TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
LÊ PHƯƠNG ANH
SỬ DỤNG DÂY NANO KIM LOẠI ĐỂ BẮT BẪY
NGUYÊN TỬ LẠNH
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN
HÀ NỘI, 2017
LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật Lý, các
thầy giáo, cô giáo trong khoa và tổ Vật lý lý thuyết – Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Thị Phương Lan
đã quan tâm và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm khóa luận.
Do đây là lần đầu tôi làm đề tài nghiên cứu khoa học, dù đã cố gắng
nhưng vẫn không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Kính mong sự đóng
góp quý báu từ phía các thầy cô và các bạn trong khoa để khóa luận tốt
nghiệp của tôi được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 4 năm 2017.
Sinh viên thực hiện
LÊ PHƯƠNG ANH
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp “Sử dụng dây nano kim loại để
bắt bẫy nguyên tử lạnh”, đây là khóa luận tốt nghiệp của bản thân, dưới sự
hướng dẫn tận tình của ThS. Nguyễn Thị Phương Lan. Những kết quả
nghiên cứu trong khóa luận này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp
với đề tài khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện
khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã
được chỉ rõ nguồn gốc. Các kết quả nêu trong khóa luận là hoàn toàn trung
thực.
Hà Nội, tháng 4 năm 2017.
Sinh viên thực hiện
LÊ PHƯƠNG ANH
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu ................................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 2
6. Đóng góp của khóa luận ............................................................................. 2
7. Cấu trúc của khóa luận ............................................................................... 3
NỘI DUNG .................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: HIỆU ỨNG EVANESCENT TRÊN CÁC VẬT LIỆU CỠ
NANO MÉT................................................................................................... 4
1.1. Nguyên tử lạnh. ....................................................................................... 4
1.2. Hiệu ứng evanescent. ............................................................................... 4
CHƯƠNG 2: PLASMON, PLASMON BỀ MẶT VÀ PLASMON
POLARITON BỀ MẶT TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI. .......................... 19
2.1. Khái niệm plasmon, plasmon bề mặt và plasmon polariton bề mặt. ....... 19
2.2. Hệ thức tán sắc của plasmon polariton. .................................................. 21
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN BẪY QUANG NGUYÊN TỬ LẠNH
TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI. ................................................................. 27
3.1. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hòa. .............................................. 27
3.2. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hòa khi tính đến hiệu ứng plasmon
polariton bề mặt. .......................................................................................... 34
KẾT LUẬN .................................................................................................. 42
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đối với cuộc cách mạng khoa học công nghệ, vật lí chất rắn có một vai
trò đặc biệt quan trọng. Vật lí chất rắn đã cung cấp những vật liệu cho ngành
mũi nhọn như: điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử... Cùng với sự
phát triển của các ngành khoa học khác thì càng đòi hỏi nhu cầu về vật liệu đa
dạng và phong phú để có thể đáp ứng kịp thời sự tiến bộ khoa học đó. Chính
vì vậy khi nghiên cứu tới vật rắn ta đặc biệt quan tâm tới cấu trúc của vật rắn,
các tính chất sau này đều dựa trên cấu trúc vật lí của vật rắn.
Trước kia người ta cho rằng vật chất tồn tại ở ba trạng thái: rắn, lỏng,
khí. Mãi tới gần đây thì người ta còn phát hiện ra ngoài 3 dạng tồn tại trên thì
vật chất còn tồn tại ở dạng thứ tư là plasma, giống như các phonon là chuẩn
hạt các dao động cơ học. Như vậy, plasmon là dao động tập thể của các mật
độ khí electron tự do. Plasmon có thể cặp với hai photon để tạo ra một giả hạt
gọi là plasmon polariton.
Plasmon bề mặt là những plasmon được giới hạn bề mặt và tương tác
mạnh với ánh sáng dẫn tới một polariton. Chúng xảy ra tại giao diện của chân
không và vật liệu có hằng số điện môi thực là dương nhỏ hoặc âm lớn (thường
là một kim loại hoặc điện môi pha tạp).
Với những tính chất vật lí đó ứng dụng của plasmon và plasmon bề mặt
trong vật lí rất đa dạng, tiêu biểu là tính chất quang học của kim loại. Plasmon
đang được coi là phương tiện truyền tải thông tin trên các chip máy tính.
Plasmon cũng đã được đề xuất như một phương tiện in lito có độ phân giải
cao và kính hiển vi đo bước sóng vô cùng bé của mình. Các ứng dụng đã
được nghiên cứu thành công trong phòng thí nghiệm. Còn Plasmon bề mặt
đóng vai trò quan trọng trong vấn đề phổ Raman tăng cường bề mặt (FERS ),
truyền năng lượng Plasmon bề mặt (SET), và truyền năng lượng cộng hưởng
1
(FRET) và có nhiều ứng dụng trong công nghệ nano Plasmon và điều trị y tế.
Những năm gần đây plasmon đang được quan tâm nhiều do những ứng
dụng to lớn của chúng trong các kĩ thuật vật lí mới và công nghệ mới. Điểm
mạnh và thú vị của Plasmon bề mặt là làm các hiệu ứng vật lí mạnh lên rất
nhiều lần, thậm chí tăng “khổng lồ” lên nhiều bậc, ví dụ tăng 14 bậc trong tán
xạ Ranma bề mặt SERS. Chính vì vậy mà tôi quyết định chọn đề tài : “Sử
dụng dây nano kim loại để bắt bẫy nguyên tử lạnh.” nhằm tìm hiểu về cách
bắt bẫy nguyên tử lạnh trung hòa và cách bắt bẫy nguyên tử lạnh trung hòa
khi tính đến hiệu ứng plasmon polariton bề mặt.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về plasmon.
- Hiệu ứng Plasmon của dây nano kim loại.
- Ứng dụng của Plasmon trong việc bẫy nguyên tử lạnh.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Plasmon.
- Dây nano kim loại.
- Nguyên tử lạnh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về plasmon.
- Nghiên cứu về Plasmon của dây nano kim loại.
- Nghiên cứu ứng dụng của plasmon trong việc bẫy nguyên tử lạnh.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.
6. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận này cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và bạn đọc
quan tâm.
2
7. Cấu trúc của khóa luận
Chương 1: Hiệu ứng evanescent trên các vật liệu cỡ nano mét.
Chương 2: Plasma, plasmon bề mặt và Plasmon polariton bề mặt của dây
nano kim loại.
Chương 3: Mô hình đơn giản bẫy quang nguyên tử lạnh trên dây nano kim
loại.
3
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: HIỆU ỨNG EVANESCENT TRÊN CÁC VẬT LIỆU
CỠ NANO MÉT.
1.1. Nguyên tử lạnh.
Nguyên tử lạnh được hiểu là nguyên tử được làm lạnh đến gần nhiệt độ
tuyệt đối, có thể đạt tới gần một phần triệu độ Kelvin. Làm lạnh nguyên tử
như thế tức là làm giảm sự dao động nhiệt của chúng. Khi nguyên tử được
làm lạnh đến nhiệt độ này, chúng có thể sẽ bị giam cầm trong một thể tích
không gian giới hạn, ta có thể bắt chúng đứng yên để quan sát hay khảo sát
vật lý với một lượng hạt rất nhỏ[10].
