, k ững hằng số. Từ đ ều kiện chuẩ s á

định A.

Lời giải

ều kiện chuẩ s :

Hay

Vậ s ầ :

2.2. Bài to n về hàm riêng và trị riêng của to n t

23

Bài 1: Toá ử H ơ c a hạt ở trong giếng thế t chiề

dạng:

trong đ :

T ê đã ẩ ị ê oá ử

Lời giải

T khi

Ở đâ ê E ị ê oá ử

t :

Nghiệm t q á ƣơ â ạng:

T o đ t

ể viế ƣ i dạng:

N o ếng thế á s ấ ấy hạt bằ ê khi

Từ đ ều kiệ ê ục c s

Từ đ ều kiện suy ra đ ều kiện:

hay đƣợc

24

T ƣờng hợp:

T ƣờng hợp 1: trong khoảng tứ

á s ấ ấy hạt ở mọ đ ểm trong giếng thế bằ â ẫn v i

ỏa

đề oá o ạt ở trong giếng thế S ƣờng hợp

ã

, s

T ƣờng hợp 2:

ù ả m t trạ á a hạt.

Vậ ê á ị ê ầ :

Bài 2: Trong - biểu diễn, đ t T á oá

tử ê đã chuẩ a ứng v i trị ê -1.

Lời giải

Trong - biểu diễ á ị ê a ma trận ƣơ ứng v á

trị ê c a Muốn vậy, phả ạng:

T ệ thứ o oá a

Từ hệ thứ o oá ận thấy:

25

V á á ị ê o ê á ị ê a V ế á

oá ử ả ạng:

Suy ra

Xé hợp

Tƣơ :

t

D o ệ thức t :

Suy ra :

26

Sử dụ He e a

Ta phả :

t v i số th c bấ

Tƣơ , suy ra:

v i l số th c bấ .

Sử dụng hệ thức phản o oá :

Ta đƣợc:

Chọn đ :

,

Vậy dạng c a á oá ử trong Sx - biểu diễ :

Nếu gọi e ơ ê a trong Sx - biểu diễ ạ

ƣơ ị ê a trong Sx - biểu diễ :

27

Sử dụ đ ều kiện chuẩ s đƣợc

N ƣ ậ ê c a ứng v i trị ê cầ

2.3. Bài to n về nhóm và bi u di n nhóm

Bài 1: Trong tậ Q đị é oá * :

Q.

mọi a) Hỏ Q * ậ ? Tại sao?

b) Chứng minh rằng (Q\ lậ

Lời giải

a) Dễ ấ ần tử đơ ị c a

Giả sử lậ Xé ần tử ần tử

ần tử nghị đảo b K đ

ý .

Vậy ậ

b) Chứng minh rằng (Q\ lậ .

Gọi :

28

Suy ra Vậ é oá ết hợp.

V i ọi phần tử nghị đảo c

Tƣơ ,

N ƣ ậy, lậ

Bài 2: Xâ ng bả â v é â ƣờng.

Lời giải

N G g m bốn phần tử

T :

29

T đƣợc bả â a G:

1 -1 i - i

1 1 -1 i - i

-1 -1 1 - i i

i i - i -1 1

- i - i i 1 -1

Bài 3: Cho X i phần tử đơ ị e. Chứng minh rằng nếu mọi

X A e

Lời giải

T ọi Do đ

M ab = ba.

Vậy X A e

Bài 4: Giả sử A t b phậ á ng c X. Chứng minh rằng A

o a X khi

Lời giải

T Khi A o a X

V ê

M á ọi ê

Vậy

Do đ ọi Suy ra A o a X.

Bài 5: Chứng tỏ rằng tập hợp á ậ ấ định thứ á

v é â ận â ả o oá ?

Lời giải

T eo đị ể á ấ s :

 Tính kín

30

Giả sử:

V i mọi :

Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã

 Tính chất kết hợp

Gọi

V i mọi :

Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ấ ế

ợ

 Tồn tại phần tử đơn vị

V i mọi :

Nê

31

A t n tại phần tử đơ ị:

 Tồn tại phần tử đối

V i mọi :

C o ê ọi ma trận đề ận nghị đảo

.

N ƣ ậy tập hợp A v é â ậ

V i mọi :

Ta kết luậ A o oá .

Bài 6: Chứng tỏ rằng tập hợ á ận

é â ậ â ả o oá ?

Lời giải

T eo đị ể á ất sau:

 Tính kín

32

Gọi

V i mọi :

Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã

 Tính chất kết hợp

Gọi:

V i mọi :

33

Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ấ ế ợ

 Tồn tại phần tử đơn vị

V i mọi :

Nê A n tại phần tử đơ ị:

 Tồn tại phần tử đối

V i mọi :

C o ê ọi ma trận đề ận nghị đảo.

34

N ƣ ậy tập hợp A v é â ậ

Ta kết luậ A o oá .

V i mọi :

Bài 7: Xâ ng bảng â S3 : a. (12)(23)(321)4. b. (123)(23)(12)11.

Lời giải

S3 oá ị 3 phần tử. Bả â đƣợ á

đị ƣ s :

Do đ :

Tiế ƣơ ta thu đƣợc bảng :

35

e (12) (23) (31) (123) (321)

(12) e (123) (321) (23) (13)

(23) (321) e (123) (31) (12)

(31) (123) (321) e (12) (23)

(123) (31) (12) (23) (321) e

(321) (23) (31) (12) e (123)

T

b. T

(

Bài 8: T ận D((12)) trong biểu diễ q S3.

Lời giải

N S3 ả â :

e (12) (23) (31) (123) (321)

(12) e (123) (321) (23) (13)

(23) (321) e (123) (31) (12)

(31) (123) (321) e (12) (23)

(123) (31) (12) (23) (321) e

(321) (23) (31) (12) e (123)

Trong biểu diễ q o i phần tử ƣơ ứng v i m t

e ơ ơ sở tr c chuẩn trong e ơ

T :

36

Từ đ đƣợc:

37

PHẦN 3: KẾT LUẬN

ối chiếu v i mụ đ ê ứu, về ơ ả ậ đã đƣợ o

đạ đƣợc mụ ê đã đề ra. T o q á c hiệ ận,

ú đã đạ đƣợ á ết quả sau:

C ú đã i i thiệu, t ng kết m t số ý ết về H e

oá ử oá ử He e ê ị ê oá ử, ý ết về

ểu diễ

C ú đã ng hợ đƣ đƣợc m t số dạng về H e

ê ị ê oá ử ý ết về ểu diễ

Do ý ế oá ọ ạ ậy, k ận sẽ đƣợ o ệ ơ

khi m t số oá ê q đến vậ ý đƣợc b s ƣ ý ết

phứ ý ế á s ất V o ờ ê ứ ạ ê ê

cứ đề ắc chắ á ỏi thiế s ậy, rất mong nhận

đƣợc những ý, ch dẫn c a thầ á ạn để oá ậ đƣợ o

thiệ ơ .

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Trầ T á Ho Cơ học lượng tử NXB HSP H N i.

[2] Nguyễ Ho P ƣơ Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào vật lý

học lượng tử, NXB Khoa họ K ậ H N i.

[3] Ho Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm NXB HQG

[4] Phạ Q ý Tƣ T 1996 Cơ học lượng tử, ại học Sƣ ạm

H N i.

Tiếng Anh

[5] Arno Bohn (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications,

NXB World Scientific.

[6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for

Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific.

[7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World

Scientific.

39