VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
NGUYỄN THỊ TRÀ
TÍCH MASSEY, LỌC ZASSENHAUS
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2024
Tóm tắt
Luận án nghiên cứu về lọc Zassenhaus của các nhóm Artin vuông
góc và lọc Zassenhaus của các nhóm hầu hữu hạn. Hơn nữa luận án còn
nghiên cứu về tích Massey và bài toán nâng của các biểu diễn Heisen-
berg. Luận án bao gồm bốn chương.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về đại
số Lie, lọc, nhóm hầu hữu hạn và đối đồng điều của các nhóm hầu hữu
hạn.
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày những nghiên cứu về lọc Zassen-
haus của nhóm Artin vuông góc và đại số Lie hạn chế liên quan đến lọc
Zassenhaus của nhóm này. Kết quả chính của chương này là đưa ra công
thức cho chuỗi chiều của các thương con của lọc Zassenhaus, ngoài ra
còn đưa ra chứng minh khác cho kết quả của Koberda là đồ thị được xác
định duy nhất bởi các nhóm đối đồng điều bậc nhất và bậc hai và tích
chén của các nhóm Artin vuông góc.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu về lọc Zassenhaus của các
nhóm hầu hữu hạn. Kết quả chính của chương này là đã miêu tả về các
lọc Zassenhaus này như là giao của các hạt nhân của những biểu diễn
nhóm.
Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về bài toán nâng của các biểu
diễn Heisenberg. Kết quả chính của chương này là đưa ra cách chứng
minh khác cho một kết quả của Khare và Larsen về bài toán nâng của
các biểu diễn Heisenberg mod pcủa các nhóm Galois tuyệt đối trên các
trường toàn cục lên mod p2
2
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các kiến thức cơ sở mà chúng
tôi có sử dụng trong các chương sau. Các kiến thức này chúng tôi tham
khảo dựa trên các tài liệu [2], [5], [31], [35], [38].
1.1. Nhóm hầu hữu hạn và hầu p-nhóm
1.1.1. Mở rộng Galois
Phần đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết
trường và lý thuyết Galois. Trong phần này chúng ta kí hiệu Flà một
trường.
Định nghĩa 1.1. Mở rộng trường Ω/Fgọi là mở rộng Galois nếu nó là
chuẩn tắc và tách được. Nếu Ω/Flà mở rộng Galois, kí hiệu Gal(Ω/F)
là nhóm gồm tất cả các tự đẳng cấu của Ωmà giữ bất động các phần tử
của F.
Định nghĩa 1.2. Kí hiệu Fsep là bao đóng tách được của F(mở rộng Ga-
lois lớn nhất của F). Nhóm Galois tuyệt đối của Flà nhóm Gal(Fsep/F).
1.1.2. Nhóm hầu hữu hạn
Định nghĩa 1.3. Một nhóm tô pô Glà một không gian tô pô với cấu trúc
nhóm thoả mãn: phép nhân G×G→G,(x,y)7→ xy và phép lấy nghịch
3
4
đảo G→G,x7→ x−1là các ánh xạ liên tục.
Định nghĩa 1.4. Nhóm hầu hữu hạn là nhóm tô pô compact, Hausdorff
mà các nhóm con mở của nó tạo thành một hệ cơ sở gồm các lân cận của
đơn vị.
1.1.3. p-Hầu nhóm
Cho plà một số nguyên tố bất kì. Bây giờ chúng tôi sẽ định nghĩa
p-hầu nhóm .
Định nghĩa 1.5. Một p-hầu nhóm Glà một nhóm hầu hữu hạn mà trong
đó với mỗi nhóm con chuẩn tắc Nbất kì của nó thì nhóm thương G/N
là p-nhóm.
1.2. Đối đồng điều của các nhóm hầu hữu hạn
1.2.1. Định nghĩa đối đồng điều của các nhóm hầu hữu hạn
Các kiến thức phần này được tham khảo trong các tài liệu [33] và [2]
Định nghĩa 1.6. Với một G-tập Abất kì, chúng ta đặt
H0(G,A) = AG.
Nếu Alà G-nhóm thì tập này là một nhóm con của A. Tập H0(G,A)
được gọi là tập đối đồng điều bậc 0của Gvới hệ số trên A.
Bây giờ cho Alà một G-môđun và số nguyên n≥0. Đặt C0(G,A) =
A, với n≥1kí hiệu Cn(G,A)là tập các ánh xạ liên tục từ Gnvào A.
Chúng ta định nghĩa một ánh xạ:
∂n:Cn(G,A)→Cn+1(G,A),
∂0(a)σ=σ·a−a,
5
∂n(a)σ1,...,σn+1=σ1·aσ2,...,σn+1+
n
∑
i=1
(−1)iaσ1,...,σiσi+1,...,σn+1+ (−1)n+1aσ1,...,σn,
với mọi n≥1.
Định nghĩa 1.7. Một đối xích bậc ncủa Gvới giá trị trong Alà một ánh
xạ α∈Cn(G,A)thoả mãn điều kiện
∂n(α) = 0.
Một ánh xạ α∈Cn(G,A)được gọi là một đối bờ bậc ncủa Gvới giá
trị trong Anếu tồn tại ánh xạ β∈Cn−1(G,A)thoả mãn điều kiện
α=∂n−1(β).
Tập các đối xích bậc nđược kí hiệu bởi Zn(G,A). Tập các đối bờ bậc
nđược kí hiệu bởi Bn(G,A). Hai tập này đều là các nhóm con giao hoán
của Cn(G,A). Hơn nữa có thể kiểm tra thấy ∂n∂n−1=0nên Bn(G,A)là
nhóm con của Zn(G,A). Từ đây có thể định nghĩa
Hn(G,A) = Zn(G,A)/Bn(G,A).
Định nghĩa 1.8. Nhóm Hn(G,A)được gọi là nhóm đối đồng điều bậc n
của Gvới hệ số trong A. Hai đối xích bậc nđược gọi là có quan hệ đối
đồng điều với nhau nếu chúng có cùng ảnh trong Hn(G,A).
1.2.2. Các ánh xạ tương thích
Định nghĩa 1.9. Cho G,G′là các nhóm hầu hữu hạn. Cho Alà G-tập, A′
là G′-tập. Cho φ:G′→Glà một đồng cấu của các nhóm hầu hữu hạn,
và f:A→A′là một ánh xạ (nếu A,A′là các nhóm thì fphải là một
đồng cấu nhóm).
Chúng ta nói fvà φlà tương thích nếu:
f(φ(σ′)·a) = σ′·f(a)với σ′∈G′,a∈A.
Cho ánh xạ fhạn chế trên AG=H0(G,A)thu được ánh xạ f∗:H0(G,A)→
H0(G′,A′).
