Tham khảo đề thi - kiểm tra 'kỳ kscl thi đại học năm học 2012 - 2013 lần 1 đề thi môn: toán khối a, a1', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Chủ đề:
Nội dung Text: KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012 - 2013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, A1
- SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
3 x - 2
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y = , có đồ thị là (C ) .
x - 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết tiếp tuyến d tạo với trục Ox một góc a sao
1
cho cos a = .
17
sin 2 x + cos 2 x + 5sin x - cos x - 3
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: = 0 .
2 cos x - 3
ì( x + y )( xy + y + 5) = -8
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: í 2 2
î x + y + x ( y + 1) = 3
Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: mx - x - 3 = m + 1 có hai nghiệm
thực phân biệt.
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD. Cạnh SD tạo với đáy
(ABCD) một góc bằng 60 o . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng
(SBC) theo a.
æ pö
Câu 6 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m để với mọi x thuộc ç 0; ÷ ta đều có
è 2 ø
8 8 2
tan x + cot x ³ m + 64 cos 2 x .
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 4 x + 6 y - 12 = 0 và điểm M (2; 4 3) . Viết
phương trình đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều.
Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển thành đa thức của biểu thức: (1 + x + 4 x 2 ) 10 .
x 2 + 2 x
x2 +2 x x 2 + 2 x + 4
Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình: 3 + 7 ( ) (
+ 3- 7 ) = 2 2
.
B. Theo chương trình Nâng cao
x 2 y 2
Câu 7.b (1,0 điểm) Cho elíp ( E ) : + = 1 và điểm I (1; 1) . Viết phương trình đường thẳng d
9 4
qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN.
3
2 x - 1 - 3 x - 2
Câu 8.b (1,0 điểm) Tính giới hạn: lim .
x ®1 x - 1
Câu 9.b (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó
luôn có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn.
Hết
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới
www.laisac.page.tl
- SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN KHỐI A, A1
———————————
I. LƯU Ý CHUNG:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh
làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
1 a 1,0 điểm
TXĐ: D = ¡ \ {2}.
Giới hạn, tiệm cận:
æ 4 ö æ 4 ö
lim y = lim ç 3 + ÷ = 3 ; lim y = lim ç 3 + ÷ = 3
x ®+¥ x ®+¥
è x - 2 ø x ®-¥ x ®-¥
è x - 2 ø 0.25
æ 4 ö æ 4 ö
lim y = lim+ ç 3 + ÷ = +¥ ; xlim y = lim- ç 3 + ÷ = -¥
x ® 2+ x ® 2 è x - 2 ø ® 2 -
x
® 2 è x - 2 ø
Đồ thị có TCĐ: x = 2 ; TCN: y = 3 .
4
Sự biến thiên: y ' = - < 0 "x ¹ 2 , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng
( x - 2) 2 0.25
( -¥;2) & (2; +¥ )
BBT
x -¥ 2 +¥
y’ - -
0.25
3 +¥
y
-¥ 3
Đồ thị:
Giao với Oy tại: (0; 1) , giao với
æ 2 ö
Ox tại: ç ; 0 ÷
è 3 ø
Đồ thị nhận giao điểm của hai
tiệm cận làm tâm đối xứng. 0.25
b 1,0 điểm
1
Do cos a = Þ tan a = ±4 .
17 0.5
- Vì y '( x ) < 0, "x ¹ 2 suy ra hệ số góc của d bằng - 4 .
Giả sử d tiếp xúc với (C) tại điểm M ( x0 ; y0 ), x0 ¹ 2.
