Luận án tiến sĩ ngành Khoa học vật chất: Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều

Chia sẻ: Lê Thị Hồng Nhung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:151

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận án: Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Các mô hình này cần có độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số hình học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng trượt tới các đặc trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ ngành Khoa học vật chất: Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- TRẦN THỊ THƠM MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT Hà Nội – Năm 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- TRẦN THỊ THƠM MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA DẦM CÓ CƠ TÍNH BIẾN ĐỔI THEO HAI CHIỀU Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9440107 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KHOA HỌC VẬT CHẤT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên 2. PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành Hà Nội - Năm 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu và kết quả được trình bày trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Trần Thị Thơm i
LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên và PGS.TS. Nguyễn Xuân Thành. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến các Thầy, người đã tận tâm giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu. Trong quá trình thực hiện Luận án, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện của tập thể Lãnh đạo, các nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên của Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam; tập thể Ban lãnh đạo, cán bộ Viện Cơ học. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về những sự giúp đỡ đó. Tôi xin chân thành cảm ơn đến các nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn, Viện Cơ học; anh chị em trong nhóm Seminar đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho tôi trong quá trình thực hiện Luận án. Tôi xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã chia sẻ, động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành Luận án này. Tác giả Luận án Trần Thị Thơm ii
MỤC LỤC Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Dầm FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Phân tích dầm 1D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2.1. Phương pháp CPVP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2.2. Phương pháp PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3. Phân tích dầm 2D-FGM trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4. Nghiên cứu dầm FGM trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5. Định hướng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. Điểm mới của Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 2. Các phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1. Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Lý thuyết dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3. Phương trình dựa trên FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1. Biến dạng và ứng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2. Năng lượng biến dạng đàn hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3. Động năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 iii
iv 2.4. Phương trình dựa trên ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1. Phương trình biểu diễn theo θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2. Phương trình biểu diễn theo γ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Ứng suất nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6. Thế năng của lực ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.7. Phương trình chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.8. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8.1. Điều kiện biên về lực và mô-men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.8.2. Điều kiện biên về chuyển vị và góc quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Chương 3. Mô hình phần tử hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1. Mô hình phần tử dầm FSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1. Mô hình phần tử FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2. Mô hình phần tử FBHi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Mô hình phần tử dầm ITSDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1. Mô hình phần tử TBSθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2. Mô hình phần tử TBSγ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Ma trận độ cứng do nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4. Phương trình chuyển động rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5. Thuật toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.1. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.5.2. Phương pháp gia tốc trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.3. Véc-tơ lực nút . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.4. Quy trình tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Chương 4. Kết quả số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1. Sự hội tụ và độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.1. Sự hội tụ của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.2. Độ tin cậy của mô hình PTHH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.1.3. So sánh các mô hình phần tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
v 4.2. Dao động tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1. Dầm có thiết diện không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1.1. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.1.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.2.1.3. Dầm với các điều kiện biên khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.1.4. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.1.5. Mode dao động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2. Dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.2.1. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.2.2. Ảnh hưởng của tham số thiết diện và dạng thon. . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3. Dao động cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.1. Ảnh hưởng của vận tốc lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.2. Ảnh hưởng của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Danh mục công trình liên quan tới Luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Các kí hiệu thông thường A0 Diện tích thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon) A(x) Diện tích thiết diện ngang A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt (Dùng trong FSDT) A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao B11 , B22 , B44 Các độ cứng chống trượt (Dùng trong ITSDT) b(x) Chiều rộng dầm thon c Tham số thiết diện Dd Tham số động lực học EC1 Mô-đun đàn hồi của gốm 1 EC2 Mô-đun đàn hồi của gốm 2 EM1 Mô-đun đàn hồi của kim loại 1 EM2 Mô-đun đàn hồi của kim loại 2 E(x, z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng GC1 Mô-đun trượt của gốm 1 GC2 Mô-đun trượt của gốm 2 GM1 Mô-đun trượt của kim loại 1 GM2 Mô-đun trượt của kim loại 2 G(x, z) Mô-đun trượt hiệu dụng h Chiều cao dầm h(x) Chiều cao dầm thon vi
vii I Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang I0 Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang tại đầu trái (dầm thon) I(x) Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang I11 Mô-men khối lượng dọc trục I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay I22 Mô-men khối lượng xoay của thiết diện ngang I34 , I44 , I66 Mô-men khối lượng bậc cao l Chiều dài một phần tử L Chiều dài dầm n Tham số vật liệu của dầm 1D-FGM nx Tham số vật liệu theo chiều dài nz Tham số vật liệu theo chiều cao nE Số lượng phần tử rời rạc của dầm P Độ lớn lực di động P Tính chất hiệu dụng PC1 Tính chất vật liệu của gốm 1 PC2 Tính chất vật liệu của gốm 2 PM1 Tính chất vật liệu của kim loại 1 PM2 Tính chất vật liệu của kim loại 2 T Động năng U Năng lượng biến dạng UB Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm UT Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt V Thế năng của lực di động L Phiếm hàm Lagrange VC1 Tỷ phần thể tích của gốm 1 VC2 Tỷ phần thể tích của gốm 2 VM1 Tỷ phần thể tích của kim loại 1
viii VM2 Tỷ phần thể tích của kim loại 2 s Quãng đường lực P đi được T Nhiệt độ môi trường T0 Nhiệt độ tham chiếu (300K ∼ 27◦ C) u(x, z,t) Chuyển vị dọc trục của điểm bất kì u0 (x,t) Chuyển vị dọc trục của điểm trên mặt giữa v Vận tốc lực di động w(x, z,t) Chuyển vị ngang của điểm bất kì w0 (x,t) Chuyển vị ngang của điểm trên mặt giữa wst Độ võng tĩnh tại giữa dầm Véc-tơ và ma trận d Véc-tơ chuyển vị nút phần tử D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể ˙ D Véc-tơ vận tốc nút tổng thể ¨ D Véc-tơ gia tốc nút tổng thể Fex Véc-tơ lực nút tổng thể Fef Véc-tơ lực nút hiệu dụng Nu Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục Nw Ma trận các hàm nội suy cho chuyển vị ngang Nθ Ma trận các hàm nội suy cho góc quay θ Nγ Ma trận các hàm nội suy cho góc trượt ngang γ0 K Ma trận độ cứng tổng thể Kef Ma trận độ cứng hiệu dụng M Ma trận khối lượng tổng thể Chữ cái Hy Lạp α Hệ số giãn nở nhiệt của dầm αC1 Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 1
