5
∂n(a)σ1,...,σn+1=σ1·aσ2,...,σn+1+
n
∑
i=1
(−1)iaσ1,...,σiσi+1,...,σn+1+ (−1)n+1aσ1,...,σn,
với mọi n≥1.
Định nghĩa 1.7. Một đối xích bậc ncủa Gvới giá trị trong Alà một ánh
xạ α∈Cn(G,A)thoả mãn điều kiện
∂n(α) = 0.
Một ánh xạ α∈Cn(G,A)được gọi là một đối bờ bậc ncủa Gvới giá
trị trong Anếu tồn tại ánh xạ β∈Cn−1(G,A)thoả mãn điều kiện
α=∂n−1(β).
Tập các đối xích bậc nđược kí hiệu bởi Zn(G,A). Tập các đối bờ bậc
nđược kí hiệu bởi Bn(G,A). Hai tập này đều là các nhóm con giao hoán
của Cn(G,A). Hơn nữa có thể kiểm tra thấy ∂n∂n−1=0nên Bn(G,A)là
nhóm con của Zn(G,A). Từ đây có thể định nghĩa
Hn(G,A) = Zn(G,A)/Bn(G,A).
Định nghĩa 1.8. Nhóm Hn(G,A)được gọi là nhóm đối đồng điều bậc n
của Gvới hệ số trong A. Hai đối xích bậc nđược gọi là có quan hệ đối
đồng điều với nhau nếu chúng có cùng ảnh trong Hn(G,A).
1.2.2. Các ánh xạ tương thích
Định nghĩa 1.9. Cho G,G′là các nhóm hầu hữu hạn. Cho Alà G-tập, A′
là G′-tập. Cho φ:G′→Glà một đồng cấu của các nhóm hầu hữu hạn,
và f:A→A′là một ánh xạ (nếu A,A′là các nhóm thì fphải là một
đồng cấu nhóm).
Chúng ta nói fvà φlà tương thích nếu:
f(φ(σ′)·a) = σ′·f(a)với σ′∈G′,a∈A.
Cho ánh xạ fhạn chế trên AG=H0(G,A)thu được ánh xạ f∗:H0(G,A)→
H0(G′,A′).