4 é x 0 = 1 0.25
y '( x 0 ) = - = -4 Û ê x = 3. Với x0 = 1 Þ y0 = - 1 ; với x0 = 3 Þ y0 = 7
( x0 - 2) 2 ë 0
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến d thỏa mãn là: y = -4 x + 3 và y = -4 x + 19 . 0.25
2 1,0 điểm
sin 2 x + cos 2 x + 5sin x - cos x - 3 3 p
= 0 (1) Đk: cos x ¹ Û x ¹ ± + k 2p , k Î ¢. 0.25
2 cos x - 3 2 6
(1) Û sin 2 x + cos 2 x + 5sin x - cos x - 3 = 0
0.25
Û cos x(2 sin x - 1) - (2 sin 2 x - 5sin x + 2) = 0
é p
ê x = + k 2 p
1 6
Û (2sin x - 1)(cos x - sin x + 2) = 0 Û sin x = Û ê 0.25
2 ê 5 p
x= + k 2 p
êë 6
5 p
Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm x = + k 2p ( k Î ¢ ) . 0.25
6
3 1,0 điểm
ìï( x + y )2 + ( x + y)( xy - x + 5) = -8
( I ) Û í 2
0.25
ïî ( x + y ) - ( xy - x) = 3
2
ì x + y = a ïì a + a (b + 5) = -8
Đặt í Þ hệ (I) có dạng: í 2 Þ a 2 + a (a 2 + 2) = - 8
î xy - x = b a
ïî - b = 3 0.25
Û a 3 + a 2 + 2 a + 8 = 0 Û ( a + 2)( a 2 - a + 4) = 0 Û a = -2 Þ b = 1
éì -3 + 5
ê ï x =
ê ïí 2
êï -1 - 5
ê ïî y =
ì a = -2 ì x + y = -2 ì x + y = -2 2
Với í Ûí Û í 2 Ûê 0.25
îb = 1 î xy - x = 1 î x + 3 x + 1 = 0 ê ì -3 - 5
ê ï x =
êï 2
êí -1 + 5
êï y =
êî
ë ï 2
æ -3 + 5 -1 - 5 ö æ -3 - 5 -1 + 5 ö
Vậy hệ phương trình có nghiệm çç ; ÷÷ ; çç ; ÷÷ . 0.25
è 2 2 ø è 2 2 ø
4 1,0 điểm
Đk: x ³ 3
x - 3 + 1 0.25
Pt tương đương m ( x - 1) = x - 3 + 1 Û m =
x - 1
x - 3 + 1
Đặt f ( x ) = với x ³ 3
x - 1
0.25
5 - x - 2 x - 3 5 - x - 2 x - 3
Khi đó: f '( x ) = 2
= 0 Û = 0 Û x = 7 - 2 3
2 x - 3( x - 1) 2 x - 3( x - 1) 2
- BBT
x 3 7-2 3 +¥
f’(x) + 0 -
0.25
1 + 3
f(x) 1 4
2 0
Từ bảng biến thiên suy ra, để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thì
1 1 + 3
£ m
- * Ta có
æ 1 1 ö
f / ( x ) = 4 ç tan 3 x 2
+ cot 3 x 2 ÷ - 16 sin 2 x
è cos x sin x ø
( ) ( )
= 4 éë tan 3 x 1 + tan 2 x + cot 3 x 1 + cot 2 x ùû - 16 sin 2 x
( ) ( )
= 4 tan 3 x + cot 3 x + 4 tan 5 x + cot 5 x - 16sin 2 x
æ pö
³ 4.2 ( )
tan 3 x cot 3 x + tan 5 x cot 5 x - 16sin 2 x = 16 (1 - sin 2 x ) ³ 0, "x Î ç 0; ÷ .
è 2 ø
0.25
æ pö
Suy ra f ( x ) đồng biến trên ç 0; ÷ . Lại có
è 2 ø
æ 1 1 ö æ pö
g / ( x ) = 4 ç tan 3 x 2
+ cot 3 x 2 ÷ + 16 sin 2 x > 0 với "x Î ç 0; ÷ nên g ( x ) đồng
è cos x sin x ø è 2 ø
æ pö
biến trên ç 0; ÷
è 2 ø
æ pù æp ö æp ö
* Với "x Î ç 0; ú ta có f ( x ) £ f ç ÷ = 0, g ( x ) £ g ç ÷ = 0 Þ f ( x ) .g ( x ) ³ 0
è 4 û è4ø è 4 ø 0.25
ép p ö æp ö æp ö
Với "x Î ê ; ÷ ta có f ( x ) ³ f ç ÷ = 0, g ( x ) ³ g ç ÷ = 0 Þ f ( x ) .g ( x ) ³ 0
ë 4 2 ø è4ø è 4 ø
æ pö p
Vậy "x Î ç 0; ÷ ta đều có f ( x ) .g ( x ) ³ 0 , dấu bằng xảy ra khi x = nên để bất
è 2 ø 4 0.25
æ pö
phương trình đúng "x Î ç 0; ÷ thì m - 2 £ 0 Û m £ 2 .