Các nguyên tử lạnh bị giam cầm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của
vật lý cũng như mở ra những triển vọng mới cho ngành vật lý nhiệt độ thấp.
Các nguyên tử lạnh bị giam cầm có thể được sử dụng trong việc hình thành
các phân tử lạnh, cung cấp khả năng để nghiên cứu các quá trình va chạm
trong các mẫu nguyên tử lạnh, nó sẽ mở ra một hướng nghiêm cứu mới trong
quang phổ học nguyên tử, và trong nghiên cứu các hiệu ứng thống kê lượng
tử của tập hợp các nguyên tử ở nhiệt độ thấp như ngưng tụ Bose- Einstein,....
Cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ và kĩ thuật, con người đã
tìm tòi và phát hiện ra nhiều cách làm lạnh nguyên tử khác nhau như: Phương
pháp làm lạnh Doppler, phương pháp làm lạnh bằng tia laser,….
Khi làm lạnh nguyên tử bằng tia laser, người ta chiếu một chùm tia laser
lên nguyên tử, sau khi va chạm với nhau nguyên tử và photon đều bị giảm tốc
độ. Sau khi va chạm với nhau rất nhiều lần, tốc độ của chúng giảm xuống do
vậy nhiệt độ cũng giảm.
1.2. Hiệu ứng evanescent.
Khi chiếu chùm sóng điện từ có cường độ hay bước sóng thích hợp vào
các vật liệu có kích cỡ nano mét thì trên bề mặt của chúng sẽ xuất hiện một
4
sóng suy giảm theo hàm số mũ, sóng suy giảm này được gọi là sóng
evanescent.
Hình 1.1: Sự hình thành sóng evanescent trên ống nano kim loại.
Khi một chùm sóng điện từ có tần số thích hợp được chiếu dọc theo sợi
nano kim loại hay một ống nano carbon thì phần lớn các sóng điện từ sẽ lan
truyền dọc theo chiều dài của chúng. Tuy nhiên sẽ có một phần nhỏ sóng này
bị tán xạ theo bề mặt của chúng gây ra một trường sóng suy giảm theo hàm
mũ được gọi là hiệu ứng evanescent quanh dây và ống. Sóng ánh sáng suy
giảm khi đi ra từ thành dây và ống sẽ sinh ra một thế hút các nguyên tử ở gần
bề mặt của nó. Chúng ta có thể lợi dụng tính chất này của sóng để có thể bẫy
và bắt các nguyên tử đó chuyển động quanh ống. Điều đó có thể xảy ra khi
gradien lực của trường sóng evanescent có thể cân bằng với lực li tâm của
chuyển động xung quanh ống. Một số công trình đã chứng minh được khi
sóng điện từ mạnh có tần số trải từ Terahertz (THz) tới vùng lân cận hồng
ngoại truyền trong ống sẽ gây ra một trường sóng evanescent quanh ống để
bẫy các nguyên tử. Sự bẫy và dẫn nguyên tử xảy ra ở bên ngoài ống[2].
5
Hình 1.2: Sự dẫn hướng nguyên tử chuyển động quanh dây nano kim
loại.
Ngoài ra, khi chiếu một sóng điện từ lên một màng mỏng kim loại trên
nền điện môi với những điều kiện nhất định cường độ sóng, góc tới... thì cũng
xuất hiện hiệu ứng evanescent[1].
Khi sóng ánh sáng chiếu vào bề mặt giới hạn của một vật liệu có cấu tạo
nano với các chiết suất khác nhau, thì một phần của sóng được phản xạ và
một phần có thể bị khúc xạ (đi qua mặt phân cách giữa hai môi trường). Điều
này sẽ được mô tả như sau:
Hình 1.3: Phản xạ và khúc xạ của một sóng điện từ tại biên
của hai môi trường.
Giả sử ta có hai môi trường 1 và 2 lần lượt có chiết suất là và được
giới hạn bởi một mặt phẳng. Một sóng điện từ phẳng đơn sắc truyền từ môi
6
trường 1 đến mặt phân cách ta gọi đó là sóng tới và biểu thị bằng vector sóng
. Đến bề mặt phân cách một phần sóng tới bị phản xạ lại môi trường 1
(sóng phản xạ ) và một phần khác truyền sang môi trường 2 (sóng khúc xạ
). Ta có cường độ của các sóng tới, sóng phản xạ và khúc xạ được biểu diễn
dưới dạng:
(1.1a)
(1.1b)
(1.1c)
Trong đó là biên độ; là tần số góc của các sóng.
Điều kiện biên đối với các thành phần tiếp tuyến của tại bề mặt phân
cách giữa hai môi trường:
(1.2) .
Vì sóng tới và sóng phản xạ cùng nằm trong môi trường 1 còn sóng khúc
xạ nằm trong môi trường 2 nên ta có thể viết (1.2) thành:
(1.3)
với tương ứng là thành phần tiếp tuyến của sóng tới, sóng phản
xạ và sóng khúc xạ.
Nếu gọi (i=1, 1', 2) lần lượt là góc giữa các tia sáng với các trục
x, y, z thì từ (1.1a), (1.1b), (1.1c) ta có:
, (1.4a)
, (1.4b)
(1.4c)
Trong đó: là những cosin chỉ phương của các vector sóng.
7
Thay (1.4a), (1.4b), (1.4c) vào (1.3) ta được:
. (1.5)
Trong đó: , (1.6a)
, (1.6b)
. (1.6c)
Lấy đạo hàm (1.5) ta được: . (1.7a)
Rút từ (1.5) rồi thay vào (1.7a) ta được:
. (1.7b)
Để (1.7b) thỏa mãn với mọi là: . (1.8a)
Và . (1.8b)
Từ (1.8a) và (1.8b) ta suy ra: . (1.9)
Vậy tần số của sóng phản xạ và sóng khúc xạ bằng tần số sóng đến.
Từ (1.5) và (1.9) ta rút ra: . (1.10)
Thay (1.6) vào (1.10) ta được:
. (1.11)
Trong đó: , (1.12a)
, (1.12b)
. (1.12c)
Rút từ (1.11) rồi thay vào biểu thức đạo hàm của (1.11) theo z ta được:
.
Để thỏa mãn phương trình trên thì các biểu thức trong dấu ngoặc phải bằng 0
nghĩa là: . (1.13)
Nếu tia đến nằm trong mặt (x, y) tức là thì . Khi đó, từ
8
(1.13) ta suy ra:
. (1.14)
Nghĩa là các tia của sóng tới, sóng phản xạ và sóng khúc xạ đều nằm trong
cùng một mặt phẳng, và được gọi là mặt phẳng tới.
Ta thay (1.6) vào (1.10) và viết dưới dạng:
. (1.15)
Trong đó: (1.16a) ,
(1.16b) ,
(1.16c) .
Lấy đạo hàm (1.15) và cũng làm tương tự như trên ta được:
. (1.17)
Đối với các môi trường có hằng só điện môi 𝜀 và độ từ thẩm 𝜇 số sóng là
nên ta viết (1.17) thành:
và từ đây ta suy ra:
(1.18)
(1.19) .
