ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-----------------------------------------------------

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-----------------------------------------------------

ĐINH VĂN TUYÊN

CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chủ tịnh hội đồng bảo vệ

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG

TS.Lê Đình Định

Hà Nội - 2016

STT

MỤC LỤC 01

Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02

Lời nói đầu…………………………………………………………………….03

Bố cục chính của luận văn………………………………………………… ..04

Một số ký hiệu dùng trong luận văn………………………………………...07

Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08

1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác……………………………….08

1.2 Một số bất đẳng thức đại số cơ bản………………………………....12

1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác…………………………...15

Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác…………………………….17

2.1 Một số phƣơng pháp giải các bài toán cực trị trong tam giác……..17

2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………….....18

2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………….....21

2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29

2.1.4 Dùng các bất đẳng thức đại số cơ bản……………………………...33

2.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác……………………………….44

Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác…………...55

Kết luận…………………………………………………………………….....77

3

Tài liệu tham khảo…………………………………………………………....78

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Đình Định người thầy đã trực tiếp giảng dạy,

hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường

Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đã

trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã

4

giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

LỜI NÓI ĐẦU

Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và

nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải. Có

rất nhiều các dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề này.

Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán cực trị trong tam giác và bài toán bất

đẳng thức trong tam giác là: bài toán bất đẳng thức trong tam giác biết trước cái

đích ta phải đi đến (tức là biết cả hai vế), còn bài toán cực trị trong tam giác thì

không.

Ví dụ:

a. (về bài toán bất đẳng thức trong tam giác): Cho tam giác , chứng minh rằng

b.(về bài toán cực trị trong tam giác): Cho tam giác , tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

do vậy bài toán cực trị trong tam giác có độ phức tạp hơn bài toán bất đẳng thức

trong tam giác. Tuy nhiên, nếu nắm vững được các phương pháp giải các bài toán

bất đẳng thức trong tam giác thì cũng dễ dàng làm được các bài toán cực trị trong

tam giác, và ngược lại.

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, các bài toán

liên quan đến Các bài toán cực trị trong tam giác cũng hay được đề cập và thuộc

loại khó. Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cực trị trong tam giác hay nhận

dạng tam giác đã được đề cập nhiều ở các tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh

chuyên toán bậc trung học phổ thông.

Các kết quả nghiên cứu về nội dung này đến nay đã tương đối đầy đủ và hoàn

thiện. Chính vì vậy để có kết quả mới có ý nghĩa về nội dung này là một việc làm

5

rất khó đối với bản thân tôi.

Tuy nhiên, với sự nỗ lực và nhận thức của bản thân, trong luận văn của mình

tôi đã cung cấp một số kiến thức cơ bản về đẳng thức và bất đẳng thức trong tam

giác, và hệ thống được một số phương pháp trong việc giải bài toán cực trị trong

tam giác, nêu ra được một số bài toán cực trị trong tam giác. Đồng thời tôi cũng đưa

ra được một số cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác.

Trong quá trình hoàn thành luận văn tác giả đã không ngừng nỗ lực để học

hỏi, tìm tòi và sưu tầm các bài toán cực trị trong tam giác. Tuy nhiên, do sự hiểu

biết của bản thân, điều kiện thời gian và khuân khổ của luận văn thạc sĩ, nên chắc

chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác

giả mong được sự chỉ dạy của các thầy (cô) giáo và các quí bạn đọc để luận văn của

6

tôi thêm hoàn thiện hơn.

Bố cục của luận văn bao gồm:

Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm các định lí, công thức và một số đẳng thức, bất đẳng thức

cơ bản trong tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, các công thức

tính diện tích tam giác, công thức tính bán kính, công thức đường trung tuyến,

công thức đường phân giác, công thức hình chiếu, một số đẳng thức cơ bản

trong tam giác, một số bất đẳng thức đại số cơ bản thường gặp, một số bất đẳng

thức cơ bản trong tam giác.

Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác

Gồm 5 phần:

Phần 1: Sử dụng các tính chất của tích vô hướng

a) b)

để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 2: Sử dụng tính chất về dấu của tam thức bậc hai.

Cho

a) b) Nếu sao cho: thì

để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác

Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải bài toán tìm cực trị trong tam giác.

Phần 4: Dùng các bất đẳng thức để giải bài toán cực trị trong tam giác.

7

Phần 5: Nêu ra một số bài toán cực trị trong tam giác.

Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác.

Trong chương này tác giả dùng các kiến thức phổ thông, các đẳng thức và

bất đẳng thức cơ bản trong tam giác, các bất đẳng thức đã biết, bất đẳng thức

Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức

Jensen … để xây dựng lên các bài toán cực trị trong tam giác.

Ngày … tháng 12 năm 2016

8

Học viên

Một số ký hiệu dùng trong luận văn

1) : tam giác ABC

A;B;C: là các đỉnh, đồng thời là số đo ba góc của tam giác ABC.

a; b;c: lần lượt là số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB.

2) : là độ dài các đường cao tương ứng các cạnh a; b; c.

3) : là độ dài các đường phân giác tương ứng các cạnh a; b; c.

4) : là độ dài các đường trung tuyến tương ứng các cạnh a; b; c.

5) : là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng các góc:A;B;C.

6) R; r: là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC.

7) p; S: thứ tự là nửa chu vi và diện tích tam giác ABC.

8) Min; max: lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất.

9) : với mọi.

10) CMR: chứng minh rằng.

11) Đpcm: Điều phải chứng minh.

9

12) : lần lượt là tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên.

Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác

1.1.1. Các định lí và công thức cơ bản trong tam giác.

1.1.1.1. Định lý hàm số :

1.1.1.2. Định lý hàm số :

1.1.1.3. Định lý hàm số :

1.1.1.4. Công thức tính diện tích tam giác

10

(công thức He - ron)

1.1.1.5. Công thức bán kính:

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

- Bán kính đường tròn nội tiếp:

- Bán kính đường tròn bàng tiếp:

1.1.1.6. Công thức đƣờng trung tuyến

1.1.1.7. Công thức phân giác trong

11

1.1.1.8. Công thức hình chiếu

Chứng minh ( Xem trong [1] )

1.1.2. Một số đẳng thức cơ bản trong tam giác

Trong mọi ta luôn có:

1.1.2.1.

1.1.2.2.

1.1.2.3.

1.1.2.4.

1.1.2.5.

1.1.2.6.

Chứng minh:

Các bài từ 1.1.2.1. đến 1.1.2.6. đều chứng minh tương tự nhau đó là sử dụng các

công thức lượng giác để biến đổi vế trái thành vế phải .

Lƣu ý: . Ta chứng minh 1.1.2.3. các ý còn lại tương tự

Ta có

:

1.1.2.7.

12

1.1.2.8.

1.1.2.9.

( không vuông) 1.1.2.10.

Chứng minh

Cách chứng minh của bốn bài từ 1.1.2.7. đến 1.1.2.10. tương tự nhau, ta

chứng minh bài 1.1.2.9.

Ta có:

; 1.1.2.11.

; 1.1.2.12.

Chứng minh ( Xem trong [1] )

1.1.3. Một số bài toán đẳng thức dạng tổng quát

Chứng minh rằng trong mọi và ta luôn có:

1.1.3.1.

1.1.3.2.

1.1.3.3.

1.1.3.4.

1.1.3.5.

1.1.3.6.

13

1.1.3.7.

1.1.3.8.

1.1.3.9.

1.1.3.10.

Chứng minh

Bài 1.1.3.1. là bài tổng quát của Bài 1.1.2.1.

Ta có:

Bài 1.1.3.2.; bài 1.1.3.3.; bài 1.1.3.4. lần lượt là bài tổng quát của bài

1.1.2.2.; bài 1.1.2.3.; bài 1.1.2.4. cách chứng minh tương tự bài 1.1.3.1.

Bài 1.1.3.5. là bài tổng quát của bài 1.1.2.10.

