ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC
ĐINH THỊ HUYỀN
BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC CẤP 2 DẠNG BẢO TOÀN
TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ
Khóa luận tốt nghiệp đại học hệ chính quy
Ngành Toán học
Chương trình đào tạo chuẩn
Hà Nội - 2018
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN-CƠ-TIN HỌC
ĐINH THỊ HUYỀN
BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG
TRÌNH ELLIPTIC CẤP 2 DẠNG BẢO TOÀN
TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ
Khóa luận tốt nghiệp đại học hệ chính quy
Ngành Toán học
Chương trình đào tạo chuẩn
Cán bộ hướng dẫn: TS. ĐẶNG ANH TUẤN
Hà Nội - 2018
Lời cảm ơn
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN đã
tạo điều kiện thuận lời và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng như nghiên cứu.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường
ĐHKHTN - ĐHQGHN về sự động viên khích lệ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Đặng Anh Tuấn, người đã luôn hướng
dẫn, chỉ bảo tận tình, sát sao tôi trong quá trình thực hiện khóa luận.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn Mai Thị Kim Dung, người đã giúp tôi trong việc sử
dụng Latex và hoàn thiện trình bày khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn bè những người đã giúp đỡ,
động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận.
Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2018.
Sinh viên
Đinh Thị Huyền
1
Mục lục
Lời cảm ơn 1
Danh mục kí hiệu 3
1 Nhắc lại kiến thức 5
1.1 Các kết quả về giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 ChuỗiFourier................................. 14
2 Không gian Sobolev trên đường tròn, hình tròn đơn vị. 20
2.1 Không gian Sobolev trên đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Không gian Sobolev trên hình tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2 dạng bảo toàn 34
3.1 Định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Định lý về tính trơn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo ................................ 44
2
Danh mục kí hiệu
•N: Tập hợp số tự nhiên.
•Z+: Tập hợp số nguyên không âm.
•α: đa chỉ số, α∈Z2
+, α = (α1, α2).
• |α|=α1+α2.
•Dαu: được định nghĩa Dαu=∂|α|u
∂x1α1∂x2α2.
•Bε={(x1, x2)∈R2|x2
1+x2
2<(1 −ε)2}, hình tròn tâm tại gốc, bán kính (1 −ε).
•B={(x1, x2)∈R2|x2
1+x2
2<1},hình tròn đơn vị tâm tại gốc.
•S1={eiθ|θ∈R} ⊂ R2.
Với Acó thể là S1, B, Bε;Ωcó thể là B, Bεta định nghĩa:
•Lp(A) = {u:Ađđ
−−−−−−−→
Lebesgue C|R
A|u(x)|pdx < ∞},1≤p < ∞.
•C(S1): Không gian các hàm liên tục trên R, tuần hoàn chu kì 2π.
•Ck(S1): Không gian các hàm có đạo hàm tới cấp kliên tục trên R, tuần hoàn chu
kì 2π.
•C∞(S1): Không gian các hàm khả vi vô hạn trên R, tuần hoàn chu kì 2π,
C∞(S1) = ∞
T
k=0
Ck(S1).
•C0(Ω) = {u∈C(Ω),supp ulà tập compact trong Ω},supp u={x∈Ω : u(x)6= 0}.
•Ck
0(Ω) = {u∈Ck(Ω),supp ulà tập compact trong Ω}.
•C∞
0(Ω) = ∞
T
k=0
Ck
0(Ω).
•Ck(B): Không gian các hàm ucó đạo hàm Dαuliên tục đều trên B,∀|α| ≤ k.
•C∞(B) = ∞
T
k=0
Ck(B).
• ∇u= (ux1, ux2), uxj, j = 1,2là đạo hàm riêng của utheo xj.
3