Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm đạo hàm trong môi trường tích hợp phần mềm Casyopée

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Huỳnh Anh

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Huỳnh Anh

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích

dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin cảm ơn PGS.TS. Nguyễn Chí Thành đã tận tình hướng

dẫn tôi từng bước trên con đường nghiên cứu khoa học của mình. Mặc dù

thầy ở rất xa nhưng thầy luôn quan tâm, động viên, chỉ dẫn tôi những lúc gặp

khó khăn. Điều đó giúp tôi thêm nghị lực để hoàn thành luận văn này. Không

có gì hơn, tôi kính chúc thầy và gia đình thật nhiều sức khỏe và có nhiều niềm

vui trong cuộc sống.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PSG. TS Lê Thị Hoài Châu,

PSG. TS. Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư

Hương, TS. Nguyễn Thị Nga, TS. Trần Lương Công Khanh đã tận tình

giảng dạy, truyền đạt cho tôi và các bạn khóa 23 những kiến thức vô cùng

quý báu.

Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến

Ban Giám hiệu, thầy cô và các em học sinh trường THPT Lý Thái Tổ –

Tp.HCM, THPT Xuyên Mộc – BRVT đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến

hành thành công bài thực nghiệm.

Các bạn cùng khóa học cao học 23 vì những sẻ chia trong học tập.

Gia đình tôi vì những lời động viên và những điều kiện cho tôi hoàn

thành tốt khóa học.

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

Trang phụ bìa Trang

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Danh mục các thuật ngữ viết tắt

4TMỞ ĐẦU4T ................................................................................................................ 1

4T1.4T

4TGhi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát4T ..................................................... 1

4T2.4T

4TKhung lý thuyết tham chiếu4T ...................................................................... 2

4T3.4T

4TMục tiêu nghiên cứu4T ................................................................................. 3

4T4.4T

4TMục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu4T ............................................ 4

4T5.4T

4TPhạm vi nghiên cứu4T .................................................................................. 4

4T6.4T

4TTiến trình và phương pháp nghiên cứu4T ..................................................... 4

4T7. Cấu trúc của luận văn4T ................................................................................... 5

4TCHƯƠNG 1. TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU4T ...... 7

4T1.1. Luận văn của tác giả Lê Anh Tuấn (2009)4T ................................................ 7

4T1.2. Luận văn của tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007)4T ........................................ 9

4T1.3. Luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013)4T............................................. 9

4T1.4. Luận văn của tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010)4T ...................................... 10

4T1.5. Kết luận chương 14T ................................................................................... 11

Danh mục các bảng

4TCHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN THPT4T ....................................................................................................... 12

4T2.1. SGK Toán 11 cơ bản (GKCB11) và nâng cao (GKNC11)4T ..................... 12

4T2.1.1. Phân tích việc xây dựng lý thuyết4T ................................................... 12

4T2.1.2. Phân tích các tổ chức Toán học4T ....................................................... 18

4T2.1.3. Kết luận SGK Toán 114T .................................................................... 25

4T2.2. SGK Toán 124T ........................................................................................... 27

4T2.2.1. SGK Toán 12 cơ bản4T ....................................................................... 27

4T2.2.2. SGK Toán 12 nâng cao4T ................................................................... 32

4T2.2.3. Các tổ chức Toán học4T ...................................................................... 34

4T2.2.4. Kết luận SGK Toán 124T .................................................................... 36

4T2.3. Kết luận chương 24T ................................................................................... 37

4TCHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM4T ......................................................................... 39

4T3.1. Mục tiêu của chương4T ............................................................................... 39

4T3.2. Thực nghiệm4T ........................................................................................... 39

4T3.2.1. Mục đích thực nghiệm4T ..................................................................... 39

4T3.2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm4T .............................................. 39

4T3.2.3. Tình huống 14T ................................................................................... 39

4T3.2.3.1. Mục đích tình huống 14T .......................................................... 39

4T3.2.3.2.Thông báo bài toán thực nghiệm4T ........................................... 40

4T3.2.3.3. Dàn dựng kịch bản tình huống 14T .......................................... 40

4T3.2.3.4. Phân tích tiên nghiệm tình huống 14T ...................................... 41

4T3.2.3.5. Phân tích chi tiết kịch bản tình huống 14T ............................... 49

4T3.2.3.6. Phân tích hậu nghiệm tình huống 14T ...................................... 53

4T3.2.4. Tình huống 24T ................................................................................... 66

4T3.2.4.1. Mục đích tình huống 24T .......................................................... 66

4T3.2.4.2. Nội dung tình huống 24T .......................................................... 67

4T3.2.4.3. Phân tích tiên nghiệm tình huống 24T ...................................... 67

4T3.2.4.4. Phân tích hậu nghiệm tình huống 24T ...................................... 69

4T3.2.5. Kết luận thực nghiệm4T ...................................................................... 70

4T3.3. Kết luận chương 34T ................................................................................... 72

4TKẾT LUẬN CHUNG4T .......................................................................................... 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt Chữ viết đầy đủ

BTCB11 Bài tập Đại số và Giải tích 11 cơ bản

BTNC11 Bài tập Đại số và Giải tích 11 nâng cao

HS Học sinh

GKCB11 Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11

GKNC11 Sách giáo khoa nâng cao 11

GKCB12 Sách giáo khoa Giải tích 12

GKNC12 Sách giáo khoa nâng cao 12

GVCB11 Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11

GVCB12 Sách giáo viên Giải tích 12

GVNC11 Sách giáo viên nâng cao 11

GVNC12 Sách giáo viên nâng cao 12

GTLN Giá trị lớn nhất

GTNN Giá trị nhỏ nhất

KNV Kiểu nhiệm vụ

SGV Sách giáo viên

SBT Sách bài tập

SGK Sách giáo khoa

THPT Trung học phổ thông

THCS Trung học cơ sở

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 11 cơ bản và nâng cao....................25

Bảng 2.2. Bảng thống kê các ứng dụng của đạo hàm trong GKCB12..........................28

Bảng 2.3. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 12 cơ bản và nâng cao....................36

Bảng 3.1. Bảng thống kê các dạng đồ thị có thể có trong câu 2 pha 1........................41

Bảng 3.2. Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 1 pha 1.............53

Bảng 3.3. Bảng thống kê các chiến lược của các nhóm HS trong câu 2 pha 1.............54

MỞ ĐẦU

1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Ghi nhận 1

Trong chương trình giải tích 11 và 12 0T 0Tbậc THPT, nội dung đạo hàm và ứng dụng

đạo hàm chiếm 26,2% số tiết, trong khi đó các nội dung khác chiếm khoảng từ 8,7%

đến 15,9%. Như vậy, nội dung đạo hàm và ứng dụng đạo hàm giữ vai trò chủ đạo,

chiếm một khối lượng lớn về thời gian học của chương trình. Đồng thời nó cũng có ý

nghĩa quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp THPT và thi tuyển sinh vào đại học, cao

đẳng các khối. Đạo hàm có nhiều ứng dụng không chỉ trong việc dạy học như khảo sát

sự biến thiên của hàm số, tìm min, max, tính tích phân,… mà còn áp dụng trong việc

nghiên cứu khoa học, công nghệ, thực tế đời sống. Trong việc hướng dẫn thực hiện

nhiệm vụ Giáo dục hiện nay, Bộ Giáo Dục đã đưa ra các nhiệm vụ trọng tâm cần phải

thực hiện và một trong số đó là nhiệm vụ “tăng cường kỹ năng thực hành, vận dụng

kiến thức, kỹ năng vào giải quyết các vấn đề thực tiễn” [1, tr.2]. Bởi vậy việc sử dụng

đạo hàm để giải các bài toán gắn liền với thực tế là một nội dung rất cần thiết và bổ ích

đối với HS bậc THPT.

Vấn đề đặt ra là các bài toán có ứng dụng của đạo hàm đặc biệt là các bài toán gắn

liền với thực tế được trình bày như thế nào trong SGK Toán?

Học sinh có nhận ra vai trò của đạo hàm trong các bài toán thực tế hay không? Cần

phải dạy học khái niệm đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế như thế nào?

Trong luận văn “Casyopée và việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường

tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”, tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) đã kiểm

chứng quy tắc hợp đồng “HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ thị (gắn với một biểu thức

giải tích) đã học” [16, tr.33]. Trong luận văn của mình về ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp

tuyến và đạo hàm một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm”, tác giả Bùi Thị Thu

Hiền (2007) đã khẳng định giả thuyết sau: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa

tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp

tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” [8, tr.47].

Vậy, HS có thể nhận dạng đồ thị của các hàm số đã học để thiết lập mối quan hệ giữa

đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan

hay không?

Ghi nhận 2

Trong những năm gần đây, việc ứng dụng công nghệ thông tin nhằm giúp học sinh

hứng thú hơn trong học tập cũng như tiếp thu tri thức toán học rất phổ biến ở Việt

Nam. Bộ Giáo Dục cũng đã đưa ra yêu cầu đối với việc ứng dụng công nghệ thông tin

trong dạy học Toán hiện nay “Đa dạng hóa các hình thức học tập, chú trọng các hoạt

động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học của học sinh. Đẩy mạnh ứng dụng

công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học” [1, tr.2]. Các bài toán liên quan

đến đạo hàm luôn gắn liền với biểu thức giải tích mà đồ thị của nó mang tính trực

quan. Vì vậy, việc dạy học các bài toán thực tế gắn liền với ứng dụng của đạo hàm sẽ

tạo môi trường phản hồi tốt hơn nếu có sử dụng công nghệ thông tin. Một trong những

môi trường tương tác hiệu quả khi dạy học đạo hàm của hàm số là môi trường công

nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée. Vậy, chúng tôi tự hỏi rằng phần mềm

Casyopée có thể làm cầu nối giữa kiến thức đạo hàm trong toán học và ứng dụng cụ

thể của nó trong thực tế hay không?

Từ những ghi nhận như trên, chúng tôi chọn đề tài: “DẠY HỌC KHÁI NIỆM

ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE” để

thực hiện nghiên cứu trong luận văn thạc sỹ của mình.

2. Khung lý thuyết tham chiếu

Chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết didactic toán để nghiên cứu

đề tài này.

Xuất phát từ yêu cầu cần xem xét các bài toán thực tế có ứng dụng của đạo hàm

cũng như xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm với tiếp tuyến, với các khái niệm liên

quan được trình bày như thế nào trong SGK, chúng tôi chọn khung lý thuyết nhân

chủng học với việc xác định mối “quan hệ thể chế” của SGK Toán đối với đối tượng

đạo hàm.

Quan hệ của thể chế I đối với một tri thức O, ký hiệu là R(I, O), được định nghĩa là

tập hợp các tác động qua lại mà I có thể duy trì được với O. Nghĩa là: I nói gì về O? I

mô tả O ra sao? I sử dụng O như thế nào?

Mối “quan hệ thể chế” là cơ sở để chúng tôi giải thích mối “quan hệ cá nhân” của

học sinh đối với các bài toán gắn với đối tượng đạo hàm.

Quan hệ cá nhân của một cá nhân X với đối tượng O là tập hợp những tác động qua

lại mà X có thể duy trì với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói về nó, nghĩ về nó hay nói

cách khác X nghĩ về O như thế nào? X có biểu tượng gì về O? X thao tác, sử dụng O

ra sao?...

Một đối tượng O được xem như tồn tại đối với X nếu như tồn tại cái R(X,O).

Mặc khác, để xác định mối “quan hệ thể chế” với các bài toán gắn với đối tượng

đạo hàm, chúng tôi vận dụng khái niệm “tổ chức toán học” của lý thuyết nhân chủng

học.

Bên cạnh đó để đạt được mục đích cuối cùng của luận văn, chúng tôi sử dụng các

công cụ khái niệm môi trường của lý thuyết tình huống do Brousseau đề xuất làm kim

chỉ nam để xây dựng thực nghiệm sư phạm.

3. Mục tiêu nghiên cứu

Chúng tôi nghiên cứu việc dạy học ứng dụng đạo hàm trong môi trường tích hợp

phần mềm Casyopée.

Để thực hiện được mục tiêu nghiên cứu trên, chúng tôi thực hiện các nhiệm vụ sau

đây:

- Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm liên quan đến tiếp tuyến, vấn đề nhận dạng đồ thị

hàm số và bài toán thực tế.

- Thiết kế một số tình huống liên quan đến ứng dụng của đạo hàm với phần mềm

Casyopée.

4. Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết đã lựa chọn, chúng tôi xin trình bày các câu

hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của

luận văn này.

Q1: Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm, đặc biệt là ứng dụng khái niệm

này trong các bài toán thực tế được hình thành như thế nào ở chương trình Toán THPT

hiện hành? Mối quan hệ thể chế nêu trên ảnh hưởng như thế nào đến việc ứng dụng

đạo hàm trong thực tế trong mối quan hệ cá nhân của HS.

Q2: Mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong chương trình được thể hiện

ra sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số?

Q3: Thông qua phần mềm Casyopée, cần phải xây dựng các tình huống như thế

nào để dạy học ứng dụng đạo hàm gắn liền với các bài toán thực tế?

5. Phạm vi nghiên cứu

Thể chế dạy học Toán THPT mà chúng tôi đề cập chính là thể chế dạy học Toán -

mà có sự xuất hiện của khái niệm đạo hàm và các ứng dụng của nó, cụ thể là thể chế

dạy học Toán lớp 11, 12.

- Dạy học khái niệm đạo hàm mà chúng tôi đề cập ở đây chính là dạy học ứng

dụng của khái niệm đạo hàm liên quan đến tiếp tuyến, nhận dạng đồ thị hàm số và bài

toán thực tế.

Vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số được hiểu theo hai ý: -

+ Sử dụng hình dạng đồ thị của các hàm số đã được học để thiết lập các mối quan

hệ.

+ Xác định các hệ số để tìm công thức giải tích cụ thể của hàm số.

- Bài toán thực tế mà chúng tôi xét đến là các bài toán có mang các yếu tố thực tế.

6. Tiến trình và phương pháp nghiên cứu

Trước hết, chúng tôi tổng hợp các công trình đã nghiên cứu trước đây có liên -

quan đến khái niệm đạo hàm nhằm trả lời một phần câu hỏi Q1, Q2.

Dựa vào tổng hợp trên, chúng tôi sẽ nghiên cứu thể chế dạy học Toán ở phổ -

thông liên quan đến khái niệm đạo hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm

liên quan thông qua nhận dạng đồ thị hàm số, các ứng dụng của nó trong thực tế.

Những kết quả đạt được ở trên cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, Q2 và đề -

ra các giả thuyết nghiên cứu. Từ đó, chúng tôi xây dựng và triển khai thực nghiệm để

kiểm chứng tính đúng đắn của chúng.

Các tiến trình nghiên cứu được chúng tôi tóm lược qua sơ đồ sau:

NGHIÊN CỨU QUAN HỆ

TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG

THỂ CHẾ

TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU

(SGK Toán 11, 12)

THỰC NGHIỆM

(Thực nghiệm A và B)

Để thực hiện các nhiệm vụ trên, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu, tổng

hợp các tài liệu và thực nghiệm.

7. Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và ba chương.

Phần mở đầu

Phần này gồm có các mục sau:

Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát; Khung lý thuyết tham chiếu; Mục tiêu

nghiên cứu; Mục đích nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu; Tiến trình và phương pháp

nghiên cứu; Cấu trúc của luận văn.

Chương 1. Tổng hợp một số công trình đã nghiên cứu

Chúng tôi sẽ tổng hợp các công trình đã nghiên cứu liên quan đến khái niệm đạo

hàm, mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan, các ứng dụng của đạo hàm.

Từ đó, chúng tôi trả lời được một phần câu hỏi Q1, Q2.

Chương 2. Khái niệm đạo hàm trong thể chế dạy học toán THPT

Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích SGK và SGV Toán lớp 11, 12. Sau đó,

chúng tôi phân tích các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm đạo hàm và ứng

dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế. Kết quả nghiên cứu thể chế cho phép

chúng tôi trả lời được câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả thuyết nghiên cứu.

Chương 3. Thực nghiệm

Chúng tôi nghiên cứu thực nghiệm bằng việc xây dựng các bài toán thực nghiệm

được thực hiện trên giấy bút và xây dựng một tiểu đồ án thông qua phần mềm

Casyopée. Từ đó, chúng tôi trả lời được câu hỏi Q3.

Thực nghiệm được xây dựng nhằm kiểm tra tính thích đáng của các giả thuyết

nghiên cứu trình bày ở cuối chương 2.

Kết luận. Tóm tắt các kết quả đạt được trong chương 1, chương 2, chương 3 và

đề cập những hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn này.

CHƯƠNG 1. TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU

Chúng tôi tổng hợp các nghiên cứu về đối tượng đạo hàm trong bốn luận văn thạc

sỹ của các tác giả sau:

Tác giả Ngô Minh Đức (2013) với đề tài ‘‘Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán

và vật lí ở trường phổ thông’’.

Tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007) với đề tài ‘‘Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo

hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm’’.

Tác giả Lê Anh Tuấn (2009) với đề tài ‘‘Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo

hàm ở lớp 11 phổ thông’’.

Tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010) với đề tài "Casyopée và việc dạy học khái niệm

hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số”.

1.1. Luận văn của tác giả Lê Anh Tuấn (2009)

 Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu việc xây dựng khái niệm đạo hàm trong

một số giáo trình đại học. Sau đó, tác giả phân tích chương trình và SGK Toán hiện

hành nhằm làm rõ mối quan hệ thể chế của dạy học Việt Nam đối với khái niệm đạo

hàm. Từ đó, tác giả đưa ra hai quy tắc hợp đồng và triển khai thực nghiệm nhằm kiểm

tra tính thích đáng của chúng.

UQui tắc RE2U: Trong các bài toán tìm đạo hàm của một hàm số, HS không có trách

“UQui tắc RE1U: Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã có.

nhiệm kiểm tra hàm số đã cho có đạo hàm hay không mà chỉ việc tính đạo hàm” [13,

tr.77].

 Các tổ chức Toán học trong SGK Toán ban cơ bản và nâng cao ở lớp 11 và 12 đã

được tác giả phân tích gồm có các kiểu nhiệm vụ sau:

+ Tính đạo hàm bằng định nghĩa.

+ Tính đạo hàm bằng công thức.

+ Chứng minh không có đạo hàm tại xR0R.

+ Tìm vi phân.

+ Tính gần đúng một giá trị.

+ Viết phương trình tiếp tuyến.

+ Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc.

+ Xét tính đơn điệu nhờ bảng biến thiên.

+ Tìm cực đại, cực tiểu.

+ Tìm GTLN, GTNN trên khoảng.

+ Tìm GTLN, GTNN trên đoạn.

+ Tìm nguyên hàm.

+ Tính tích phân.