ix αC2 Hệ số giãn nở nhiệt của gốm 2 αM1 Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 1 αM2 Hệ số giãn nở nhiệt của kim loại 2 γ0 Góc trượt ngang θ (x,t) Góc quay của thiết diện ngang ψ Hệ số điều chỉnh trượt ωi Tần số tự nhiên thứ i của dầm ω1 Tần số tự nhiên cơ bản µi Tham số tần số thứ i µ1 Tham số tần số cơ bản ∆T Sự tăng của nhiệt độ ∆t Bước thời gian ∆T ∗ Tổng thời gian để một lực đi hết chiều dài dầm εxx Biến dạng dọc trục γxz Biến dạng trượt σxx Ứng suất dọc trục (ứng suất pháp) σxx T Ứng suất nhiệt ban đầu τxz Ứng suất trượt (ứng suất tiếp) ρ Mật độ khối (khối lượng riêng) hiệu dụng của dầm ρC1 Mật độ khối của gốm 1 ρC2 Mật độ khối của gốm 2 ρM1 Mật độ khối của kim loại 1 ρM2 Mật độ khối của kim loại 2 νC1 Hệ số Poisson của gốm 1 νC2 Hệ số Poisson của gốm 2 νM1 Hệ số Poisson của kim loại 1 νM2 Hệ số Poisson của kim loại 2 Chữ viết tắt
x CBT Lý thuyết dầm cổ điển (Classical Beam Theory) CPVP Cầu phương vi phân FGM Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material) FSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order Shear Deformation Theory) ITSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (Improved Third-order Shear Deformation Theory) FBHi Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy thứ bậc (First-order Beam element using Hierarchical shape functions) FBKo Mô hình phần tử FSDT sử dụng hàm nội suy Kosmatka (First-order Beam element using Kosmatka interpolation) PTHH Phần tử hữu hạn TBSθ Mô hình phần tử ITSDT sử dụng θ là hàm độc lập (Third-order Beam element based on Shi theory using θ ) TBSγ Mô hình phần tử ITSDT sử dụng γ0 là hàm độc lập (Third-order Beam element based on Shi theory using γ0 ) TSDT Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba (Third-order Shear Deformation Theory)
Danh sách hình vẽ Hình 2.1 Mô hình dầm 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Hình 2.2 Sự thay đổi tỷ phần thể tích của C1 và C2 theo chiều cao và chiều dài dầm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Hình 2.3 Biến thiên của mô-đun đàn hồi theo chiều cao và chiều dài dầm . . . 21 Hình 2.4 Biến thiên của mật độ khối theo chiều cao và chiều dài dầm . . . . . 22 Hình 2.5 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi của dầm 2D-FGM với nx = nz = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Hình 2.6 Mô hình dầm thon 2D-FGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Hình 3.1 (a) Các hàm dạng thứ bậc, (b) Các bậc tự do của phần tử dầm thứ bậc 48 Hình 3.2 Sơ đồ khối phân tích dao động tự do của dầm 2D-FGM trong môi trường nhiệt độ sử dụng mô hình TBSγ . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Hình 3.3 Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM chịu lực di động sử dụng mô hình FBKo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Hình 4.1 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm S-S với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Hình 4.2 Sự phụ thuộc của tham số µ1 vào tham số vật liệu của dầm tựa giản đơn với các giá trị khác nhau của ∆T . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Hình 4.3 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm C-C với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Hình 4.4 Tham số tần số cơ bản của dầm C-C với các giá trị khác nhau của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Hình 4.5 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên bốn tham số tần số đầu tiên của dầm C-F với ∆T = 50K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Hình 4.6 Tham số tần số cơ bản của dầm C-F với các giá trị khác nhau của sự tăng nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số cơ bản của dầm S-S với các giá trị L/h khác nhau (∆T = 50K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Hình 4.8 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 0K: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0.5) . . . . . . . . . . 85 xi