Từ (1.18) ta có . (1.20)
Vì các góc và tương ứng là phụ nhau cho nên (1.19) cũng có dạng:
(1.21) .
(1.21) là công thức định luật Snell’n.
Trong đó, là góc tới, góc khúc xạ. Góc xảy ra khi chùm tia khúc xạ
gần pháp tuyến được gọi là góc tới hạn. Sự phản xạ toàn phần sẽ xảy ra nếu
9
góc tới lớn hơn góc tới giới hạn. Tại bề mặt phân cách giữa hai môi trường có
thể xảy ra sự phản xạ toàn phần (Total internal reflec - TIR) nếu góc tới lớn
hơn hoặc bằng góc tới hạn khi chiếu một chùm ánh sáng từ môi trường 1 sang
môi trường 2 kém chiết quang hơn (có chỉ số khúc xạ thấp hơn). Hiện tượng
này có thể được biểu thị bằng công thức :
. (1.22)
Thay (1.4) vào (1.3) và sử dụng (1.9), (1.13) và (1.17) ta được:
(1.23) .
Đó là điều kiện biên đối với các biên độ của điện trường. Tương tự ta
cũng có điều kiện biên đối với các biên độ của từ trường:
(1.24) .
Mặt khác, từ ta suy ra mối quan hệ giữa biên độ của
sóng điện và sóng từ: . (1.25)
Ta xét hai trường hợp sóng điện từ phân cực thẳng.
Hình 1.4: Sự phản xạ và khúc xạ của một sóng phẳng tại mặt phân cách
giữa hai môi trường trong các trường hợp phân cực song song (a), phân
cực vuông góc (b).
Đối với phân cực song song, vector điện nằm trong mặt phẳng tới. Trong
trường hợp này, ta có thể viết (1.23) thành:
10
. (1.26)
(1.27) Hay
Vì , từ (1.27) ta có:
. (1.28)
Do vector từ vuông góc với mặt phẳng tới, do đó ta có thể viết (1.24) thành:
(1.29)
Đối với điện môi từ (1.25) và (1.29) ta rút ra:
. (1.30)
Từ (1.28) và (1.30) ta có:
, (1.31)
. (1.32)
Sử dụng (1.21) ta biến đổi hai công thức trên thành:
(1.33)
. (1.34)
Đối với phân cực vuông góc, vector điện vuông góc với mặt phẳng tới.
Điều kiện biên cho các vector điện trong trường hợp này là:
(1.35)
Tương tự như trên ta có:
(1.36)
11
(1.37)
Hoặc sử dụng công thức (1.21) ta biến bổi hai công thức trên thành:
(1.38)
(1.39)
Hệ số phản xạ r và hệ số truyền qua t được định nghĩa như sau:
(1.40) .
Trong đó, P là vector mật độ dòng năng lượng Poynting.
Do nên ta viết (1.40) thành:
(1.41) .
Từ (1.33), (1.34), (1.38), (1.39) và (1.41) ta nhận được các công thức sau:
Trường hợp nằm trong mặt phẳng tới:
. (1.42)
Trường hợp vuông góc với mặt phẳng tới:
. (1.43)
Từ phương trình Fresnel này, nếu biết cường độ tia tới có thể tính được
cường độ chùm tia phản xạ và khúc xạ. Hệ số phản xạ phụ thuộc vào độ phân
cực của ánh sáng tới. Nếu biết giá trị của góc tới, góc phản xạ thì các phương
trình Fresnel có dạng:
12
, (1.44)
, (1.45)
với , lần lượt là hệ số phản xạ ánh sáng phân cực vuông góc, song song.
Sử dụng phương trình Snell’s và hệ thức lượng giác thì ta
có thể viết lại công thức Fresnel như sau:
, (1.46)
, (1.47)
(1.48) ,
(1.49) .
là hệ số truyền qua.
Nếu góc tới lớn hơn góc tới giới hạn thì sóng evanescent được tạo ra
trong quá trình phản xạ và truyền qua của một sóng điện từ. Không phải lúc
nào ta chiếu một sóng điện từ vào bề mặt vật có cấu tạo nano thì cũng xuất
hiện sóng evanescent. Sự xuất hiện của sóng còn phụ thuộc vào yếu tố như
góc tới lớn hơn góc tới giới hạn, chiết suất, cường độ chùm sóng điện từ,...
13
Với một cách tiếp cận khác, trường sóng evanescent đóng một vai trò
trung tâm trong quang học nano. Những trường evanescent có thể được mô tả
bởi những sóng phẳng có dạng . Nó được đặc trưng bởi ít nhất một
thành phần của vector sóng mô tả hướng truyền là không có thực. Trong
không gian, phần ảo của vector sóng không lan truyền mà nó suy giảm
theo hàm số mũ. Sóng suy giảm này có tầm quan trọng trong việc nghiên cứu
các lĩnh vực quang học có kích cỡ nanomet.
Những trường sóng evanescent chỉ xuất hiện ở gần bề mặt phân cách giữa
hai môi trường không đồng nhất và không bao giờ xuất hiện ở một môi
trường đồng nhất.
Xét hai môi trường có hằng số điện môi và độ từ thẩm lần lượt là
và . Một sóng phẳng phân cực luôn có thể được
viết như sự chồng chất của hai sóng phẳng phân cực trực giao, để thuận tiện
cho những phân cực song song hoặc vuông góc với mặt phẳng tỉ lệ của vector
sóng ta có thể viết:
. (1.50)
Trong đó, , tương ứng là các vector điện song song và vuông
góc với vector sóng . Những thành phần song song và vuông góc của
vector sóng không bị thay đổi khi bị phản xạ hay truyền qua mặt phân cách
giữa hai môi trường.
Ta phân biệt sóng tới và sóng truyền qua bởi vector sóng và . Từ
hình 1.3 ta có:
14
. (1.51)
. (1.52)
Vì vậy các thành phần ngang của vector sóng là không thay đổi
và số sóng dọc được cho bởi:
. (1.53)
Số sóng ngang có thể được biểu diễn qua góc tới như
sau:
(1.54)
Theo công thức (1.53) ta cũng có thể biểu biễn qua .
Từ các điều kiện biên, biên độ của sóng phản xạ và truyền qua có thể
được biểu diễn:
,
(1.55)
lần lượt là sóng khúc xạ song song và vuông góc với vector sóng với
Khi đó, hệ số phản xạ, hệ số truyền qua được xác định là:
.
(1.56)
Các hệ số này phụ thuộc vào sự phân cực của sóng phẳng tới mặt phân
15
cách giữa hai môi trường. Các hệ số được xác định qua và do đó
nó có thể được biểu diễn qua góc tới . Đối với một sóng phẳng trực giao
thì khác nhau bởi một hệ số là .
Tại bề mặt phân cách sẽ có sự phản xạ ánh sáng và sóng phản xạ có biên
độ được xác định bởi công thức Fresnel và định luật Snell’n tương ứng.
Khi góc tới lớn hơn góc tới giới hạn hoặc góc phản xạ bằng 0 thì sóng
evanescent được tạo ra bởi sự phản xạ toàn phần trên bề mặt màng mỏng kim
loại trên nền chất điện môi.