 Tác giả đưa ra một số kết luận:

Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm đóng vai trò rất mờ nhạt trong việc hình

thành và lĩnh hội khái niệm đạo hàm của HS. Mờ nhạt ở đây có nghĩa là đối với HS

việc tính đạo hàm bằng định nghĩa chẳng qua là việc tính các giới hạn. HS chỉ quan

tâm đến giới hạn của tỉ số số gia mà không hiểu rõ bản chất của giới hạn đó. SGK

cũng chỉ dừng lại ở việc đưa vào ba công thức tính vận tốc, gia tốc và cường độ dòng

điện bằng đạo hàm chứ không chỉ ra cho HS thấy ý nghĩa tổng quát trong các ứng

dụng này.

SGK chỉ xét đến tiếp tuyến của đường cong trong trường hợp đường cong là đồ thị

của một hàm số.

Ứng dụng của đạo hàm liên quan đến các vấn đề khảo sát hàm số: Xét sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số, tìm giá trị cực đại, cực tiểu, xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn

của đồ thị hàm số, tìm nguyên hàm và tính tích phân.

Khi học kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GTLN, GTNN) của một

hàm số có ứng dụng đạo hàm, HS thường mắc sai lầm khi nhầm lẫn giữa giá trị cực

đại và GTLN; giá trị cực tiểu và GTNN (khi lập bảng biến thiên). Khi tìm GTLN,

GTNN, SGK11 có đưa kỹ thuật giải sử dụng đồ thị.

1.2. Luận văn của tác giả Bùi Thị Thu Hiền (2007)

Tác giả tiến hành nghiên cứu SGK Việt Nam gồm 3 bộ sau:

+ Sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000.

+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 1 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và

ban Khoa Học Xã Hội.

+ Sách giáo khoa thí điểm bộ 2 gồm hai ban: ban Khoa Học Tự Nhiên và

ban Khoa Học Xã Hội.

Tác giả đưa ra một giả thuyết và tiến hành thực nghiệm để kiểm tra tính đúng đắn

của giả thuyết này: “Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm,

giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không

hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh” [8, tr.47].

1.3. Luận văn của tác giả Ngô Minh Đức (2013)

Tác giả nghiên cứu việc giảng dạy khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn

với vật lý.

 Từ phân tích khoa học luận: Tác giả nêu ra ba cách đưa vào khái niệm đạo hàm

trong giảng dạy.

′

+ Cách 1: Sử dụng định nghĩa đạo hàm theo “nghĩa tốc độ biến thiên tức thời”:

∆𝑦

∆𝑥

+ Cách 2: Đi từ tính khả vi: Một hàm số nếu có biểu diễn 𝑓 (𝑥0) = lim∆𝑥→0

sẽ được gọi là khả vi và đạo hàm chính là hệ số A trong khai triển 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥) +

này. 𝐴∆𝑥 + 𝜎(∆𝑥) + Cách 3: Đưa cả hai định nghĩa đạo hàm trong mối quan hệ tương đương với

nhau.

 Khi phân tích thể chế và các tổ chức Toán học (tác giả phân tích SGK Vật lý 10,

11, 12 và SGK Toán 11, 12 ban cơ bản và nâng cao), tác giả quan tâm hai kiểu nhiệm

vụ liên quan đến “đặc trưng tốc độ biến thiên” và “đặc trưng xấp xỉ” của khái niệm

đạo hàm.

Công cụ đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong chương trình Vật lí lớp 12 và ở đây

nó mang nghĩa tường minh là tốc độ biến thiên tức thời của một đại lượng theo thời

gian. Tuy nhiên, SGK Toán chỉ đưa vào các bài toán Vật lí nhằm dẫn dắt đến nhu cầu

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) 𝑥−𝑥0

phải tính giới hạn dạng rồi từ đó đưa ra định nghĩa đạo hàm.

lim𝑥→𝑥0

Trong lúc đó, SGK Toán lại không quan tâm đến “đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời”

của khái niệm này, vốn là cơ sở cho các ứng dụng đa dạng của đạo hàm trong Vật lí và

các khoa học khác.

Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm chỉ dừng lại ở một vài công thức cụ thể để tính vận tốc,

gia tốc, hay cường độ dòng điện tức thời. Việc không thể chế hóa nghĩa “tốc độ biến

thiên tức thời” có thể ngăn cản việc ứng dụng khái niệm đạo hàm ở nhiều tình huống

của Vật lí cần đến đặc trưng này.

Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường thẳng tiếp tuyến và tương ứng với đó là

xấp xỉ hàm số bởi hàm tuyến tính đơn giản hơn không được làm rõ.

 Tác giả đưa ra giả thuyết: “Đặc trưng tốc độ biến thiên tức thời và đặc trưng xấp

xỉ của đạo hàm không xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của học sinh trong thể chế

dạy học Toán hiện nay” [3, tr.65]. Tác giả tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng tính

thích đáng của giả thuyết. Đồng thời tác giả thực hiện một đồ án dạy học nhằm giúp

HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm. Sau khi HS

hiểu được các nghĩa này, tác giả đặt ra các bài toán giúp HS soi sáng lại các ứng dụng

đạo hàm trong Vật lý.

Trong quá trình giúp HS hình thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của

đạo hàm, GV hỗ trợ HS đưa ra câu trả lời bằng cách cho các em quan sát đồ thị.

1.4. Luận văn của tác giả Đỗ Thị Thúy Vân (2010)

Tác giả phân tích quá trình hình thành khái niệm hàm số trong các thể chế dạy

học Toán lớp 7, 9, 10. Tác giả nhận định mối quan hệ cá nhân giữa HS và khái niệm

hàm số dựa trên các biểu diện hàm số bằng biểu thức giải tích (công thức), bảng giá trị

hoặc dựa vào dạng của đồ thị. Từ đó, tác giả đưa ra quy tắc hợp đồng và tiến hành thực

nghiệm kiểm tra tính thích đáng của nó “RR3R: HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ thị

hàm số (gắn với một biểu thức giải tích đã học)’’ [16, tr.33].

Tiến hành thực nghiệm bằng công nghệ thông tin có tích hợp phần mềm

Casyopée, tác giả kết luận rằng: Casyopée có tích hợp hai mô đun đại số và mô đun

hình học trong đó mô đun đại số cùng lúc thể hiện ba cách biểu diễn của hàm số: bảng,

đồ thị và biểu thức giải tích. Nhờ đó, phần mềm cung cấp hình ảnh trực quan giúp HS

khắc sâu kiến thức. Tính năng của Casyopée thích hợp tạo tình huống giúp HS nhận ra

bản chất của các khái niệm hàm số.

1.5. Kết luận chương 1

Trong các luận văn trước đây, khái niệm đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được

các tác giả quan tâm đến các vấn đề sau:

- Những ràng buộc của mối quan hệ thể chế, phân tích các tổ chức Toán học, đưa

ra các quy tắc hợp đồng và kiểm chứng tính thích đáng của chúng.

- Sự nối khớp giữa việc dạy học khái niệm đạo hàm trong chương trình Toán phổ

thông với việc ứng dụng chúng trong Vật lý. Xây dựng các tình huống giúp HS hình

thành nghĩa “tốc độ biến thiên” và nghĩa “xấp xỉ” của đạo hàm.

- Mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine, mối

quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine.

Như vậy, các ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế, mối quan hệ

giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong

chương trình thông qua việc nhận dạng đồ thị hàm số chưa được nghiên cứu. Và đây là

các vấn đề mà chúng tôi quan tâm và sẽ tiến hành nghiên cứu trong bài luận văn này.

Đồng thời liên quan đến khái niệm đạo hàm, chúng tôi nhận thấy chưa có luận

văn nào sử dụng phần mềm Casyopée tiến hành nghiên cứu mặc dầu phần mềm này có

nhiều tính năng hữu ích như tác giả Đỗ Thị Thúy Vân đã đề cập. Chính vì vậy, chúng

tôi đặt các vấn đề mà mình cần nghiên cứu trong môi trường công nghệ thông tin tích

hợp phần mềm Casyopée.

Do đó ở chương 2, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế, phân

tích các tổ chức Toán học xung quanh khái niệm đạo hàm, các ứng dụng của đạo hàm

trong bài toán thực tế, mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến cũng như các phần khác

trong chương trình thông qua nhận dạng đồ thị hàm số.

CHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN

THPT

Phân tích chương 2 cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q1, Q2 và đề ra các giả

thuyết nghiên cứu.

Chúng tôi chủ yếu quan tâm đến hai vấn đề: Ứng dụng của đạo hàm trong các bài

toán thực tế; Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và các khái niệm khác trong chương

trình thông qua vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số. Cụ thể, chúng tôi tiến hành phân tích

SGK Toán 11 ở hai ban cơ bản và nâng cao (GKCB11, GKNC11); SGK Toán 12 ở hai

ban cơ bản và nâng cao (GKCB12, GKNC12) để trả lời các câu hỏi sau:

Trong SGK Toán phổ thông, các bài toán có ứng dụng đạo hàm, đặc biệt là các bài

toán gắn liền với thực tế được trình bày như thế nào?

Mối liên hệ giữa đạo hàm, tiếp tuyến và các khái niệm liên quan được thể hiện ra

sao trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số?

2.1. SGK Toán 11 cơ bản (GKCB11) và nâng cao (GKNC11)

2.1.1. Phân tích việc xây dựng lý thuyết

Trước chương ĐẠO HÀM là chương GIỚI HẠN, phần GIỚI HẠN CỦA HÀM

SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC chuẩn bị về mặt kiến thức trước khi đi vào khái niệm

đạo hàm.

§1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm (2 tiết)

§2. Quy tắc tính đạo hàm (3 tiết)

§3. Đạo hàm của hàm số lượng giác (3 tiết)

§4. Vi phân (1 tiết)

§5. Đạo hàm cấp hai (1 tiết)

Ôn tập chương V (3 tiết)” [4, tr.152].

‘‘Chương V (13 tiết) ĐẠO HÀM

GKCB11 dành 13 tiết còn GKNC11 dành 16 tiết để giới thiệu lý thuyết đạo

hàm. Điều này cho thấy tầm quan trọng của lý thuyết này.

 Bài toán thực tế

Trong phần giới thiệu đầu chương, cả hai bộ sách GKCB11 và GKNC11 đều

giải thích lí do đưa vào phần lý thuyết đạo hàm như sau:

phần Lý thuyết đạo hàm được học trong chương trình Đại số và Giải tích 11 để phục

vụ kịp thời cho việc học các môn khoa học khác như Vật lí, Hóa học,...

Ở đây, học sinh được học đầy đủ và hệ thống về đạo hàm cấp một và từ các bài toán

đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính và công thức đạo

hàm cơ bản và quan trọng nhất” [5, tr.145].

‘‘Trước đây, Đạo hàm và Tích phân được học trọn vẹn trong Giải tích 12. Ngày nay,

nghiên cứu các tính chất hàm số và hoàn thiện việc vẽ đồ thị hàm số.

Học sinh cần nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm; nhớ các công thức, các

quy tắc tính đạo hàm và sử dụng thành thạo chúng” [9, tr.183].

“Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một công cụ sắc bén để

GKCB11 đề cập đến ứng dụng đạo hàm trong các ngành khoa học khác là Vật

lý và Hóa học. Liệu rằng ứng dụng này có bao gồm cả các bài toán thực tế trong Vật

lý, Hóa học và thực tế cuộc sống hay không? Trong khi đó, GKNC11 cho thấy vai trò

công cụ của đạo hàm trong các bài toán liên quan đến hàm số và đưa ra các kỹ năng

cần thiết khi học đạo hàm mà không đề cập gì đến ứng dụng của nó trong thực tế hay

trong các chuyên ngành khoa học khác.

Sau phần giới thiệu, trong bài đầu tiên của chương, GKCB11 và GKNC11 giới

thiệu các bài toán thực tế nhằm dẫn dắt HS đến khái niệm đạo hàm. GKCB11 mở đầu

bằng việc xét một bài toán chuyển động thẳng có phương trình chuyển động

động thẳng chỉ theo một hướng từ trên xuống dưới. Hi vọng điều này giúp HS dễ hình dung

và dễ hiểu hơn’’ [10, tr.224].

còn GKNC11 mở đầu bằng bài toán chuyển động rơi tự do mà HS đã học ở Vật lí 10 𝑠 = 𝑠(𝑡) với mục đích: "Rơi tự do là chuyển động (không đều) khá đơn giản ở chỗ: đây là chuyển

Chúng tôi trích dẫn bài toán mở đầu trong GKCB11:

được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên hàm

‘‘ Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s(mét) đi

số đó là

Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng

với

và

;

2 𝑠 = 𝑡

[𝑡; 𝑡0]

” [5, tr.146].

𝑡 = 2

Nêu những kết quả thu được khi t càng gần 𝑡0 = 3 𝑡 = 2,5; 𝑡 = 2,9; 𝑡 = 2,99 Đây là một bài toán thực tế liên quan đến chuyển động của đoàn tàu.

𝑡0 = 3

Hoạt động này được đưa ra nhằm mục đích như sau:

gần với ‘‘vận tốc” ở chính thời điểm

nếu khoảng thời gian

càng nhỏ. Điều đó

là

dẫn đến định nghĩa vận tốc tức thời của một chuyển động tại

|∆𝑡|

𝑡0

‘‘Qua hoạt động 1, về mặt trực giác học sinh sẽ thấy vận tốc trung bình của đoàn tàu

𝑠(𝑡)−𝑠(𝑡0)

𝑡−𝑡0

’’ [5, tr154 – 155]. 𝑣(𝑡0) =

lim𝑡→𝑡0 Hai bài toán thực tế mà GKCB11 và GKNC11 đưa ra cùng có một đặc trưng là

dạng đồ thị biểu thị chuyển động của vật đã được cho sẵn. HS chỉ cần thế các giá trị

vào công thức và bằng trực giác trả lời các câu hỏi yêu cầu.

Bài toán thực tế mà SGK đưa ra nhằm làm xuất hiện nhu cầu xác định giới hạn

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)

𝑥−𝑥0

. Từ đó, khái niệm đạo hàm được định nghĩa thông qua việc tính

UNhận xét

lim𝑥→𝑥0 giới hạn.

- Các bài toán trong thực tế dẫn đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm.

- Lý thuyết đạo hàm phục vụ cho các chuyên ngành khoa học khác, có khả năng

bao gồm cả việc giải quyết các bài toán thực tế.

 Tiếp tuyến và nhận dạng đồ thị hàm số

• Vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số được chúng tôi tìm

tục của hàm số’’

liên tục tại

thấy trong mục ‘‘Quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên

𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ 0

𝑓(𝑥) = �−𝑥

x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ

𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0

thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị “gãy’’ tại điểm O(0;0) (h.62)’’[5,

“Chẳng hạn, hàm số

tr150].

tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó’’

Ví dụ này được GKCB11 đưa ra nhằm khẳng định cho chú ý “Một hàm số liên

Khái niệm đồ thị hàm số bị “gãy’’ chưa được định nghĩa nhưng kèm theo lời

khẳng định thì SGK có đưa ra hình ảnh minh họa. Hình ảnh đồ thị liền nét nhưng bị

“gãy” tại điểm O(0;0) giúp HS hình dung một cách trực quan về đồ thị của hàm số liên

tục tại một điểm nhưng lại không có đạo hàm tại đó. Như vậy ở đây, GKCB11 cung

cấp một cách chứng minh hàm số không có đạo hàm tại một điểm thông qua việc nhận

xét về hình dạng đồ thị hàm số.

• Mối quan hệ của tiếp tuyến và đạo hàm được thiết lập thông qua mục ý nghĩa

hình học của đạo hàm.

Trước khi giới thiệu về tiếp tuyến, GKCB11 đưa ra hoạt động 3 với mục đích

góc k cho trước, đồng thời giới thiệu hình ảnh của một tiếp tuyến’’ [4, tr.158].

‘‘Hoạt động 3 tập cho học sinh biết cách vẽ đường thẳng d qua một điểm M với hệ số

Hoạt động 3 như sau:

𝑥

b) Tính

𝑓(𝑥) =

′

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm

và có hệ số góc bằng

. Nêu nhận xét về

𝑓

(1)

′

vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho’’ [5, tr150].

1 2)

𝑀(1;

(1)

𝑓

“a) Vẽ đồ thị của hàm số

GKCB11 đề cập đến việc vẽ đường thẳng với hệ số góc k cho trước mà trong

hình học 10 đã giới thiệu.

GVCB11 hướng dẫn cách vẽ đường thẳng d đi

qua điểm M với hệ số góc k cho trước như sau:

cùng hướng với Ox, MB hướng lên trên và tạo

có

, MB là đường

với tia MA một góc 𝑀𝐴��⃗ thẳng d phải dựng.

𝛼

𝑡𝑡𝑛𝛼 = 𝑘

Trong hoạt động 3, vì

nên

𝑥

′

(𝑥) = 𝑥

𝑓

. Vì

nên ta lấy hai điểm A và B như sau:

. Khi đó

′

ta có tam giác MAB vuông tại A (h.21)

(1) = 1

𝑀 �1;

⇒ 𝑓

𝑓(𝑥) = 1 2�

1 2)

𝐴(2;

𝐵(2;

3 2)

Rõ ràng

“Lấy hai điểm A, B sao cho MA // Ox và vec tơ

𝑡𝑡𝑛𝛼 =

𝐴𝐴 0 𝑀𝐴 = 1 ⇒ 𝛼 = 45

’’ [4, tr.158].

Đối với hoạt động này, chúng tôi nghĩ rằng GV cần hỗ trợ và hướng dẫn thì HS

mới vẽ theo cách mà SGV đưa ra bởi lẽ theo chúng tôi có thể một số em sẽ chọn cách

viết phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước sau đó cho vài điểm và vẽ

đường thẳng. Với cách viết phương trình đường thẳng rồi vẽ đường thẳng sẽ làm mất ý

nghĩa hệ số góc, mà ở đây SGK cần nhấn mạnh đến hệ số góc để giới thiệu về hệ số

góc của tiếp tuyến.

Sau hoạt động 3, GKCB11 giới thiệu về tiếp tuyến của đường cong phẳng và ý

nghĩa hình học của đạo hàm.

cong (C). Giả sử (C) là đồ thị của hàm số

và

. Kí

là điểm di chuyển trên 𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)� ∈ (𝐶)

hiệu 𝑦 = 𝑓(𝑥) (C). Đường thẳng MR0RM là một cát tuyến

𝑀(𝑥; 𝑓(𝑥))

của (C) (h.63). Nhận xét rằng khi

thì

điểm

di chuyển trên (C) tới 𝑥 → 𝑥0 và ngược lại. Giả sử

𝑀(𝑥; 𝑓(𝑥))

cát tuyến MR0RM có vị trí giới hạn, kí hiệu là MR0RT thì MR0RT được gọi là tiếp tuyến của (C)

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)�

tại MR0R. Điểm MR0R gọi là tiếp điểm’’ [5, tr.150].

“Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường

Khái niệm tiếp tuyến ở đây được đưa vào theo quan điểm giải tích với đặc trưng

“vị trí giới hạn của cát tuyến”. Tiếp tuyến được đưa vào với một nghĩa hoàn toàn mới

so với tiếp tuyến ở THCS. Ở THCS quan niệm tiếp tuyến mà HS biết là có hai đặc

trưng “tiếp xúc” và“có một điểm chung”. Mặc dầu có sự khác nhau giữa hai bậc học

nhưng SGK cũng không đưa ra lí do giải thích sự khác nhau hay tương đồng giữa hai

nghĩa này. Điều này có dẫn đến sự khó hiểu và mơ hồ của HS hay không?

Mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được thiết lập trong Định lý 2 và Định

lý 3.

Đạo hàm của hàm số

tại điểm xR0R là hệ số góc của tiếp tuyến MR0RT của (C)

tại điểm

. 𝑦 = 𝑓(𝑥)

ĐỊNH LÍ 3

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)�

“ĐỊNH LÍ 2

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số

tại điểm

là

𝑦 = 𝑓(𝑥)

′

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)� trong đó

” [5, tr.151 – 152].

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓

(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

𝑦0 = 𝑓(𝑥0)

khái niệm tiếp tuyến. Rất khó đưa ra định nghĩa chính xác về tiếp tuyến nên ở đây, ta

chỉ cung cấp cho học sinh khái niệm này bằng cách mô tả trực quan.... Sau đó, ta

chứng minh Định lí 2 để khẳng định rằng hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

tại điểm

là

SGV nhận định như sau: ‘‘Muốn nói đến hệ số góc của tiếp tuyến, trước hết phải có

′

(𝑥0) Yêu cầu được đặt ra ở phần này gồm hai vấn đề: Mô tả tiếp tuyến một cách trực

𝑓

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)�

𝑦 = 𝑓(𝑥)

’’ [4, tr.159].

quan và chứng minh Định lí 2. Như vậy, khái niệm tiếp tuyến không được định nghĩa

chính xác mà chỉ được mô tả cho HS thông qua con đường nhận dạng đồ thị trực quan.

Và theo chúng tôi cách mô tả trực quan tốt nhất cung cấp cho HS đó là khi nó được

thực hiện trong môi trường công nghệ thông tin có tích hợp các phần mềm. Mặc khác,

bài toán trong hoạt động 3 đưa ra hệ số góc bằng 1 nên việc suy ra góc HS có khả

năng làm được. Vấn đề đặt ra là nếu hệ số góc được cho không phải là tan của một góc 𝛼

nguyên thì liệu rằng việc vẽ để HS thấy được hệ số góc của tiếp tuyến có còn trở nên

dễ dàng nữa hay không? Theo chúng tôi, điều này sẽ không dễ dàng chút nào nếu thực

hiện vẽ trên giấy. Tuy nhiên, nếu được vẽ trên phần mềm công nghệ thông tin thì có

khả năng sẽ khả quan hơn rất nhiều. Mức độ tạo ra sự khả quan ít hay nhiều còn tùy

thuộc vào phần mềm được lựa chọn.

GKNC11 giới thiệu khái niệm tiếp tuyến tương tự như GKCB11, tuy nhiên không

UNhận xét

có hoạt động mở đầu giúp HS nhìn nhận trực quan về tiếp tuyến.

- Nhận dạng đồ thị cho phép HS tiếp thu các khái niệm về đạo hàm, tiếp tuyến,

xét sự tồn tại của đạo hàm.

- Đạo hàm là công cụ cho phép ta xác định hệ số góc của tiếp tuyến và viết

phương trình tiếp tuyến.

- Mô tả trực quan cho HS về khái niệm tiếp tuyến cần được thực hiện trên phần

mềm công nghệ thông tin.

2.1.2. Phân tích các tổ chức Toán học

Ở đây, chúng tôi quan tâm đến những kiểu nhiệm vụ liên quan đến ứng dụng

của đạo hàm gắn với các bài toán thực tế và các kiểu nhiệm vụ thể hiện mối liên hệ

giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số.

 Nhóm các KNV liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến của (C)

Chúng tôi đặt nhóm này là nhóm KNV thứ nhất (KNV1)

Kiểu nhiệm vụ TR1dR: ‘‘Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm

”

R1dR:

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)�

Kĩ thuật

′

- Tính

′

UVí dụ

. - Thay vào phương trình tiếp tuyến 𝝉 (𝑥0) 𝑓

(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

a) Tại điểm (-1;-1)

𝑦 = 𝑥

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2” [5, tr.156].

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓 ‘‘5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

Kiểu nhiệm vụ TR1hsgR: ‘‘Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k cho

trước”.

R1hsgR:

Kĩ thuật

′

. Suy ra các hoành độ tiếp điểm là - Giải phương trình 𝝉

′

UVí dụ

với i =0, 1... - Suy ra phương trình tiếp tuyến (𝑥) 𝑥0, 𝑥1, … 𝑘 = 𝑓

. Biết rằng hệ số góc của

(𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥𝑖) 𝑦 − 𝑦𝑖 = 𝑓

𝑥

𝑦 =

tiếp tuyến bằng

’’ [5, tr.156]. 1

−

‘‘6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hyperpol

biết tiếp Kiểu nhiệm vụ TR1qdR: “Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

tuyến đi qua điểm ’’ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Có hai kĩ thuật: 𝑀1(𝑥1; 𝑦1)

Kĩ thuật

𝟏 𝝉𝟏𝟏𝟏

: - Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

′

. 𝑥0 ∈ (𝐶)

(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓

vào phương trình tiếp tuyến trên, tìm được . - Thay tọa độ điểm

′

. Sau đó thay vào phương trình tiếp tuyến. - Tìm 𝑀1(𝑥1; 𝑦1) 𝑥0

Kĩ thuật 𝑓

. - Viết phương trình đường thẳng d có hệ số góc k là (𝑥0) 𝟐 𝝉𝟏𝟏𝟏

′

𝑦 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1) + 𝑦1 - Giải hệ phương trình tìm nghiệm

𝑥0 : � , tìm được k. - Khử 𝑓 𝑓(𝑥0) = 𝑘(𝑥0 − 𝑥1) + 𝑦1 (𝑥0) = 𝑘

- Thay k vào phương trình theo hệ số ở trên.

“25. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol

, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

điểm A(0;-1)

𝑦 = 𝑥

thuộc

Hướng dẫn: Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ

parabol đã cho. Sau đó tìm

để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không

𝑥0 UVí dụ

thuộc parabol)” [9, tr.205].

𝑥0

Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm được xây dựng thông qua vấn đề nhận

dạng trực quan nhưng trong các kiểu nhiệm vụ mà SGK đưa ra chủ yếu là HS phải nhớ

là hệ số góc của tiếp tuyến

phương trình của tiếp tuyến và tìm các dữ liệu liên quan đúng với mục đích mà SGV

′

tại

với đồ thị (C) của hàm số

đưa ra: ‘‘Nắm vững ý nghĩa hình học của đạo hàm:

. Thuộc lòng và vận dụng tốt phương 𝑀0𝑇 (𝑥0)

) của (C) tại tiếp điểm

, trong đó

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)� trình tiếp tuyến

𝑦 = 𝑓(𝑥)

′

𝑓

𝑦 − 𝑦0 = 𝑓

(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0

𝑀0�𝑥0; 𝑓(𝑥0)�

’’ [4, tr.154].

𝑦0 = 𝑓(𝑥0) Đặc biệt, sau khi đưa ra bài tập, GKNC11 còn kèm theo lời hướng dẫn có lẽ với mục

TR1qdR là một kiểu nhiệm vụ thuộc GKNC11 có kĩ thuật giải được nêu rõ ràng.

đích chú ý HS ‘‘Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm khác với viết phương

trình tiếp tuyến tại một điểm’’.

Hệ số góc của một đường thẳng được đề cập thông qua kiểu nhiệm vụ viết

phương trình tiếp tuyến. Tuy nhiên, nó chỉ là một dữ liệu trong các kiểu nhiệm vụ giúp

HS tìm được phương trình tiếp tuyến.

 Nhóm các KNV liên quan đến vẽ phương trình tiếp tuyến của (C)

Chúng tôi đặt nhóm này là nhóm KNV thứ hai (KNV2)

và có hệ số góc k cho Kiểu nhiệm vụ TR2hsgR: “Vẽ d đi qua điểm

trước’’ 𝑀(𝑥𝑀; 𝑦𝑀)

R2hsg

Kĩ thuật

cùng hướng Ox. - Kẻ MA // Ox sao cho 𝝉

có . - Kẻ MB hướng lên trên và tạo với tia MA góc

UVí dụ

“Hoạt động 3

a) Vẽ đồ thị của hàm số f

𝑥

b) Tính

(𝑥) =

′

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm

và có hệ góc bằng

’’ [5, tr.150].

(1)

𝑓

′

𝑀 �1;

𝑓

(1)

1 2�

𝑀𝐴��⃗ - MB chính là d cần dựng. 𝛼 𝑡𝑡𝑛𝛼 = 𝑘

của đồ thị (C) Kiểu nhiệm vụ TR2đR: “Vẽ tiếp tuyến d tại điểm

” 𝐴(𝑥𝐴; 𝑦𝐴)

Có hai kĩ thuật 𝑦 = 𝑓(𝑥)

R2đ1

Kĩ thuật

′ - Vẽ d theo kĩ thuật

R2hsg

- Tính

𝝉 (𝑥𝐴) 𝑓

R2đ2

Kĩ thuật 𝝉

- Viết phương trình tiếp tuyến d. 𝝉

- Tìm giao điểm B của d với các trục Ox (hoặc Oy).

UVí dụ

(k là hằng số khác 0) và A là một

- Đường thẳng AB chính là tiếp tuyến d.

điểm thuộc (P) có hoành độ là

𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 Hãy xác định các tọa độ giao điểm của trục Ox với tiếp tuyến tại A của (P). Từ đó hãy

𝑡 ≠ 0

suy ra một cách đơn giản để vẽ tiếp tuyến này’’ [2, tr.179].

“5.4 Cho parabol có phương trình

R2đ2R được nêu rõ

TR2đR là kiểu nhiệm vụ con thuộc kiểu nhiệm vụ TR2R. Kĩ thuật

R2đ1R không được đề cập trong GKNC11.

ràng trong GKNC11 và BTNC11, còn kĩ thuật 𝜏

𝜏

 Nhóm các KNV liên quan đến nhận dạng đồ thị hàm số

Chúng tôi đặt nhóm này là nhóm KNV thứ ba (KNV3)

khi biết các Kiểu nhiệm vụ TR3d-dhR: “Xác định dạng đồ thị hàm số

’’ điểm thuộc đồ thị và 𝑦 = 𝑓(𝑥)

′ R3d-dhR: 𝑓

Kĩ thuật

. (𝑥0) = 𝑡 - Thay tọa độ các điểm vào 𝝉

′

. - Tính 𝑦 = 𝑓(𝑥)

- Giải hệ gồm các phương trình tìm được. (𝑥0)

𝑓 UVí dụ

đi qua các

Hãy xác định các hệ số b, c, d, biết rằng đồ thị (C) của hàm số + 𝑏𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥

+ 𝑐𝑥 + 𝑑

điểm (-1;-3), (1;-1) và

“19. Cho hàm số

1 3� = 0

𝑓

’’ [5, tr.181]. 𝑦 = 𝑓(𝑥)

′ Kiểu nhiệm vụ TR3dauR: “Xét dấu đạo hàm của �

hàm số tại hoành độ tiếp điểm bằng cách nhận dạng

UVí dụ

đồ thị’’

trên khoảng

Biết rằng tại các điểm 𝑦 = 𝑓(𝑥) đồ thị hàm số có tiếp tuyến được (𝑡; 𝑏).

thể hiện trên hình vẽ. Dựa vào hình vẽ, em hãy 𝑀1, 𝑀2 𝑣à 𝑀3 nhận xét về dấu của

và

‘‘12. Hình 5.4 là đồ thị của hàm số

′

’’ [9, tr.195].

(𝑥1), 𝑓

(𝑥2)

(𝑥3)

𝑓

bằng Kiểu nhiệm vụ TR3tontaiR: “Xét sự tồn tại của đạo hàm của hàm số

UVí dụ

cách nhận dạng đồ thị hàm số’’ 𝑦 = 𝑓(𝑥)

xác định trên khoảng (a;b). Dựa vào hình vẽ, 𝑦 = 𝑓(𝑥) .

cho biết tại mỗi điểm

và

a) Hàm số có liên tục hay không?

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3

𝑥4

b) Hàm số có đạo hàm hay không? Hãy tính

“15. Hình 5.5 là đồ thị của hàm số

đạo hàm (nếu có)’’ [9, tr.195].

Các kiểu nhiệm vụ TR3dauR, TR3tontaiR được SGK đưa ra chủ yếu sử dụng kĩ thuật giải

là sử dụng hình dạng của đồ thị hàm số, chẳng hạn như tiếp tuyến là đường thẳng ‘‘đi

xuống’’, ‘‘đi lên’’ hoặc ‘‘song song với trục hoành’’, từ đó suy ra dấu hệ số góc của

tiếp tuyến. Hoặc khái niệm ‘‘đứt’’, ‘‘gãy’’, ‘‘đường liền nét’’ giúp HS giải thích về sự

tồn tại của đạo hàm. Như vậy, nhận dạng đồ thị hàm số giúp HS giải thích sự tồn tại

của đạo hàm dựa trên ‘‘trực giác’’, chính vì vậy kết quả có thể là không đảm bảo luôn

chính xác. Vấn đề đặt ra là HS có nhận ra sự tồn tại của đạo hàm hay mối liên hệ giữa

đạo hàm và tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong bài toán thực tế hay không?

GKNC11 đưa ra KNV giúp khôi phục lại đồ thị của một hàm số thông qua vấn

đề nhận dạng.

Kiểu nhiệm vụ TR3kphucR: “Nhận dạng đồ

thị để khôi phục lại đồ thị hàm bậc hai

UVí dụ 𝑃(𝑥)

’’ 𝑦 =

đã bị xóa chỉ còn lại trục đối xứng

‘‘55. Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai

D , điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị 𝑦 = 𝑃(𝑥)

(P)’’ [9, tr.221].

Đồ thị hàm số sẽ được khôi phục lại bằng cách nhận dạng các yếu tố liên quan

đã cho trên hình vẽ. Bài toán đưa ra nhằm giúp HS nhận ra được mối liên hệ giữa đạo

hàm và hệ số góc của tiếp tuyến tại hoành độ tiếp điểm.

 Nhóm các KNV liên quan đến giải bài toán thực tế

Chúng tôi đặt đây là nhóm KNV thứ tư (KNV4)

TR4vt-gtR: “Tìm vận tốc, gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình

’’. tại thời điểm

R4vt-gtR: Áp dụng các công thức đạo hàm đã có.

UVí dụ

Kĩ thuật 𝑠 = 𝑠(𝑡) 𝑡 = 𝑡0

𝝉

trong đó t

được tính bằng giây và S được tính bằng mét.

𝑆 = 𝑡

− 3𝑡

− 9𝑡

a) Tính vận tốc của chuyển động khi

b) Tính gia tốc của chuyển động khi

. 𝑡 = 2𝑠

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

𝑡 = 3𝑠

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu’’ [5, tr.177].

“8. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

Kiểu nhiệm vụ TR4vttbR: “Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng

thời gian [t; tR0R]’’

R4bR: Áp dụng các công thức đạo hàm đã có.

UVí dụ

Kĩ thuật

“7. Một vật rơi tự do theo phương trình

, trong đó

là gia tốc

trọng trường.

1 2 𝑔𝑡

𝑠 =

𝑔 ≈ 9,8𝑚/𝑠

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ

đến

trong các trường hợp

𝑡 (𝑡 = 5𝑠)

∆𝑡 = 0,1𝑠; ∆𝑡 = 0,05𝑠

∆𝑡 = 0,001𝑠

𝝉

b) Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5’’ [9, tr.192]. 𝑡 + ∆𝑡 Kiểu nhiệm vụ TR4hdoR: “Tìm hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C) trong bài toán

UVí dụ

thực tế’’

trò chơi điện tử. Một máy bay xuất hiện ở bên

trái màn hình rồi sang phải theo một quỹ đạo

, trong đó

. Biết rằng tên lửa 𝑦 = 𝑓(𝑥)

1 𝑥 (𝑥 > 0)

được bắn ra từ máy bay tại một điểm thuộc (C) sẽ bay theo phương tiếp tuyến của (C) 𝑓(𝑥) = −1 − tại điểm đó. Tìm hoành độ của các điểm thuộc (C) sao cho tên lửa bắn ra từ đó có thể

bắn trúng một trong bốn mục tiêu nằm trên màn hình có tọa độ (1;0), (2;0), (3;0) và

(4;0) (làm tròn kết quả đến hàng phần vạn)’’ [9, tr.205 – 206].

theo hướng

‘‘Bài 26. Hình 5.6 thể hiện màn hình của một

tăng của x. Một người quan sát ở vị trí

. Hãy xác định các giá trị của hoành độ + 17𝑥 − 66

𝑦 = −𝑥

điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M’’ [9, tr.227].

𝑃(0; 2)

‘‘bài 25. Một điểm M chuyển động trên parabol

Hai kiểu nhiệm vụ con TR4vt-gt R, TR4vttb Rgồm các bài toán thực tế liên quan đến vấn

đề chuyển động của vật đã được đề cập trong các hoạt động mở đầu. Chúng tôi nghĩ

rằng, SGK đưa ra các kiểu nhiệm vụ này nhằm giúp HS nắm vững các công thức về

vận tốc và gia tốc tức thời của một chuyển động. Các ví dụ minh họa cho kiểu nhiệm

vụ TR4R đa số gồm các bài toán có chung một đặc trưng là đã mô hình các vấn đề thành

hàm số cho sẵn công thức giải tích, HS chỉ cần áp dụng các công thức đã được học

trong phần lý thuyết để giải quyết các bài toán. Trong số đó có bài toán SGK không

trình bày công thức giải tích, nhưng HS không cần phải xây dựng công thức bởi vì

theo phương thẳng đứng với tốc độ ban đầu

(bỏ qua sức cản của không khí).

Tìm thời điểm tại đó tốc độ của viên đạn bằng 0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu

𝑣0 = 196𝑚/𝑠

mét?’’[9, tr.206]. Ví dụ bài 25 thuộc kiểu nhiệm vụ TR4hdoR cho thấy ứng dụng tiếp tuyến

công thức đã được xây dựng trong bộ môn Vật lí: “27. Một viên đạn bắn lên từ mặt đất

của một đường cong trong thực tế.

 Kiểu nhiệm vụ TR5R: Tìm hệ số góc của cát tuyến AB của đồ thị (C)

R5R:

Kĩ thuật 𝒚 = 𝒇(𝒙)

𝑦𝐵−𝑦𝐴

𝑥𝐵−𝑥𝐴

UVí dụ

và hai điểm

và

trên parabol đó.

