Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: So sánh tốc độ hội tụ của sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hyđro

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA

SVTH: PHẠM THỊ MAI

TP. HỒ CHÍ MINH-THÁNG 5/2010

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

LỜI CẢM ƠN Em xin cảm ơn giáo viên hướng dẫn, TS. Nguyễn Văn Hoa, đã định hướng giúp em tiếp cận vấn đề nghiên cứu trong khóa luận này; động viên và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận.

Em xin cảm ơn PGS.TSKH Lê Văn Hoàng đã đóng góp nhiều ý kiến quý

báu cho khóa luận.

Em xin cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã giúp đỡ em rất nhiều về thuật

toán trong ngôn ngữ lập trình.

Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm nay.

Em xin cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 và những người thân đã giúp đỡ em

trong suốt thời gian làm khóa luận.

Em xin cảm ơn ba mẹ luôn bên cạnh và tạo mọi điều kiện tốt nhất giúp em

hoàn tất khóa luận.

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Mai

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Mục lục

MỞ ĐẦU .................................................................................................. 3

NỘI DUNG .................................................................................................. 7

Chương 1 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử Hydro.............. 7

1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro........................................ 7

1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro ................................. 12

1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính..................................................................................... 16

1.4 Nhận xét ................................................................................................ 17

Chương 2 Sử dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ............................................................18

2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ...................................................................... 18

2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử..................................................................... 20 2.3 Nhận xét ..................................................................................................25 Chương 3 Sử dụng sơ đồ vòng lặp tính các bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro...................................................................................26

3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp ........................................................... 26

3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp.......................................................................... 26

3.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro ứng với theo sơ đồ ................................................................................................ 28 vòng lặp

3.4 Nhận xét ................................................................................................ 30

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................... 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 32

PHỤ LỤC .....................................................................................................34

Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều .................................................. 34

Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 37

Phụ lục 3 Toán tử thế năng ........................................................................... 40 Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của ˆH ..................................................... 46 Phụ lục 5 Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn ............. 48

Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran ........... 52

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 2

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

MỞ ĐẦU

1) Tình hình nghiên cứu

Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn.

Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây.

Và phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu.

Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm

1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,…

Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:

Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán.

Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất

kỳ.

Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu.

2) Lí do chọn đề tài

Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 3

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng.

Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử

momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lí qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã

cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của trường ngoài, nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn.

Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp

áp dụng sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh.

Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri

sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai khác mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 4

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Do thời lượng nghiên cứu và kiến thức còn hạn chế, nội dụng bài nghiên cứu này chỉ dừng lại ở mức độ khảo sát tính ưu việt giữa hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro.

3) Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một

công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:

Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu

điểm… Kết hợp phương pháp toán tử và lý thuyết nhiễu loạn để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.

Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho những bài toán có phức tạp hơn.

4) Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được

Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện luận văn này.

Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử

cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.

5) Cấu trúc của luận văn

Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận

văn gồm 3 phần chính:

Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài,

phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc.

Phần nội dung: gồm 4 chương

Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

HYDRO

Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng…

Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hidro và dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính.

Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC

BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn.

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu

loạn bằng phương pháp toán tử.

Chương 3: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH

NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

Nêu mục đích của sơ đồ lặp.

Thiết lập sơ đồ vòng lặp.

Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro.

Nhận xét kết quả thu được.

Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát triển sắp tới của đề tài.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

NỘI DUNG

1 Chương 1

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO

1.1

1.1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro [2],[4] Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro

Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r).

ˆ H



2  

U r ( )

Do đó hamilton của hạt có dạng:

  2 O m

(1.1)

Trong nguyên tử hiđrô, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ

r 1

r 2

phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học

)

U r ( 1

r 2

giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác rút về



bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực

m e

em

.e m m p  m m

U(r). Trong trường hợp nguyên tử hiđrô . Vì nên .

Nếu bỏ qua kích thước của prôtôn, nguyên tử hiđrô sẽ được coi như gồm hạt

electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên.

Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt

U r ( )

 

nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là:

Ze r

(CGS) (1.2)

Trong đó:

Ze là điện tích của hạt nhân.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 7

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với

nguyên tử hiđrô phương trình Schrodinger là phương trình dừng.

Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp

này có dạng:

  

 E U r ( )





 

2 em 

(1.3)

   



  ,

  r

1 2 r   r

  r

1 2 r

  

  

Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng





sin





  ,

 1    sin

  

1 2 sin

 2   

  

  

    

sin





1 2 r

 1    sin

  

1 2 sin

 2   

  

  

(1.4)

(

)









 E U r ( )



Thay (1.4) vào (1.3) ta được:



 

  ,

em 2 

1 2 r

   r

1 2 r

 

(1.5)

 

ˆL 

(

)







 E U r ( )



Do nên ta viết lại (1.5) như sau:



 

em 2 

1 2 r

   r

ˆ 2 L 2 2  r

(1.6)

Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường

đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 8

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

2ˆL và ˆ

zL với ˆH .

gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử

ˆ H

 



U r ( )

(

)



Trong trường hợp này ˆH có dạng:

 2 

1 2 r

   r

ˆ 2 L m r 2 e

ˆ ˆ 2 HL

ˆ ˆ 2 L H

(1.7)

 ; 0

 (1.8)

ˆ ˆ 2 HL Z

ˆ ˆ 2 L H Z

Ta thấy

,  nên giao hoán với

Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc

các toán tử lấy vi phân theo r.

Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình

phương mômen

2ˆL và hình chiếu mômen ˆ

ZL . Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta



r ( ,

  , )



R r Y ( ).

  ( , )

viết nghiệm của phương trình dưới dạng

l m ,

nlm



l l (





(1.9)

nlR r của ( )

Y lm

)

ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng ˆ LY lm

nlm r   : ( ,

 1





R r ( )



hàm sóng

2 m e 2 

d 1 2 r dr

dR dr

Ze r

  l l 2 r

  

  

 2 m e

  

  

(1.10)

1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hiđrô

Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của

nguyên tử hiđrô

 

E n

4 me Z 2 2  n 2

(CGS) (1.11)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

m e  

 

Trong hệ không thứ nguyên thì:

E n

Z 22 n

(1.12)

Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hiđrô. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn

 

13, 6

đối với hàm sóng ở vô cực.

E 1

Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất .

nE liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n   thì

nE  .

 

3, 4

 

1, 5

;...

Khi n càng tăng thì các mức

E 2

eV E ; 3

Một số mức năng lượng kích thích



Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên

2 4 m Z e 22 

kết, bắt đầu ứng với năng lượng và kết thúc ứng với năng lượng 0.

Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những



giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng

 l l

1  

(1.13)

riêng





  R r Y



nlm

gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ba số nguyên n,    , , l, m duy nhất xác định một hàm     ,

    l ,

1,..., 1, 0,1,...,



1l  giá trị của m. Lượng tử số m 2

Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị



. Tất cả có 

zL m 

xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 10

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái

 1

suy biến có cùng giá trị năng lượng En là

l 2



   1





(1.14)

Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản 1E không suy biến, mức

2E suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai

3E suy biến bậc

kích thích thứ nhất

9...

22 n .

Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng

1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hiđrô







  r , ,

  R r Y

   ,

nl m





Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hiđrô có dạng:

và a o

 me

2 Zr na o

Với (1.15)

a0: là bán kính Bohr thứ nhất

  của các hệ giống hydro ứng với ,



 nl m r

Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần

các giá trị n=1, 2, 3,…

n l m

   , ,

 nl m r

3 / 2

(

Z a /

)

exp(



/ 2

)



1 0 0

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 11

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

3 / 2

(

Z a /

)



Z r

/ 2

) exp(



Z r

/ 2

)

2 2



0 2 0

3 / 2

(

Z a /

)

(

Z r a /

) exp(



Z r

/ 2

) cos



4 2



3 / 2



(

Z a /

)

(

Zr a /

) exp(



/ 2

 ) sin exp(



 ) i

0 2 1

1



3/ 2

2 1

(

)

 (1 2



2 2 Z r



Z a / 0

a / 3 0

2 a / 27 ) exp( 0

a / 3 ) 0

3 3



3/ 2

(

)



 Zr a

) exp(





Z a / 0

a / 6 )( 0

/ 3 ) cos 0

2 2  27

3 0 0

0 3 1

1



(

3/ 2 )



)exp(



 e  i

Z a / 0

a Zr a / 6 )( 0 0

a /3 )sin 0

2 27



3 / 2

(

Z a /

)

(

2 Z r

) exp(



/ 3 )(3 cos



 1)

2 0

3 1

81 6



0 3 2

1

3/ 2



(

)

(

2 2 Z r

) exp(



/ 3 ) sin cos

 

 e  i

Z a / 0

2 0



3 / 2

(

Z a /

)

(

2 Z r

) exp(



/ 3

) sin

 e  2 i

2 0

3 2

2

162



3 2

Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử

1.2 hidro[12]

Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrödinger viết cho nguyên



 Δψ( ) r



 ( ) r





 ( )  E r

tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:

 2 m

Ze  4 0

(1.16)

,m e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số

Trong đó

điện tích.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 12

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

a x , 0



Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt

a z với

a y 0

a 0

 4 0

, là bán kính Bohr. Khi đó phương



 ψ( ) r





 ( ) r

trình (1.17) có dạng không thứ nguyên:

1 2

Z r

  

  

(1.17)

2  . Ta có thể

0 /ma

0a và

Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là

viết dưới dạng tường minh như sau:

ˆ  H x y z , ) ( ,



x y z ( , , )

ˆ H

 





(1.18)

1 2

  x

  y

  z



  

  

Với: (1.19)

Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:

 a 







  a 







  2

 1    

   

   

   

   

(1.20)

 

x y z , ,

với , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau

  , a a 

  

   

Dễ dàng thấy rằng (1.21)

(Phụ lục1trang 46)

Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta viết lại các thành phần trong Hamiltonian H trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các toán tử sinh huỷ này.