Ta có:

Từ đó có được:

Bài 1.1.3.6. là bài tổng quát của bài 1.1.2.7. chứng minh tương tự bài 1.1.3.5.

Bài 1.1.3.7. là bài tổng quát của bài 1.1.2.8.

14

Ta có

Từ đó ta có đựơc:

Bài 1.1.3.8. là bài tổng quát của bài 1.1.2.9. cách chứng minh tương tự bài

1.1.3.7.

Bài 1.1.3.9. là bài tổng quát của bài 1.1.2.6.

Ta có:

=

Bài 1.2.3.10. là bài tổng quát của Bài 1.2.1.3. chứng minh tương tự bài

1.2.3.9.

của bài tập 1.2.1.; bài tập 1.2.2.; bài tập 1.2.3.

1.2. Một số bất đẳng thức đại số cơ bản

1.2.1. Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số không âm: Ta có bất đẳng thức:

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

1.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski

Cho n cặp số bất kì:

Ta có bất đẳng thức:

15

Hay gọn hơn:

Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:

(*)

Với (nếu được viết: )

1.2.3. Bất đẳng thức Trêbƣsep

Cho hai dãy số sắp thứ tự giống nhau:

Ta có bất đẳng thức sau:

(*)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

;

CHÚ Ý: Nếu hai dãy số trên sắp xếp ngược chiều nhau thì bất đẳng thức (*)

đổi chiều.

1.2.4. Bất đẳng thức Jensen

Bất đẳng thức Jensen là bất đẳng thức áp dụng cho hàm lồi. Trước hết

xin nhắc lai định nghĩa hàm lồi.

1.2.4.1. Cho hàm số xác định trên . Hàm được gọi là lồi

trên đó nếu thoả mãn điều kiện sau đây:

Nếu thì

1.2.4.2. Hàm số xác định trên đoạn gọi là lõm trên đó, nếu

như -f(x) là lồi.

Điều kiện đủ dùng để xét xem khi nào một hàm số là lồi (hoặc lõm)

Cho f(x) là hàm liên tục đến đạo hàm cấp hai trên .

- Nếu như thì là hàm lồi trên

16

- Nếu như thì là hàm lõm trên

1.2.4. 3. Bất đẳng thức Jensen

Cho là hàm lồi trên . Giả sử

Khi đó ta có bất đẳng thức sau:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1.3 . Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác.

( nhọn) a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) ( nhọn )

j) nhọn). (

k)

l)

17

m)

n)

18

Chứng minh (Xem trong [1])

Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác

2.1. Một số phƣơng pháp giải bài toán cực trị trong tam giác.

Nhận xét: Tuy số lượng các bài toán bất đẳng thức cũng như các bài toán cực trị

trong tam giác tương đối nhiều và khó, nhưng nếu chúng ta nắm được các cách giải

và vận dụng linh hoạt thì nó sẽ trở thành đơn giản. Các cách giải đó là gì? đó là dựa

vào các phép biến đổi tương đương và sử dụng các phương pháp giải phù hợp như

phương pháp vectơ, phương pháp tam thức bậc hai, phương pháp đạo hàm…đó là

sử dụng một số bất đẳng thức đã biết. Đặc biệt, đó là chú ý đến một đánh giá rất

quan trọng sau về hàm số lượng giác , tức là với mọi . Dấu đẳng

thức xảy ra khi và chỉ khi .

Ví dụ 1. Cho tam giác , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

Lời giải

Ta có

Lại có:

Vì vậy:

Vậy khi và chỉ khi tam giác cân tại với

19

Ví dụ 2. Cho tam giác , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

Lời giải

Ta có:

Lại có:

Vì vậy:

Vậy khi và chỉ khi tam giác cân tại với

2.1.1. Phƣơng pháp vectơ

Sử dụng các tính chất

a.

b.

Ví dụ 3. Cho tam giác , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau

T=

Lời giải

Gọi thứ tự là các vectơ sau đây

Ta có

Suy ra (đpcm)

20

Vậy