. Áp dụng công thức 𝝉

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết 𝑦 = 𝑥

𝐴(2; 4)

lần lượt bằng 1; 0,1 và 0,01. 𝐵(2 + ∆𝑥, 4 + ∆𝑦)

b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A’’ [9, tr.192].

∆𝑥

‘‘4. Cho parabol

SGK quan tâm đến bài toán tìm hệ số góc của cát tuyến AB và tìm hệ số góc

tiếp tuyến. Cụ thể, ở câu a yêu cầu tính hệ số góc của cát tuyến trong các trường hợp

ứng với càng ngày càng nhỏ dần. Ở câu b, tính hệ số góc tại điểm A.

SGV không hướng dẫn mà chỉ đưa ra đáp án ∆𝑥

‘‘4. a) 5; 4,1 và 4,01 b) 4’’ [10, tr.229].

Theo chúng tôi, SGK chỉ yêu cầu HS thực hiện kĩ năng tính toán là chính, còn

vấn đề nhận thấy mối liên hệ của hệ số góc cát tuyến và hệ số góc khi cát tuyến trở

thành tiếp tuyến không được quan tâm. Bên cạnh đó, vấn đề vẽ đường thẳng với hệ số

góc cho trước cũng không được đề cập, có lẽ vì trong trường hợp hệ số góc không

nguyên sẽ gây ra nhiều khó khăn cho HS. Chúng tôi thấy rằng, ở bài 4 SGK nên yêu

cầu HS nhận xét để giúp các em nhận ra sự thay đổi của hệ số góc cát tuyến khi cát

tuyến càng gần trở thành tiếp tuyến.

2.1.3. Kết luận SGK Toán 11

Chúng tôi thống kê lại các KNV liên quan đến các bài toán thực tế, KNV thể

hiện mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan trong vấn đề nhận dạng đồ

thị hàm số ở bảng sau:

Bảng 2.1. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 11 cơ bản và nâng cao

Kiểu nhiệm VD,HĐ Bài tập Bài tập Nhóm Tổng SGK SGK SBT vụ

4 15 9 28 TR1d

0 4 2 KNV1 6 TR1hsg

0 2 1 3 TR1qd

1 0 0 1 TR2hsg KNV2 0 1 1 2 TR2d

0 2 1 3 TR3d-dh

0 1 2 3 TR3dau KNV3 0 1 0 1 TR3tontai

0 1 0 1 TR3khoiphuc

2 4 16 21 TR4vt-gt

1 2 0 KNV4 3 TR4vttb

R(Tìm hệ số góc

0 2 0 2 TR4hd

TR5 0 1 0 1 của cát tuyến)

75 Tổng cộng

 Liên quan đến vấn đề tiếp tuyến, chúng tôi nhận thấy có hai KNV1 và KNV2.

Qua bảng thống kê các KNV, chúng tôi thấy rằng viết phương trình tiếp tuyến và vẽ

tiếp tuyến đều được các tác giả trong bộ sách cơ bản và nâng cao đề cập đến. Tuy

nhiên, SGK có sự ưu tiên và chú trọng đối với nhóm KNV1 khi có đến 37 câu, trong

khi đó KNV2 chỉ có 3 câu. Ngoài ra, kĩ thuật viết phương trình tiếp tuyến được trình

bày tường minh trong SGK và SBT còn các bài toán minh họa cho KNV2 nằm trong

hoạt động mở đầu để giới thiệu về tiếp tuyến hoặc nằm trong bài tập thuộc SGK hoặc

SBT luôn kèm theo hướng dẫn giúp HS vẽ được tiếp tuyến. Điều đó làm cho KNV vẽ

tiếp tuyến đi qua điểm và có hệ số góc cho trước khá mờ nhạt đối với HS. Chính vì

vậy, chúng tôi nhận định rằng vấn đề vẽ đường thẳng hay cụ thể hơn là vẽ tiếp tuyến đi

qua một điểm và có hệ số góc cho trước không hình thành trong mối quan hệ cá nhân

của HS.

Từ đây, chúng tôi có thể kết luận rằng: “Trước nhiệm vụ vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y = f(x) tại điểm A(a; f(a)), HS không huy động được kỹ thuật vẽ theo hệ số góc’’.

Ngoài ra trong SGK và SBT không có bài tập nào giúp HS củng cố khái niệm

“tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến’’. Do đó, chúng tôi nhận thấy cần xây dựng

tình huống giúp HS củng cố khái niệm này.

 Trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số nhằm xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm

và các khái niệm liên quan, chúng tôi nhận thấy có KNV3 với số lượng là 8/75 câu.

Như vậy, vấn đề nhận dạng được SGK đề cập nhưng không được chú trọng nhiều.

Trong đó có 4/8 câu HS phải nhận dạng để xét mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm.

Với số lượng chiếm một ½ trong các bài tập nhận dạng cho thấy mối liên hệ này rất

quan trọng. Vậy, trong bài toán thực tế thì mối liên hệ này thể hiện ra sao?

 Bài toán thực tế được SGK Toán 11 đề cập trong nhóm KNV4 trong đó KNV

TR4vt-gtR và TR4vttbR gồm những bài toán thực tế gắn liền với bộ môn Vật lý. KNV TR4hdR là

bài toán thực tế gắn liền trong cuộc sống. Đặc trưng của các bài toán trong nhóm

KNV4 là các bài toán thực tế đều đã được khái quát hóa thành các công thức hàm số,

HS không cần xây dựng công thức mà HS chỉ cần vận dụng các tính chất hàm số đã

được học để đưa ra câu trả lời cho các bài toán thực tế. Trong số các ví dụ minh họa

cho nhóm KNV4 thì chỉ có duy nhất một bài toán (bài 25 [9, tr.227]) là HS phải suy

nghĩ tìm hướng để mô tả hàm số, tìm ra công thức giải tích và đưa câu trả lời thỏa yêu

cầu bài toán. Trong số các bài toán thực tế có hai bài toán thực tế đề cập mối liên hệ

giữa đạo hàm và tiếp tuyến. Tuy nhiên, mối liên hệ này cũng xoay quanh việc viết

phương trình tiếp tuyến tìm tọa độ tiếp điểm nhằm giới hạn lại vị trí có thể quan sát

điểm M cho trước nằm trên Parabol (bài 25, [9, tr.227]). Như vậy, SGK không có bài

toán thực tế nào giúp HS nhận ra mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến khi nhận

dạng đồ thị hàm số. Đặc trưng của các bài toán nhận dạng đồ thị xét mối liên hệ giữa

đạo hàm và tiếp tuyến đều là cho hình vẽ có vẽ sẵn tiếp tuyến hoặc trong đề cho sẵn vị

trí có tiếp tuyến. Quan niệm đồ thị “gãy’’, “đứt’’, “có tiếp tuyến’’ đều thể hiện qua cái

nhìn “trực quan’’ của HS trên hình vẽ cho sẵn. Từ đây, chúng tôi đưa ra giả thuyết sau:

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

Bên cạnh đó, trong KNV yêu cầu HS xác định công thức hàm số có các dữ kiện

đều phát biểu thành lời, không có dữ kiện nào liên quan đến xét ý nghĩa của tiếp tuyến

và đạo hàm. Đặc biệt, trong các bài toán thực tế mà SGK đưa ra công thức giải tích

của hàm số được cho sẵn, không có bài toán nào yêu cầu tìm công thức giải tích hàm

số thông qua việc xét ý nghĩa của đạo hàm và tiếp tuyến. Từ đây, chúng tôi đưa thêm

một giả thuyết.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

Giả thuyết chúng tôi đề cập là hàm số nói chung nhưng do công thức Toán phổ

thông chủ yếu đề cập đến các hàm số đa thức nên bài toán chúng tôi thực nghiệm kiểm

chứng H2 sẽ liên quan đến hàm số đa thức nói chung, cụ thể là một hàm số bậc ba.

Từ đây, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết khi xây dựng một bài toán thực tế dạy

học ứng dụng đạo hàm giúp HS nhận dạng đồ thị hàm số, tìm công thức giải tích cụ

thể của hàm số bậc ba và thấy được ý nghĩa đạo hàm và tiếp tuyến trong bài toán thực

tế.

2.2. SGK Toán 12

2.2.1. SGK Toán 12 cơ bản

Phần ứng dụng của đạo hàm được trình bày trong chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO

HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Đạo hàm được dùng để:

- Xét tính đơn điệu của hàm số.

- Tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

- Tìm GTLN và GTNN của hàm số.

Trong các ứng dụng của đạo hàm, chúng tôi quan tâm đến các bài toán thực tế

và vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số.

 Vấn đề nhận dạng đồ thị trong phần ứng dụng của đạo hàm được SGK đề cập

trong các hoạt động và ví dụ của bài học.

Bảng 2.2. Bảng thống kê các ứng dụng của đạo hàm trong GKCB12

Mục đích Minh họa

Xét sự liên hệ giữa tính Hoạt động 2: “Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng

(H.4a)

(H.4b)

𝑥

đơn điệu của một hàm số

𝑥

𝑦 = −

𝑦 =

và dấu của đạo hàm cấp

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương

ứng.

Từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm” [6, tr.5 – 6].

một của hàm số đó.

điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất):

Xét mối liên hệ giữa đạo Hoạt động 1: “Dựa vào đồ thị (H7, H8) hãy chỉ ra các

trong khoảng

;

trong các khoảng

và

𝑦 = −𝑥

+ 1

𝑥 3 (𝑥 − 3)

𝑦 =

(−∞; +∞) 3 2�

1 2 ;

�

3 2 ; 4�

�

hàm cấp một và cực trị

Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các

bảng dưới đây

[6, tr.13].

Tìm GTLN và GTNN của Hoạt động 2

“Cho hàm số

𝑦 = 𝑓(𝑥) = �−𝑥

có đồ thị như Hình 10. Hãy chỉ ra

+ 2 𝑛ế𝑢 − 2 ≤ 𝑥 < 1 𝑥 𝑛ế𝑢 1 < 𝑥 ≤ 3

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của hàm số trên đoạn [-2;3] và

nêu cách tính”

hàm số liên tục trên đoạn.

[6, tr.21].

Các định lý thể hiện mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan (tính

đơn điệu, cực trị hàm số, GTLN, GTNN) đều được thừa nhận và không chứng minh.

Chính vì vậy, các ví dụ và hoạt động đưa ra ngay từ đầu giúp HS nhận thấy mối liên hệ

giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan một cách tự nhiên là điều cần thiết. Tất cả

các hoạt động được đưa ra bảng trên, SGK đều sử dụng nhận dạng đồ thị để củng cố

các kiến thức mang tính lý thuyết và để gợi ý cho học sinh dự đoán được kiến thức sắp

được trình bày ngay sau đó.

Hoạt động 2 đưa ra với mục đích tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên

đoạn ở bảng 2.2 cho chúng tôi thấy rằng, HS có thể sử dụng đồ thị để chỉ ra GTLN,

GTNN của hàm số bằng cách tìm điểm cao nhất và điểm thấp nhất của đồ thị trên một

đoạn, lúc này điểm cao nhất ứng với GTLN của hàm số trên đoạn và điểm thấp nhất

ứng với GTNN của hàm số trên đoạn đó. Tuy nhiên, yêu cầu tiếp theo là “nêu cách

tính” buộc HS phải quay về thực hiện trên biểu thức giải tích của hàm số. Điều này

cho thấy, đồ thị được sử dụng ở đây không phải là một công cụ để tìm GTLN, GTNN

của hàm số trên đoạn, nó chỉ được đưa ra để minh họa cho kĩ thuật mà GKNC12 sẽ

nêu ra ở phần sau: Muốn tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên đoạn [a;b], ta chỉ

việc tìm tại các điểm đầu mút a, b và tại các điểm nằm trên đoạn [a;b].

Trong vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số, chúng tôi nhận thấy SGK giới thiệu

bảng tổng kết các dạng đồ thị ngay sau các ví dụ khảo sát loại hàm số tương ứng.

 Dạng của đồ thị hàm số bậc ba [6, tr.35].

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑡 ≠ 0)

[6, tr.38].  Dạng của đồ thị hàm số

+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑡 ≠ 0) 𝑦 = 𝑡𝑥

𝑎𝑥+𝑏 𝑐𝑥+𝑑 (𝑐 ≠ 0, 𝑡𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0)

 Dạng của đồ thị hàm số [6, tr.41].

𝑦 =

được những sai sót trong khi vẽ đồ thị như thiếu tính đối xứng qua tâm hoặc qua trục, vị trí

của đồ thị đối với các tiệm cận chưa cân xứng,...” [7, tr.45]. Như vậy, nhận dạng đồ thị

Lí do, SGK chú trọng việc tổng kết các dạng đồ thị: “Qua đó, có thể phát hiện

hàm số sẽ giúp HS rất nhiều trong việc vẽ đồ thị hàm số.

 Trong phần trình bày lý thuyết của SGK, chúng tôi nhận thấy có một bài toán

thực tế xuất hiện trong phần tìm GTLN và GTNN của hàm số.

vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại như hình 11 để được một cái hộp không nắp.

Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất”

“Ví dụ 3: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình

Giải. Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt. Rõ ràng x phải thoả mãn điều kiện

. Thể tích của khối hộp là

. Ta phải tìm

sao

𝑎

𝑉(𝑥) = 𝑥(𝑡 − 2𝑥)

𝑎 2�

0 < 𝑡 < cho

2 ) có giá trị lớn nhất. Ta có

𝑥0 ∈ �0; . Trên khoảng

′

𝑉

(𝑥) = (𝑡 − 2𝑥)(𝑡 − 6𝑥)

𝑎 2�

�0;

ta có

𝑎

𝑉(𝑥0 ′

𝑉

(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 =

Bảng biến thiên

Từ bảng trên ta thấy trong khoảng

hàm số có một điểm cực trị duy nhất là điểm

�0;

cực đại

nên tại đó

𝑎 2� có giá trị lớn nhất:

𝑎

2𝑎

𝑥 =

𝑉(𝑥)

max�0;

𝑎 2� 𝑉(𝑥) =

” [6, tr.22].

Có một sự khác biệt so với bộ SGK Toán 11, bài toán thực tế được đưa ra với

mong muốn sử dụng mối liên hệ giữa các đại lượng đã cho tìm biểu thức giải tích cho

hàm số và sau đó sử dụng đạo hàm để đưa ra câu trả lời. Kĩ thuật giải KNV này cho

thấy vai trò của đạo hàm trong việc tìm giá GTLN, GTNN liên quan đến các bài toán

thực tế.

2.2.2. SGK Toán 12 nâng cao

Tương tự GKCB12, ứng dụng của đạo hàm cũng được thể hiện trong việc

- Xét tính đơn điệu của hàm số.

- Tìm cực trị (cực đại, cực tiểu) của hàm số.

- Tìm GTLN và GTNN của hàm số.

Khác với GKCB12, SGK không trình bày về vấn đề nhận dạng đồ thị trong các bài

toán mở đầu để xây dựng mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Định

lí đưa ra được thừa nhận, không chứng minh và không có đồ thị nhằm minh họa trực

quan cho các định lý nêu ra.

Đối với mối liên hệ giữa đạo hàm và khái niệm cực trị của hàm số, SGK trình bày

một lời khẳng định về vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số khi trình bày điều kiện cần để

(h1.1), ta thấy nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm

hàm số đạt cực trị.

và nếu đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm

thì tiếp tuyến đó song

𝑦 = 𝑓(𝑥)

” [11, tr.11].

(𝑥0; 𝑓(𝑥0))

′

song với trục hoành, tức là 𝑥0 Sau đó SGK đi đến thừa nhận định lí

𝑓

(𝑥0) = 0

“ĐỊNH LÍ 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm

. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại

thì

′

“Quan sát đồ thị của hàm số

𝑥0

𝑓

(𝑥0) = Qua đồ thị hình 1.1, chúng tôi nhận thấy tính cực trị của hàm số được thể hiện 0

” [11, tr.11].

rõ. Hàm số đạt cực trị tại những điểm mà trên đồ thị có tiếp tuyến tại đó song song với

thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm

trục hoành hoặc đồ thị tại điểm đó bị “gãy”. Sự tương ứng trong lời khẳng định “nếu đồ

hàm tại

thì sẽ

” đã đưa ra một tính chất “nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại (𝑥0; 𝑓(𝑥0))

có đạo hàm tại

” và nội dung trong định lí 1 “nếu f có đạo

𝑥0

(𝑥0; 𝑓(𝑥0))

”. Quan sát đồ thị hình 1.1, chúng tôi thấy tại “điểm gãy” đồ thị không

𝑥0

có tiếp tuyến nên hàm số không có đạo hàm; tại “điểm trơn” đồ thị có tiếp tuyến song

song trục hoành nên hàm số có đạo hàm và đạo hàm bằng 0.

Như vậy, SGK cũng đã chú ý tới việc giúp HS nhận xét dạng đồ thị để thấy

được mối liên hệ của tiếp tuyến và đạo hàm. Tuy nhiên, tại “điểm trơn” tiếp tuyến

được vẽ sẵn trên hình. Vấn đề đặt ra là với một dạng đồ thị của bài toán thực tế HS có

nhận ra được mối liên hệ này hay không? Khi phân tích đến các KNV liên quan đến

bài toán thực tế, chúng tôi sẽ tìm hiểu xem GKNC12 có đưa ra các bài toán thực tế

giúp HS thấy được mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm hay không?

GKNC12 không trình bày nhận dạng đồ thị khi giới thiệu về GTLN, GTNN của

hàm số. Kèm theo bài GTLN, GTNN có bài toán thực tế giúp HS thấy được vai trò

ứng dụng của đạo hàm khi tìm GTLN, GTNN trong các bài toán thực tế.

3 đáy là một hình vuông cạnh x (cm), chiều cao là h (cm) và có thể tích là 500 cmP

a) Hãy biểu diễn h theo x.

b) Tìm diện tích S(x) của mảnh các tông theo x.

c) Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ nhất”

“Ví dụ 3: Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu hình 1.4. Hộp có

[11, tr.20].

Bài toán thực tế mà GKNC12 đưa ra cần phải xây dựng công thức, sau đó mới

đi tìm GTNN. Việc xây dựng công thức đã được SGK hướng dẫn chọn biến thích hợp.

2.2.3. Các tổ chức Toán học

Trong SGK Toán 12 xuất hiện thêm các KNV thuộc các nhóm KNV1 (nhóm

các KNV liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến), KNV3 (nhóm các KNV liên

quan đến nhận dạng đồ thị hàm số), KNV4 (nhóm các KNV liên quan đến giải bài toán

thực tế) đã được đề cập trong SGK Toán 11.

KNV1 với với các KNV TR1dR, TR1qdR.

KNV3 xuất hiện hai KNV mới

TR3dh-lqR: “Nhận dạng đồ thị hàm số xét mối liên hệ giữa đạo hàm với tính đơn

điệu, cực trị và GTLN, GTNN của hàm số”.

