VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
PHẠM HỒNG NAM
MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT
VỚI HỆ THAM SỐ HẦU P-CHUẨN TẮC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2020
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
PHẠM HỒNG NAM
MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA MÔĐUN LIÊN KẾT
VỚI HỆ THAM SỐ HẦU P-CHUẨN TẮC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn:
PGS.TS. Đoàn Trung Cường
GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn
Hà Nội - 2020
i
Tóm tắt
Cho (R, m)là một vành giao hoán Noether địa phương và Mlà một
R-môđun hữu hạn sinh. Mục đích chính của luận án là nghiên cứu một
lớp hệ tham số đặc biệt của môđun Mgọi là các hệ tham số hầu p-
chuẩn tắc và ứng dụng để tính toán một số đại lượng như đặc trưng
Euler-Poincaré của phức Koszul, hệ số Hilbert, đa thức Hilbert và xây
dựng một lớp các bậc đối đồng điều. Nội dung luận án được chia thành
4 chương.
Chương 1 được dành để nhắc lại một số kiến thức cơ sở về môđun đối
đồng điều địa phương, hệ số Hilbert, hệ tham số p-chuẩn tắc, dd-dãy và
đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao của phức Koszul.
Trong Chương 2 chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của hệ tham
số hầu p-chuẩn tắc. Cho x=x1, . . . , xdlà một hệ tham số hầu p-chuẩn
tắc của M. Xét 0≤i≤d−1và Λ⊆ {i+ 2, . . . , d}. Trước tiên chúng
tôi chứng minh rằng các môđun Ui,Λ
M= (0 : xni+1
i+1 )M/(xnj
j:j∈Λ)Mkhông
phụ thuộc vào ni+1, . . . , nd≥2và cách chọn hệ tham số hầu p-chuẩn
tắc x.Tiếp theo, sử dụng các môđun con thương này chúng tôi chỉ ra
rằng các bậc tương ứng với các hệ số khác không của hàm đa thức
ℓ(M/(xn1
1, . . . , xnd
d)M)không phụ thuộc vào cách chọn hệ tham số và
thu được một dãy bất biến quan trọng của M. Sử dụng bội của các
môđun con thương này, chúng tôi đưa ra công thức tính các đặc trưng
Euler-Poincaré bậc cao của phức Koszul χk(xn1
1, . . . , xnd
d;M)và các hệ
số Hilbert ei(xn1
1, . . . , xnd
d;M)đối với một hệ tham số hầu p-chuẩn tắc.
Từ đó đưa ra so sánh giữa các hệ số của các đa thức ứng với hàm độ
dài ℓ(M/(xn1
1, . . . , xnd
d)M),các đặc trưng Euler-Poincaré bậc cao và các
hệ số Hilbert đối với luỹ thừa của một hệ tham số hầu p-chuẩn tắc.
ii
Trong Chương 3, cho Ilà một iđêan thực sự của vành địa phương
(R, m), chúng tôi chỉ ra hàm ℓ(H0
m(R/In+1)) là một hàm đa thức trong
trường hợp Ilà iđêan chính hoặc Ilà iđêan sinh bởi một phần hệ tham
số hầu p-chuẩn tắc. Hơn nữa, trong trường hợp Ilà iđêan chính hoặc
Ilà iđêan sinh bởi một phần hệ tham số chuẩn tắc trong vành Cohen-
Macaulay suy rộng, chúng tôi đưa ra công thức tính các hệ số của đa
thức này qua độ dài các môđun đối đồng địa phương và số bội. Phần cuối
của chương này, chúng tôi đưa ra ví dụ về một vành địa phương Rvà
một iđêan Isinh bởi một phần hệ tham số nhưng hàm ℓ(H0
m(R/In+1))
không là đa thức theo n.
Chương 4 được dành để trình bày về một ứng dụng của hệ tham số
hầu p-chuẩn tắc để xây dựng một họ vô hạn các bậc đối đồng điều của
R. Chúng tôi cũng có một số so sánh giữa các bậc trong họ này với bậc
đồng điều của Vasconcelos đối với một số lớp môđun đặc biệt.
iii
Abstract
Let (R, m)be a commutative Noetherian local ring and Mbe a
finitely generated R-module. The aim of this thesis is to study a class
of systems of parameters of the module Mcalled almost p-standard
systems of parameters and their applications in computing the par-
tial Euler-Poincaré characteristic of Koszul complex, Hilbert coefficients,
Hilbert polynomial and in constructing a family of cohomological degree.
The thesis consists of four chapters.
In Chapter 1, we recall some basic results on local cohomology, Hilbert
coefficients, p-standard systems of parameters, dd-sequences and partial
Euler-Poincaré characteristic of Koszul complex.
In Chapter 2, we study several properties of almost p-standard sys-
tem of parameters. Let x=x1, . . . , xdbe an almost p-standard of M.
Take 0≤i≤dand Λ⊆ {i+ 2, . . . , d}.Firstly, we prove that the
subquotient module Ui,Λ
M= (0 : xni+1
i+1 )M/(xnj
j:j∈Λ)Mdoes not depend on
ni+1, . . . , nd≥2and the choice of x.By using theses subquotient mod-
ules we show that the degrees corresponding to the non-zero coefficients
of the polynomial ℓ(M/(xn1
1, . . . , xnd
d)M)does not depend on the choice
of the system of parameters and obtain a sequence of important numer-
ical invariants of M. Using multiplicities of these subquotients, we give
precise formulas to compute all the partial Euler-Poincaré characteristics
χk(xn1
1, . . . , xnd
d;M)of the Koszul complex and the Hilbert coefficients
ei(xn1
1, . . . , xnd
d;M)of the module with respect to an almost p-standard
system of parameters. The formulas anable us to establish some com-
parision between coefficients of the polynomials associated to the length
function ℓ(M/(xn1
1, . . . , xnd
d)M, the partial Euler-Poincaré characteris-