1.2.1 Toán tử động năng



 H

 







 x

 y

 z

    

  

  

(1.22)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa







 a 









 a



Từ (1.20) ta có:





 

  2

   









 a



 a





 a 

 a





 1 2

   a a  

Suy ra (1.23)









  

  

 

  2

Ta thay (1.25) vào (1.24) ta được

ˆ TH

 



 

2 ˆ a 

 ˆ a 

 ˆ ˆ a a  





   1 2





 

 

1 4





ˆ N



(1.24)

ˆ A 

2 ˆ a 

ˆ  A 

 2 ˆ a 



 ˆ a ˆ a  

Đặt (1.25)

Thay (1.27) vào (1.26), ta được:

ˆ TH







 

ˆ N 

ˆ A 



 1 2  

 

ˆ   A   

 

1 4



 

x y z , ,

(1.26)

với

1.2.2 Toán tử thế năng

Với số hạng liên quan đến tương tác Culông thì các toán tử sinh huỷ sẽ nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi Laplace ta có thể viết thành phần





t x (



)

 

ˆ U H

thế năng dưới dạng:







(1.27)

(Phụ lục 2 trang 37)



Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:

 



ˆ U H n k ,

ˆ   0 S 

ˆ ' S 













(1.28)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 14

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 0

 0ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

xS khi tác dụng

với:

 i m 2



lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.





ˆ   0 S x

m ˆ m m  N x x

ˆ ˆ  i i A A x x

2 i  x 2

 

  1 m !

1  1 2

 1 m

 x

1  i !

   1 ˆ ˆ ˆ  i m i m i 2   A N A x x x x x 2   ! i m !

 1   

  1  i    i l

  i m  , 1    l i

   

'ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

'ˆ xS khi tác dụng lên

(1.29)

 m l









ˆ ' S x

ˆ ˆ l m m l  N A x x x x

l ˆ l l  A x x

i ˆ  i i  A x x



 

  1 m l ! !

  1 l !

  1 ! i

1  1 2

 , 1

 1 l

 1

 x

   ml

vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.

 i l

 i m

  i l m







 i l  x

ˆ ˆ  i l A A x x

ˆ ˆ  i m i m  A N x x x x

ˆ ˆ ˆ  i l m i m l    A N A x x x x x



  1 i l ! !

  1 i m ! !

  1 i l m ! ! !

 , 1 i m

  , 1  i l    l i

  i l m , , 1     l i

   

(1.30)

1.2.3 Toán tử hamilton

ˆ  H H



ˆ H





ˆ H





  ˆ 0 S 

ˆ '  S 

 



ˆ  N  

1    1 2    4

1 ˆ ˆ      A A       4

 







Thay (2.31), (2.33) vào biểu thức ˆ , ta được:





ˆ ˆ ˆ       0 0 0 S S S z y x

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ         0 0 0 0 ' '  S S S S S S  y z x x z y

ˆ  N  

1    1 2    4

1 ˆ ˆ      A A       4

 





ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ       0 0 0 ' ' '  S S S S S S x z x y y z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ     0 0 ' ' ' '  S S S S S S x y x y z z

'ˆ ˆ ˆ ' ' x y zS S S 

 t 

(1.31)

Toán tử Hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai

ˆ ˆ ˆ H H V





thành phần: (1.32)

Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử

ˆH trong bài toán không nhiễu loạn, với:

Hamilton

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 15

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ H



  1)

)

 

ˆ N 

ˆ ˆ (0) S S S y

(0) x

(0) z





1 4

Z 

1 ˆ ( t





x y z , ,

(1.33)

Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán





ˆ ˆ ˆ ' 0 ' x y z

ˆ ˆ ˆ 0 ' 0 x y z

ˆ ˆ ˆ ' 0 0 x y z

ˆ ˆ ˆ ' ' 0 x y z

ˆ V



 a 



tử nhiễu loạn ˆV , với:









Z 



1      a    4 

  

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ' ' 0 0 ' ' ' ' S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S x y z x y z x y z 1 2



(1.34)

ˆ ˆ ˆ ˆ, a a A A N ,

Dùng các toán tử và qua quá trình tính toán ta tính được



ˆ n H k

nkH



2i-1

1/2

ˆ S



{1+







i 2





)]

m m k  

k ( 

2   2

(0) , n k  



 [

  )

(-1) m!

1 (i!)

m=1

i=1





các yếu tố ma trận của ˆH :

2i-1





, n k  

1/2





i 2





)]

(



m i 2 ) }

2i 2  

k ( 

k 



 [

 ) 

(-1) (i!)

(-1) m!

i=1

m=1

 1 2





 

2l-1



 



m  l 2 )

ˆ { '  S 

1/2 k )] ( 



 2 n , k l  

m (-1) m   m!

m=0

l (-1)   l  [ ( k   l! 

l=1



(1.35)

1/2    )]

 2 n , k i  

i (-1)   i    i!

m=0

i=1

l-1 2



 

  l 2

1/2   )]

}

  2 2 i l



 ( k 

n , k  

i (-1)   i    i!

m=0

i=1

m (-1)  m m [  k ( k    m!  =1 l m (-1) (-1)  l m [   ( k    m! l! 

l=1

1/2 m )] (k -2l) [  

1 1+2

 

(1.36)

Sử dụng phương pháp toán tử tính năng lượng cơ

1.3 bản của nguyên tử hidro khi chưa có bổ chính



000

ˆ H

000



000

ˆ N



(0) E 0

 





 1 000



1 4





x y z , ,



000

ˆ ˆ ˆ 0 0 S S S y x

0 z





Z 

1/ 2

000 1 2



 (1 2 ) 







x y z , ,

Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức năng lượng bậc

không trở thành:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 16

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa









(0) E 0



3 4

Z 

1 2



t 

  

  

 t   

   





  

  2 d









 2

 d

(0) 0

3 4

t  2

Z 

3 2

1  2

 0  (1 2 )   2







Ta đã đặt

(0) E 0

3 4

 

Suy ra (1.37)

Để so sánh tính ưu việt của các hướng tiếp cận, nên không sử dụng

phương pháp biến phân, tức là chọn thông số biến phân

1  . Suy ra :

0.37837915139550750

(1.38)

E   0

1.4 Nhận xét

Sử dụng phương pháp toán tử, ta tính được năng lượng cơ bản của

E  

0.37837915139550750

nguyên tử Hydro khi chưa có bổ chính là , giá trị

này còn sai khác nhiều với giá trị chính xác. Để thu được kết quả tốt hơn, ta

tính các bổ chính năng lượng cơ bản.

Tính bổ chính năng lượng của nguyên tử theo lí thuyết nhiễu loạn là cách

làm phổ biến và khá hiệu quả.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 17

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

2 Chương 2

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO

2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[10],[6]

Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của

không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung của phương

pháp nhiễu loạn như sau:

Xét phương trình Schrodinger:

ˆ H x ( )

  

x ( )

(2.1)

ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần:

ˆ ˆ  H H

ˆ V



(2.2)

Trong đó:

Thành phần ˆH là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác

ˆ H   n n

(2.3)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 18

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

ˆV phải “nhỏ” so với

thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Thành phần ˆV còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý ˆH ,

ˆ V

ˆ H

. Khi đó, nghiệm của phương trình (2.3) sẽ gần với nghiệm của

n và

n là nghiệm gần đúng bậc zero của (2.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh hưởng của ˆV thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn  để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và

phương trình (2.1). Lúc này chúng ta xem

dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của .

Ta giả thiết rằng các trị riêng của ˆH là không suy biến và có phổ gián

n của

đoạn, hệ hàm riêng ˆH là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng

n , . Khi đó, chúng ta tìm nghiệm của (2.1) dưới dạng khai triển

n 

0,1, 2,...

với



theo các hàm riêng của ˆH như sau:

x ( ) k

   ( ) x



(2.4)

Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết hàm sóng cho trạng thái n



như sau:



x ( )



x ( )

 n

 k

 

k  0  k n )

(

(0)

(2.5)

C là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn

E n

s ( )

Ta ký hiệu

 E ,  C , s  là các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Biến 1

(0)

đổi toán học, ta được



E n

H C , nn

(1)









(



)

V (0)

jn 

E n

;

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 19

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



s ( )

(

 1)





s 

2 :

E n

 V C nk

 0 k  k n



s ( )

(



(

 s t

)

t ( )







(



)

 V C jk

(0)



1 

s  1    t  1

E n

 0 k  k n

    

    

(2.6)

Giá trị riêng và hàm sóng ở gần đúng (s) bất kỳ:





( ) s E n

 ( ) t E n



(2.7)

Phương trình (2.6) và (2.7) gọi là sơ đồ Rayleigh-Schrodinger cho

phương pháp nhiễu loạn dừng (sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn).

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử

2.2 hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử

2.2.1 Tính bổ chính bậc một

E



000



(2.9)

ˆ V

(1) 0

Do thế nhiễu ˆV không chứa các số hạng trung hòa nên các phần tử ma

trận trên đường chéo chính của ˆV bằng 0.

2.2.2 Tính bổ chính bậc hai

Từ (2.14) suy ra biểu thức bổ chính bậc hai cho năng lượng của hệ là:





(2) E n

kn H

V V  nk (0) E n

 k 0  k n

(2.10)



Bổ chính bậc hai cho cho năng lượng cơ bản sẽ là một đại lương âm phụ thuộc vào đặc tính của nhiễu loạn. Như vậy, với độ chính xác đến các số hạng có độ bé cấp hai, năng lượng của hệ suy ra từ (2.6), (2.7), (2.10), được tính

(0)  E E n

V  (0) E n

 0 k  k n

bằng: (2.11)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 20

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



Trong bài toán nguyên tử hydro gọi k=kx +ky +kz thì biểu thức (2.11) được viết lại như sau:

000 ˆ V

k k k x y





(2) E 0





(0) 000

(0) k k k x y z

, k k y x  k 0

(2.12)

Ta tính các yếu tố ma trận của ˆV , thấy rằng 000

ˆ V

k k k  x y z

nếu k lẻ.

Mặt khác, do tính chất đối xứng nên (2.12) được viết lại

ˆ V

000

200

400

220

000

ˆ V





 3

(2) E 0



(0) E 220

(0) E 000

(0) E 400

(0) E 200

(0) E 000

          

      (0) E   000    

bac 2

bac 4

(2.13)

ˆ V

000

600

420

000

ˆ V

222



...