Minh họa cho các KNV này là các hoạt động và ví dụ trong phần mở đầu. KNV

này không được đề cập lại trong các bài tập của SGK.

khi biết điểm cực trị và điểm thuộc đồ thị” TR3d-ctriR: “Nhận dạng đồ thị

R3d-ctri

𝑦 = 𝑓(𝑥) Kĩ thuật

𝝉 - Thay tọa độ các điểm đã cho vào đồ thị.

′

, thay các điểm cực trị vào. - Áp dụng công thức tính đạo hàm

- Giải hệ các phương trình. 𝑓 (𝑥)

UVí dụ

- Thử lại và kết luận.

sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm

, 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑥

+ 𝑏𝑥

và đạt cực đại tại điểm + 𝑐𝑥 + 𝑑

𝑥 = 0

𝑓(0) = 0

14. Xác định các hệ số a, b, c sao cho hàm số 𝑥 = 1, 𝑓(1) = 1 đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = 2 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0)” + 𝑐𝑥 + 𝑑

𝑓(𝑥) = 𝑡𝑥

+ 𝑏𝑥

“13. Tìm các hệ số a, b c, d của hàm số

[11, tr.17].

KNV trên được đưa ra để yêu cầu HS tìm công thức cụ thể của đồ thị hàm số

bậc ba. Các yếu tố đã cho được phát biểu thành lời.

KNV4 xuất hiện một KNV mới

trong các bài toán thực tế”. TR4LN,NNR: “Tìm GTLN, GTNN của hàm số

R4LN,NN

𝑦 = 𝑓(𝑥) Kĩ thuật

UVí dụ

𝝉 Vận dụng mối liên hệ giữa đạo hàm và GTLN (GTNN) để tìm GTLN (GTNN).

𝐺(𝑥) = 0,025𝑥

(30 − 𝑥)

“23. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức

Trong đó

là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (

được tính bằng miligam).

Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ

𝑥

𝑥 giảm đó” [11, tr.23].

“19. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có

cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB

của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

và tìm giá trị lớn nhất đó” [11, tr.22].

KNV trên bao gồm bài toán cho sẳn hàm số có công thức giải tích rồi yêu cầu

tìm GTLN, GTNN và bài toán tìm công thức giải tích trước sau đó yêu cầu tìm GTLN,

GTNN.

2.2.4. Kết luận SGK Toán 12

Chúng tôi thống kê các KNV liên quan đến vấn đề nhận dạng đồ thị trong mối

quan hệ giữa đạo hàm và các khái niệm liên quan, các bài toán thực tế liên quan đến

ứng dụng đạo hàm.

Bảng 2.3. Bảng thống kê các KNV trong bộ sách 12 cơ bản và nâng cao

Kiểu nhiệm VD, HĐ Bài tập Bài tập Nhóm Tổng SGK SGK SBT vụ

0 11 1 12 TR1d KNV1 0 1 0 1 TR1qd

5 0 0 5 TR3dh-lq KNV3 0 2 0 2 TR3d-ctri

2 10 2 14 KNV4 TR4LN-NN

Tổng cộng 33

 SGK Toán 12 đưa ra nhóm KNV1 gồm hai KNV đã được đề cập trước đó trong

SGK Toán 11 với số lượng 13 câu. Trong số đó, KNV viết phương trình tiếp tuyến tại

một điểm chiếm ưu thế nhiều hơn so với KNV viết phương trình tiếp tuyến đi qua một

điểm. Chúng tôi nhận thấy không hề xuất hiện KNV vẽ tiếp tuyến với hệ số góc cho

trước trong SGK cũng như SBT.

Điều này cho phép chúng tôi nêu lại kết luận đã được đề cập trong phần phân tích

bộ SGK Toán 11 “Trước nhiệm vụ vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm

A(a; f(a)), HS không huy động được kỹ thuật vẽ theo hệ số góc’’.

 Vấn đề nhận dạng đồ thị xuất hiện trong hai KNV TR3dh-lqR và TR3d-ctriR. Có 5 câu

thuộc KNV TR3dh-lqR và cả 5 câu này đều nằm trong phần ví dụ và hoạt động mở đầu của

SGK. Trong phần bài tập của SGK và SBT không hề đề cập đến KNV này, điều này

cho thấy SGK chỉ xem xét đến vấn đề nhận dạng đồ thị thể hiện mối liên hệ giữa đạo

hàm và các khái niệm liên quan khi cần xây dựng khái niệm, định lí. Tuy nhiên, không

thể phủ nhận vai trò của nhận dạng đồ thị trong việc giúp HS chấp nhận các mối liên

hệ này một cách tự nhiên khi các định lí đưa ra không được chứng minh.

 Nhóm KNV4 trong SGK Toán 12 xoay quanh một KNV TR4LN-NN Rtức là tìm

GTLN và GTNN, còn bài toán thực tế về ý nghĩa của đạo hàm và tiếp tuyến không

xuất hiện.

Từ đây, chúng tôi nêu lại hai giả thuyết mà chúng tôi đã đưa ra trong phần phân

tích SGK Toán 11.

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

2.3. Kết luận chương 2

Thông qua việc phân tích SGK lớp 11 và lớp 12 ở cả hai bộ cơ bản và nâng cao

chúng tôi đã tìm ra được hai giả thuyết

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

Đồng thời, chúng tôi có thể kết luận: “Trước nhiệm vụ vẽ tiếp tuyến của đồ thị hàm

số y = f(x) tại điểm A(a; f(a)), HS không huy động được kỹ thuật vẽ theo hệ số góc’’.

Chúng tôi nhận thấy sự cần thiết khi xây dựng một bài toán thực tế dạy học ứng

dụng đạo hàm giúp HS nhận dạng đồ thị hàm số, tìm công thức giải tích cụ thể của

hàm số và thấy được ý nghĩa đạo hàm và tiếp tuyến trong bài toán thực tế.

CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM

3.1. Mục tiêu của chương

Phần thực nghiệm xây dựng các bài toán gắn liền với thực tế được thực hiện trong

môi trường máy tính Casyopée. Thực nghiệm này nhằm dạy học khái niệm đạo hàm

gắn liền với ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống.

3.2. Thực nghiệm

3.2.1. Mục đích thực nghiệm

Chúng tôi kiểm chứng hai giả thuyết

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

Đồng thời, chúng tôi tiến hành xây dựng và triển khai các tình huống yêu cầu tìm

công thức cho đồ thị hàm số bậc ba nhằm giúp HS nhận dạng đồ thị hàm số trong thực

tế, tìm mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến.

3.2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm

Đối tượng thực nghiệm: Chúng tôi sẽ tiến hành nghiên cứu thực nghiệm trong

hai tình huống (tình huống 1 và tình huống 2) đối với các em học sinh lớp 12 sau khi

các em đã học xong chương ứng dụng đạo hàm.

Hình thức thực nghiệm: Các nhóm HS thực hiện bài làm trên giấy bút và trên

công nghệ thông tin có tích hợp phần mềm Casyopée.

3.2.3. Tình huống 1

3.2.3.1. Mục đích tình huống 1

Tình huống 1 cho phép chúng tôi kiểm chứng hai giả thuyết

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

3.2.3.2.Thông báo bài toán thực nghiệm

Bài toán: Có hai ống nước được đặt sẵn, ống 1 đặt song song mặt đất và nằm

bên phải cây trụ nhà, ống 2 đặt trong lòng đất và nằm phía bên trái cây trụ nhà. Biết

rằng cả hai ống đều cách mặt đất 1m, cách cây trụ nhà 1m. Người ta dự định nối hệ

thống hai ống nước đã cho bằng một ống nước xuyên qua cây trụ nhà tại vị trí trụ nhà

vuông góc với mặt đất.

 Phiếu 1

1) Em hãy vẽ hình mô tả bài toán 2 và phác thảo đồ thị mô tả hình dạng của ống

dây cần nối trên giấy A4 đã được kẻ sẵn ô. Biết rằng các đường đơn liền nét biểu thị

cho mặt đất, ống 1, ống 2 và ống dây cần nối.

2) Trong các đồ thị đã được học, em hãy cho biết những dạng đồ thị nào có thể

phác thảo cho đồ thị ống dây nối và nêu công thức tổng quát của chúng. Sau đó, em

hãy lựa chọn công thức tổng quát cho đồ thị ống dây. Giải thích.

3) Em hãy tìm công thức giải tích cụ thể cho đồ thị ống dây nối.

 Phiếu 2

1) Đặt ống dây cần nối là ống 1 là g(x) và ống 2 là h(x). Em hãy vẽ hình

mô tả bài toán 2 trên phần mềm Casyopée. 𝑓(𝑥),

2) Tìm công thức cụ thể của đồ thị ống dây nối và trình bày trên giấy A4.

3.2.3.3. Dàn dựng kịch bản tình huống 1

Thực nghiệm được tiến hành trong thời gian 60 phút bao gồm các hoạt động

được chia thành 3 pha sau đây:

 Pha 1 (Làm việc nhóm – 30 phút)

Giáo viên phát thông báo bài toán, phiếu số 1, một số giấy nháp và giấy đã kẻ

sẵn ô li. Học sinh làm việc nhóm để nghiên cứu nội dung bài toán, đưa ra câu trả lời và

các nhóm cử thành viên lên phát biểu các câu trả lời trước lớp. Sau đó, lớp thảo luận

về câu trả lời trong phiếu số 1.

 Pha 2 (Làm việc nhóm – 30 phút)

Giáo viên phát cho mỗi nhóm phiếu số 2, cung cấp máy tính đã cài đặt sẵn phần

mềm Casyopée, giấy A4, một số giấy nháp và bút. Học sinh thảo luận nhóm cho đáp

án và câu trả lời được trình bày trên giấy A4.

3.2.3.4. Phân tích tiên nghiệm tình huống 1

1. UCác chiến lược và cái có thể quan sát trong các pha

 Pha 1

Mục đích của pha này là kiểm chứng giả thuyết H1, H2.

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

Ở pha này, chúng tôi kiểm chứng H1, H2 thông qua bài thực nghiệm được thực

hiện trong môi trường giấy bút.

 Câu 1

ULời giải có thể quan sát

Chiến lược SRthangR: “Chiến lược đồ thị phác thảo là một đường thẳng”.

ULời giải có thể quan sát

Chiến lược SRcongR: “Chiến lược đồ thị phác thảo là một đường cong”.

 Câu 2

Câu trả lời trong câu 2 tùy thuộc vào chiến lược được lựa chọn ở câu 1.Vì vậy,

chúng tôi lập bảng chiến lược, câu trả lời tương ứng của câu 1 và câu 2 trong bảng sau:

Bảng 3.1. Bảng thống kê các dạng đồ thị có thể có trong câu 2 pha 1

Câu 1 Câu 2 Dạng đồ thị tương ứng

SRthang

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏 (𝑡 ≠ 0)

SRcong

+ 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑 (𝑡 ≠ 0) 𝑦 = 𝑡𝑥

𝑦 = sin (𝑥)

và

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑡 ≠ 0)

𝑦 = −[𝑡𝑥 + 𝑏(−𝑥) + 𝑐](𝑡 ≠ 0)

Câu trả lời mà chúng tôi mong đợi là:

- Đồ thị phác thảo ống dây là một đường cong và có ba dạng đồ thị có thể phác

thảo để mô tả cho đồ thị của ống dây cần nối. Ba dạng đồ thị mà chúng tôi đề

cập thuộc bảng 3.1.

- Lựa chọn công thức tổng quát là đồ thị hàm số bậc ba với những lí do sau:

+ Đồ thị hàm số bậc ba là hàm đa thức, quen thuộc thỏa mãn các yêu cầu của đồ

thị ống dây nối trong bài toán.

+ Đồ thị hàm sin không thỏa mãn vì khi ống dây nối xuyên suốt ta sẽ có sin(1)

= 1 và sin(-1) = -1. Điều này vô lí.

+ Đồ thị hai hàm số bậc hai đối xứng nhau không thỏa mãn vì đề cho biết chỉ

nối hai ống đã cho bằng một ống nước.

 Câu 3

Các chiến lược có thể được đưa ra trong câu 3 của tình huống 2.

Chiến lược SRdiêmR: “Chiến lược tìm điểm không sử dụng đạo hàm”.

Sử dụng chiến lược này HS cố gắng tìm đủ bốn điểm đưa về một hệ phương

trình có bốn phương trình với bốn ẩn a, b, c, d. Giải hệ và tìm các hệ số trong công

thức tổng quát. Trong bài toán, HS tìm được ba điểm (1;1), (-1;-1) và (0;0). Khi đó, HS

ULời giải có thể quan sát

cũng cần tìm thêm một điểm nữa mới đủ hệ bốn phương trình có bốn ẩn.

 ULời giải 1U: (HS sử dụng ba điểm đã có và chọn thêm một điểm trên đồ thị).

1 2�

1 � 2 ;

thuộc đồ thị nên ta có hệ: Bốn điểm A(1;1), B(-1;-1), C(0;0), D

. Vậy f(x) = x.

⇔ �

� a + b + c + d = 1 −a + b − c + d = −1 d = 0 a + 2b + 4c + 8d = 4 𝑡 = 0 𝑏 = 0 𝑐 = 1 𝑑 = 0  ULời giải 2U: (HS sử dụng ba điểm đã có, biến đổi và không tìm được kết quả nên lựa

chọn thêm điểm thứ tư trên đồ thị).

Ba điểm A(1;1), B(-1;-1), C(0;0) thuộc đồ thị nên ta có hệ:

� ⇔ thuộc đồ thị ta có: (**) � Chọn D a + c = 1(∗) b = 0 𝑑 = 0

� Giải hệ gồm (*) và (**), ta được a = 0, c = 1. a + 4c = 4 a + b + c + d = 1 −a + b − c + d = −1 𝑑 = 0 1 1 2� 2 ;

Vậy f(x) = x.

Chiến lược SRdaoham-cuctriR: “Chiến lược dùng tính chất đạo hàm tại điểm cực

trị”.

Với chiến lược này, HS sử dụng ba điểm đã có (1;1), (-1;-1), (0;0) tìm được ba

phương trình và tìm thêm một phương trình nữa bằng cách HS cho rằng hàm số đạt

′

cực trị tại 1 và -1. Sau đó, HS sử dụng tìm được một

ULời giải có thể quan sát

phương trình. HS giải hệ và tìm các hệ số a, b, c, d trong công thức. 𝑓 (1) = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑓 (−1) = 0

A(1;1)

B(-1;-1) ∈ 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑡 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1

′

. Ta có ∈ 𝑓(𝑥) ⇒ −𝑡 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = −1

+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓 (𝑥) = 3𝑡𝑥

′

Vì các điểm A(1;1), B(-1;-1) là các điểm cực trị nên ta có

′

𝑓 (1) = 𝑓 (−1) = 0.

′

(1) = 0 ⇒ 3𝑡 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 𝑓

(−1) = 0 ⇒ 3𝑡 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 𝑓

Ta có hệ:

� ⇒ ⎧𝑡 = − ⎪ 𝑏 = 0 3 𝑐 = 2 Vậy . ⎨ ⎪ ⎩ 𝑑 = 0

Chiến lược SRdaoham-tieptuyenR: “Chiến lược sử dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và 𝑓(𝑥) = − 𝑡 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 −𝑡 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = −1 3𝑡 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 3𝑡 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 3 1 2 𝑥 2 𝑥 +

ULời giải có thể quan sát

đạo hàm”.

A(1;1)

B(-1;-1) ∈ 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑡 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1

′

. Ta có ∈ 𝑓(𝑥) ⇒ −𝑡 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = −1

Vì tại các điểm A(1;1), B(-1;-1) ba đồ thị kết nối thành một đường trơn nên tại đó có + 2𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓 (𝑥) = 3𝑡𝑥

tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (tiếp tuyến chính là y =1 và y = -1).

′

Do đó, .

′

𝑓 (1) = 𝑓 (−1) = 0

′

𝑓 (1) = 0 ⇒ 3𝑡 + 2𝑏 + 𝑐 = 0

𝑓 (−1) = 0 ⇒ 3𝑡 − 2𝑏 + 𝑐 = 0

Ta có hệ:

� ⇒ ⎧𝑡 = − ⎪ 𝑏 = 0 3 𝑐 = 2 . Vậy ⎨ ⎪ ⎩ 𝑑 = 0

ULời giải có thể quan sát

Chiến lược SRdaohammotbenR: “Chiến lược sử dụng đạo hàm một bên”. 𝑡 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 −𝑡 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = −1 3𝑡 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 3𝑡 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 3 1 2 𝑥 2 𝑥 𝑓(𝑥) = − +

A(1;1)

B(-1;-1) ∈ 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑡 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1

′

. Ta có ∈ 𝑓(𝑥) ⇒ −𝑡 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = −1

+ 2𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓 (𝑥) = 3𝑡𝑥

Vì tại các điểm A(1;1), B(-1;-1) ba đồ thị kết nối thành một đường trơn nên tại đó có

đạo hàm. Do đó, đạo hàm trái tại 1 và -1 bằng đạo hàm phải tại đó.

−

′

−

′

Do đó,

′

−

′

) 𝑓 (1 ) 𝑣à 𝑓 ((−1) ) = 𝑓 (1 ′ ) = 𝑓 − ((−1) 𝑓 (1 (1 ) = 𝑓 + ) ⇒ 3𝑡 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 ′ 𝑓 ((−1) ) = 𝑓 ((−1) )) ⇒ 3𝑡 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 1

Ta có hệ:

� ⇒ ⎧𝑡 = − ⎪ 𝑏 = 0 3 𝑐 = 2 . Vậy ⎨ ⎪ ⎩ 𝑑 = 0

 Pha 2 𝑡 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 1 −𝑡 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 = −1 3𝑡 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 3𝑡 − 2𝑏 + 𝑐 = 0 3 1 2 𝑥 2 𝑥 + 𝑓(𝑥) = −

Mục đích của pha 2 là kiểm chứng H1, H2

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

Ở pha này, chúng tôi kiểm chứng H1, H2 thông qua bài toán thực nghiệm được

thực hiện môi trường công nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée. Việc chuyển

từ môi trường giấy bút sang môi trường máy tính nhằm tạo ra những thuận lợi giúp HS

điều chỉnh câu trả lời về công thức cụ thể cho đồ thị biểu diễn ống dây nối.

Cần nói thêm là trước khi tiến hành thực nghiệm chúng tôi sẽ dành ra một tiết

thời gian 45 phút để hướng dẫn HS sử dụng phần mềm Casyopée.

Ở pha này GV cung cấp cho HS Phiếu số 2 và tạo ra những cơ hội thuận lợi

giúp HS nhận ra mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến thông qua việc tìm công thức

giải tích cụ thể cho đồ thị hàm số bậc ba.

 Câu 1 yêu cầu vẽ hình mô tả bài toán, các nhóm HS đều sẽ thực hiện được vì

HS đã được hướng dẫn sử dụng phần mềm Casyopée.