Chọn trục hoành x nằm trên mặt phân cách giữa hai môi trường, vector của
trường sóng truyền đi có dạng:
(1.57)
Ta có:
, , (1.58)
với là hệ số khúc xạ tương đối, (1.59)
Khi , và góc tới tăng dần thì (hoặc ) sẽ nhỏ dần và khi
đạt tới một giá trị nào đó thì biểu thức dưới dấu căn sẽ trở thành một số
âm. Các góc tới hạn được xác định bởi điều kiện:
(1.60)
Khi thành phần vector sóng theo phương z của sóng khúc xạ bằng 0 (
) tức sóng phẳng khúc xạ đi song song với bề mặt phân cách giữa hai
16
.
môi trường thì: (1.61)
Ví dụ, đối với hai môi trường kính và không khí lần lượt có hằng số điện
môi và độ từ thẩm lần lượt là: và thì góc giới hạn
có giá trị . Khi thì sẽ có dạng phức.
Sự lan truyền của sóng khúc xạ sẽ được diễn tả như là hàm của góc . Do
vậy từ (1.57) ta có:
. (1.62)
Trong đó, là hệ số suy giảm, được xác định bởi:
(1.63)
Hình 1.5: Sự xuất hiện của sóng evanescent khi có sự phản xạ toàn phần
của chùm sáng khi chiếu trên bề mặt phân cách giữa 2 môi trường.
Nếu sóng phẳng tới mặt phân cách giữa hai môi trường với góc tới
là góc phản xạ toàn phần) thì sóng evanescent được tạo ra trong
môi trường. Phương trình (1.62) mô tả một trường sóng truyền dọc theo bề
mặt phân cách nhưng lại bị suy giảm theo hàm số mũ theo phương vuông góc
bề mặt phân cách giữa hai môi trường. Như vậy, một sóng evanescent sẽ được
17
tạo thành khi một sóng phẳng truyền tới một góc . Và, sự phản xạ toàn
phần chính là sự tạo thành sóng evanescent nhờ một sóng phẳng tới mặt phân
cách một góc .
Đối với sự truyền ánh sáng giữa hai môi trường kính và không khí khi góc
tới , hằng số suy giảm . Điều này có nghĩa là ở một
khoảng cách xấp xỉ từ trường được tính trung bình theo thời gian bởi
một hệ số e. Tại một khoảng cách xấp xỉ từ trường trở nên không đáng
kể. Khi thì nó có dạng số phức. Hơn nữa, nó dẫn đến sự cực hướng
elip của sóng evanescent với sự quay của trường vector trong mặt phẳng tới
khi cho p - phân cực.
Công thức (1.62) mô tả trường sóng evanescent. Ngoài ra khi chiếu một
chùm tia sáng vào một lăng trụ kính thì cũng có thể tạo ra sóng evanescent.
Hình 1.5: Hình ảnh sóng evanescent đứng dọc theo hướng lan truyền và sự
phân rã của cường độ theo trục z. Tung độ phụ thuộc đều đặn vào năng
lượng.
18
CHƯƠNG 2: PLASMON, PLASMON BỀ MẶT VÀ PLASMON
POLARITON BỀ MẶT TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI.
2.1. Khái niệm plasmon, plasmon bề mặt và plasmon polariton bề mặt.
2.1.1. Plasmon và plasmon bề mặt.
Plasmon được định nghĩa là dao động tập thể của các điện tử tự do. Các
điện tử ở mặt phân cách giữa hai vật liệu có phần thực của hàm điện môi trái
dấu, ví dụ như kim loại – điện môi, được kích thích dao động tập thể sẽ tạo
thành plasmon bề mặt (surface plasmon – SP)[11]. Plasmon bề mặt có năng
lượng nhỏ hơn năng lượng của plasmon khối.
Trong vật lý, plasmon được định nghĩa là lượng tử của dao động plasma.
Khi được sinh ra từ sự lượng tử hóa của các dao động plasma thì các plasmon
có thể được coi là một chuẩn hạt, giống như các phonon là chuẩn hạt các dao
động cơ học. Như vậy, plasmon được định nghĩa là dao động tập thể của các
mật độ khí electron tự do, và plasmon polariton chính là plasmon có thể cặp
với một photon để tạo ra một giả hạt.
Plasmon có thể được mô tả trong các bức tranh cổ điển như một dao
động của mật độ electron tự do đối với các ion dương cố định trong kim loại.
Hầu hết các tính chất của plasmon có thể được suy ra trực tiếp từ hệ các
phương trình Maxwell, chúng là sự lượng tử hóa của các dao động plasma cổ
điển.
Hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra và sóng cộng hưởng plasmon (surface
plasmon resonance - SPR) sẽ lan truyền trên biên phân cách giữa hai môi
trường điện môi và kim loại, hoặc bức xạ ra không gian tự do khi tần số sóng
ánh sáng tới trùng với tần số dao động riêng của plasmon. Như vậy, sự kích
thích tập thể đồng thời của tất cả các điện tử dẫn tạo thành một dao động đồng
pha là cộng hưởng plasmon bề mặt (surface plasmon resonance - SPR).
19
2.1.2. Plasmon polariton bề mặt.
Khi các điện tử tự do ở mặt phân cách tương tác với photon thì tạo ra
plasmon polariton bề mặt (Surface Plasmon Polariton -SPP). Plasmon plariton
bề mặt thường được gọi là plasmon bề mặt. Chúng có thể truyền dọc theo bề
mặt kim loại, năng lượng của nó sẽ bị mất do sự hấp thụ của kim loại hoặc bị
bức xạ vào môi trường.
Plasmon bề mặt tại mặt phân cách giữa hai môi trường kim loại và điện
môi được minh họa trên hình 2.1.
Trong kim loại có chứa các điện tử tự do, các điện tử tự do sẽ dịch chuyển
ngược chiều điện trường, gây nên một phân bố điện tích trên bề mặt kim loại
khi có ánh sáng kích thích chiếu tới bề mặt kim loại. Sóng plasmon bề mặt
truyền dọc theo phân cách kim loại – điện môi là dao động của phân bố điện
tích này.
Hình 2.1: Plasmon bề mặt tại mặt phân cách giữa một kim loại và vật
liệu điện môi có điện tích kết hợp [7].
Điện trường của ánh sáng tới tạo nên phân cực của các điện tử dẫn (điện tử
tự do) đối với lõi ion nặng của một hạt cầu ứng với các hạt nano kim loại. Một
dao động lưỡng cực của các điện tử với chu kỳ T (hình 2.2) tạo ra bởi sự
chênh lệch điện tích thực tế ở các biên của hạt nano kim loại hoạt động như
20
lực hồi phục (restoring force).
Hình 2.2: Sự tạo thành dao động plasmon bề mặt trên các hạt nano kim
loại.
Như vậy, có thể thấy các mode liên kết của trường điện từ của ánh sáng
tới và các điện tử tự do trong kim loại là plasmon bề mặt. Chúng có thể được
xem như ánh sáng hai chiều bị ràng buộc bởi mặt phân cách kim loại – điện
môi, trường plasmon bề mặt có cường độ lớn nhất ở mặt phân cách và suy
giảm theo hàm mũ ở các hướng vuông góc với bề mặt [8, 9].