xii Hình 4.9 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 50K: (a) (nx , nz ) = (1, 0.1), (b) (nx , nz ) = (1, 2) . . . . . . . . . . . 85 Hình 4.10 Ba mode dao động đầu tiên cho u0 , w0 và γ0 của dầm S-S với ∆T = 50K: (a) (nx , nz ) = (0.1, 1), (b) (nx , nz ) = (2, 1) . . . . . . . . . . . 86 Hình 4.11 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-F với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Hình 4.12 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon S-S với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Hình 4.13 Sự thay đổi của bốn tham số tần số đầu tiên của dầm thon C-C với các tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Hình 4.14 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm thon C-F: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c) (nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Hình 4.15 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm thon S-S: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c) (nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Hình 4.16 Ảnh hưởng của tham số thiết diện tới tham số tần số cơ bản của dầm thon C-C: (a) (nx , nz ) = (0, 0.5), (b) (nx , nz ) = (0.5, 0), (c) (nx , nz ) = (2, 0.5), (d) (nx , nz ) = (0.5, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Hình 4.17 Mối liên hệ của độ võng không thứ nguyên tại giữa dầm theo thời gian với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu: (a) (nx , nz ) = (1/3, 1/3), (b) (nx , nz ) = (3, 3), (c) (nx , nz ) = (0, 3), (d) (nx , nz ) = (3, 0) . 97 Hình 4.18 Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc lực di động: (a) nz = 1/3, nx thay đổi; (b) nx = 1/3, nz thay đổi . . . . . . . . . . . . . 98 Hình 4.19 Sự thay đổi của tham số động lực học với các tham số vật liệu . . . . 98 Hình 4.20 Phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp không thứ nguyên tại giữa dầm với v = 100 m/s: (a) nz = 1/3, nx thay đổi, (b) nx = 1/3, nz thay đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Hình 4.21 Mối liên hệ giữa tham số động lực học với vận tốc của lực di động với các giá trị L/h khác nhau: (a) nx = nz = 1/3, (b) nx = nz = 3. . . 101
Danh sách bảng Bảng 2.1 Tính chất các vật liệu thành phần của dầm 2D-FGM . . . . . . . . . 22 Bảng 2.2 Các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ của vật liệu thành phần . . . . . . 23 Bảng 4.1 Sự hội tụ của các mô hình phần tử trong đánh giá tham số tần số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Bảng 4.2 Sự hội tụ của mô hình phần tử TBSθ trong đánh giá tham số tần số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Bảng 4.3 Sự hội tụ của mô hình FBHi trong đánh giá tham số tần số cơ bản của dầm thon 2D-FGM (Dạng thon C) . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Bảng 4.4 So sánh tham số tần số cơ bản cho dầm 1D-FGM tạo bởi Al và Al2 O3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Bảng 4.5 So sánh tham số động lực học lớn nhất tại giữa dầm, max(Dd ), và vận tốc tương ứng của dầm 1D-FGM tạo bởi SUS304 và Al2 O3 . . . . 68 Bảng 4.6 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm 1D-FGM trong môi trường nhiệt độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Bảng 4.7 So sánh tham số tần số cơ bản µ của dầm thon 1D-FGM với cơ tính biến đổi dọc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Bảng 4.8 So sánh tham số tần số cơ bản của dầm S-S 2D-FGM dựa trên các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Bảng 4.9 So sánh tham số động lực học của dầm S-S 2D-FGM dựa trên các mô hình phần tử khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Bảng 4.10 Ảnh hưởng của tham số vật liệu lên tham số tần số cơ bản µ1 cho dầm S-S với ∆T = 0K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Bảng 4.11 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 20K . . . . . . . . 76 Bảng 4.12 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 40K . . . . . . . . 76 Bảng 4.13 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm S-S với ∆T = 80K . . . . . . . . 77 Bảng 4.14 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 0K . . . . . . . . 78 Bảng 4.15 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 20K . . . . . . . 79 Bảng 4.16 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 40K . . . . . . . 79 Bảng 4.17 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-C với ∆T = 80K . . . . . . . 79 Bảng 4.18 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 0K . . . . . . . . 81 xiii
xiv Bảng 4.19 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 20K . . . . . . . 81 Bảng 4.20 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 40K . . . . . . . 81 Bảng 4.21 Tham số tần số cơ bản µ1 của dầm C-F với ∆T = 50K . . . . . . . 