ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------------------------
ĐINH VĂN TUYÊN
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2016
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------------------------------
ĐINH VĂN TUYÊN
CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chủ tịnh hội đồng bảo vệ
PGS.TS. VŨ ĐỖ LONG
Người hướng dẫn khoa học
TS.Lê Đình Định
Hà Nội - 2016
3
STT
MỤC LỤC 01
Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02
Lời nói đầu…………………………………………………………………….03
Bố cục chính của luận văn………………………………………………… ..04
Một số ký hiệu dùng trong luận văn………………………………………...07
Chƣơng 1 Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08
1.1 Các đẳng thức cơ bản trong tam giác……………………………….08
1.2 Một số bất đẳng thức đại số cơ bản………………………………....12
1.3 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác…………………………...15
Chƣơng 2 Các bài toán cực trị trong tam giác…………………………….17
2.1 Một số phƣơng pháp giải các bài toán cực trị trong tam giác……..17
2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………….....18
2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………….....21
2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29
2.1.4 Dùng các bất đẳng thức đại số cơ bản……………………………...33
2.2 Một số bài toán cực trị trong tam giác……………………………….44
Chƣơng 3 Cách xây dựng các bài toán cực trị trong tam giác…………...55
Kết luận…………………………………………………………………….....77
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………....78
4
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Đình Định người thầy đã trực tiếp giảng dạy,
hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường
Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội và các thầy giáo, cô giáo đã
trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những người đã
giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
5
LỜI NÓI ĐẦU
Các bài toán cực trị trong tam giác là một phần quan trọng của toán sơ cấp, và
nó có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức trong tam giác ở phương pháp giải. Có
rất nhiều các dạng toán thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề này.
Điểm khác biệt quan trọng giữa bài toán cực trị trong tam giác và bài toán bất
đẳng thức trong tam giác là: bài toán bất đẳng thức trong tam giác biết trước cái
đích ta phải đi đến (tức là biết cả hai vế), còn bài toán cực trị trong tam giác thì
không.
Ví dụ:
a. (về bài toán bất đẳng thức trong tam giác): Cho tam giác
ABC
, chứng minh rằng
b.(về bài toán cực trị trong tam giác): Cho tam giác
ABC
, tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
3cos 2cos 2 3cosM A B C
do vậy bài toán cực trị trong tam giác có độ phức tạp hơn bài toán bất đẳng thức
trong tam giác. Tuy nhiên, nếu nắm vững được các phương pháp giải các bài toán
bất đẳng thức trong tam giác thì cũng dễ dàng làm được các bài toán cực trị trong
tam giác, và ngược lại.
Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, các bài toán
liên quan đến Các bài toán cực trị trong tam giác cũng hay được đề cập và thuộc
loại khó. Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, cực trị trong tam giác hay nhận
dạng tam giác đã được đề cập nhiều ở các tài liệu bồi dưỡng giáo viên và học sinh
chuyên toán bậc trung học phổ thông.
Các kết quả nghiên cứu về nội dung này đến nay đã tương đối đầy đủ và hoàn
thiện. Chính vì vậy để có kết quả mới có ý nghĩa về nội dung này là một việc làm
rất khó đối với bản thân tôi.
3cos 2cos 2 3cos 4A B C