Luận văn: Số phức và phép biến hình đồng dạng

MỤC LỤC<br /> <br /> Lời cam đoan………………………………… .......... …………………............2<br /> Mở đầu……………………………………… .......... …………………………..3<br /> Chương 1<br /> NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG BẰNG CÁCH DÙNG<br /> SỐ PHỨC<br /> 1.1 Mặt phẳng phức………………… ......... …………………………………..5<br /> 1.2. Phép đồng dạng trong mặt phẳng phức….......... ………………………..7<br /> 1.3 Một số bài toán hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức và biểu<br /> thức tọa vị của phép đồng dạng……………… .......... ………………………15<br /> Chương 2<br /> PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỒNG DẠNG<br /> MỞ ĐẦU CHƯƠNG II…………………………….......... …………………..21<br /> 2.1 Các bài toán chứng minh……………………… ......... ………………….23<br /> 2,2 Các bài toán quỹ tích ……………………… .......... …………………...31<br /> 2.3 Các bài toán dựng hình..……………………… ......... ……………….….42<br /> 2.4 Các bài toán thi học sinh giỏi……………………….......... ……………..52<br /> KẾT LUẬN……………………………………………......... ………………..68<br /> DANH MỤC SÁCH THAM KHẢO………………… ......... ……………….69<br /> <br /> 1<br /> <br /> Lời cam đoan<br /> Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự<br /> hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Đoành. Các nội dung nghiên cứu,kết quả<br /> trong đề tài này là trung thực và chưa công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước<br /> đây. Những số liệu trong các bài toán phục vụ cho việc phân tích, nhận<br /> xét,đánh giá được chính tác giả thu thập từ các nguồn khác nhau có ghi rõ<br /> trong phần tài liệu tham khảo.<br /> Hà Nội, ngày 2 tháng 5 năm 2016<br /> Tác giả<br /> <br /> Hoàng Thị Thủy<br /> <br /> 2<br /> <br /> Thang Long University Library<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Phép biến hình trong mặt phẳng là mảng kiến thức rất quan trọng trong<br /> việc giải các bài toán hình học.<br /> Việc nghiên cứu hình học theo quan điểm biến hình đã được nhà toán học<br /> Đức là Felin (1849 – 1925) hệ thống lại trong “chương trình Er Langen” năm<br /> 1872. Trong chương trình này Klein đã sắp xếp hệ thống các phép biến hình<br /> lại thành những nhóm biến hình khác nhau như nhóm xạ ảnh, nhóm afive,<br /> nhóm đồng dạng, nhóm dời hình. Dựa vào các bất biến của mỗi nhóm với các<br /> nhóm con của nó Klein đã xác lập được mối quan hệ giữa các thứ hình học để<br /> hệ thống hóa các thứ hình học.<br /> Trong chương trình hình học lớp 11 học sinh được học về các phép dời<br /> hình cụ thể như phép tịnh biến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm và phép<br /> quay thông qua định nghĩa và tính chất cơ bản của các phép biến hình đó. Sau<br /> đó hệ thống lại các phép biến hình đã học. Khái niệm hai hình đồng dạng với<br /> nhau cũng được xây dựng trên cơ sở các phép biến hình tương ứng là “phép<br /> đồng dạng”. Đây là một vấn đề khó vì học sinh lần đầu tiên được làm quen<br /> với khái niệm biến hình trong việc nghiên cứu hình học.<br /> Là một giáo viên đang giảng dạy ở trường THPT tôi muốn nghiên cứu<br /> phép biến hình trong mặt phẳng phức. Để giúp các em học sinh ứng dụng số<br /> phức giải bài toán hình học phẳng dễ dàng và sâu sắc hơn. Vì vậy tôi chọn đề<br /> tài là: sè phøc vµ PHÐP BIÕN H×NH §ång d¹ng<br /> Nội dung của đề tài gồm hai chương:<br /> Chương I: Dùng số phức nghiên cứu phép đồng dạng phẳng. Trong<br /> chương này tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn kiến thức về mặt phẳng<br /> phức.Dùng số phức nghiên cứu phép đồng dạng và giới thiệu một số bài toán<br /> hình học phẳng giải bằng cách dùng số phức.<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chương II: Sử dụng phép biến hình vào giải các bài toán hình học.<br /> Ở chương này tôi đưa ra các bài toán chứng minh,bài toán tìm quỹ tích,<br /> bài toán dựng hình trong mặt phẳng được giải bằng cách sử dụng phép biến<br /> hình đồng dạng.<br /> Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long Hà Nội<br /> với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Nguyễn Văn Đoành. Cuối cùng<br /> tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn nhiệt tình<br /> của thầy. Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô thuộc khoa Toán Tin, phòng sau đại học Trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận<br /> lợi, động viên tôi hoàn thành luận văn này.<br /> Mặc dù đã cố gắng hết sức để nghiên cứu tìm tòi nhưng do kinh nghiệm<br /> và thời gian có hạn nên luận văn này không thể tránh khỏi các thiếu sót. Rất<br /> mong sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô và độc giả để luận văn này được<br /> hoàn thiện hơn.<br /> <br /> 4<br /> <br /> Thang Long University Library<br /> <br /> Chương 1<br /> NGHIÊN CỨU PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG<br /> BẰNG CÁCH DÙNG SỐ PHỨC<br /> 1.1 MẶT PHẲNG PHỨC<br /> 1.1.1 Mặt phẳng phức.<br /> Ta đồng nhất tập hợp các điểm của mặt phẳng E với tập hợp các số phức<br /> C. Cụ thể, trong mặt phẳng đã cho một hệ tọa độ Đề-các oxy, mỗi điêm M có<br /> tọa độ (x, y) được đồng nhất với số phức z = x+yi và gọi số phức đó là tọa vị<br /> của M, ta viết M(z). Khi đó E được gọi là mặt phẳng phức.<br /> Nếu M có tọa độ (x, y) thì véc tơ OM cũng có tọa độ (x, y) nên ta cũng<br /> gọi số phức z = x+yi là tọa vị của OM , ta viết OM (z).<br /> Số thực<br /> <br /> 1<br /> zω + zω = z ω cos(ψ − ϕ ) với ψ = arg z , ϕ = arg ω chính là tích vô<br /> 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> hướng của hai véc tơ OM (z) và OP ( ω ) được ký hiệu là ( z, ω ). Như vậy nếu<br /> z ≠ 0, ω ≠ 0 thì OM ⊥ OP khi và chỉ khi ( z , ω ) = 0.<br /> <br /> Số thực<br /> <br /> i<br /> z.ω − zω = z ω sin (ω − ϕ )<br /> 2<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> được gọi là tích lệch của hai véc tơ OM (z ), OP(ω ) và ký hiệu là [z ,ω ] .<br /> Như vậy, O, M, P thẳng hàng khi và chỉ khi [z, ω ] = 0 .<br /> Khi O, M, P không thẳng hàng thì [z ,ω ] bằng hai lần diện tích đại số của<br /> tam giác định hướng OMP : [z ,ω ] là số thực mà giá trị tuyệt đối của nó là hai<br /> lần diện tích tam giác OMP, nó dương khi hướng đi dọc chu vi O → M → P<br /> ngược chiều quay kim đồng hồ và nó âm khi định hướng ngược lại ).<br /> 1.1.2 Phương trình đường tròn và đường thẳng trong mặt phẳng<br /> phức.<br /> <br /> 5<br /> <br />