 Câu 2 yêu cầu HS tìm công thức cụ thể của hàm số. Theo chúng tôi, trong

môi trường máy tính có khả năng ở HS sẽ xuất hiện thêm hai chiến lược mới.

Chiến lược SRrechuotR: “Chiến lược rê chuột dịch chuyển tham số”.

HS thực hiện rê chuột điều chỉnh giá trị tham số để ba đồ thị trên máy tính kết

nối thành một đường trơn.

Chiến lược SRbanggiatriR: “Chiến lược bảng giá trị”.

HS sử dụng bảng giá trị trong phần mềm như là một công cụ tìm đủ bốn

phương trình, giải hệ tìm giá trị các hệ số a, b, c.

2. UBiến tình huốngU

- Biến V: Phương thức làm việc

+ Làm việc cá nhân: Tạo tính chủ động, tự giác trong suy nghĩ và tiếp thu tri

thức. Đồng thời khi làm việc cá nhân, chúng tôi có thể thu được nhiều chiến lược từ

HS.

+ Làm việc nhóm: Tăng cường, trao đổi, thảo luận giữa các thành viên trong

nhóm, đặc biệt là bài toán phức tạp cần sự trao đổi để đạt hiệu quả cao hơn.

3. UBiến didactic và ảnh hưởng của biến lên chiến lược

- Biến V5: Số điểm thuộc vào đồ thị ống dây nối

Hai giá trị của biến

+ Cho hai điểm.

+ Cho nhiều hơn hai điểm.

Ở đây chúng tôi chỉ cho hai điểm thuộc vào đồ thị ống dây nối. Với việc hạn chế này

bắt buộc HS phải tìm thêm điểm để nhận được công thức giải tích cụ thể trong trường

hợp đồ thị được phác thảo là một đường cong. Lúc này chỉ có chiến lược SRdaoham-tieptuyenR

và SRdaohammotbenR mới cho HS đáp án chính xác.

- Biến V6: Đối tượng ống dây nối

Hai giá trị của biến

+ Đối tượng ống dây nối của thực tế cuộc sống.

+ Đối tượng ống dây nối mang tính chất minh họa.

Bài toán mà chúng tôi đưa ra là bài toán thực tế trong cuộc sống thường ngày. Ống

nước được nối như trường hợp chúng tôi đưa ra phải là một đường cong. Vì nếu chọn

SRthangR, HS sẽ thấy sự phi thực tế là khi nối bằng ống có hình dạng thẳng, ống rất dễ gãy

và khó nối. Với cách lựa chọn giá trị này, chiến lược SRcong Rsẽ được ưu tiên ở câu 1 của

phiếu số 1.

- Biến V7: Tập xác định và tập giá trị của hàm số cần xác định công thức

Hai giá trị của biến

+ Tập giá trị và tập xác định trong [-1;1].

+ Tập giá trị và tập xác định khác [-1;1].

Với cách cho đồ thị ống dây nối là một đường cong được phác thảo nằm trong đoạn [-

1;1] sẽ có nhiều dạng đồ thị HS đã được học có thể biểu diễn cho đường cong của ống

dây nối. Lúc này, với chiến lược SRcongR, HS sẽ nghĩ đến nhiều công thức tổng quát

tương ứng với các dạng đồ thị có thể biểu diễn cho đồ thị ống dây nối.

- Biến V8: Môi trường làm việc

Hai giá trị của biến

+ Môi trường máy tính.

+ Môi trường giấy bút.

Môi trường giấy bút tạo điều kiện cho HS vận dụng các kiến thức cá nhân để đưa ra

câu trả lời. Môi trường máy tính tạo ra những thuận lợi cho HS điều chỉnh chiến lược

đã đưa ra trong môi trường giấy bút. Đồng thời trong môi trường máy tính sẽ có sự

xuất hiện chiến lược SRrechuotR và SRbanggiatriR.

- Biến V9: Số lượng ống dây nối

Hai giá trị của biến

+ Một ống dây nối.

+ Hai ống dây nối.

Ở đây, chúng tôi chọn số ống dây nối là 1 vì điều này tạo ra sự dễ dàng cho HS và HS

chỉ quan tâm đến hai đầu mút cần nối là tại điểm (1;1) và (-1;-1). Trong trường hợp nối

ống 1 và ống 2 bằng hai ống nối liên tiếp cũng sẽ tạo ra một hệ thống ống nước. Tuy

nhiên, HS lại phải tìm cách để nối điểm tại (0;0), điều này sẽ dẫn đến việc tăng thêm

sự khó khăn cho HS.

- Biến V10: Bậc của hai hàm số cho trước

Hai giá trị của biến

+ Hai hàm số cho trước có bậc 0.

+ Hai hàm số cho trước có bậc khác 0.

Hai hàm số chúng tôi cho trước trong bài toán thực nghiệm là y = 1 và y = -1. Đây là

hai hàm đa thức có bậc 0 hay còn gọi là hàm hằng. Hai đường thẳng y = 1 và y = -1

chính là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số biểu thị cho ống dây nối tại hai điểm (1; 1) và

(-1; -1). Việc lựa chọn giá trị của biến như vậy tạo điều kiện thuận lợi cho HS lựa chọn

chiến lược SRdaoham-tieptuyenR.

- Biến V11: Bậc hàm số cần xác định công thức cụ thể

Hai giá trị của biến

+ Bậc hàm số là 3.

+ Bậc hàm số khác 3.

Công thức Toán phổ thông chủ yếu đề cập đến các hàm số đa thức và chiếm đại đa số

là hàm bậc ba. Vì vậy, chúng tôi chọn hàm đa thức có bậc 3 là hàm số cần xác định

công thức cụ thể vì đây là hàm số quen thuộc và HS có khả năng nhận dạng được đồ

thị của nó. Bài toán chúng tôi đưa ra là bài toán thực tế nên cần có những tính chất

thực tế, chẳng hạn như hình dạng ống dây nối đưa ra cho phép nối dễ dàng với các ống

cho sẵn, khi thực hiện nối xong hệ thống ống nước phải có tính khả thi,...Để đảm bảo

những tính chất thực tế đó thì hàm số bậc ba là một lựa chọn ưu tiên. Ngoài ra, đồ thị

hàm số bậc ba luôn có tiếp tuyến.

3.2.3.5. Phân tích chi tiết kịch bản tình huống 1

 Pha 1

 Đối với câu 1, chúng tôi nghĩ rằng đa số HS sẽ phác thảo đồ thị là một đường

cong vì bài toán mà chúng tôi đưa ra là bài toán thực tế. Ống dây nối trong thực tế phải

cong thì mới bền và không bị gãy đồng thời dễ nối hơn ống thẳng. Nếu có HS phác

thảo đồ thị ống dây nối là một đường thẳng thì sẽ lập tức điều chỉnh lại ngay sau khi

thảo luận với các HS xung quanh.

 Câu 2: Với yêu cầu thực tế như chúng tôi đề cập ở câu 1 thì trong câu 2 HS

sẽ không còn chọn chiến lược SRthangR và đồ thị đường thẳng sẽ không xuất hiện. Chúng

tôi nghĩ rằng đồ thị được HS vẽ nhiều nhất là đồ thị hàm bậc ba với lí do “Đây là đồ

thị quen thuộc” hoặc “đồ thị này được vẽ nhiều trong lớp 12”. Đồ thị kế tiếp cũng có

khả năng xuất hiện là đồ thị hàm sinx với lí do “đồ thị có miền giá trị từ -1 đến 1”. Đối

với đồ thị hàm bậc ba và hàm sin, HS có thể tự nhớ lại các dạng đồ thị và thấy dạng

nào có đồ thị giống với đồ thị đã phác họa thì sẽ lựa chọn. Việc HS nhớ lại hình dạng

đồ thị để vận dụng là hoàn toàn có thể vì trong luận văn của mình tác giả Đỗ Thị Thúy

Vân (2010) đã kiểm chứng được quy tắc hợp đồng “HS phải ghi nhớ hình dạng của đồ

thị hàm số (gắn với một biểu thức giải tích đã học)”.

Với yêu cầu HS phải lựa chọn công thức giải tích chính xác nhất cho đồ thị mô tả ống

dây nối, chúng tôi nghĩ rằng HS sẽ lựa chọn đồ thị hàm số bậc ba là nhiều nhất với lí

do “Đây là đồ thị hàm số quen thuộc”. Nếu chỉ với lí do này thì không đủ mạnh và

không thuyết phục. Đến lúc này, GV cần đặt thêm các câu hỏi giúp HS đưa ra câu trả

lời và cũng nhằm mục đích thể chế hóa.

Các câu hỏi GV đưa ra như sau: “Trên đồ thị có giá trị nào không thỏa mãn đồ thị hàm

sinx?”; “Em hãy đọc kĩ yêu cầu đề bài đã nêu ra?”.

 Câu 3: Chúng tôi nghĩ rằng khi giải bài toán, HS sẽ sử dụng chiến lược SRdiemR

trước tiên và điểm mà HS chọn thêm là điểm có tọa độ ( ). Tuy nhiên, chiến lược 1

1 2 ;

SRdiemR sẽ cho kết quả đồ thị là một đường thẳng và điều này không chính xác đối với đồ

thị là một đường cong đã được thể chế hóa trong câu 1. Lúc này, HS sẽ ngay lập tức

điều chỉnh lại chiến lược. Cần nói thêm là nếu HS tiến hành giải câu 3 theo lời giải 2

trong chiến lược SRdiemR thì khi biến đổi HS sẽ nhận được a +c =1, b = 0, d = 0. Với lời

giải 2 trong chiến lược SRdiemR dù cho kết quả không chính xác nhưng việc biến đổi đã

làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn nghĩa là HS chỉ cần tìm giá trị của a và c thỏa

mãn a + c = 1, còn b và d đã có giá trị là 0.

Chiến lược SRdaoham-cuctri R sẽ cho đáp án đúng vì có một sự trùng hợp là tại 1 và -1

′

. Nhưng không phải vì hàm số có cực trị nên đạo hàm tại 1 và

(1) = 0 (−1) = 0 𝑓

và -1 mới bằng 0. Tại 1 và -1 đồ thị hàm số không đổi dấu nên không thể có cực trị. 𝑓 Khi HS sử dụng chiến lược này, GV sẽ đưa ra các câu hỏi trong phần thể chế hóa giúp

HS nhận ra chiến lược này không đúng. Câu hỏi như sau: "Khi nào một hàm số có cực

trị tại một điểm?”; “Khi cho trước đồ thị một hàm số bằng cách nào ta biết hàm số đó

có cực trị tại một điểm?”.

Hai chiến lược SRdaoham-tieptuyenR, SRdaohammotbenR là hai chiến lược đúng vì tại các

điểm A(1;1), B(-1;-1) ba đồ thị kết nối thành một đường trơn hay nói cách khác tại 1

và -1 đồ thị có tiếp tuyến và tiếp tuyến y =1 và y = -1 song song với trục hoành. Do đó

′

và ta sử dụng kết quả này giải hệ bốn phương trình bốn ẩn tìm

các hệ số. (1) = 𝑓 𝑓 (−1) = 0

Ở pha 1, nếu HS không đưa ra được một trong hai chiến lược SRdaoham-tieptuyenR,

SRdaohammotbenR nghĩa là chúng tôi đã kiểm chứng được giả thuyết đã nêu ra.

 Pha 2: Pha này là bước chuyển quan trọng trong sự hiểu biết của HS về mối liên hệ

giữa tiếp tuyến và đạo hàm.

 Câu 1: HS dễ dàng vẽ hình minh họa cho bài toán trên phần mềm Casyopée

vì trước khi thực hiện pha 2, chúng tôi sẽ dành 1 tiết với thời lượng 45 phút hướng dẫn

HS sử dụng phần mềm Casyopée. HS sẽ được hướng dẫn và thao tác về các vấn đề

+ Vẽ đồ thị của một hàm số bất kì được cho bởi công thức tổng quát có chứa

các tham số.

+ Vẽ đồ thị của một hàm số bất kì trên miền xác định cho trước.

+ Xem và đọc bảng giá trị của một đồ thị hàm số trên phần mềm Casyopée.

+ Tính đạo hàm của một hàm số thông qua phần mềm Casyopée.

+ Rê chuột điều chỉnh giá trị của các tham số của một hàm số.

+ Điều chỉnh bước nhảy của tham số.

 Câu 2: Bài toán thực nghiệm khi đặt trong môi trường công nghệ thông tin

chứa đựng phần mềm Casyopée sẽ xuất hiện thêm hai chiến lược khác SRrechuotR và

SRbanggiatriR.

Theo chúng tôi, chiến lược SRrechuotR dễ dàng xuất hiện ở HS vì hai lí do: Thứ

nhất, phần mềm Casyopée có tính năng cho phép nhập hàm số với công thức tổng quát

và các hệ số sẽ được hiển thị trên thanh tham số. Phần mềm cho phép rê chuột để thay

đổi giá trị của các hệ số trong công thức; Thứ hai, trước khi thực hiện phiếu số 2 HS đã

thực hiện phiếu số 1 trên giấy bút và có khả năng đã tìm được b = d = 0, chỉ còn lại a +

c = 1. Vì vậy, HS sẽ tiến hành rê chuột cho b, d đạt giá trị 0 và sau đó chỉ cần rê chuột

tìm giá trị của a và c sao cho thỏa mãn a + c = 1. Khả năng mà chúng tôi nói đến sẽ

xảy ra khi HS thực hiện lời giải 2 của chiến lược SRdiemR trong phiếu số 1.

Nếu HS sử dụng chiến lược SRbanggiatriR, HS cũng chỉ tìm được ba điểm thuộc đồ

thị là (0;0), (1;1) và (-1;-1) giống như trong môi trường giấy bút và vẫn không tìm

được các hệ số a, c.

Nếu có nhóm HS sử dụng chiến lược SRrechuotR và SRbanggiatriR mà không nhận được kết quả

đúng thì GV sẽ đặt các câu hỏi và nêu các yêu cầu để HS nhận ra ý nghĩa của tiếp

tuyến và đạo hàm.

Hệ thống các câu hỏi và các yêu cầu như sau: (Hệ thống câu hỏi có thể được điều

chỉnh tùy theo câu trả lời của HS).

+ Trong thực tế, ống nước cần nối theo em phải thỏa điều kiện gì thì hệ thống

ống nước mới chảy xuyên suốt (không bị gỉ nước)?

+ Quan sát đồ thị tại hai điểm cần nối và em hãy nêu nhận xét về đồ thị tại hai

điểm đó?

+ Khi nào tại 1 và -1 đồ thị tạo thành một đường trơn?

Trường hợp HS sử dụng chiến lược SRrechuotR cho đồ thị chính xác, GV sẽ đặt các câu hỏi

và các yêu cầu cho HS:

+ Trong trường hợp không có máy tính thì em làm thế nào?

+ Hãy tính đạo hàm của hàm số f(x)?

+ Em hãy dựa vào bảng giá trị và nhận xét sự đặc biệt của các điểm trong bảng

giá trị?

+ Tại sao f‘(1)=0, f‘(-1)=0? Quan sát đồ thị tại 1 và -1, em thấy đồ thị có gì

đặc biệt?

Sau khi tính đạo hàm của hàm số f(x), bảng giá trị nhận được như sau:

′

Từ bảng giá trị này, học sinh sẽ có

à 𝑓 (1) = 0, 𝑓 (−1) = 𝑓

𝑓(1) = 1

. Như vậy, HS nhận được tối đa là hệ gồm 5 phương trình và hiển (0) = 1,5, 𝑓(−1) = nhiên sẽ tìm được bốn ẩn a, b, c, d. Tuy nhiên, trong trường hợp không có máy tính, −1 𝑣 HS không thể phụ thuộc vào bảng giá trị của phần mềm Casyopée và việc lấy những

điểm tự đưa ra sẽ có khả năng chính xác không cao. Điều này dẫn đến HS phải tìm

cách tối ưu nhất để trả lời, đồng thời chỉ dựa vào hai điểm (1;1), (-1;-1) vì các điểm

này đã cho được cho trước. Và cách tối ưu nhất có thể trả lời cho bài toán là HS nhận

ra ý nghĩa giữa đạo hàm và tiếp tuyến để chuyển đổi các chiến lược sai sang chiến lược

SRdaoham-tieptuyenR hoặc SRdaohammotbenR. Nếu có nhóm HS trả lời rằng “Tại 1 và -1 đồ thị có

′

tiếp tuyến song song với trục hoành nên hoặc áp dụng chiến

(−1) = 0" (1) = 𝑓

lược SRđaoham-tieptuyenR, SRdaohammotbenR để tìm a, c thì xem như HS đã nhận ra được ý nghĩa 𝑓 giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong bài toán thực tế này. Còn ngược lại vẫn không có

nhóm nào lựa chọn SRdaoham-tieptuyenR và SRdaohammotbenR thì chứng tỏ một lần nữa giả thuyết

chúng tôi nêu ra là hoàn toàn đúng.

3.2.3.6. Phân tích hậu nghiệm tình huống 1

Thực nghiệm được triển khai tại lớp 12A3 trường THPT Lý Thái Tổ vào

khoảng cuối tháng 9 với sĩ số lớp là 23 HS được chia thành 5 nhóm (4 nhóm mỗi

nhóm 5 HS và 1 nhóm có 3 HS). Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sau khi HS đã học

xong chương I của Giải tích 12. Dữ liệu chúng tôi thu được gồm phiếu bài làm, file ghi

âm và một số giấy nháp của HS.

 Pha 1: Trong pha này, chúng tôi đưa ra bài toán thực tế nhằm xem xét HS có

thấy được ý nghĩa của đạo hàm và tiếp tuyến trong bài toán thực tế hay không?.

 Câu 1

Với việc đưa ra bài toán trong thực tế khá gần gũi với HS, câu trả lời của các

nhóm trong câu 1 không nằm ngoài dự đoán của chúng tôi.

Sau đây là bảng thống kê các chiến lược được các nhóm lựa chọn trả lời câu 1

Bảng 3.2. Bảng thống kê các chiến lược của nhóm HS trong câu 1 pha 1

Chiến lược khác Không trả lời SRthang SRcong

0/5 5/5 0/5 0/5

Trong bảng 3.2 có 5/5 nhóm HS chọn chiến lược SRcongR để trả lời câu 1 của

phiếu số 1 và 0/5 nhóm HS lựa chọn chiến lược SRthangR. Thực tế, trong quá trình HS

thảo luận chúng tôi phát hiện nhóm 1 có một vài HS đưa ra ý kiến chọn chiến lược

SRthangR nhưng sau khi thảo luận với các thành viên trong nhóm thì cả nhóm đã quyết

khăn và nếu nối được thì nó rất dễ gãy. Do đó ống dây nối cong sẽ là lựa chọn thích hợp

nhất’’.