(0) E 000

(0) E 00 6

(0) E 000

(0) 420

(0) 000

(0) 222

    

      6 bac

x y z

Để hiểu hơn về cách tính bổ chính bằng phương pháp toán tử, ta thử tính một vài yếu tố ma trận của ˆV và của (0) . Các kết quả trình bày dưới đây n n nE được tính bằng ngôn ngữ lập trình Mapple.

Các yếu tố ma trận của ˆV



ˆ S

' x

(0) y

(0) z













000

ˆ V

200

 





 







1   2 

2 4



1 2

5 2

 (1 2 ) 

 d

 





2 4

2 2 6

 

Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 2 theo k

Các yếu tố ma trận của ˆV ứng với bậc 4 theo k

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 21

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ S

' x

(0) y

(0) z













000

ˆ V

400

 



Z 

1 2

t 3  2

 d

 

2 3

  

6 10

 

1 

7 2



ˆ S

' y

' x

(0) z

(1 2 )     ˆ S









000

ˆ V

220

 



Z 

1 2



 d .

 

1 5

 

3   2 2 2  

7 2

  1 2

 

x y z

(0)

Các yếu tố ma trận của (0) n n nE

n n nE

x y z



200

(0)



200

ˆ H

200



200





(0) 200

 

ˆ N 2 



 1 200





1 4

 

x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z y x 1 2

2  



7   4

7     d 4

19 15

 

Z 

7 2

  1 2   2 1 0  2

 (1 2 ) 

(0)

Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 2 theo k

n n nE

x y z



400



400

ˆ H

400



400





(0) 400

 

ˆ N 2 



 1 400





1 4

 

x y z , ,



ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z x y 1 2

2 



 



11 4

11    d 4

1321 1260

 

Z 

   2 0

4     3 2

 1 12 1  2

 (1 2 ) 



220

(0)



220

ˆ H

220



220





(0) 220

 

ˆ N 2 



 1 220





1 4

Z 

 

x y z , ,

ˆ ˆ ˆ (0) (0) (0) S S S z y x 1 2





 



11/2

11 4

2 2  (1 2 )  1/2  (1 2 ) 

11    d 4

193 210

 

Z 

   2  0

Các yếu tố ma trận của ứng với bậc 4 theo k

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 22

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Để đáp ứng yêu cầu khảo sát tính hội tụ nhanh hay chậm của năng lượng đã bổ chính bậc đến bậc hai theo lí thuyết nhiễu loạn ứng với bậc k tương đối lớn, tác giả xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng bậc hai

chạy trên máy tính

000

200

ˆ V

Xây dựng hàm con cho thành phần không trung hòa ˆV

( 2)

Để ý: Chỉ có thành phần có chứa thành phần động năng khác 0, tất

0E

cả các thành phần không trung hòa ˆV khác trong biểu thức của đều có



ˆ S

' x

' y

' z

' x

' y

' z

























000

 



z .

ˆ V k k k x y z



 d

  2  

Z 

1 2

1  2

ˆ S

thành phần động năng bằng 0

'

k 

0,1, 2,...

Từ (1.36), suy ra biểu thức của 

ˆ0 | S



' | 2

  

( 1)

k 

k 

1/ 2

 (  1 2

) 

1  (1 2 ) 

k (2 )!  k ! 

(0)

(2.14)

k k kE

x y z



ˆ (0) k k k H k k k x y z x y z

(0) k k k x y z



ˆ ˆ (0) (0) k k k S S S z x x y z

ˆ (0) y

k k k x y z





k k k x y z

 

ˆ2 N 

k k k x y z





  1



1 4

 

x y z , ,

Z 

1 2

 ) 3

ˆ ˆ ˆ 0 S S S . . k

k 2( x

k z

0 k x

0 k z



 

 d

  k y 4

  2  

y 1  2

Xây dựng hàm con cho thành phần trung hòa

0ˆ kS



k 

2 





 0 S



 

Từ (1.35), suy ra biểu thức của

0,1, 2,...

k 

k 

1/ 2

k (2 )!   2 )!( !) i i k  k 2  (1 2 )  

1  (1 2 ) 

(2.15)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 23

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Bằng ngôn ngữ lập trình fortran 9.0, viết chương trình tính bổ chính

bậc hai năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro, cho xuất kết quả ứng với tổng

chỉ số k chạy từ giá trị 2 đến 16, ta thu được bảng số liệu sau (xem phụ lục 6)

(2)

Tổng k

E



E

 

E

0E

0 (0) 0

( 2) 0

-0.01646522499468143 -0.39484437639018893 2

-0.05330141176090913 -0.43168056315641663 4

-0.06867349187502052 -0.44705264327052802 6

-0.07676451443274628 -0.45514366582825378 8

-0.08162797059819778 -0.46000712199370528 10

-0.08481723626391037 -0.46319648765941787 12

-0.08659776166821651 -0.46497691306372401 14

-0.08762909472494362 16 -0.46600824612045112

Nhận xét: Tương ứng với bậc k càng cao thì năng lượng bổ chính càng tiến về gần giá trị chính xác là -0.5 hơn. Tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm.

Nguyên nhân là vì ta mới chỉ tính đến bổ chính bậc hai. Để thu được kết quả

tốt hơn, ta tiếp tục tính đến bổ chính bậc cao hơn.

2.2.3 Tính bổ chính bậc ba, bốn

 

Từ sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, suy ra biểu thức tính bổ chính bậc 3,4

ˆ V|000 | 

(3)   E 0

 000| 

 0  0 m k  

ˆ V|m  mm mmm x x y z y z (0) (0)  E E ( 000 mm m x y z

ˆ k V|k k k  k k | x y z x y z (0) (0) )  E E )( 000 k k k x y z

  



ˆ V|000 | 

ˆ V| j x

j j y z

k  k k x y z

(4)   E 0

(2) 2  E (  ) 0

 000| 

)

 0

  0 j m k 0   

ˆ V|m j j j |  mm mmm y z x x y z x y z (0) (0) (0) (0)  E E )( ( )  E E ( 000 mm m 000 j j j x y z x y z

ˆ V|k | k k x y z (0) (0)  E E k k k 000 x y z

Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3,4 ứng với bậc k=4

bằng ngôn ngữ lập trình fortran, ta thu được kết quả (xem phụ lục 5)

Bổ chính bậc 2 -0.05330141214290737

Bổ chính bậc 3 -0.02344822671992949

Bổ chính bậc 4 -0.01168803841828004

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 24

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Năng lượng bổ chính -0.46681682829462616

Xây dựng chương trình tính các bổ chính bậc 2,3 ứng với bậc k=6 bằng

ngôn ngữ lập trình fortran, ta thu được kết quả (xem phụ lụ 5c)

Bổ chính bậc 2 -0.06867349187502052

Bổ chính bậc 3 -0.00182794752297573

Năng lượng bổ chính -0.44888059079350375

2.3 Nhận xét

Khi ngắt chuỗi đến một bậc k nào đó, năng lượng bổ chính thu được là gần đúng. Nếu tính đến bổ chính bậc càng cao thì kết quả thu được càng tiến về một giá trị tốt hơn, tuy nhiên, tốc độ hội tụ rất chậm. Các chuỗi được đoán

   .



nhận là hội tụ do

Với kết quả thu được ở trên, tác giả đặt ra mục tiêu tìm ra một phương pháp cho kết quả năng lượng có cùng độ chính xác với sơ đồ nhiễu loạn nhưng khối lượng tính toán ít hơn.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 25

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

3 Chương 3

SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA

NGUYÊN TỬ HYDRO

3.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp

-0.5 bằng cách bổ chính E0 thu được theo một sơ đồ vòng lặp.

Khi lấy tổng chỉ số k nhỏ, không cần tính đến các bổ chính bậc cao theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn, vẫn thu được giá trị năng lượng cơ bản tiến về gần

3.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp[10]

Để tìm nghiệm của phương trình (1.1), không mất tính tổng quát ta có thể



giả thiết hàm sóng cho trạng thái n như sau:



x ( )



x ( )

 n

 k

 

k  0  k n )

(

(3.1)



Thay vào phương trình (1.1) ta có:

ˆ H

(



x ( )



x ( )



x ( )



x ( )

C k

 k

E n

C k

 k





 k n



 k n

 ˆ   V )  n 

  

   n 

  

(3.2)

*( ) n x

Nhân hai vế của (4.2) với rồi tích phân theo toàn miền biến số x,



suy ra



 V





C V k

E n





0 (

 k n

)

 k



(3.3)

 , suy ra

*( ), j x



Bây giờ làm tương tự như trên cho









C H j

C V k

E C n





0 (

 k n

)

 k

(3.4)

Viết (4.3) và (4.4) lại như sau:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 26

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa









C V k

   k



 k n



(3.5) ,

(

E H C



)





n



C V k

    k 0  k n

(3.6) ,



ˆ x H ( )

x dx ( )



ˆ x V ( )

x dx ( )

 k



 

với ký hiệu các yếu tố ma trận:

trình Schrodinger (1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng

jC , nghĩa là tìm được hàm sóng

n x ( )

Hệ phương trình đại số (3.5) - (3.6) có thể xem tương đương với phương nE qua công thức (3.1). Ta và các hệ số

có sơ đồ lặp như sau: Nhập E0

2  4 



(





E H C V )jj

C V k

 

k k

 

0 0

E0= 3





E 0

C V k 0

 



Sai số

Hình 3.1 Sơ đồ thuật giải vòng lặp

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 27

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử

3.3 Hydro ứng với theo sơ đồ vòng lặp

j k 

Thuật toán xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng theo sơ đồ vòng lặp

Theo sơ đồ trên, các hệ số hàm sóng Ck chính là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tuyến tính. Hệ này có các hệ số là Vjk ( , và hệ số tự do là V0j. Trước khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bằng phương pháp Gauss cải tiến, ta xây dựng hàm con cho Vjk

ˆ ˆ  V V

ˆ V



Viết lại thành phần không trung hóa ˆV dưới dạng

 

ˆ TV

 



 





1 4



  a   

  

 



 a 

k k k x y

 

n n n x y



 