2.2. Hệ thức tán sắc của plasmon polariton.
Khi có ánh sáng kích thích chiếu tới mặt phân cách sẽ gây nên một phân
bố điện tích trên bề mặt kim loại. Sóng plasmon bề mặt truyền dọc theo biên
phân cách kim loại – điện môi (hình 2.1) là dao động của phân bố điện tích
này. Do đó, để giải bài toán sóng điện từ trên biên phân cách giữa hai môi
trường ta áp dụng lý thuyết điện từ học.
Xét mặt phân cách giữa hai môi trường có hàm điện môi là m và d. Điện
trường của sóng điện từ được biểu diễn bởi công thức:
trong đó: là bán kính vectơ của điểm quan sát, là vectơ sóng và là tần
21
số của ánh sáng tới.
Vì dao động của phân bố điện tích là sóng plasmon bề mặt truyền dọc theo
biên phân cách giữa hai môi trường nên điện trường của sóng điện từ lan
truyền được biểu diễn bởi công thức:
(2.1)
Các phương trình Maxwell có dạng:
Điều kiện biên liên tục của vectơ điện thế và vectơ điện dịch:
;
Giải các phương trình Maxwell cho sóng điện từ tại biên phân cách giữa
hai vật liệu với hằng số điện môi là m và d, sử dụng các điều kiện biên liên
tục của điện thế và vectơ điện dịch ta có [3, 6]:
(2.2)
(2.3) và , i = 1, 2.
Trong đó c là tốc độ ánh sáng trong chân không, kx là như nhau tại biên
phân cách cho một sóng bề mặt.
Từ hai phương trình (2.2) và (2.3) ta có mối quan hệ tán sắc cho một
sóng lan truyền trên bề mặt là:
22
. (2.4)
Hàm điện môi của kim loại trong mô hình của khí điện tử tự do được cho
bởi: .
Với , ta có: .
Bỏ qua sự suy giảm, ta có: .
Vì nên: . (2.5)
Trong đó P là tần số plasmon của kim loại khối, có biểu thức trong
đơn vị SI là : , (2.6)
với là mật độ điện tích, e là điện tích của điện tử, m* là khối lượng hiệu
dụng của điện tử và là hằng số điện môi trong chân không.
Trên hình 2.3 biểu diễn đường cong tán sắc của tần số plasmon bề mặt.
23
Hình 2.3: Đường cong tán sắc của các plasmon polariton.
Ở giá trị các vectơ sóng nhỏ, các SPP thể hiện giống như các photon,
nhưng khi k tăng, đường cong tán sắc bị uốn cong và đạt tới một giới hạn
tiệm cận tới tần số plasmon của kim loại khối..
Tần số plasmon bề mặt được cho bởi:
. (2.7)
Trong trường hợp môi trường điện môi là không khí trên bề mặt kim loại
( ), ta có: . (2.8)
Ta thấy, từ công thức (2.4) và hình 2.3, với cùng một tần số, giá trị vectơ
sóng của plasmon kSP lớn hơn so với giá trị vectơ sóng của photon tự do. Sóng
plasmon chỉ lan truyền trên bề mặt phân cách giữa hai môi trường do sự
chênh lệch vectơ sóng này.
Xét mặt phân cách giữa kim loại (m) và điện môi (d) ta có d là thực và d
> 0 và εm < 0 (là điều kiện kim loại thỏa mãn). Sóng điện từ bị suy hao do các
mất mát ohmic sẽ đi qua kim loại và các tương tác giữa điện tử và lõi ion. Các
hiệu ứng này cho thấy có một thành phần ảo của hàm điện môi.
24
Hàm điện môi của kim loại được biểu diễn: . (2.9)
Trong đó r là phần thực và i là phần ảo.
biểu thức của số sóng tại mặt phân cách của các plasmon được biểu
diễn như sau:
(2.10)
Trong kim loại, biểu thức vectơ sóng cho ta ý nghĩa vật lý của sóng điện
từ như độ lớn không gian của các plasmon và yêu cầu để có sự kết hợp vectơ
sóng tại mặt phân cách.
Khoảng cách mà sóng plasmon có cường độ giảm đi e lần được định
nghĩa là độ dài lan truyền plasmon,được cho bởi công thức [11]:
. (2.11)
Độ xuyên sâu của trường plasmon vào kim loại m và điện môi d được
biểu diễn theo các công thức [7, 11]:
. (2.12a)
. (2.12b)
Trên hình 2.4 biểu diễn độ xuyên sâu của trường plasmon vào kim loại
và điện môi.
25
Hình 2.4: Minh họa độ xuyên sâu của trường plasmon vào kim loại và
điện môi.
26
CHƯƠNG 3: MÔ HÌNH ĐƠN GIẢN BẪY QUANG NGUYÊN TỬ
LẠNH TRÊN DÂY NANO KIM LOẠI.
3.1. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hòa.
Khi chiếu một chùm sáng điện từ vào một dây nano oxit kẽm thì sẽ xuất
hiện một trường sóng evanescent quanh dây. Sóng ánh sáng suy giảm khi đi
ra xa từ thành dây sinh ra một thế hút các nguyên tử lạnh trung hòa. Bên
ngoài dây xảy ra sự bẫy và dẫn nguyên tử. Khi nguyên tử giữ ở xa thành dây
thì sự bền vững bẫy và dẫn nguyên tử được duy trì. Điều này có thể đạt được
bởi rào thế ly tâm. Rào thế ly tâm có thể cân bằng với tất cả các thế phân kỳ
kém tốc độ hơn khi .
Hình 3.1: Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hòa dùng dây nano oxit
kẽm[2].
Xét một nguyên tử lạnh trung hòa khối lượng µ chuyển động quanh dây
nano oxit kẽm. Sóng điện từ mạnh truyền trong dây gây ra một trường sóng
evanescent quanh dây. Giả sử rằng, thế U của nguyên tử có đối xứng trụ. Do
đó, U phụ thuộc vào khoảng cách r từ nguyên tử tới trục z của dây nhưng nó
không phụ thuộc vào hai tọa độ trụ khác là φ và z. Do đối xứng, thành phần Lz
của mômen xung lượng của nguyên tử được bảo toàn. Trong trạng thái riêng,
, m là một số nguyên, được gọi là số lượng tử quay. Thế ly tâm của
nguyên tử là thế đẩy và được xác định bởi [8, 12] :
. (3.1)
27
Chuyển động xuyên tâm của nguyên tử có thể được khảo sát như chuyển
động một chiều của một hạt trong thế hiệu dụng:
(3.2)
Ở đó, có tồn tại trạng thái liên kết bền vững của nguyên tử nếu Ueff có một
cực tiểu địa phương ở khoảng cách bên ngoài dây nano. Nếu thế U là
thế hút, ngược với thế ly tâm Ucf thì điều này sẽ xảy ra. Sóng điện từ mạnh
truyền trong dây sinh ra thế U. Sóng điện từ mạnh sinh ra một trường sóng
evanescent quanh dây, sự biến thiên độ dốc của nó trong mặt phẳng vuông
góc dẫn đến một gradient lực lên nguyên tử. Trường sóng này phụ thuộc bán
kính dây R và bước sóng điện từ được chiếu vào dây.