định chọn chiến lược SRcongR với lý do “Ống dây nối thẳng sẽ làm cho việc nối trở nên khó

Trích dẫn bài làm của nhóm 1 (Sử dụng chiến lược SRcongR)

Trích dẫn bài làm của nhóm 2 (Sử dụng chiến lược SRcongR)

Trong số bài làm của mình, tất cả các nhóm HS đều chọn khoảng cách so với

trục nằm ngang và trục thẳng đứng bằng nhau mà không bị gò bó theo quy cách 1 ô li

thì phải tương ứng với 1m. Điều này tạo thuận lợi khi các nhóm HS nhìn nhận đồ thị

trên phần mềm Casyopée. Đặc biệt, trong phần trích dẫn bài làm của nhóm 2 ở trên,

chúng tôi nhận thấy nhóm này đã lựa chọn việc nối hai ống dây liên tiếp để nối ống 1

và ống 2.

 Câu 2

Đối với câu 2 của phiếu số 1, chúng tôi thu các kết quả được thống kê trong

bảng sau:

Bảng 3.3. Bảng thống kê các chiến lược của nhóm HS trong câu 2 pha 1

Các Chiến Không chiến lược SRthang SRcong trả lời lược khác

Hai hàm Nhiều Hàm Hàm Hàm Dạng bậc hai hơn một bậc nhất bậc ba sin đồ thị đối xứng hàm

0/5 5/5 1/5 0/5 1/5 0/5 0/5 Tỉ lệ

Qua bảng thống kê, chúng tôi nhận thấy có 5/5 nhóm HS đưa ra câu trả lời cho

trường hợp SRcongR là đồ thị hàm số bậc ba và có 1/5 nhóm HS đưa ra hai câu trả lời là đồ

thị hàm số bậc ba và hàm sin. Như vậy tỉ lệ HS đưa ra một dạng đồ thị trong Toán học

tương ứng với một đường cong trong thực tế là khá nhiều và câu giải thích được các

một công thức” . Như vậy, HS có khả năng nhận dạng công thức của các hàm số quen

em đưa ra là: “Hàm số bậc ba em được làm bài tập và vẽ nhiều”,“Mỗi đường cong thì chỉ có

thuộc đã được học.

Trích dẫn bài làm của nhóm 2 (Sử dụng chiến lược SRcong Rvà công thức tổng quát là

hàm bậc ba).

Trích dẫn bài làm của nhóm 4 (Sử dụng chiến lược SRcongR và công thức tổng quát là

hàm bậc ba và hàm sin)

Công thức các nhóm HS lựa chọn cho ống dây nối và lí do các nhóm đưa ra như sau:

Nhóm Lí do

bậc ba giống với đồ thị ống dây nối”.

“Chỉ nhớ và vẽ được một đồ thị hàm số Nhóm 1: Công thức tổng quát

. 𝑦 =

𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

như ống dây nối”.

Nhóm 2: Công thức tổng quát là “Hàm số bậc ba quen thuộc và uốn cong

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

hàm nhất biến, em chỉ thấy có hàm bậc ba

là uốn cong giống ống dây nối”.

Nhóm 3: Công thức tổng quát là “Em vẽ đồ thị hàm bậc ba, bậc bốn, đồ thị

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

là công thức cụ thể trong câu 3. Do đó

Nhóm 4: Công thức tổng quát được chọn “Hàm này có công thức tổng quát và cũng

không cần tìm nữa”

là hàm y = sin x

nếu ta vẽ nó từ -1 đến 1”.

Nhóm 5: Công thức tổng quát được chọn “Hàm này có đồ thị y chang ống dây nối

là

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑.

Như vậy, tất cả các nhóm đều chọn hàm số bậc ba vì nó quen thuộc và đồ thị

giống dạng đồ thị ống dây nối. Trong đó có nhóm 4 đặc biệt được chúng tôi lưu tâm.

vì cả hai hàm lấy từ -1 đến 1

Nhóm này đã vẽ hai đồ thị hàm bậc ba, một đồ thị hàm sin và chọn cả hàm bậc ba và

3 đều giống ống nước”. Nhưng sau đó GV yêu cầu chọn công thức chính xác nhất thì

= 𝑡𝑥

+ 𝑏𝑥

+ 𝑐𝑥 + 𝑑

hàm sin “Nhóm em chọn y = sin x và y

cũng là công thức cụ thể trong câu 3. Do đó không cần tìm nữa”. Như vậy HS để ý đến

nhóm đã thống nhất chọn hàm số y = sin x với lí do “Hàm này có công thức tổng quát và

hình dạng giống ống dây nối mà không để ý đến điều kiện và dữ liệu đề cho.

GV yêu cầu nhóm 2 đưa hình vẽ cho các nhóm khác xem và sau đó GV hợp

thức hóa lại câu trả lời của các nhóm trong câu 1 và câu 2 thông qua đoạn đối thoại

“GV: Bạn nào cho cô ý kiến về hình vẽ của nhóm 2?

HS: Thưa cô, theo em nhóm 2 chưa chính xác, không chọn hàm sin được vì sin(1)

không thể bằng 1 và sin(-1) không thể bằng -1 được ạ.

GV: Cảm ơn em. Cả lớp nhất trí không?

HS: (Cả lớp) Nhất trí.

GV: Như vậy, đối với bài toán này chúng ta chỉ vẽ một ống nước để nối ống 1 và ống

2. Trong câu 2, công thức tổng quát chính xác nhất cho đồ thị mô tả ống dây nối là

công thức hàm bậc ba

𝑦 = 𝑡𝑥

+ 𝑏𝑥

+ 𝑐𝑥 + 𝑑".

 Câu 3

Mục đích của pha này là xem xét việc tìm ý nghĩa giữa đạo hàm và tiếp tuyến

thông qua vấn đề nhận dạng đồ thị có tồn tại trong mối quan hệ cá nhân của HS hay

không? Và câu trả lời mà chúng tôi nhận được là 5/5 nhóm đưa ra chiến lược SRdiêm R và

không có nhóm nào chọn chiến lược SRdaoham-tieptuyenR hoặc SRdaohammotbenR.

Trích dẫn bài làm của nhóm 2 (Sử dụng chiến lược SRdiemR)

Trích dẫn bài làm của nhóm 4 (Sử dụng chiến lược SRdiemR)

Trong số 5 nhóm sử dụng SRdiem R có nhóm 4 và nhóm 5 đầu tiên biến đổi hệ ba

phương trình tìm được từ các điểm (0;0), (1;1) và (-1;-1) nhưng không tìm được kết

1 2�.

1 � 2 ;

quả, sau đó mới đi đến việc lựa chọn thêm điểm Ba nhóm còn lại (nhóm 1,

ngay từ đầu. Trong bài làm của nhóm 4, nhóm nhóm 2, nhóm 3) lựa chọn điểm

1 2�

1 � 2 ;

5, chúng tôi nhận thấy hai nhóm này đã biến đổi được a + c = 1, b = 0, d = 0. Như

vậy, với việc biến đổi này thì bài toán 2 chỉ cần tìm a, c sẽ có được công thức giải tích

cụ thể của đồ thị hàm số biểu thị ống dây nối.

Tóm lại, các nhóm HS đều lựa chọn bốn điểm để tìm hệ bốn phương trình. Tuy

nhiên, sau khi đưa ra đáp án các nhóm đều nhận thấy sự không trùng khớp giữa đường

cong ở câu 1 và đường thẳng trong kết quả. Điều này thể hiện qua phần đối thoại của

“.............................

HS1: Không đúng rồi!.

nhóm 2.

HS2: Ban đầu ống nước là đường cong, sao giờ lại ra đường thẳng.

HS: (cả nhóm) Umh (gật đầu đồng tình).

HS3: Có lẽ mình chọn điểm không đúng rồi.

HS4: Nhưng điểm này là đúng nhất rồi đâu còn điểm nào khác đâu.

HS: (cả nhóm) Umh (gật đầu đồng tình).

................”

Như vậy, đối với HS việc yêu cầu tìm công thức giải tích là đi tìm đủ các điểm

thuộc đồ thị và thay vào công thức giải tích. Học sinh không quan tâm đến dữ liệu thực

tế là đầu mút của các ống nước phải nối với nhau tạo thành một hệ thống ống nước

xuyên suốt.

Sau thời gian quy định, chúng tôi thu giấy A4 có bài làm của các nhóm và câu

trả lời nhận được đều là tìm được bằng cách chọn điểm theo lời giải quan sát

được mà chúng tôi dự kiến trong chiến lược SRdiemR . Mặc dầu đồ thị là một đường cong 𝑓(𝑥) = 𝑥

trong câu 1 đã tạo một môi trường phản hồi giúp HS nhận ra rằng cần phải điều chỉnh

chiến lược nhưng vẫn không có nhóm nào đưa ra chiến lược đúng.

Như vậy, chúng tôi đã kiểm chứng được hai giả thuyết

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

 Pha 2: Pha này chúng tôi sử dụng công nghệ thông tin có tích hợp phần mềm

Casyopée nhằm tạo môi trường thuận lợi giúp HS điều chỉnh câu trả lời về công thức

cụ thể cho đồ thị biểu diễn ống dây nối. Chúng tôi chọn phần mềm Casyopeé vì phần

mềm này cho phép vẽ đồ thị của một hàm số gắn với tham số. Phần mềm Casyopée

cho phép HS vẽ công thức tổng quát của một hàm số và giá trị các tham số trong công

thức có thể thay đổi được bằng cách rê chuột.

Ở pha này chúng tôi cũng tiến hành thực nghiệm trên lớp 12A3 của trường

THPT Lý Thái Tổ với sĩ số là 23 HS. Lớp được chia thành 5 nhóm (4 nhóm mỗi nhóm

5 HS và 1 nhóm có 3 HS).

Trước khi thực hiện thực nghiệm, chúng tôi đã dành 1 tiết với thời lượng 45

phút để hướng dẫn HS sử dụng phần mềm Casyopée. HS đã được hướng dẫn và thao

tác về các vấn đề sau:

+ Vẽ đồ thị của một hàm số bất kì được cho bởi công thức tổng quát có chứa

các tham số.

+ Vẽ đồ thị của một hàm số bất kì trên miền xác định cho trước.

+ Xem và đọc bảng giá trị của một đồ thị hàm số trên phần mềm Casyopée.

+ Tính đạo hàm của một hàm số thông qua phần mềm Casyopée.

+ Rê chuột điều chỉnh giá trị của các tham số của một hàm số.

+ Điều chỉnh bước nhảy của tham số.

 Câu 1

GV đã hướng dẫn sử dụng phần mềm nên các nhóm đều thực hiện được các yêu

cầu trong câu 1 của phiếu 1. Mỗi nhóm vẽ hình cho những tham số khác nhau nên hình

cũng khác nhau.

Minh họa cho hình vẽ của hai nhóm HS trong câu 1 như sau:

Nhóm 1

Nhóm 4

Đây là hình vẽ của nhóm 1 khi chưa điều chỉnh b= d = 0 và nhóm 4 khi đã điều

chỉnh b = d = 0.

 UCâu 2

Câu này được thực hiện nhằm giúp HS nhận dạng đồ thị tìm ý nghĩa giữa đạo

hàm và tiếp tuyến thông qua câu hỏi tìm công thức cụ thể của đồ thị hàm số bậc ba.

Không ngoài dự đoán của chúng tôi, sau khi thực hiện xong câu 1, cả 5 nhóm HS đều

dựa vào bảng giá trị của phần mềm Casyopée để tìm điểm. Tuy nhiên, chiến lược

SRbanggiatriR lại không cho kết quả mong muốn vì trong bảng giá trị các nhóm cũng chỉ

nhận được ba điểm (1; 1), (-1; -1) và (0; 0). Sau đó các nhóm chọn SRrechuotR để tiến hành

tìm các tham số.

Chúng tôi nhận thấy rằng:

+ Nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3 thực hiện rê đủ các hệ số a, b, c, d.

+ Nhóm 4, nhóm 5 đầu tiên rê chuột sao cho b = d = 0 sau đó chỉ tiến hành rê

chuột tìm giá trị của a và c sao cho a + c = 1. Đặc biệt cả hai nhóm này ban đầu

rê chuột với bước nhảy của hệ số là 1 sau đó lại chuyển bước nhảy của hệ số từ

1 thành ½.

Cùng sử dụng chiến lược SRrechuotR nhưng có sự khác biệt giữa các nhóm. Điều

này khá dễ hiểu bởi vì có sự khác biệt giữa các nhóm về việc thực hiện chiến lược

SRdiemR trong pha 1. Trong pha 1, nhóm 1, nhóm 2, nhóm 3 chọn điểm mà không biến đổi

còn nhóm 4, nhóm 5 biến đổi tìm được a + c = 1, b = 0, d = 0 sau đó mới đi chọn điểm.

Những kết quả mà nhóm 4, nhóm 5 nhận được trong pha 1 đã tạo thuận lợi cho hai

nhóm này khi thực hiện chiến lược SRrechuotR trong pha 2.

Đối với việc chuyển bước nhảy của hệ số từ 1 sang ½, GV đã đặt câu hỏi cho nhóm 4

và nhóm 5 và nhận được câu trả lời như sau:

“GV: Tại sao em lại chuyển bước nhảy của tham số từ 1 thành ½?

Nhóm 4: Thưa cô, em kéo cho a = 1 thì c = 0 vì a+c=1, cho a = 2 thì c = -1 mà em

cho hoài em thấy nó không gần lại hai ống dây kia nên em chuyển thành ½.

Nhóm 5: Thưa cô, a + c = 1 nên em nghĩ phân số cộng lại sẽ ra 1”.

Cả hai nhóm thực hiện rê chuột cho a và c với bước nhảy là ½ nhưng vẫn không

nhận được câu trả lời mong muốn và với cách này tốn khá nhiều thời gian.

Đến lúc này, GV sử dụng hình vẽ của nhóm 4 và đưa ra câu hỏi hướng dẫn:

. 5

và 3

−

𝑐 =

“GV: Các nhóm hãy chọn hệ số giống như nhóm 4. Cho b = d = 0, a =

HS: (Lớp xôn xao) Gần được rồi nè!

GV: Đồ thị của nhóm 4 đã tạo thành một hệ thống ống nước mà ta mong muốn chưa

cả lớp?

HS: Chưa ạ!

GV: Tại sao?

HS: Thưa cô, tại hai đầu mút nó bị gãy rồi ạ!

GV: Trong thực tế, đồ thị ống nước cần nối theo em phải thỏa điều kiện gì thì hệ

thống ống nước mới chảy xuyên suốt (không bị gỉ nước)?

HS: Thưa cô, đầu nối phải là đường trơn, không gồ ghề.

GV: Cả lớp ai có ý kiến gì không?

HS: Thưa cô, đúng ạ!

GV: Đường trơn nghĩa là sao em?

HS: Thưa cô, đường trơn có nghĩa là hai đồ thị dính chặt nhau tại 1 và -1 ạ.

GV: Nói rõ hơn được không em? Ai có thể nói rõ hơn nào?

HS: Thưa cô, đồ thị tiếp xúc nhau tại 1 điểm ạ.

GV: Tiếp xúc nhau tại 1 điểm nghĩa là gì em?

HS: Nghĩa là hai đồ thị có một điểm chung ạ.

GV: Trong bài này hai đồ thị nào có điểm chung vậy em?

HS: Thưa cô, f(x) và g(x) có điểm chung là x = 1, f(x) và h(x) có điểm chung là x= -1

ạ.

GV: Sử dụng điểm chung như vậy có tìm được hệ số a và c không các em?

HS: Suy nghĩ.....

HS: Thưa cô, tụi em đã thế điểm chung vào rồi và không tìm thêm được gì ạ.

GV: Cả lớp hãy rê chuột cho

xem đồ thị thay đổi như thế nào?”. 3

𝑐 =

Đồ thị mới ứng với sau:

𝑡 = − , 𝟏

𝟐

𝟑 𝟐 𝒏𝒏ư

𝒂 = − 𝒄 =

“HS: Lúc này đồ thị là một đường trơn và đã trở thành hệ thống ống nước hoàn chỉnh

rồi ạ.

GV: Chúng ta có cách nào tìm

từ chỗ đường trơn mà các em nói

, 1

không?

𝑡 = −

𝑐 =

3 2

HS: (Suy nghĩ và thảo luận trong 5 phút)

......................................................

HS: Thưa cô, chúng em không biết ạ!

GV: Lúc này đồ thị hàm f , g và f, h có điểm chung giống như các em nói khi nãy

không?

HS: Thưa cô, cũng có điểm chung giống khi nãy ạ.

GV: Ttrường hợp

, 1

đồ thị có điểm chung và trường hợp với hệ số của 3

nhóm 4 đưa ra cũng có điểm chung. Vậy tại sao trường hợp nhóm 4 không phải là hệ

𝑡 = −

𝑐 =

thống ống nước, còn trường hợp kia lại là hệ thống ống nước.

HS: (Suy nghĩ)..................”

Sau khi gợi ý các câu hỏi, các nhóm HS vẫn không tìm được câu trả lời.

“GV: Cảm ơn các em, chúng ta sẽ chuyển sang tình huống số 2 và sau đó chúng ta

quay lại bài toán 2 nhé”.

Thông qua đoạn đối thoại trên, chúng tôi nhận thấy HS đã có khái niệm về

“đường trơn”, “gãy”, nhưng chỉ nhìn nhận về “trực giác” như chúng tôi phân tích trong

phần thể chế. Đặc biệt trong đoạn đối thoại trên xuất hiện khái niệm “tiếp xúc” theo

quan niệm “có một điểm chung” mà HS được học ở bậc THCS. Điều này chứng tỏ HS

và đường thẳng”.

vẫn chưa phân biệt khái niệm “tiếp xúc của hai đường cong” và “tiếp xúc giữa đường tròn

Như vậy, ở pha 2 mặc dầu sử dụng công nghệ thông tin tích hợp phần mềm

Casyopée giúp HS có một cái nhìn trực quan về “đường trơn”, “gãy” giúp HS nhận ra

mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến nhưng HS vẫn gặp nhiều khó khăn khi tìm câu

trả lời. Điều này khẳng định giả thuyết H1, H2 chúng tôi nêu ở phần phân tích thể chế

là hoàn toàn đúng đắn.

3.2.4. Tình huống 2

3.2.4.1. Mục đích tình huống 2

Mục đích tình huống 2 là nhắc lại cho HS tính chất liên hệ giữa hệ số góc của

tiếp tuyến và đạo hàm tại xR0R trong SGK để HS quay về tìm câu trả lời cho công thức

của đồ thị ống dây nối trong bài toán thực nghiệm ở tình huống 1. Từ đó giúp HS thấy

được ứng dụng của ý nghĩa tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế.