2 

2



  

 x

 y

 z

 



k k k x y

n n n x y z

 y

k k k x y

n n n x y z

 z

k k k x y

n n n x y z

 a



 a



 a



   

 a  







1 4

  

  

  

  

  

  

1 4    x 

  



1) (





(



1)(



2) (



k k k x y

n n ( x

n x

n n y

n x

n n y



  n





(



1)(



2) (



 

  y

k k k x y

n n ( y

n n ( x

n z

n n ( x



1 4



(





(



1)(



(



  z

k k k x y

n n ( z z

n n n y

n z

n n n y z



 

      

  x       Suy ra

Với ˆ TV là thành phần động năng không trung hòa

ˆ V

 



  2











n x

n z







n x n

) )

 m ax(k , x 4 min(k , x

)

ˆ V

 

khi



  2















n z





)

ax(k ,  y 4 min(k , y

ˆ V

 

Hoặc khi



  2











n z







n n

) )

 m ax(k , z 4 min(k , z

Hoặc khi

TV  0 ˆ UV là thành phần thế năng không trung hòa



ˆ ˆ ˆ ' 0 ' x y z

ˆ ˆ ˆ ' ' 0 x y z

ˆ ˆ ˆ 0 ' 0 x y z

ˆ ˆ ˆ ' 0 0 x y z

ˆ U V



Hoặc ˆ

  2 



ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ' ' 0 0 ' ' ' ' S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S x y z x y z x y z 1  2

 

ˆ| S

 

 d

k 



)

 được tính theo (2.15), và  k n min(  

, n k  



1/2 ]

[

1/2 ]

[

n S 

k 



 n k  

( 1)  

(



'ˆ S  (2n )!  m (2 )!

ˆ| S n ' | k   (2k )!  m (2 )!

 được tính bởi   k n     (1 2 ) 



1  1 2



k m n m )!( 



ˆ 0 S 

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 28

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Xây dựng chương trình tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp bằng ngôn ngữ lập trình Fortran, với sai số 10-8 .Ta thu được bảng giá trị.

Bảng 3.1 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hidro ứng với k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp, sai số 10-8

k=4

Delta E E n

-0.09882629464362785 -0.47720546076987910 0

-0.09005402393450034 -0.46843319006075160 1

-0.09076437559362446 -0.46914354171987570 2

-0.09070641062877764 -0.46908557675502890 3

-0.09071112976056416 -0.46909029588681540 4

-0.09071074825738174 -0.46908991438363300 5

-0.09071076875766340 -0.46908993488391460 6

k=6

Delta E E n

-0.10151805176457380 -0.47989721789082500 0

-0.09090099819765718 -0.46928016432390840 1

-0.09187724579715541 -0.47025641192340660 2

-0.09178632601312876 -0.47016549213938000 3

-0.09179479855295016 -0.47017396467920140 4

-0.09179399747148706 -0.47017316359773830 5

-0.09179407414825140 -0.47017324027450260 6

-0.09179407226355152 -0.47017323838980270 7

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 29

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

k=8

Delta E E n

-0.12363865970634800 -0.50201782583259920 0

-0.10561452793589680 -0.48399369406214800 1

-0.10781803279054470 -0.48619719891679590 2

-0.10754220451129390 -0.48592137063754520 3

-0.10757662987859680 -0.48595579600484800 4

-0.10757233211268750 -0.48595149823893870 5

-0.10757286791361710 -0.48595203403986840 6

-0.10757280465897840 -0.48595197078522970 7

-0.10757281210069560 -0.48595197822694690 8

k=10

Delta E E n

-0.12414974273577710 -0.50252890886202840 0

-0.10555462792625330 -0.48393379405250450 1

-0.10783709169757730 -0.48621625782382860 2

-0.10754926103617220 -0.48592842716242350 3

-0.10758543611194200 -0.48596460223819330 4

-0.10758088702021010 -0.48596005314646130 5

-0.10758145656315670 -0.48596062268940790 6

-0.10758138536981380 -0.48596055149606500 7

-0.10758139661085890 -0.48596056273711010 8

3.4 Nhận xét

Giá trị bổ chính năng lượng cơ bản hội tụ về một giá trị. Tốc độ hội tụ

phụ thuộc vào việc lấy tổng chỉ số k.

Bổ chính năng lượng cơ bản ứng với k=4 và k=6 tính theo sơ đồ vòng lặp

hội tụ về một giá trị nhanh hơn theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn.

Chỉ với tổng chỉ số k=10, sau 8 vòng lặp, thu được giá trị bổ chính hội tụ về -0.4859605627371101, khá gần kết quả chính xác. Kết quả này đạt được

nhanh hơn nhiều so với tính theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 30

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Kết luận và hướng phát triển của đề tài Tính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro bằng phương pháp toán tử theo sơ đồ vòng lặp cho kết quả tốt hơn theo sơ đồ lí thuyết nhiễu loạn. Kết luận này có ý nghĩa vật lí cao, bởi quá trình lặp được máy tính thực hiện, khi áp dụng vào những bài toán lớn hơn sẽ giảm nhẹ công việc tính toán hơn rất nhiều.

Vì khả năng lập trình của tác giả còn hạn chế, nên trong chương trình tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro chỉ chạy đến tổng k=10. Do đó, hướng phát triển của đề tài này là tháo gỡ hạn chế của chương trình, chạy đến tổng k lớn hơn. Khi đó, kết quả thu được chắc chắn sẽ tiến về gần giá trị chính xác hơn nữa.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 31

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Đức Châu, Sử dụng Maple trong toán sơ cấp và toán cao cấp,

NXB Khoa học và kĩ thuật

[2] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn cơ học lượng tử, NXB Giáo Dục,

Trang 172-227, 312-327.

[3] Phạm Huy Điển, Tính toán và lập trình và giảng dạy toán học trên

Maple, NXB Hà Nội 2002.

[4] Thái Khắc Định, Tạ Hưng Quý, Vật lý nguyên tử và hạt nhân, NXB

Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh 2007.

[5] Võ Văn Hoàng, Ngôn ngữ lập trình Fortran, NXB Giáo Dục.

[6] Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử, NXB Khoa học và Kĩ thuật

1996, Trang 210-226, 227-235, 262-268.

[7] Nguyễn Khắc Nhạp, Cơ học lượng tử, Đại học Sư Phạm Thành phố

Hồ Chí Minh, 2002.

[8] Phan Văn Tân, Ngôn ngữ lập trình Fortran 90, NXB Đại Học Quốc

Gia Hà Nội.

[9] Lê Thái Thanh, Giáo trình Phương pháp tính, NXB Giáo Dục, Trang

15-30, 91-98.

[10] Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho exiton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất

kì, Luận án thạc sĩ, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP Hô Chí Minh.

[11] Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro trong từ trường theo phương pháp toán tử, Luận văn tốt

nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 32

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

[12] Nguyễn Đức Thanh Tuyền (2009), Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hidro trong điện trường theo phương pháp toán tử, Luận văn tốt

nghiệp, Trường Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh.

[13] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh. Cơ học lượng tử. Đại học Sư phạm

Hà Nội, 1996, Trang 164-170.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 33

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

PHỤ LỤC

Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều[10]

ˆ ˆ

Một số công thức toán tử thông dụng

ˆ ˆ ˆ AB C ,



ˆ ˆ ˆ ABC CAB ABC ACB ACB CAB A B C













 

 

 

ˆ ˆ ˆ  A C B 

 

 

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ A BC ,



ˆ ˆ ˆ  ABC BCA ABC BAC BAC BCA







ˆ ˆ  A B C B A C

 

 

 

  .

 

 



ˆ A

ˆ e B e = B+ A,B +

ˆ ˆ A, A,B +

+...

 

 

 

ˆ ˆ ˆ  A, A, A,B 

 

 

 

 

ˆ tA



ˆ ˆtA e Be

Chứng minh:

  t

ˆ tA



ˆ tA



ˆ tA



Xét hàm , đạo hàm theo t ta được:c



ˆ ˆ tA Ae Be

ˆ ˆ tA e BAe





ˆ ˆ, A B e

 

 

df dt

  t

ˆ tA





,...

Tiếp tục tính tương tự ta có đạo hàm bậc k của như sau:

ˆ ˆ ˆ  A A B 

 

 

 

 ˆ ˆ A A ,  

  

  

  

k d f k dt

trong đó giao hoán tử lấy k lần.

t  ta có:

  t





,...

Mặt khác, khai triển Taylor hàm tại điểm 0

  t



ˆ ˆ ˆ  A A B 

 

 

 

 ˆ ˆ A A ,  

  

  

  

t k

k d f k dt



  

  



t 0

t  ta có công thức cần chứng minh.

Cho giá trị

a a ˆ ˆ,

 

  

Các giao hoán tử thông dụng:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 34

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



2ˆ ˆ a a ,





ˆ ˆ a a ,

ˆ a



ˆ a

 

 

 ˆ ˆ ˆ a a a , 

 

 

 



ˆ a



ˆ a

 ˆ ˆ a a ,



ˆ ˆ ˆ a a a ,

  2

ˆ a

2



 

 

 

 

  

  



 ˆ ˆ ˆ a a a ,



ˆ ˆ a a ,





ˆ a

  ˆ ˆ ˆ ˆ a a a a ,



 

 

 

 



 ˆ ˆ ˆ a a a ,



 ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ  a a

 ˆ ˆ a a ,

 

ˆ a

 

 

 

 

 

 



(

ˆ a

2 ) ,

 ˆ ˆ a a



(

ˆ a

2 ) ,

ˆ a

ˆ ˆ  a a

(

ˆ a

2 ) ,

ˆ a

 

ˆ a



2

 

 

 

 

 



 ˆ ˆ ˆ a a a ,



2 ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ  a a

2 ˆ ˆ a a ,



ˆ a

 

 

 

 



ˆ a



ˆ a

 ˆ ˆ   2 a a



 ˆ ˆ ˆ a aa 2

 

2(2

 ˆ ˆ a a



  1) 0,1



   

  

   

    ˆ ˆ ˆ  a a a a    

  

Toán tử sinh-hủy:



ˆ a





;

ˆ a





Toán tử sinh, hủy một chiều được định nghĩa như sau:

 2

1 

d dx

 2

1 

d dx

  

  

  

  

a a  ˆ ˆ,

. (A1.1)

 

  



ˆ ˆ aa











Giao hoán tử

 2

1 

d dx

1 

d dx

 2

1 1  2  

d dx

  

     

  

  

  

 ˆ ˆ a a











Ta có

 2

1 

d dx

1 

d dx

 2

1 1  2  

d dx

  

     

  

  

  



ˆ ˆ a a ,

ˆ ˆ aa



 ˆ ˆ a a



và

 

  

 2

2 



từ đây suy ra .



n n

(A1.2) Chứng minh ˆ ˆa a n

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 35

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa





ˆ a

n  công thức trên





1 n

a a

  0

0 0

 a a n





(



Từ định nghĩa ta suy ra với trường hợp

 ta sẽ chứng



đúng: ˆ ˆ 0 . Giả sử ta có ˆ ˆ



n n

. minh ˆ ˆa a n

 1



 ˆ ˆ a a n



ˆ a

ˆ ˆ aa

ˆ a

  ˆ ˆ ˆ a a a













ˆ a



1 .