Trong gần đúng phân cực tuyến tính, hàm Bessel mô tả
sự phụ thuộc không gian của biên độ của trường bên ngoài dây nano. Trong
đó, tham số
là nghịch đảo của độ dài suy giảm đặc trưng Λ của trường sóng evanescent. Khi đó, thế quang học U bên ngoài dây có thể được
viết như sau: , (3.3)
với G là hằng số tương tác giữa trường sóng evanescent và nguyên tử.
Để đơn giản ta sử dụng ánh sáng phân cực tròn để tạo ra thế quang học
đối xứng trụ. Thế hiệu dụng đối với chuyển động xuyên tâm của nguyên tử
trong thế quang học có thể được viết dưới dạng :
. (3.4)
Trong đó, là năng lượng giật lùi,
là hằng số tương tác chuẩn hóa. Ở đây, µ là khối lượng của nguyên tử và k là số sóng của trường. Tại điểm
cực tiểu địa phương rm, đạo hàm của Ueff theo khoảng cách r bằng không;
28
.
. Để tính rm, ta dùng phương pháp biến đổi:
Khi đó xm sẽ là nghiệm của phương trình: (3.5)
với: (3.6)
Hàm f(x) đạt giá trị cực đại . Nếu tại
thì sẽ tồn tại rm. Khi điều kiện này được thỏa mãn, phương trình (3.5) có 2
nghiệm. Nghiệm nhỏ hơn sẽ tương ứng với điểm cực tiểu địa phương rm của
Ueff(r) và nghiệm lớn hơn tương ứng với điểm cực đại địa phương. Sau đó, từ
hệ thức nên . Vì vậy, khoảng cách từ điểm cực
tiểu địa phương rm của thế quang học hiệu dụng tới trục của dây nano luôn
luôn nhỏ hơn độ dài suy giảm đặc trưng Λ của trường sóng evanescent. Để
bẫy các nguyên tử ở ngoài ống dây thì khoảng cách từ chúng tới trục ống phải
lớn hơn bán kính R của dây; do vậy , mặt khác nên ta thu
được:
. (3.7)
Do vậy, . Điều kiện (3.7) có thể được thỏa
mãn chỉ khi tham số kích thước kR là đủ nhỏ. Mặt khác, đòi hỏi có thể
được thỏa mãn chỉ khi , ở đây: với . Tổ hợp các
điều kiện và và sử dụng biểu thức tường minh của M, ta thu
được:
. (3.8)
Suy ra: .
29
Do đó nếu thì trạng thái liên kết bền vững của nguyên tử
mới có thể tồn tại với mmin và mmax là các số nguyên tương ứng gần với
và . Khi m tăng thì 𝑟𝑚 tăng tương ứng sự
giảm độ sâu –Ueff (rm) của cực tiểu địa phương của thế quang học hiệu dụng.
Khi đó độ sâu –Ueff(rm) tăng lên với sự tăng của tham số tương tác g.
Khi tính số thế hiệu dụng quang học Ueff(r) của nguyên tử lạnh trung hòa
ở bên ngoài dây nano kim loại, ta sử dụng ánh sáng có bước sóng
, với bán kính của dây nano oxit kẽm và độ dài suy
giảm đặc trưng của ánh sáng bẫy từ ống . Để sinh ra một lực lưỡng
cực mạnh dẫn đến một thế quang học hiệu dụng với điểm cực tiểu địa phương
ở sâu thì tham số tương tác g phải là lớn. Ở đây, ta chọn . Khi đó,
từ công thức (3.8) cho ta biết giá trị và . Vậy để thế
quang học hiệu dụng Ueff có một điểm cực tiểu địa phương rm bên ngoài dây
nano nhằm bẫy được nguyên tử lạnh, thì trong trường hợp này m chỉ nhận giá
trị .
Hình 3.2: Thế quang học hiệu dụng Ueff của nguyên tử bên ngoài dây nano
oxit kẽm. Bước sóng và tham số tương tác chuẩn hóa của ánh sáng bẫy
tương ứng là . và
Hình 3.2 biểu diễn kết quả tính toán cho thế quang học hiệu dụng Ueff trong
30
một số trường hợp của m ( ). Từ hình vẽ ta thấy, thế quang
học hiệu dụng có một cực tiểu sâu nằm bên ngoài dây nano khi m = 197. Khi
số lượng tử quay m tăng lên dẫn tới sự tăng vị trí rm của điểm cực tiểu địa
phương và sự giảm độ sâu của thế hiệu dụng –Ueff(rm). Sự tồn tại của một cực
tiểu địa phương ở sâu của thế quang học hiệu dụng gây ra bởi sóng điện từ
mạnh truyền trong dây nano oxide kẽm dẫn đến sự tồn tại trạng thái liên kết
của nguyên tử lạnh trung hòa.
Nguyên tử có thể bị bẫy bằng cách sử dụng sóng điện từ mạnh truyền
trong dây nano oxit kẽm. Sự tồn tại một cực tiểu địa phương ở sâu của thế
quang học hiệu dụng Ueff dẫn tới sự tồn tại các trạng thái liên kết của nguyên
tử. Do đó, ta tính được năng lượng liên kết đối với chuyển động xuyên tâm
của nguyên tử.
Xét trong hệ tọa độ trụ (r, 𝜑, z), phương trình Schrödinger cho chuyển
động của nguyên tử được viết dưới dạng sau:
(3.9)
Trong đó, E là năng lượng của nguyên tử trong thế quang học.
Sử dụng hàm sóng tổng quát có dạng:
(3.10)
Thay vào phương trình Schrödinger (3.9) ta nhận được phương
trình đối với hàm bán kính R(r):
(3.11)
Đặt là năng lượng giật lùi và là hằng số tương
tác chuẩn hóa. Khi đó, phương trình Schrödinger đối với chuyển động xuyên
31
tâm của nguyên tử trong thế quang học hiệu dụng là:
(3.12)
Trong đó, .
Từ phương trình (3.12) ta có thể xác định được năng lượng của hàm sóng
dao động của nguyên tử. Tuy nhiên, để gải phương trình này rất khó khăn. Để
đơn giản, ta sử dụng phương pháp tính số bằng cách dùng một thế fit. Vì vậy,
ta tiến hành fit thế quang học với thế phụ
thuộc ba thông số có dạng , trong đó A, B và C là các tham số fit,
với điều kiện thế fit này phải cho cực tiểu địa phương trùng với cực tiểu địa
phương của hàm tại cùng một vị trí .
Hình 3.3: Đồ thị hàm fit của thế quang học hiệu dụng theo bán kính.
Khi đó, việc tìm các mức năng lượng đầu tiên đối với chuyển động xuyên
tâm của nguyên tử trong thế quang học gây ra bởi sóng điện từ mạnh truyền
trong dây nano oxit kẽm sẽ quy về việc giải phương trình Schrödinger đối với
32
hàm bán kính: (3.13)
Sử dụng các phần mềm tính toán, ta thu được hàm fit với các thông số:
.