82 Bảng 4.22 Tham số tần số µ1 của dầm thon C-F với các giá trị khác nhau của (nx , nz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Bảng 4.23 Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị khác nhau của (nx , nz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Bảng 4.24 Tham số tần số µ1 của dầm thon C-C với các giá trị khác nhau của (nx , nz ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Bảng 4.25 Ảnh hưởng của sự thay đổi tham số vật liệu tới tham số tần số của dầm đều và dầm thon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Bảng 4.26 Tham số tần số cơ bản của dầm thon C-F với các giá trị L/h0 khác nhau (Dạng thon B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Bảng 4.27 Tham số tần số µ1 của dầm thon S-S với các giá trị L/h0 khác nhau (Dạng thon B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Bảng 4.28 Tham số động lực học của dầm 2D-FGM với các giá trị khác nhau của vận tốc lực di động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Bảng 4.29 Tham số động lực học lớn nhất và tốc độ của lực di động với các giá trị khác nhau của tham số vật liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của đề tài Vật liệu có cơ tính biến đổi (Functionally Graded Material - FGM), một loại composite thế hệ mới, được sử dụng ngày càng nhiều để chế tạo các phần tử kết cấu dùng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, có tính mài mòn và ăn mòn lớn. Sự kết hợp giữa gốm có độ bền cao, tỷ trọng thấp với kim loại có độ dai và khả năng chịu va đập tốt giúp FGM có nhiều ưu điểm so với các loại vật liệu truyền thống. Đặc biệt, FGM không có các nhược điểm thường gặp trong các vật liệu composite phân lớp như sự tách lớp và tập trung ứng suất. Các nghiên cứu gần đây chỉ ra rằng các đáp ứng động lực học của dầm FGM được cải thiện đáng kể nhờ việc lựa chọn hợp lý tỷ phần thể tích của vật liệu thành phần. Dao động của kết cấu là bài toán quan trọng trong lĩnh vực cơ học, được nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ lâu. Nhiều kết quả nghiên cứu về dao động của dầm FGM, sử dụng cả phương pháp giải tích và phương pháp số, đã được công bố trong thời gian gần đây. Tuy nhiên, phần lớn các công bố này liên quan tới dầm có cơ tính biến đổi theo một chiều, chiều cao hoặc chiều dài dầm. Trong nhiều tình huống thực tế, kết cấu FGM nói chung và dầm FGM nói riêng có thể chịu các tải trọng cơ, nhiệt thay đổi theo nhiều phương khác nhau. Tối ưu hóa độ bền và trọng lượng kết cấu bằng cách thay đổi tỷ phần thể tích các vật liệu thành phần của FGM theo nhiều hướng không gian khác nhau là vấn đề có ý nghĩa thực tế, được các nhà khoa học trên thế giới, đặc biệt ở Nhật Bản thực hiện trong những năm gần đây. Phân tích kết cấu có cơ tính thay đổi theo nhiều phương khác nhau nói chung và dao động của dầm FGM có cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm (dầm 2D-FGM) nói riêng, vì thế có ý nghĩa khoa học, được đặt ra từ nhu cầu thực tế. Khi tính chất cơ-lý của dầm 2D-FGM thay đổi theo chiều dài, các hệ số trong phương trình vi phân chuyển động của dầm là hàm của tọa độ không gian dọc theo trục dầm. Các phương pháp giải tích, vì thế thường gặp khó khăn trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) với nhiều thế mạnh trong phân tích kết cấu, là lựa chọn hàng đầu để thay thế các phương pháp giải tích truyền thống trong nghiên cứu bài toán này. Phát triển các mô hình PTHH, tức là xây 1
2 dựng các ma trận độ cứng và ma trận khối lượng, dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM là vấn đề có ý nghĩa khoa học, góp phần thúc đẩy ứng dụng của vật liệu FGM vào thực tế. Từ những phân tích nêu trên, tác giả đã lựa chọn đề tài "Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích dao động của dầm có cơ tính biến đổi theo hai chiều" làm đề tài nghiên cứu cho Luận án của mình. Mục tiêu của Luận án Luận án nhằm phát triển một số mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường và sự thay đổi của thiết diện ngang dọc theo trục dầm là các yếu tố thường xuất hiện trong thực tế được xem xét trong mô hình PTHH phát triển trong Luận án. Các mô hình này cần có độ tin cậy cao, tốc độ hội tụ tốt và đánh giá được ảnh hưởng của tham số vật liệu, tham số hình học cũng như có khả năng mô phỏng được ảnh hưởng của biến dạng trượt tới các đặc trưng dao động và các đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGM. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của Luận án được giới hạn cụ thể như sau: 1. Đối tượng: Đối tượng nghiên cứu là các dầm FGM có cơ tính biến thiên theo hai chiều, chiều cao và chiều dài dầm. Vật liệu FGM của dầm giả định được tạo từ bốn vật liệu thành phần khác nhau, trong đó hai vật liệu là gốm và hai vật liệu là kim loại. Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần tuân theo quy luật hàm số lũy thừa. Thiết diện ngang của dầm có dạng hình chữ nhật với chiều cao và chiều rộng có thể thay đổi tuyến tính dọc theo chiều dài dầm. 2. Phạm vi nghiên cứu: - Luận án chỉ nghiên cứu bài toán dao động tuyến tính của dầm 2D-FGM. Như vậy, độ võng và góc quay của thiết diện ngang được giả thiết là nhỏ, cho phép bỏ qua số hạng phi tuyến trong biểu thức của biến dạng dọc trục. Vật liệu dầm được giả thiết là đàn hồi tuyến tính, tức là mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hooke. - Mặc dù phương pháp trình bày trong Luận án có thể sử dụng để phân tích dầm