  ˆ ˆ 1  a a

Thật vậy:



 ˆ ˆ a a n



ˆ a

 ˆ ˆ a a







 ˆ a n





 1



n 1





ˆ a



n n



 1

(



1)!

a n



n n

Từ đây ta có

 1



ˆ a n



ˆ ˆ aa

ˆ a





 ˆ ˆ a a









 1

  ˆ ˆ ˆ a a a



1 n

 1



ˆ a





  1

 ˆ ˆ a a n









  ˆ ˆ ˆ a a a



1 n

1 n 1 n

1 n



  1

(



  1

n n



1 .

1 n 1 n 1 n

1 n

Chứng minh ˆ (A1.3)

Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng “hủy” (giảm) đi một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử hủy tác dụng lên vector trạng thái

 a n





thì sẽ hủy đi bấy nhiêu bậc của nó.

 1



 ˆ a n





ˆ a





Chứng minh ˆ













 1 !

   

   

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 36

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc của vector trạng thái. Như vậy cứ có bao nhiêu toán tử sinh tác

dụng lên vector trạng thái thì sẽ sinh thêm bấy nhiêu bậc của nó.

ˆ n a j



j n j

  1

 j

n j ,

 1

 ˆ j a n







 j

n j ,

 1

Chứng minh sự liên hợp của ˆ ˆ+a,a



ˆ n a j



j a n ˆ

Nhận xét

Từ các tính chất (3.3, 3.4, 3.5) ở trên ta thấy rằng: nếu như tác dụng một toán tử chứa cùng số toán tử sinh và toán tử hủy lên một vector trạng thái, thì sẽ không làm vector này thay đổi bậc, và ta gọi các toán tử như thế là toán tử “trung hòa”; ngược lại nếu toán tử chứa số toán tử sinh – hủy khác nhau thì sẽ làm thay đổi bậc của vector trạng thái. Đây là một tính chất rất quan trọng trong các tính toán đại số khi sử dụng biểu diễn toán tử và cũng chính là yếu tố để ta tiến hành việc tách toán tử Hamilton của hệ thành hai thành phần: trung

hòa và nhiễu loạn.

Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn[10]

 Dạng chuẩn (normal) của một biểu thức toán tử được định nghĩa là dạng đã được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn về phía bên phải của biểu thức, toán tử

sinh luôn về phía bên trái của biểu thức.

ˆa trái

ˆa phải.

 Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dạng chuẩn là giúp cho việc tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng hơn rất

nhiều.

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 37

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

) thì

 )

)

Thực vậy, khi biểu biễn tất cả trạng thái qua trạng thái cơ bản 0(

b   , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng

lợi dụng tính chất ˆ 0( và ˆ 0(

thái còn lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.

Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa:

Trường hợp này ta chỉ cần áp dụng các tính chất của giao hoán tử trên là

có thể đưa về dạng chuẩn.

 a a 2ˆ ˆ

2



 ˆ ˆ ˆ ˆ aa aa



ˆ a



 2 ˆ ˆ a a



  ˆ ˆ a a



 ˆ ˆ a a

ˆ ˆ aa 



 ˆ ˆ ˆ a aa   1   1

 ˆ ˆ a a



 

2 3

 ˆ ˆ ˆ  a a a

   ˆ ˆ ˆ ˆ  a a a a 1       1 1   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    a a a aa a 1 2    ˆ ˆ ˆ a a a 1



 

2 3

  ˆ ˆ ˆ ˆ  a a a a



ˆ a







 

2 4

 ˆ ˆ a a



ˆ a





Ví dụ: Đưa toán tử về dạng chuẩn ta thực hiện như sau:

Các phép biến đổi trên thường được áp dụng khi các biểu thức toán tử có

dạng như các đa thức.

Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy:

Đối với dạng hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi như trên sẽ gặp khó khăn. Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về dạng chuẩn sẽ có bậc lũy thừa rất cao. Nên ta phải áp dụng phương pháp biến đổi khác

 

ˆ a

 ˆ t a



như dưới đây.

Ví dụ:

ˆ,a a và số 1 tạo

a a ˆ ˆ, 

  

Vì ta có hệ thức giao hoán nên từ đây các toán tử ˆ

thành một đại số kín. Như vậy ta có thể viết:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 38

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ a

 ˆ t a



ˆ t a ( )

( )



ˆ g t a h t ( ) e



  F t

( ),

( )

. (A2.1)

t g t h t theo các bước sau: ( ),

và tiến hành tìm các hàm số

 

ˆ a



 ˆ t a



Bước một: Lấy đạo hàm hai vế của (A2.1) theo biến số t ta có:

ˆ a







     ˆ t a F t

    ˆ g t aF t

    h t F t

 ˆ a e



. (A2.2) 

 1F

 ta có:

 F t

  t

  F t F

  t





h t ( )



ˆ g t a ( )



ˆ t a ( )



Định nghĩa hàm nghịch đảo của là sao cho

  t

(A2.3)

 1F

  t



ˆ t a ( )



ˆ t a ( )

ˆ a

ˆ   a



ˆ ae



Nhân hai vế (A2.2) cho và thu gọn các số hạng ta được:

  ˆ t a

  g t e

  h t '

(A2.4)

ˆ A



ˆ A

ˆ e B e = B+ A,B +

ˆ ˆ A, A,B +

+...

 

 

 

ˆ ˆ ˆ  A, A, A,B 

 

 

Bước hai: Sử dụng công thức quen thuộc (phụ lục 1):



ˆ t a ( )



ˆ t a ( )

ˆ ae

ˆ   a

  

...

ˆ a

cùng với hệ thức giao hoán của ˆ ˆ,a a ta có:

  t

 ˆ ˆ a a , 

 



ˆ a

ˆ   a







Thay vào (A2.4), ta có:



 





  ˆ t a '   ˆ t a

     ˆ t f g t a '     ˆ g t a h t

  h t '   g t '

  t

(A2.5)

Bước ba: Đồng nhất hai vế của (A2.5) và chọn điều kiện biên

Đồng nhất hai vế, ta có hệ phương trình:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 39

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa





  t    g t '   g t '

1,   t

  h t '

    

, ,

c 1 c 2

t     t 2





  h t

c t 1

c 3

  t f   g t t 2

      

Giải hệ này ta có:

Dựa vào biểu thức (A2.1), ta có điều kiện khi t = 0 thì:

f(t) = g(t) = h(t)= 0.

 

ˆ a

 ˆ t a



Suy ra: c1= c2 = c3 = 0.



ˆ a

ˆ ta

/ 2

 ˆ t a



Như vậy dạng chuẩn của là:



ˆ ta e e

. (A2.6)





t x (



)

 

ˆ U H







2tx

Phụ lục 3 Toán tử thế năng[12]

e



 a





  x

 a



: Ta xét riêng thành phần hàm  xS

 2 x

Từ biểu thức (A1.1) ta có





 2 x



 2

 a



 a





 a



 

1 2

   a a x



 A x

  A x



 N

















 2 x



 A

(

 A



 N



 x

 1 )





 xS



e 

Suy ra:

(A3.1)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 40

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

, 2

Tiếp theo ta đưa toán tử trên về dạng chuẩn theo các bước sau:

 tạo thành một đại số kín bằng

ˆ ˆ A A ,

ˆ xN

ˆ ˆ A N , 2

ˆ N

Bước 1: Chứng minh ba toán tử

  1 x A ,

ˆ ˆ  A A , x x

2  cách kiểm tra các giao hoán tử sau:     ,     1 ,      



ˆ N



ˆ N



 ˆ ˆ a a x

ˆ ˆ a a x

 x

 2



   A A x x

2   a a x

 2   a a x





 a





    a a a x x

    a a a x







 a

   A A , x x







  



      A A , x x



  a a x



  a a x



      a a a a x x x





 



  

  







ˆ N x

 1

 ˆ ˆ N N x

 1

ˆ N





ˆ ˆ  A A , x x

 ˆ N  2 2

 1  1   1

 

 

ˆ ˆ A N , 2

Từ biểu thức (A1.2) và (A1.2) ta có:

4 ˆ A x

 

 1 

ˆ N



 1x ,

ˆ  A x

4 ˆ  A x

 

 

Tương tự ta có





 N

 1

   A A  x



 N

   A A  x

 1

)

  x

ˆ N





 ( x

)

 A

  A x



  1





 2 x

 ( x

Bước 2: Do các toán tử là đại số kín nên ta có thể viết (A3.1) dưới dạng:

 S



)

(A3.2)

 x

 ( x

t  2 x



 0

với là các hàm số cần tìm với điều kiện biên





  x

 x

(A3.3)

Bước 3: Xây dựng hệ phương trình cho các hàm số cần tìm. Lấy đạo hàm hai

x :

vế của (A3.2) theo

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 41

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 1

   ˆ2 A A N   x x x

ˆ N 2 x

  A x

 A x



  1







  x

  x e

  g x e

  h e x





ˆ ˆ ˆ2    A A N x x x

 