Giải phương trình (3.13) ta được các mức năng lượng En của nguyên tử có
dạng [10]:
với , n = 0, 1, 2, 3,…
Năng lượng liên kết của nguyên tử lạnh trung hòa:
[2]. (3.14)
Hình 3.4: Năng lượng liên kết ứng với 2 mức đầu tiên N = 0, 1 của chuyển
động xuyên tâm của nguyên tử trong thế quang học hiệu dụng gây ra bởi
sóng điện từ mạnh truyền trong ống SWNT kim loại (21, 0). Bước sóng và
tham số tương tác chuẩn hóa của ánh sáng bẫy tương ứng là 1.2m và
g = 5850. Số lượng tử quay m = 2[2].
33
Thực nghiệm xác nhận rằng, các trạng thái liên kết đòi hỏi năng lượng liên
kết của các nguyên tử phải lớn hơn động năng chuyển động nhiệt của chúng.
Năng lượng trạng thái cơ bản của nguyên tử Cesium (n = 0), .
Như vậy, mô hình này có thể dùng để bẫy các nguyên tử Cesium ở nhiệt độ
thấp hơn 0.37mK bằng việc sử dụng dây nano oxit kẽm bán kính R = 100 nm
với ánh sáng có bước sóng 0.761 µm truyền trong dây. Kết quả cho thấy, bán
kính càng nhỏ thì thế được tạo ra càng mạnh. Trạng thái liên kết của nguyên
tử trong mô hình đó là ổn định.
3.2. Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hòa khi tính đến hiệu ứng
plasmon polariton bề mặt.
Khi chiếu một chùm sóng điện từ mạnh vào tiết diện của một dây nano
kim loại, trường sóng evanescent xuất hiện quanh dây do hiệu ứng plasmon
polariton bề mặt gây ra, các sóng phân rã ra khỏi bề mặt dây nano kim loại
sinh ra một thế hấp dẫn đối với các nguyên tử trung hòa. Các nguyên tử cần
phải được giữ cách xa các dây nano kim loại cho bẫy ổn định.
Tương tự như khi chưa tính tới hiệu ứng SPP thì trong trường hợp này,
năng lượng bẫy quang học của nguyên tử lạnh trung hòa khi để ý tới hiệu ứng
SPP, ta cũng tính được các mức năng lượng của nguyên tử lạnh trung hòa bị
bẫy.
Xét một mô hình lượng tử hóa lần thứ 2 hàm Hamiltonian cho plasmon
polariton bề mặt [11] trong dây nano kim loại [12]:
(3.15)
+), bk (bk
+) là toán tử hủy (sinh) photon và plasmon tương
Trong đó: ak (ak
ứng với động lượng k, ωP là năng lượng plasmon bề mặt, và
là hệ thức tán sắc của photon. gk được định nghĩa là sự chuyển tiếp đỉnh
34
plasmon-photon (còn được gọi là hằng số liên kết), vì các plasmon khối kích
thích theo chiều dọc, trong khi photon kích thích ngang nên đỉnh này vắng
mặt trong lý thuyết plasmon truyền thống gBk = 0.
Hình 3.5: Sự mô phỏng quá trình tương tác giữa photon và plasmon để
tạo thành plasmon polariton.
Do sóng điện từ phải thỏa mãn các điều kiện biên tại bề mặt ranh giới giữa
hai môi trường, nên quá trình chuyển đổi đỉnh plasmon-photon có thể không
là không, và đây là thông số chính của lý thuyết của plasmon polariton bề
mặt.
Sử dụng phép chuyển đổi Bogoliubov lấy từ lý thuyết siêu dẫn cho sự chéo
hóa Hamilatonian plasmon polariton, ta được:
(3.16)
với là toán tử hủy (sinh) của các toán tử plasmon polarition bề mặt
SPP với động lượng k, và i là số nhánh i = L = 1 cho nhánh thấp và i = U = 2
cho nhánh trên.
Các phép biến đổi với điều kiện UNITA là:
(3.17)
Sử dụng các mối quan hệ giao hoán cho các toán tử hủy và sinh:
và bằng không cho những
trường hợp khác, ta có được mối quan hệ phân tán plasmon polariton bề mặt
35
SPP: (3.18)
Trong trường hợp của hình học phẳng, các nhánh trên được nằm trong
khoảng cách năng lượng nơi có sự tắt dần là quá cao vì vậy chỉ có nhánh thấp
tồn tại, trong khi trong trường hợp của dây nano kim loại cả hai nhánh SPP có
thể tồn tại. Ta có: (3.19)
ở đây (3.20)
và là hệ thức tán sắc kiểu Drude của SPP, ta có các mối quan
hệ tán sắc của các mode SPP năng lượng thấp nhất trên các dây nano bạc của
các dây nano kim loại trong các dạng:
(3.21)
Hình 3.6: Đường cong tán sắc của plasmon polariton bề mặt.
Lưu ý rằng, ta cũng xác định hằng số liên kết thông qua .
36
Hình 3.7: Các tính toán từ phương trình. (3.18, 3.19) quan hệ tán sắc Ωk
và hằng số liên kết plasmon-photon gk của modes SPP năng lượng thấp
nhất với số liệu thực nghiệm (các chấm tròn)[8].
Các vùng giới hạn đến có là quan trọng
nhất đối với tất cả các vấn đề polariton, từ hình ảnh này, để tính đơn giản và
để đánh giá chúng ta có thể lấy xấp xỉ [8].
Trong trường hợp của mode plasmon bề mặt, các tham số liên kết bình
thường là quá lớn mà thay vì thế hiệu dụng kiểu thế Morse, ta lựa chọn thế
hiệu dụng kiểu hàm mũ: (3.22)
với V0 và δ là các tham số của mô hình. Ta có , và δ là độ dài
xuyên thấu của plasmon tạo ra bởi trường evanescent của plasmon bề mặt
trong chân không hoặc không khí: (3.23)
Khi đó, năng lượng liên kết (trạng thái cơ bản) của phương trình Schrodinger
với thế dạng mũ (3.23) là: (3.24)
với β được xác định bởi phương trình: (3.25)
37
và là hàm Bessel. Vì các tham số của hàm Bessel là quá lớn
, do đó, trong thực tế các phương trình (3.18) là không dễ dàng
để giải quyết. Để đơn giản, ta lấy thế V : (3.26)
với các điều kiện mà hai thế có cùng độ sâu và cùng hiệu quả trung bình
(3.27)
với rmax = b/a. Từ những điều kiện này, ta được b = V0 = gP, và
a. Thế hiệu dụng V mới là: (3.28)
Các giá trị của thế V (màu vàng- đường thẳng) và thế dạng hàm mũ (màu
xanh- đường cong) được thể hiện trong hình 3.8.
Hình 3.8: Các giá trị của thế V (màu vàng) và thế mũ (màu xanh).
