VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
NGUYỄN THỊ TRÀ
TÍCH MASSEY, LỌC ZASSENHAUS
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2024
VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC
NGUYỄN THỊ TRÀ
TÍCH MASSEY, LỌC ZASSENHAUS
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 9 46 01 04
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn:
PGS. TS. NGUYỄN DUY TÂN
HÀ NỘI - 2024
Tóm tắt
Luận án nghiên cứu về lọc Zassenhaus của các nhóm Artin vuông
góc và lọc Zassenhaus của các nhóm hầu hữu hạn. Hơn nữa luận án còn
nghiên cứu về tích Massey và bài toán nâng của các biểu diễn Heisen-
berg. Luận án bao gồm bốn chương.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về đại
số Lie, lọc, nhóm hầu hữu hạn và đối đồng điều của các nhóm hầu hữu
hạn.
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày những nghiên cứu về lọc Zassen-
haus của nhóm Artin vuông góc và đại số Lie hạn chế liên quan đến lọc
Zassenhaus của nhóm này. Kết quả chính của chương này là đưa ra công
thức cho chuỗi chiều của các thương con của lọc Zassenhaus, ngoài ra
còn đưa ra chứng minh khác cho kết quả của Koberda là đồ thị được xác
định duy nhất bởi các nhóm đối đồng điều bậc nhất và bậc hai và tích
chén của các nhóm Artin vuông góc.
Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu về lọc Zassenhaus của các
nhóm hầu hữu hạn. Kết quả chính của chương này là đã miêu tả về các
lọc Zassenhaus này như là giao của các hạt nhân của những biểu diễn
nhóm.
Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về bài toán nâng của các biểu
diễn Heisenberg. Kết quả chính của chương này là đưa ra cách chứng
minh khác cho một kết quả của Khare và Larsen về bài toán nâng của
các biểu diễn Heisenberg mod pcủa các nhóm Galois tuyệt đối trên các
trường toàn cục lên mod p2
ii
Abstract
The dissertation is about the Zassenhaus filtration of right-angled
Artin groups and the Zassenhaus filtration of profinite groups. It also
investigates the Massey product and the lifting problem of Heisenberg
representations. The dissertation consists of four chapters.
In Chapter 1, we review some basic knowledge of Lie algebras, filtra-
tions, profinite groups, and cohomology of profinite groups.
In Chapter 2, we present research on the Zassenhaus filtration of
right-angled Artin groups and restricted Lie algebras related to this fil-
tration. The main result of this chapter is to provide a formula for the di-
mension series of Zassenhaus filtration subquotients, as well as an alter-
native proof for Koberda’s result that the graph is determined uniquely
by the first and second group cohomology and cup products of right-
angled Artin groups.
In Chapter 3, we study the Zassenhaus filtration of profinite groups.
The main result of this chapter is to describe these Zassenhaus filtrations
as intersections of kernels of group representations.
In Chapter 4, we investigate the lifting problem of Heisenberg rep-
resentations. The main result of this chapter is to provide an alterna-
tive proof for the result of Khare and Larsen concerning lifting mod p
Heisenberg representations of absolute Galois groups of global fields to
mod p2.
iii
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn
thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Duy Tân. Các kết quả
viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả
trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung
thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Nguyễn Thị Trà
iv