  1

ˆ N 2 x

  A x

 A x

  A x

 A x



  1

     A e x x 

  1



  x



' g

f e

  h e x



' h

f e

  g x e

   x

ˆ2 N x

   x

ˆ   h A e x x



f   1

(A3.4)

 1



ˆ2 N

  x



 A



 A

 x





  1

  x

Tiếp theo ta nhân hai vế với toán tử nghịch đảo



ˆ N 2 x

  A x

 A x

  A x



  1



  1



  x



  g x e

  h e x

  h  e x

  g  x e

 e





 1

   ˆ2   A A N x x x

    f  A e x x





ˆ N 2 x

 A x

  A x



  1



  1



  x

  h e x

   h e x

  g  x e

 e



' g

f e

  g x e

   x

ˆ2 N x



 1

ˆ N 2 x

 A x

  A x





  1



  x

  h  e x

  g  x e

 e

  g x e



' h

ta được:  S

   x

  A x



  x

 e







 1

f e     '  A g  x x

   x

ˆ N 2 x

   ˆ2   A A N x x x

  1     h Ae x x 





 1

ˆ N 2 x

  A x

  1   1





  x



' h

f e

  g x e

    g  x Ae x

 e

   x

(A3.5)

  

   AB C ,















 

 

  

   A BC ,



       ABC BC A ABC B AC B AC BC A











 

                A C B ABC C AB ABC ACB ACB C AB A B C              A B C B A C  

 

 

 

 t A

Ta có



t A  e Be

  t

 t A



 t A



 t A



   t A Ae Be

   t A e B Ae





 , A B e

 

 

Xét hàm , đạo hàm theo ta được:

 t A



Tương tự ta có đạo hàm bậc k của f(t) như sau:



,...

k d f k

    A A B , 

 

 

 

   A A , 

 

 

 

, trong đó giao hoán tử lấy k lần.

Mặc khác, khai triển Taylor hàm f(t) tại điểm t0=0 ta có:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 42

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa





,...

  t



    A A B , 

 

 

 

   A A , 

 

 

 

t k

k d f k dt

t k



  

  



  A e Be

 A  

 B



  A B ,



...

 

    A A B , 

 

 

 

Khi t=1 thì

  A e Be

 A  

 B



  A B ,



...

 

 

    A A B , 

 

 

 





  x

ˆ  A x

  x

ˆ  A x

ˆ N





ˆ N



  x

ˆ  A x



 1



   1

ˆ N



ˆ N



  x



  1



  1



  x

Sử dụng công thức tổng quát ta có:



ˆ A e x





  x

ˆ  A x

  x

ˆ  A x





ˆ N



ˆ A e x

ˆ A x

  x

ˆ  A x

ˆ A x 

   1

(A3.6)



ˆ N 2



ˆ N 2

1 4



ˆ ˆ   A A x x

  x

ˆ   A g x

  x

ˆ  A x



Thay (A3.6) vào (A3.5) ta được:

  

   1 

' h

 4 e



 f

ˆ N 2



  x

ˆ A x

  x

   x

ˆ  A x

  

  x    1

 

 

  

 







' h 4

 4 e



ˆ2 N x

  x

     f x

  x

ˆ  A x

 ˆ ˆ  A A A x x



  x

' h





' h 2

 4 e



   4 e



   1   x

ˆ A x

  x

ˆ N 2 x

 1

g 4 

  x 

(A3.7)

 4





  f

  1

Đồng nhất hệ số trước các toán tử giống nhau ta có hệ phương trình



  x



  x

 

(A3.8)

    e

 4



'2 h

  f

 

(A3.9)



  x

(A3.10)

Bước 4: Giải hệ phương trình (A3.8), (A3.9), (A3.10) với các điều kiện (A3.3)

ta được:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 43

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



 



    1 2



  x

 x  1 2  x



Thay (A3.10) vào (A3.9)





 





 ln 1 2



  x

 x

 1 2

 x

 



 

Tương tự ta có



  x

 x  1 2  x

  1 2



 x

và



ˆ2 N



  x

ˆ  A x

ˆ A x



  1

 S





ˆ  A x

ˆ A x



ˆ2 N





 x



  1 ln 1 2

 x  1 2  x

1 2





ˆ  A x

ˆ A x



 ln(1 2

)

 x

ˆ N



  ln 1 2



 x

 x  1 2  x

1 2





ˆ  A x

ˆ A x

ˆ N



  ln 1 2



 x

 x  1 2  x



ˆ S



1  1 2

 x

Thay các kết quả vừa tìm được vào (A3.2) ta được

xS theo chuỗi Taylor ta



;





 ln 1 2



 x

 x

 x

 x  1 2  x

Đặt: , khai triển 





được:

ˆ S





i i  x

ˆ  A x

ˆ m m  N x x

l  x

ˆ l A x



  1 i !

  1 m !

  1 l !

1  1 2

 1

 x

 1   

  1      

   

(A3.11)

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 44

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

 i m 2



m ˆ m m  N x x

2 i  x 2

 

  1 m !

 m 1

   1 ˆ ˆ ˆ  i m i m i 2   A N A x x x x x 2   ! i m !

 m l

 i l





   ˆ S x ˆ ˆ  i i A A x x 1  1 2  x 1  i !  1   

i ˆ  i i  A x x

l ˆ l l  A x x

 i l  x



 

  1  i    i l   1 l !

 i m  1 ,    l i   1 i !

  1 m l ! !

  1 i l ! !

m l

 , 1

 1

  , 1  i l    l i

 i m

  i l m





(A3.12)     ˆ ˆ l m m l  N A x x x x ˆ  i A x ˆ l A x



  1 i m ! !

  1 i l m ! ! !

 1 i m ,

  i l m  1 , ,    l i

 ˆ ˆ  i m i m  A N x x x x ˆ ˆ ˆ  i l m i m l    A N A x x x x x

   

ˆ S



ˆ S



ˆ S

 0 x

' x

 0

Ta viết (A3.12) dưới dạng:

xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

xS khi tác

với

 i m 2



dụng lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.





ˆ   0 S x

m ˆ m m  N x x

ˆ ˆ  i i A A x x

i 2  x 2

 

  1 m !

1  1 2

 1 m

 x

1  i !

   1 ˆ ˆ ˆ  i m i m i 2   A N A x x x x x 2   ! i m !

 1   

   1 i    i l

  i m  , 1    l i

   

'ˆ xS : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử

'ˆ xS khi tác dụng lên

(A3.13)

 m l









ˆ ' S x

l  ˆ l m m  N A x x x x

l ˆ l l  A x x

i ˆ  i i  A x x



 

  1 m l ! !

  1 l !

  1 i !

1  1 2

 , 1

 1

 x

   ml

vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét.

 i l

 i m

  i l m







 i l  x

ˆ ˆ  i l A A x x

ˆ ˆ  i m i m  A N x x x x

ˆ ˆ ˆ  i l m i m l    A N A x x x x x



  1 i l ! !

  1 i m ! !

  1 i l m ! ! !

 1 i m ,

  , 1  i l    l i

  i l m , , 1     l i

   

(A3.14)

S S S vào biểu thức ˆ S



ˆ ˆ ˆ S S S y x

 

x y z , ,

, ta

ˆ S



ˆ ' S 

S S . Ta thay ˆ ˆ,y 



với được: Tương tự đối với ˆ    ˆ 0  S 

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 45

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



 



ˆ U H n k ,

ˆ   0 S 

ˆ ' S 













Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng:



ˆ n H k

nkH

Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của ˆH [12]



Tính ˆ lA k





ˆ A k 

2  a k  

k 



 1



 2 1 l



2 l  a 









l 2

ˆ l A k  

k 











Từ tính chất của toán tử huỷ ta có:



l 2

xN k



Tính ˆ

 ˆ ˆ a a  





l 2





l 2

ˆ N k  

k 



 l k 2 

là toán tử trung hoà nên Do ˆ N



l 2

 iA k  

Tính ˆ



l 2

 2  a 





l 2





l 2





l 2



i 2

ˆ  iA k  

k 

 





 1 

Tương tự, từ tính chất của toán tử huỷ nên ta có:



  0 n S  

k 

ˆ   0 n kS ,  

Tính

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 46

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

2.l-1

 

1/2 )] .[

  2 l



  2 l

i 2



1/2 )] k 

ˆ ˆ ˆ  i l A A k   

 (k 

 [ (k  



2.l-1



 

1/2 )] .[

  2 l





  2 l

i 2

ˆ ˆ ˆ ˆ  i m l A N A k   

1/2 )] (k 

m l 2 ) k 

 (k 

 [ (k  





2i-1

1/2

ˆ S



{1+







i 2





)]

m m k  

k ( 

2   2

(0) , n k  



 [

 ) 

(-1) m!

1 (i!)

m=1

i=1





2i-1





, n k  

1/2





i 2





)]

(



m i 2 ) }

2i 2  

k ( 

k 



 [

 ) 

(-1) (i!)

(-1) m!

i=1

m=1

 1 2





 

Suy ra:



ˆ n kS

' n S k   

,  







ˆ ' S 

{ n 

m  

ˆ m N 

l ˆ l l  A  



(-1) l!

i (-1) ˆ  i  A   i!





l ˆ l l  A  

m  

ˆ m N 



l=1 (-1) l!

(-1) m! m=1 i (-1) ˆ  i  A   i!

l=1 i (-1) ˆ  i  A   i!

i=1 (-1) m!

i=1

l=1

m=1

i=1





}

ˆ  A 

m  

ˆ m N 

l ˆ l l  A k   



i (-1) i   i!

(-1) m!

(-1) l!

i=1

m=1

1 1+2

 

l=1  i l



 { n 

ˆ m N 

m  

n 

i ˆ  i  A  

l ˆ l l  A k   



(-1) i!

(-1) m!

(-1) l!

m=0

l=1

i=1

ˆ m  N k    

sohang



}

i ˆ  i  A  

l ˆ l l  A k   

ˆ m N 

m  



(-1) i!

(-1) l!

1 1+2

m=0

i=1

 

l=1  i l

(-1)   n  m!  sohang

Tính



 2 1 l



  )



l 2

n 

ˆ m m  N  

l ˆ l l  A k   

n 

ˆ m m  N  

k 



(-1) m!