Bằng phương pháp bán thực nghiệm WENTZEL-KRAMERS-
BRILLOUIN (WKB) có thể thu được một cách chính xác phổ năng lượng của
phương trình Schrodinger với thế dạng V. Các chuyển động trong một hệ
nguyên tử được lượng tử hóa, hoặc rời rạc là ý tưởng cơ bản của lý thuyết bán
lượng tử. Hệ này tuân theo cơ học cổ điển, ngoại trừ rằng không phải mọi
chuyển động được cho phép, chỉ những chuyển động mà tuân theo các điều
kiện bán lượng tử:
38
(3.29)
trong đó h là hằng số lượng tử, là các điểm uốn có nguồn gốc từ phương
trình H (p, r) = E. Đối với thế V : r1 = 0, r2 = b/a = 𝛿 thì điều kiện lượng tử
là:
(3.30)
Vì vậy: (3.31)
Các mức năng lượng được xác định:
(3.32)
mức năng lượng thấp nhất (trạng thái cơ bản):
(3.33)
Các điều kiện tồn tại ít nhất một trạng thái liên kết E1<0, hoặc
, hoặc (3.34)
Bây giờ, ta đi ước tính kết quả thu được. Đối với dự đoán ta lấy dây nano
Ag: ,
, các nguyên tử lạnh là nguyên tử xeri Ce với ,
là khối lượng neutron. Sử dụng nhiệt hệ thống đơn vị QED với
39
, trong đó tất cả các giá trị vật lý phải chuyển đổi ra đơn vị
năng lượng eV:
(UV và phạm vi quang học). Ta đã nhận rằng các điều kiện (3.34) luôn luôn
thỏa mãn, một trạng thái liên kết luôn có, các yếu tố cơ chế bẫy SPP
. So sánh với không phải -SSP yếu tố cơ chế
,hệ số tăng cường SSP trong bẫy hiệu quả
trong thống nhất với các yếu tố tăng cường rất lớn trong một hiện tượng với
cơ chế SSP, như SERS,.........Năng lượng liên kết của bẫy cơ chế SPP là
, tương ứng với nhiệt độ so sánh
với nhiệt độ bẫy quang học truyền thống , hệ số tăng cường SPP
trong nhiệt độ là: . Bẫy với cơ chế SSP, điều kiện "lạnh" của các nguyên
tử có vẻ như không cần thiết nữa.
Khi sử dụng một dây nano kim loại, không gian bắt bẫy các nguyên tử ở
gần đó khác nhau tùy vào sự phân cực của ánh sáng đầu vào mà ta có sự phân
cực của các sóng evanescent khác nhau (có tính chất của trường cảm ứng) dẫn
tới. Không gian bắt bẫy phụ thuộc vào sự phân cực của ánh sáng (sự tác động
của vector điện trường E), vùng bắt bẫy mạnh nhất trùng với hướng của điện
trường của ánh sáng.
Nếu ánh sáng là phân cực thẳng có vector điện trường E nằm trên mặt
phân cực hợp với trục z một góc , khi đó không gian bắt bẫy là mặt phẳng
phân cực đó và mặt phẳng vuông góc với nó.
Nếu ánh sáng là phân cực tròn thì thế tương tác giữa nguyên tử và trường
evanescent tính từ bề mặt có thể triển khai theo các bậc của các đa cực
(multipole):
40
với là môment bậc m.
Trong trường hợp gần đúng lưỡng cực (Dipole) thì thế eva có dạng
( là Dippole, 𝛿 là độ xuyên sâu của trường sóng
evanescent).
Không gian bắt bẫy nguyên tử phụ thuộc vào phân bố độ lớn của vector
điện trường E của trường evanescent. Giả thiết ánh sáng tới có phân cực thì
trường evanescent sẽ có sự phân cực tương ứng theo quy tắc chọn lọc. Vậy E
là vector điện trường của ánh sáng tới và lại phụ thuộc vào sự phân cực của
.
Hình 3.9: Sóng evanescent và sự phân cực tròn của sóng evanescent trên
một dây nano kim loại trong các trường hợp đơn cực (m=0), lưỡng cực
(m=1), tứ cực (m=2).
Không gian bắt bẫy phụ thuộc vào sự phân cực của ánh sáng tới, phản ứng
của kim loại đối với sự phân cực, cấu hình hình học (kích thước và khoảng
cách giữa chúng).
41
KẾT LUẬN
Thông qua việc nghiên cứu đề tài “Sử dụng dây nano kim loại để bắt
bẫy nguyên tử lạnh” em đã nghiên cứu sâu hơn về một vấn đề trong chuyên
ngành Vật lí lí thuyết, cụ thể hơn là về mô hình bẫy nguyên tử lạnh trên dây
nano kim loại.
Đề tài này được thực hiện với mong muốn đóng góp kinh nghiệm giúp
bạn đọc nghiên cứu nhiều hơn, sâu hơn về mô hình bẫy nguyên tử lạnh trên
dây nano kim loại.
Dù đã cố gắng song do bước đầu làm nghiên cứu nên khóa luận không
tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em rất mong nhận được sự đóng góp
của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Nếu tiếp tục được nghiên cứu bổ sung thì đề tài thực sự có ý nghĩa lớn
hơn. Qua đó mang lại một lượng kiến thức lớn cho những ai quan tâm đến
vấn đề này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
Lê Phương Anh
42
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Chu Việt Hà, “Một số ảnh của chùm laser xung Gauss lên quá trình phân
bốcủa môi trường bị kích thích”, 2012.
[2]. Đào Thị Thúy Nga, Nguyễn Thị Phương Lan, Đỗ Thị Nga, Nguyễn Ái
Việt, “Bẫy quang học nguyên tử lạnh trung hòa dùng dây nano oxit
kẽm”, 2013.
[3]. Đào Văn Phúc, Điện động lực học, NXB Giáo dục Hà Nội, 1970.
[4]. Nguyễn Văn Hùng, Lý thuyết chất rắn, NXB ĐHQG Hà Nội, 2001.
[5]. Nguyễn Ngọc Long, Vật lí chất rắn, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007.
[6]. Nguyễn Thị Nhung, "Hiệu ứng plasmon của dây nano kim loại", Khóa
luận tốt nghiệp, 2016.
[7]. Barnes W.L., Dereux A. & Ebbesen T.W, “Surface Plasmon subwavelength
optics”, Nature 424, pp 824-830, 2003.
[8]. Balykin V I, Hakuta K, Kien F L, Liang J Q and Morinaga M:"Atom
trapping and guiding with a subwavelength-diameter optical fiber" Phys.
Rev. A 70 011401, 2004.
[9]. C. T. Anh, D. T. Nga, T. T. Thao, N. V. Thanh, N. A. Viet, “Trapping
Cold Atoms by a Carbon Nanotube” Mod. Phys. Lett. B. 25, 979 (2011).
[10]. http://www.khoahoc.tv.
[11]. M.A.Garcia, “Surface plasmon in metallic nanoparticles: Fundamentals
and applications”, Journal of Physics D: Applied Physic 44, 28 283001,
2011.
[12]. Nguyen Thi Phuong Lan, Do Thi Ngaand Nguyen Ai Viet, A model of
optical trapping cold atoms using a metallic nano wire with surface
plasmon effect, J. Phys.: Conf. Series 726 012008, 2016.
[13]. Ren-Bin Z, Wei-Hao L, Jun Z and Sheng-Gang L, ''Surface plasmon
wave propagation along single metal wire'', Chin. Phys. B 21 117303,
2012.
43