è 2 ø
7.a 1,0 điểm
A
M H I
B
Phương trình đường thẳng MI: x = 2 Þ phương trình AB: y = m 0.25
Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình x 2 - 4 x + m2 + 6 m - 12 = 0 (1)
2
D ' = -m - 6 m + 16 > 0 Û -8 < m
- 8.a 1,0 điểm
10 10 - k k
k
Ta có: (1 + x + 4 x 2 )10 = å C10 ( 4 x2 ) . (1 + x ) 0.25
k = 0
10 k
k
= å å C10 Ck i 4 10 - k x 20 -2 k +i 0.25
k = 0 i = 0
Cho 20 - 2k + i = 4 Û 2k - i = 16 (0 £ i £ k £ 10)
K 8 9 10 0.25
i 0 2 4
Vậy hệ số của x 4 trong khai triển trên là: 4 2.C108 .C80 + 4.C109 .C92 + C1010 .C10
4
= 2370. 0.25
9.a 1,0 điểm
x2 + 2 x x 2 + 2 x
x 2 + 2 x æ3+ 7 ö æ 3 - 7 ö
Chia hai vế cho ( 2 ) ta được ç
2 ø
÷ +ç ÷
2 ø
= 2 4 0.25
è è
x 2 + 2 x
æ 3 + 7 ö
Đặt t = ç ÷ , t > 0 ta được t 2 - 16t + 1 = 0 0.25
è 2 ø
2
é æ 3 + 7 ö
êt = 8 + 63 = ç ÷
ê è 2 ø
Giải ra ê 0.25
-2
ê æ 3 + 7 ö
êt = 8 - 63 = ç ÷
ê
ë è 2 ø
é x 2 + 2 x = 2 Û x = -1 ± 3.
Suy ra ê 0.25
2
êë x + 2 x = -2 (vo nghiem)
7.b 1,0 điểm
Xét phép đối xứng tâm I (1; 1) : ĐI biến điểm O thành điểm K (2; 2) , biến elíp (E)
(2 - x ) 2 (2 - y ) 2 0.5
thành elíp có phương trình ( E ') : + = 1 và biến điểm M thành điểm
9 4
N, N thành M.
Do vậy M, N là giao điểm của hai elíp (E) và (E’) suy ra tọa độ hai điểm M, N thỏa
0.25
- ì x 2 y 2
ïï + = 1
9 4
mãn hệ phương trình í 2 2
ï (2 - x ) + (2 - y ) = 1
ïî 9 4
Trừ vế cho vế ta được 4 x + 9 y - 13 = 0. Vậy phương trình đường thẳng MN là
4 x + 9 y - 13 = 0.
Cách khác: Xét đường thẳng x = 1 qua I cắt (E) tại hai điểm phân biệt, không thỏa
mãn ycbt. Gọi D là đường thẳng qua I có hệ số góc k. Suy ra phương trình của 0.25
D : y = k ( x - 1) + 1 . M, N là giao điểm của D và (E), từ điều kiện I là trung điểm
4
MN suy ra k = - , vậy phương trình D : 4 x + 9 y - 13 = 0.
9
8.b 1,0 điểm
Đặt f ( x ) = 3 2 x - 1 - 3 x - 2 Þ f (1) = 0
2 3 2 3 5 0.5
f '= 2
- Þ f '(1) = - =-
3 ( 3
2 x - 1 ) 2 3 x - 2 3 2 6
3
f ( x) - f (1) 2 x - 1 - 3 x - 2 5
Ta có: f '(1) = lim = lim =- 0.25
x ®1 x - 1 x ®1 x - 1 6
3
2 x - 1 - 3 x - 2 5
Vậy lim = - .
x ®1 x - 1 6
0.25
Cách khác: Có thể thêm, bớt 1 vào tử số, tách thành hai giới hạn rồi nhân với biểu
thức liên hợp của tử số.
9.b 1,0 điểm
Giả sử số viết được là abcde với a, b, c, d , e Î {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 } và a ¹ 0.
0.25
Trước hết ta đếm các số dạng abcde có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt tính
cả trường hợp a = 0.
Khi đó ta chọn ra 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt rồi hoán vị các chữ số đó, ta
0.25
có C53 .C 5 2 .5! số.
Tiếp theo ta xét các số có dạng 0bcde với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt.
Khi đó ta chọn ra 2 chữ số chẵn (khác 0) và 2 chữ số lẻ rồi hoán vị vào các vị trí b, c, 0.25
d, e. Ta có C42 .C 5 2 .4!
Từ đó ta có số các số cần tìm là: C53 .C52 .5!- C42 .C5 2 .4! = 10560 số. 0.25
Hết
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