(-1) l!

(-1) m!

l (-1) l   l!

m=0

l=1

m=0

l=1

 

  ( k   

1/ 2   



 2 1 l

  )



m  l 2 )

m  

l  

k ( 

, n k  



 ( 1) m !

l  ( 1) l !

 0

 1

     

1/ 2   

Xét số hạng 1:

Xét số hạng thứ 2:

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 47

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Khóa luận tốt nghiệp

i 2





i 2

ˆ ˆ ˆ  i m A N k   

(k 

m k 

k 

 1 

   

1/2  )    



i 2



  )



i 2

n 

ˆ m m  N k   

ˆ m m  N  

m k 

k 



i (-1) ˆ  i  A   i!

m (-1) m!

i (-1) ˆ  i  A   i!

m (-1) m!

i=1

m=0

i=1

m=0

  1

  (k   

1/2   





n 

ˆ m m N  



i (-1) ˆ  i  A   i!

m (-1) m!

l (-1) ˆ l l  A k    l!

i=1

m=0

l=1  l i



 2 1 l

i 2



  )



m l 2 )

  2 l

n 

m  

k ( 

, n k  

  2 2 l



i (-1) ˆ  i  A   i!

(-1) m!

l (-1) l   l!

i=1

m=0

  ( k      0

1/ 2   

  ( k      0

1/2  )    

l=1  l i

Xét số hạng 3:

2l-1





 



m  l 2 )

ˆ ' S 

m  

1/2 k )] ( 

 2



n , k  

(-1) m!

(-1) l!

 { m=0

l=1

l  l [  ( k   







1/2    )]

 2 i



k n ,  

i (-1) i   i!

i=1

m=0

l-1 2



1/2



 

  2 l

1/2   )]

}

m  

  2 2 l



 ( k 

n , k  

i (-1) i   i!

m (-1) m! m (-1) m!

i=1

m=0

 m m [ k ( k     =1 l (-1)  l [  ( k   l! 

l=1

m )] (k -2l) [  

1 1+2

 

Vậy:









(2) E 0

ˆ V 

Phụ lục 5: Biểu thức của bổ chính bậc cao theo lí thuyết nhiễu loạn

2  | 200 | (0) E 200

 | 000 | (0) E 000

2  | 220 | (0) E 220

 | 000 | (0) E 000

2  | 400 | (0) E 400

Biểu thức bổ chính bậc hai ứng với k=4  | 000 | (0) E 000



000 |

ˆ V

| 000





000 |

ˆ V

 | 000







(0) 3

ˆ V )(

 | 020 020 |  E E )

ˆ V )(

 | 022 022 |  E E )

 | 200 200 | (0)  ( 200

(0) 000

(0) 020

(0) 000

 | 200 200 | (0)  ( 200

(0) 000

(0) 022

(0) 000



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

ˆ V )(

 | 220 220 |  E E )

ˆ V )(

 | 040 040 |  E E )

 | 200 200 | (0)  ( 200

(0) 000

(0) 220

 | 200 200 | (0)  ( 200

(0) 000

(0) 040

(0) 000



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



ˆ V )(

| 400 400 |   E E )

ˆ V )(

| 040 040 |   E E )

| 200 200 |  (0)  ( 200

(0) 000

(0) 400

| 400 400 |  (0)  ( 400

(0) 000

(0) 040

Biểu thức bổ chính bậc ba ứng với k=4

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 48

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



ˆ V )(

| 202 202 |   E E )

ˆ V )(

| 400 400 |   E E )

| 220 220 |  (0)  ( 220

(0) 000

(0) 202

| 220 220 |  (0)  ( 220

(0) 000

(0) 400

ˆ V



000 |

 | 000

ˆ V



| 004 004 |   E E )

ˆ V )(

(0) 000

(0) 004

| 220 220 |  (0)  ( 220 Biểu thức bổ chính bậc bốn ứng với k=4

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V





24.

(0) E 4



(



(0) 022

(0) 000

ˆ  | 022 022 | V (0) E E )( ) 000 ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



48.

(

)



(0) 220

(0) 000

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



48.

(

)



(0) 040

(0) 000

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.

(

)



(0) 400

(0) 000

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.

)

(



(0) 220

(0) 000

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.

(

)



(0) 040

(0) 000

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



12.

(



)

(0) 400

(0) 000

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



48.



(

)

(0) 000

(0) 040

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.



)

(

(0) 000

(0) 400

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.



)

(

(0) 000

(0) 400

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.



)

(

| 022 022 |  (0)  E 022

(0) 002

(0) 000

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.



(

)

| 022 022 |  (0)  E 022

(0) 000

(0) 202

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



24.



)

(

 | 022 022 | (0)  E 022

(0) 000

(0) 040

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V



12.



)

(

| 022 022 |  (0)  E 022

(0) 000

(0) 400

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V





)

(

ˆ | 200 200 |   | 020 020 | V (0) (0) (0)  E E )( 000 020 200 ˆ ˆ | 200 200 |  | 220 220 |   V | 020 020 | V (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 020 200 000 ˆ ˆ    V V | 020 020 | | 200 200 | | 040 040 | (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 020 200 000 ˆ ˆ | 200 200 |  | 400 400 |   | 020 020 | V V (0) (0) (0) (0)  E E E E )( )( 000 020 200 000 ˆ ˆ | 200 200 |  | 220 220 |   V | 022 022 | V (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 022 200 000 ˆ ˆ | 200 200 |  | 040 040 |   V | 022 022 | V (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 022 200 000 ˆ ˆ  | 400 400 |  | 200 200 |  V V | 022 022 | (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 022 200 000 ˆ ˆ | 200 200 |  | 040 040 |   V | 220 220 | V (0) (0) (0) (0)  E E E E )( )( 000 022 200 000 ˆ ˆ | 200 200 |  | 400 400 |   V | 022 022 | V (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 022 200 000 ˆ ˆ  | 400 400 |  | 200 200 |  V V | 040 040 | (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 040 200 000 ˆ ˆ  | 002 002 |  V | 200 200 | V (0) (0) (0) E E E )( )( 000 200 000 ˆ ˆ  | 202 202 |  V | 200 200 | V (0) (0) (0) )( )( E E E 000 200 000 ˆ ˆ  | 040 040 |  V V | 200 200 | (0) (0) (0) )( )( E E E 000 200 000 ˆ ˆ  | 400 400 |  | 200 200 | V V (0) (0) (0) E E E )( )( 000 200 000 ˆ ˆ | 220 220 |  | 202 202 |   V | 200 200 | V (0) (0) (0) (0)  E E E E )( )( 000 200 220 000

(0) 000

(0) 202

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 49

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



48.

)

(



(0) 400

(0) 000



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



24.

(

)



(0) 004

(0) 000



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



48.

(

)



(0) 400

(0) 000



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



24.

(

)



(0) 004

(0) 000



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



48.

)

(



(0) 000

(0) 004



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



24.

(

)



(0) 020

(0) 000

 | 040 040 | (0)  E 040



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



48.

(

)



(0) 000

(0) 004

| 040 040 |  (0)  E 040



ˆ V

000 |

ˆ V

 | 000



48.

(



)

| 040 040 |  (0)  E 040

(0) 220

(0) 000

000 |

ˆ V



ˆ V

 | 000





(

)

(0) 202

(0) 000

000 |

ˆ V



ˆ V

 | 000

24.





)

(

(0) 000

(0) 040

000 |

ˆ V



ˆ V

 | 000

24.





)

(

(0) 000

(0) 220

000 |

ˆ V



ˆ V

 | 000

12.





)

(

(0) 000

(0) 022

000 |

ˆ V



ˆ V

 | 000

48.





)

(

(0) 000

(0) 220

000 |

ˆ V



ˆ V

 | 000

24.





)

(

(0) 000

(0) 022

000 |

ˆ V



ˆ V

 | 000

(

24.



(0) 2 )E  2



)

(

| 004 004 |  (0)  E 004

(0) 000

(0) 220







(2) E 0

ˆ V 

ˆ ˆ | 220 220 |   | 200 200 | V  | 400 400 | V (0) (0) (0) (0) )(  E E )( E E 000 200 220 000 ˆ ˆ  | 200 200 | V | 220 220 |  | 004 004 |  V (0) (0) (0) (0) )( E )(  E E E 000 200 220 000 ˆ ˆ  | 400 400 |  | 220 220 |  V V | 202 202 | (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 202 220 000 ˆ ˆ | 220 220 |  | 004 004 |   V | 202 220 | V (0) (0) (0) (0)  E E E E )( )( 000 202 220 000 ˆ ˆ | 220 220 |  | 004 004 |   V | 400 400 | V (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 400 220 000 ˆ ˆ  | 020 020 |  V V | 200 200 | (0) (0) (0) )( )( E E E 000 200 000 ˆ ˆ  | 004 004 |  V | 200 200 | V (0) (0) (0) E E E )( )( 000 200 000 ˆ ˆ  | 220 220 |  V | 200 200 | V (0) (0) (0) )( E E E )( 200 000 000 ˆ ˆ    V V | 200 200 | | 040 040 | | 202 202 | (0) (0) (0) (0) E )(  E E E )( 000 200 040 000 ˆ ˆ | 400 400 |  | 040 040 |   | 200 200 | V V (0) (0) (0) (0)  E E E E )( )( 000 200 400 000 ˆ ˆ | 400 400 |  | 220 220 |   V | 200 200 | V (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 200 400 000 ˆ ˆ | 400 400 |  | 022 022 |   V | 200 200 | V (0) (0) (0) (0) )(  E E E E )( 200 000 400 000 ˆ ˆ  | 220 220 |  | 400 400 |  V V | 040 040 | (0) (0) (0) (0) )( )(  E E E E 000 040 400 000 ˆ ˆ | 400 400 |  | 022 022 |   V | 040 040 | V (0) (0) (0) (0)  E E E E )( )( 000 040 400 000 ˆ ˆ  | 220 220 |  V | 220 220 | V (0) (0) (0)  E E E )( )( 000 220 000 Biểu thức bổ chính bậc hai ứng với k=6 2  | 200 | (0) E 200

2  | 220 | (0) E 220

 | 000 | (0) E 000

2  | 400 | (0) E 400



ˆ V 

 | 000 | (0) E 000

2  | 600 | (0) E 400

 | 000 | (0) E 000

2  | 420 | (0) E 420

 | 000 | (0) E 000

2  | 222 | (0) E 222

Biểu thức bổ chính bậc ba ứng với k=6

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 50

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

| 000







12.