3 chịu các tải trọng động khác nhau nhưng để tập trung vào nội dung chính là phát triển mô hình PTHH, trong bài toán dao động cưỡng bức Luận án chỉ xét trường hợp dầm chịu một lực di động với vận tốc không đổi. Như vậy, ảnh hưởng của lực Coriolis và lực ly tâm sinh ra khi tính tới ảnh hưởng của khối lượng di động được bỏ qua. - Lời giải cho trường nhiệt độ phân bố không đồng nhất sinh ra từ sự chênh lệch nhiệt độ giữa các mặt và hai đầu của dầm 2D-FGM, theo hiểu biết của tác giả, là chưa có. Vì thế Luận án chỉ xem xét trường nhiệt độ tăng đều khi nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGM. Các tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ được xét tới trong Luận án. - Các phương trình cơ bản cho dầm 2D-FGM được viết trên cơ sở coi trục dầm nằm trên mặt giữa dầm làm trục quy chiếu, tức là ảnh hưởng của vị trí mặt trung hòa không xét tới trong Luận án. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp giải tích truyền thống dùng trong Cơ học Vật rắn và Cơ học Kết cấu được sử dụng trong Luận án để xây dựng các biểu thức năng lượng của dầm. Nhằm kế thừa và phát huy các nghiên cứu trước đây của Phòng Cơ học Vật rắn, Viện Cơ học, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, Luận án sử dụng phương pháp PTHH như là công cụ chính để xây dựng các phương trình chuyển động dưới dạng rời rạc hóa. Phương pháp tích phân trực tiếp Newmark, một phương pháp phổ biến trong nghiên cứu động lực học kết cấu, được sử dụng để tính toán đáp ứng động lực học của dầm. Do tính phức tạp về mặt toán học khi nghiên cứu dầm 2D-FGM sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến, phần mềm tính toán symbolic Maple cũng được sử dụng để hỗ trợ cho các biến đổi toán học cũng như việc xây dựng mô hình PTHH và chương trình tính toán số. Bố cục của Luận án Ngoài phần Mở đầu, Luận án được chia làm Bốn Chương và phần Kết luận cùng với các Tài liệu kham khảo. Các Công trình công bố của tác giả liên quan tới Luận án được liệt kê ở cuối Luận án. Nội dung chính của các Chương như sau: Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về
4 kết cấu dầm FGM. Một số kết quả liên quan tới dầm 2D-FGM nhận được bởi một số tác giả trong thời gian gần đây được thảo luận chi tiết. Việc trình bày nhấn mạnh tới phương pháp nghiên cứu để thấy rõ vì sao Luận án lựa chọn phương pháp PTHH để phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Chương 2 trình bày mô hình toán học và các đặc trưng cơ học cho dầm 2D-FGM. Các phương trình cho mô hình toán học được xây dựng dựa trên hai lý thuyết biến dạng trượt là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order Shear Deformation Theory - FSDT) và lý thuyết biến dạng trượt bậc ba cải tiến (Improved Third-order Shear Deformation Theory - ITSDT). Chương này cũng tiến hành thiết lập các biểu thức năng lượng tương ứng với hai lý thuyết trên để làm cơ sở cho việc xây dựng các mô hình PTHH. Đặc biệt, ngoài cách biểu diễn các phương trình cơ bản theo góc quay của thiết diện ngang như trong phần lớn các nghiên cứu, các phương trình cơ bản dựa trên ITSDT còn được xây dựng dựa trên cách biểu diễn theo góc trượt ngang. Hệ phương trình vi phân chuyển động cho dầm dựa trên ITSDT với cách biểu diễn các phương trình cơ bản theo γ0 được xây dựng từ nguyên lý biến phân Hamilton. Ảnh hưởng của ứng suất nhiệt ban đầu và sự tăng nhiệt độ cũng được đề cập trong Chương 2. Chương 3 trình bày việc xây dựng các mô hình PTHH trên cơ sở các lý thuyết dầm và các hàm nội suy khác nhau. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho hai mô hình dầm dựa trên FSDT sử dụng hàm dạng Kosmatka và các hàm dạng thứ bậc được trình bày chi tiết. Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho hai mô hình phần tử dầm dựa trên ITSDT được xây dựng trên cơ sở các hàm dạng tuyến tính và các hàm dạng Hermite. Chương 4 trình bày các kết quả số nhận được từ việc phân tích các bài toán khác nhau. Chương này cũng đưa ra một số nhận xét về ưu, nhược điểm của các mô hình PTHH xây dựng trong Luận án trong phân tích dao động của dầm 2D-FGM. Ảnh hưởng của các tham số vật liệu, tham số thiết diện ngang, nhiệt độ môi trường và tải trọng ngoài tới các đặc trưng dao động cũng như các đáp ứng động lực học của dầm cũng được trình bày chi tiết trong Chương 4. Một số kết luận rút ra từ Luận án và kiến nghị cho các nghiên cứu tiếp theo được tóm lược trong Phần Kết luận của Luận án.