(3) E 0

(0) 000

(0) 020

(0) 000



000 |

ˆ V

| 020 020 |   (0)  E 020 ˆ V

 | 200



000 |

ˆ V

 | 000



(0) 000

(0) 022

(0) 000

(0) 400

(0) 000

ˆ V



000 |

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

(0) 000

(0) 040

(0) 000

(0) 420

(0) 000

ˆ V



000 |

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

(0) 000

(0) 240

(0) 000

(0) 042

(0) 000



000 |

ˆ V

| 000





000 |

ˆ V

 | 000



12.

(0) 000

(0) 600

(0) 000

(0) 060

(0) 000

ˆ V



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



(0) 222

(0) 000

(0) 222

(0) 000



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.

(0) 000

( 0) 202

(0) 000

( 0) 420

(0) 000

ˆ V



000 |

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

(0) 000

(0) 402

(0) 000

(0) 204

ˆ V



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



( 0) 600

(0) 000

( 0) 000

(0) 000

(0) 006



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.

(0) 000

(0) 040

(0) 000

(0) 420

( 0) 000

(0) 000

ˆ V



000 |

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

(0) 000

(0) 240

(0) 042

(0) 000



000 |

ˆ V

| 000





000 |

ˆ V

 | 000



(0) 600

( 0) 000

(0) 400



000 |

ˆ V

| 000





000 |

ˆ V

 | 000



12.

(0) 000

(0) 600

(0) 000

(0) 060

ˆ V



000 |

ˆ V

| 000





000 |

ˆ V

 | 000



(0) 042

(0) 000

(0) 240

(0) 000

ˆ V



000 |

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

(0) 204

(0) 000

(0) 600

(0) 000

ˆ V



000 |

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

(0) 000

(0) 060

(0) 000

(0) 006

ˆ V



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



(0) 000

(0) 042

(0) 000

(0) 060

(0) 000

ˆ | 200 200 |  V   (0)  E 200 ˆ | 200 200 |  V | 022 022 |     (0)  E  E 200 ˆ ˆ  V V | 200 200 |  | 040 040 |    (0)  E  E 200 ˆ | 240 240 | | 200 200 |   V    (0)   E E 200 ˆ ˆ | 600 600 | | 200 200 |   V V    (0)   E E 200 ˆ | 222 222 | | 200 200 |   V    (0)   E E 200 ˆ ˆ  | 202 202 |  | 220 220 | V V    (0)   E E 220 ˆ ˆ | 402 402 | | 220 220 |   V V    (0)   E E 220 ˆ | 600 600 | | 220 220 |   V    ( 0)   E E 220 ˆ ˆ  | 040 420 |  | 400 400 | V V    (0)   E E 400 ˆ ˆ | 240 240 | | 400 400 |   V V    (0)   E E 400 ˆ ˆ | 600 600 | | 222 222 |   V V    (0)   E E 222 ˆ ˆ   V V | 600 600 | | 400 400 |    (0)   E E 400 ˆ | 042 042 | | 420 420 |   V    (0)   E E 420 ˆ ˆ | 204 204 | | 420 420 |   V V    (0)   E E 420 ˆ | 060 060 | | 420 420 |   V    (0)   E E 420 ˆ  | 042 042 |  | 402 402 | V    (0)   E E 402

ˆ | 220 220 |  V | 200 200 |     (0)  E  E 200 ˆ ˆ | 400 400 | | 200 200 |   V V    (0)   E E 200 ˆ ˆ   V V | 420 420 | | 200 200 |    (0)   E E 200 ˆ | 042 042 | | 200 200 |   V    (0)   E E 200 ˆ | 060 060 | | 200 200 |   V    (0)   E E 200 ˆ | 222 222 | | 220 220 |   V    (0)   E E 220 ˆ  | 420 420 |  | 220 220 | V    (0)   E E 220 ˆ | 204 204 | | 220 220 |   V    (0)   E E 220 ˆ | 006 006 | | 220 220 |   V    (0)   E E 220 ˆ  | 420 420 |  | 400 400 | V    (0)   E E 400 ˆ | 042 042 | | 400 400 |   V    (0)   E E 400 ˆ | 400 400 | | 222 222 |   V    (0)   E E 222 ˆ   V | 060 060 | | 400 400 |    (0)   E E 400 ˆ | 240 240 | | 420 420 |   V    (0)   E E 420 ˆ ˆ | 600 600 | | 420 420 |   V V    (0)   E E 420 ˆ | 006 006 | | 420 420 |   V    (0)   E E 420 ˆ  | 060 060 |  | 600 600 | V    (0)   E E 600

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 51

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa



000 |

ˆ V

 | 000



000 |

ˆ V

 | 000



12.



12.

(0) 000

(0) 420

(0) 000

(0) 400

(0) 000

| 420 420 |    E

| 220 220 |   (0)  E 220

ˆ V 

| 400 400 |    E



000 |

ˆ V

 | 000



(0) 000

(0) 004

(0) 000

ˆ | 222 222 |  V   (0)  E 222 ˆ | 220 220 |  V   (0)  E 220

| 004 004 |    E

Phụ lục 6 Một số chương trình viết bằng ngôn ngữ lập trình Fortran



000

Viết chương trình tính bổ chính bậc hai

ˆ V





(2) E 0



(0) 000

k k kz x y (0)  E k k k x y z

k k , y x  k 0



0 |

ˆ S

0 |

ˆ S

0 |

ˆ S

Viết code cho hàm con | k  .  | k  .  | k 

Temp=Temp*(t+1)

Temp=1 DO t=0,M-1 END DO FACT=Temp

INTEGER K REAL*8 F,H

!HAM CON <0|V|K1> FUNCTION FF1(X,K1,K2,K3) REAL8 X INTEGER K1,K2,K3 FF1=(F(X,K1)F(X,K2)F(X,K3))/(SQRT(X)(1+2X)1.5) CONTAINS FUNCTION FACT(M) ! Hàm con tính giai thừa INTEGER M,t,Temp,FACT IF(M==0) THEN FACT=1 ELSE ENDIF END FUNCTION FUNCTION F(H,K) ! Hàm con <0|S’|k> F=((-1)K)((FACT(2*K))**0.5)((H/(1+2H))**K)/FACT(K) END FUNCTION

END FUNCTION



0 |

ˆ S



. 

ˆ S



. 

ˆ S



Viết code cho hàm con

!HAM CON FUNCTION FF2(X,K1,K2,K3) REAL8 X INTEGER K1,K2,K3 FF2=(F(X,K1)F(X,K2)F(X,K3))/(SQRT(ABS(X))(1+2*X)**1.5) CONTAINS FUNCTION FACT(M) ! Hàm con tính giai thừa INTEGER M,t,Temp,FACT IF(M==0) THEN FACT=1 ELSE

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 52

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Temp=Temp*(t+1)

Temp=1 DO t=0,M-1 END DO FACT=Temp

END IF END FUNCTION FUNCTION F(H,K) ! Hàm con

INTEGER i REAL*8 Fo,F,H Fo=0.0 DO i=0,K

END DO F=Fo

END FUNCTION

Fo=Fo+(FACT(2K)H**(2i))/(FACT(2K-2i)FACT(i)FACT(i)(1+2*H)**(2*K))

END FUNCTION

 Viết code tính tích phân theo phương pháp Simpson

! Hàm con tính tích phân bằng pp Simpson

I1=I2

S1=S1+FF(A+(2K-1)H,M1,M2,M3)

GOTO 10

SIMPSON=I2

EXTERNAL FF REAL8 A,B,EPS,H REAL8 I1,I2,So,S1,S2 INTEGER M1,M2,M3 INTEGER N,K,M So=FF(A,M1,M2,M3)+FF(B,M1,M2,M3) H=(B-A)/2.0 S1=FF(A+H,M1,M2,M3) S2=0 N=2 I2=H(So+4S1+2S2)/3.0 S2=S1+S2 H=H/2.0 S1=0 M=N DO K=1,N END DO N=2M I2=H(So+4S1+2*S2)/3.0 IF(ABS(I1-I2).GT.EPS) THEN ELSE END IF

FUNCTION SIMPSON(FF,A,B,EPS,M1,M2,M3) 10 END FUNCTION

Viết chương trình tính bổ chính năng lượng theo sơ đồ lặp

Viết chương trình tính các hệ số của hệ phương trình (3.6) và xuất kết

quả dưới dạng 1 ma trận A(n,n+1) bằng phương pháp Gauss cải tiến

SVTH: Phạm Thị Mai

Trang 53

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Hoa

Viết chương trình giải hệ phương trình (3.6) bằng cách đưa ma trận A(n,n+1) về ma trận đơn vị. Nghiệm của hệ tương ứng là các giá trị nằm ở cột thứ (n+1)

Viết code giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss cải tiến ứng với k=6

PROGRAM GaussTest

! Đọc các Hjj

IMPLICIT NONE ! Xóa tất cả mặc định sẵn INTEGER, PARAMETER :: N=6 ! Giải hệ 6 phương trình REAL8 A(N,1:N+1),E,A1,B1,C1,D1,E1,F1,DELTAE,Eo,PI INTEGER I, J PI=3.14159265358979323846 OPEN(11,FILE='D:\baocao\cacHjj.dat',STATUS='OLD') ! mở file cacHjj.dat READ (11,12) A1,B1,C1,D1,F1,E1 12 FORMAT (6F21.17) OPEN(10,FILE='D:\baocao\heso.dat',STATUS='OLD') !Mở file heso.dat READ (10,12) ((A(i,J),J=1,N+1),I=1,N) !Đọc các hệ số CALL Gauss( A ) ! Gọi đến thủ tục Gauss !In ra màn hình "Nghiem cua he phuong trinh the hien o cot cuoi:" DO I =1,N PRINT, A(I,n+1) END DO