3.2.4.2. Nội dung tình huống 2

GV phát phiếu số 3 cho mỗi nhóm HS với nội dung như sau:

UCâu 1)U Hình 1 là đồ thị hàm số y = f(x)

PHIẾU 3

trên khoảng (a;b). Dựa vào hình vẽ, em

hãy nêu nhận xét về dấu của

′

𝑓

(𝑥3) (𝑥1), 𝑓 (𝑥2) 𝑣à 𝑓

UCâu 2)U Hình 2 là đồ thị hàm số y = f(x)

Hình 1

xác định trên (a;b). Dựa vào hình vẽ, em

hãy cho biết tại mỗi điểm xR1R, xR2R, xR3R, xR4R

hàm số có đạo hàm không? Tính đạo

hàm nếu có. Hình 2

3.2.4.3. Phân tích tiên nghiệm tình huống 2

1. UCác chiến lược và câu trả lời mong đợi.

 Các chiến lược

Chiến lược SRtieptuyenR: Chiến lược tiếp tuyến.

Nếu “nhìn thấy” trên hình vẽ tại đó mà đồ thị hàm số có tiếp tuyến thì có đạo hàm và

không có tiếp tuyến thì không có đạo hàm.

Chiến lược SRgay-dutR: Chiến lược đồ thị gãy, đứt.

Nếu “nhìn thấy” trên hình vẽ mà tại đó bị “gãy” hoặc “đứt” thì thì hàm số không có

đạo hàm và đồ thị liền nét thì sẽ có đạo hàm.

 Câu trả lời mong đợi

Câu 1)

+ Tại MR1R có tiếp tuyến và tiếp tuyến “đi xuống” từ trái sang phải nên hệ số góc

′

là một số âm. Suy ra

+ Tại MR2R có tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc 𝑓

′

bằng 0. Suy ra, (𝑥1) < 0.

+ Tại MR3R có tiếp tuyến và tiếp tuyến là đường thẳng “đi lên” từ trái sang phải 𝑓 (𝑥2) = 0.

′

nên hệ số góc của tiếp tuyến là một số dương và ) > 0

Câu 2) 𝑓 (𝑥3

+ Hàm số không có đạo hàm tại xR1 Rvì tại đó đồ thị bị đứt.

+ Hàm số không có đạo hàm tại xR2R vì tại đó đồ thị bị gãy.

′

+ Hàm số có đạo hàm tại xR4R và vì tại MR4R đồ thị hàm số có tiếp tuyến

𝑓 và tiếp tuyến này song song với trục hoành. (𝑥4) = 0

Hai bài toán trong câu 1 và câu 2 chính là hai bài toán thuộc GKNC11 [9, tr.195]. Câu

trả lời mà chúng tôi mong đợi cũng chính là câu trả lời mà chương trình và SGK mong

đợi ở HS.

2. UBiến

- Biến V12: Đồ thị hàm số

Hai giá trị của biến

+ Cho đồ thị hàm số.

+ Không cho đồ thị hàm số.

Nếu chọn giá trị cho đồ thị hàm số thì sẽ tạo điều kiện cho chiến lược SRtieptuyenR và SRgayR

xuất hiện. Nếu không cho đồ thị thì phải cho công thức và khi xét xem tại một vị trí có

đạo hàm hay không phải sử dụng công thức đạo hàm một bên và công thức này HS

không được học.

- Biến V13: Hình dáng đồ thị tại điểm yêu cầu tính giá trị đạo hàm.

Hai giá trị của biến

+ Đồ thị có hình dáng bị gãy.

+ Đồ thị có hình dáng không bị gãy.

Nếu cho đồ thị bị gãy tại xR0R thì hàm số không có đạo hàm và chiến lược SRgay Rxuất hiện.

Nếu cho đồ thị không bị gãy tại xR0R thì hàm số có đạo hàm tại đó và chiến lược SRtieptuyenR

xuất hiện.

3.2.4.4. Phân tích hậu nghiệm tình huống 2

Thực nghiệm được triển khai tại lớp 12A3 trường THPT Lý Thái Tổ vào

khoảng cuối tháng 9 với sĩ số lớp là 23 HS được chia thành 5 nhóm (4 nhóm mỗi

nhóm 5 HS và 1 nhóm có 3 HS). Chúng tôi tiến hành thực nghiệm sau khi HS đã học

xong chương I của Giải tích 12. Chúng tôi thực nghiệm trong 30 phút và dữ liệu chúng

tôi thu được gồm phiếu bài làm, file ghi âm và một số giấy nháp của HS.

Chúng tôi thống kê và nhận thấy 5/5 nhóm đều đưa ra câu trả lời theo quan niệm

“gãy”, “gấp khúc”, “đồ thị có tiếp tuyến” cho câu trả lời ở câu 1 và câu 2.

Trích dẫn bài làm của nhóm 2 và nhóm 5

Nhóm 2

Nhóm 5

Như vậy, bài toán trong SGK thì các nhóm HS phát hiện ra đồ thị “gãy”, “gấp

khúc”, “đồ thị có tiếp tuyến” nhưng ở bài toán trong thực tế thì HS không hề nhận ra

được điều này.

Sau phần trả lời của HS trong tình huống số 2, GV đặt câu hỏi cho các nhóm

HS “Lí do tại sao trong tình huống 1 kết quả là , 1 ?”. Kết quả chúng tôi 3

nhận được 2/5 nhóm đã cho câu trả lời chính xác. 𝑡 = − 𝑐 =

′

“Nhóm 2 và nhóm 3: Ta có thêm một phương trình từ

GV: Tại sao các nhóm lại cho

𝑓

(1) = 𝑓

(−1) = 0

′

Nhóm 2: Tại vì g và h là hàm hằng nên

. Nối ống nước thì

(1) = 𝑓

(−1) = 0

𝑓

′

phải trơn tại 1 và -1 suy ra tại 1 và -1 có tiếp tuyến và tiếp tuyến cũng là h và g vì h, g 𝑔

(𝑥) = 0 𝑣à ℎ

(𝑥) = 0

là đường thẳng. Do đó

tại 1 và -1.

′

Nhóm 3: Nhóm em thấy ống nước muốn nối thì phải trơn tại 1 và -1. Khi đó tại 1 và -

𝑓

= 0

1 có tiếp tuyến mà tiếp tuyến của h và của g có hệ số góc bằng 0 nên

′

𝑓

′

(1) = Như vậy, các nhóm HS đã thấy được ý nghĩa giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong 𝑓

(−1) = 0

”.

bài toán thực tế và phần nào hiểu được ý nghĩa của khái niệm “đường trơn” nghĩa là

tại đó đồ thị có tiếp tuyến và khái niệm “đồ thị gãy” nghĩa là đồ thị tại đó không có tiếp

tuyến. Trong số đó có nhóm 2 đã quan tâm đến khái niệm “đạo hàm một bên” tuy nhiên

chưa trình bày chính xác.

3.2.5. Kết luận thực nghiệm

 Thông qua hai tình huống (tình huống 1 thực hiện trong môi trường giấy bút và

tình huống 2 thực hiện trong môi trường công nghệ thông tin tích hợp phần mềm

Casyopée) của thực nghiệm chúng tôi đã kiểm tra được tính đúng đắn của hai giả

thuyết:

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

Đồng thời, chúng tôi đã đưa ra tình huống thực tế giúp HS nhận ra ứng dụng của

mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế.

 UChúng tôi cũng rút ra một số kết luận sauU:

- HS có sự nhầm lẫn giữa “tiếp xúc của hai đường cong” và “tiếp xúc của đường tròn

và một đường thẳng”.

- Khái niệm “đồ thị gãy” hay “đồ thị là một đường trơn” hình thành ở HS theo cách

nhìn nhận về “trực giác” bằng đồ thị.

- Trong môi trường giấy bút

+ Môi trường giấy bút tạo điều kiện cho HS vận dụng các kiến thức cá nhân để

đưa ra câu trả lời.

+ Khi cho trước đồ thị và yêu cầu tìm công thức giải tích cụ thể của hàm số bậc

ba thì kĩ thuật tìm điểm thỏa mãn hình vẽ của đồ thị ảnh hưởng nhiều đến HS.

+ Khi hàm số được cho công thức tổng quát, các hệ số trong môi trường giấy

bút được vẽ cố định, HS không thể nhận xét sự thay đổi của đồ thị khi các hệ số thay

đổi. Chính vì vậy, HS không có nhiều cơ hội để tiếp cận với khái niệm “tiếp xúc của

hai đường cong” và sử dụng ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm để tìm công thức giải

tích cụ thể cho đồ thị hàm số bậc ba.

- Trong môi trường công nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée.

+ Đồ thị mang tính trực quan.

+ Công thức tổng quát vẽ trong môi trường này dễ dàng, HS có thể rê chuột

thay đổi giá trị của các hệ số. Việc rê chuột giúp HS nhận ra sự thay đổi của đồ thị và

dẫn đến khái niệm “tiếp xúc”. Tuy nhiên, vì HS nhầm lẫn giữa “tiếp xúc giữa hai

đường cong” và “tiếp xúc giữa đường tròn và một đường thẳng” nên khái niệm “tiếp

xúc của hai đường cong” vẫn chưa được HS làm rõ ý nghĩa của nó.

+ Môi trường công nghệ thông tin tạo ra cơ hội giúp HS nhận ra sự khác biệt

giữa hai đồ thị “có một điểm chung” và hai đồ thị “có một điểm chung là tiếp điểm”.

Sự khác biệt ở đây là: Hai đồ thị “có một điểm chung” khi điểm đó thỏa mãn công thức

giải tích của hai đồ thị, tại điểm chung đó đồ thị có thể “trơn” hay “gãy”. Hai đồ thị

“có một điểm chung là tiếp điểm” khi chúng có chung tiếp tuyến và đồ thị “trơn” tại

điểm chung đó.

- Từ việc so sánh những thuận lợi và khó khăn khi thực nghiệm bài toán 2 trong môi

trường giấy bút và môi trường công nghệ thông tin tích hợp phần mềm Casyopée ở

trên, chúng tôi có thể kết luận rằng việc sử dụng phần mềm Casyopée đã tạo ra môi

trường thuận lợi cho HS tiếp cận ý nghĩa của đạo hàm và tiếp tuyến trong bài toán thực

tế mà môi trường giấy bút không thể tạo ra được.

3.3. Kết luận chương 3

 Trong chương 3, chúng tôi rút ra một số kết luận sau:

- Tiếp tuyến tồn tại trong mối quan hệ cá nhân của HS theo hai vấn đề: Thứ nhất là

“viết phương trình tiếp tuyến”; thứ hai là định nghĩa “tiếp xúc” của tiếp tuyến. Còn vấn

đề vẽ tiếp tuyến khá mờ nhạt với HS đặc biệt là vẽ tiếp tuyến theo hệ số góc.

- HS đưa ra một dạng đồ thị trong Toán học tương ứng với một đường cong trong

thực tế là khá nhiều. HS chỉ để ý đến hình dạng đường cong trong thực tế rồi đưa ra

công thức tổng quát Toán học cho đường cong đó mà không để ý đến các yếu tố ràng

buộc của đường cong.

- Trong hệ trục Oxy, HS đều chọn khoảng cách so với trục nằm ngang và trục

thẳng đứng bằng nhau mà không bị gò bó theo quy cách 1 ô li thì phải tương ứng với

1mét.

- Đối với các bài toán cho trước đồ thị mà trên đó có vẽ tiếp tuyến tại “điểm trơn”

hoặc yếu tố tiếp tuyến được phát biểu thành lời thì HS nhận ra được ý nghĩa tiếp tuyến

và đạo hàm hay nói cách khác HS phát hiện được vị trí “gãy”, “gấp khúc”, “có tiếp

tuyến” trên đồ thị nhưng ở bài toán trong thực tế thì HS khó khăn khi nhận ra được

điều này.

- Quan niệm “tiếp tuyến là đường thẳng tiếp xúc” ở bậc THCS vẫn còn hiện diện

trong mối quan hệ cá nhân ở HS. Điều này dẫn đến việc HS nhầm lẫn giữa “tiếp xúc

của hai đường cong” và “tiếp xúc của đường tròn và một đường thẳng”.

- Trong môi trường giấy bút, HS vận dụng các kiến thức cá nhân để đưa ra câu trả

lời cho bài toán thực tế. Sử dụng công nghệ thông tích hợp phần mềm Casyopée, HS

có môi trường thuận lợi để nhận ra sự khác biệt giữa hai đồ thị “có một điểm chung” và

hai đồ thị “có một điểm chung là tiếp điểm” bằng việc quan sát đồ thị khi giá trị các hệ

số thay đổi.

 Chúng tôi đã kiểm chứng được tính đúng đắn của hai giả thuyết

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

Đồng thời, chúng tôi đưa ra tình huống giúp HS nhận ra ý nghĩa giữa tiếp tuyến và

đạo hàm trong bài toán thực tế.

KẾT LUẬN CHUNG

Một số điểm chính trong những kết quả đạt được của luận văn

 Trong chương 1, chúng tôi tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm đạo

hàm, tiếp tuyến và hàm số trong môi trường Casyopée, chúng tôi thấy rằng các ứng

dụng của đạo hàm trong các bài toán thực tế, mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến

cũng như mối liên hệ giữa đạo hàm và các phần khác trong chương trình thông qua

việc nhận dạng đồ thị hàm số chưa được nghiên cứu. Và đây là các vấn đề mà chúng

tôi quan tâm và sẽ tiến hành nghiên cứu trong bài luận văn của mình. Đồng thời, chúng

tôi đặt nghiên cứu của mình trong phần mềm Casyopée.

 Trong chương 2, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm

đã cho phép chúng tôi làm rõ đặc trưng của ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế,

vấn đề nhận dạng đồ thị xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm và các khái niệm khác, đặc

biệt là xem xét mối liên hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến. Cụ thể, chúng tôi đã thực hiện

các công việc sau:

+ Phân tích việc ứng dụng đạo hàm trong chương trình lớp 11, 12 trong hai bộ

sách cơ bản và nâng cao.

+ Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến bài toán thực tế có ứng dụng đạo

hàm, bài toán tiếp tuyến và vấn đề nhận dạng đồ thị hàm số.

Kết quả phân tích đã dẫn chúng tôi đến hai giả thuyết nghiên cứu sau:

H1: “Ý nghĩa của tiếp tuyến và đạo hàm trong bài toán thực tế hiện diện một

cách mờ nhạt ở HS”.

H2: “HS gặp khó khăn khi xác định công thức cụ thể của hàm số trong việc sử

dụng mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm”.

 Trong chương 3, chúng tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm trên giấy bút và

trên công nghệ thông tin chứa đựng phần mềm Casyopée để kiểm chứng các giả thuyết

nêu ở chương 2. Đồng thời, chúng tôi cũng xây dựng thực nghiệm giúp HS nhận ra ý

nghĩa giữa đạo hàm và tiếp tuyến trong bài toán thực tế.

Tuy nhiên, do hạn chế về mặt thời gian nên chúng tôi chỉ tiến hành thực nghiệm

dạy học ứng dụng đạo hàm với số lượng khá ít HS và không thể tiến hành thực nghiệm

kiểm tra mức độ quan tâm của GV về vấn đề ứng dụng đạo hàm trong thực tế. Đó là

khiếm khuyết trong nghiên cứu ở chương 3.

Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn

- Xây dựng một tiểu đồ án didactic để HS thấy được ý nghĩa đạo hàm liên quan

đến các khái niệm khác (không phải là tiếp tuyến) trong bài toán thực tế.

- Nghiên cứu thực hành của GV trong việc dạy học đạo hàm gắn liền bài toán

thực tế.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Công văn 6T4099/BGDĐT – GDTrH năm 2014 hướng dẫn thực hiện nhiệm vụ

Tiếng Việt

Giáo dục Trung học năm học 2014 – 2015 do Bộ Giáo dục và Đào Tạo ban

2. Nguyễn Huy Đoan (2007), Bài tập Đại số và giải tích 11 – Nâng cao, Nxb Giáo

hành.

3. Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại Học Sư Phạm, TP.Hồ Chí Minh.

4. Trần Văn Hạo (2007), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11, Nxb Giáo dục.

5. Trần Văn Hạo (2007), Đại số và giải tích 11, Nxb Giáo dục.

6. Trần Văn Hạo (2008), Giải tích 12, NXb Giáo dục.

7. Trần Văn Hạo (2008), Sách giáo viên giải tích 12, NXb Giáo dục.

8. Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại Học Sư Phạm, TP.Hồ Chí Minh.

9. Đoàn Quỳnh (2007), Đại số và giải tích 11 – Nâng cao, Nxb Giáo dục.

10. Đoàn Quỳnh (2007), Sách giáo viên Đại số và giải tích 11 – Nâng cao, Nxb Giáo

dục.

11. Đoàn Quỳnh (2008), Giải tích 12 – Nâng cao, Nxb Giáo dục.

12. Đoàn Quỳnh (2008), Sách giáo viên giải tích 12 – Nâng cao, Nxb Giáo dục.

13. Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại Học Sư Phạm, TP.Hồ Chí Minh.

dục.

14. Vũ Tuấn (2007), Bài tập Đại số và giải tích 11, Nxb Giáo dục.

15. Vũ Tuấn (2008), Bài tập giải tích 12, Nxb Giáo dục.

16. Đỗ Thị Thúy Vân (2010), Casyopeé và việc dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại Học Sư Phạm, TP.Hồ Chí Minh.

17. Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố fondamentaux de Didactique des

Song ngữ Pháp – Việt

cơ bản của Didactic Toán (Éléments

Mathématiques), Nxb Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh.

PHỤ LỤC

1. Phụ lục 1: Phiếu câu hỏi tình huống 1 thực nghiệm

Thông báo bài toán thực nghiệm

Bài toán: Có hai ống nước được đặt sẵn, ống 1 đặt song song mặt đất và nằm bên phải

cây trụ nhà, ống 2 đặt trong lòng đất và nằm phía bên trái cây trụ nhà. Biết rằng cả hai

ống đều cách mặt đất 1m, cách cây trụ nhà 1m. Người ta dự định nối hệ thống hai ống

nước đã cho bằng một ống nước xuyên qua cây trụ nhà tại vị trí trụ nhà vuông góc với

mặt đất.

PHIẾU 1

(Các nhóm trả lời câu hỏi sau trong 30 phút)

UCâu hỏi

Nhóm...................................................Lớp...............Trường............................................

1) Em hãy vẽ hình mô tả bài toán 2 và phác thảo đồ thị mô tả hình dạng của ống

dây cần nối trên giấy A4 đã được kẻ sẵn ô. Biết rằng các đường đơn liền nét biểu thị

cho mặt đất, ống 1, ống 2 và ống dây cần nối.

2) Trong các đồ thị đã được học, em hãy cho biết những dạng đồ thị nào có thể

phác thảo cho đồ thị ống dây nối và nêu công thức tổng quát của chúng. Sau đó, em

hãy lựa chọn công thức tổng quát cho đồ thị ống dây nối. Giải thích.

3) Em hãy tìm công thức giải tích cụ thể cho đồ thị ống dây nối.

Bài làm

PHIẾU 2

(Các nhóm trả lời câu hỏi sau trong 30 phút)

UCâu hỏi

Nhóm...................................................Lớp...............Trường............................................

1) Đặt ống dây cần nối là ống 1 là g(x) và ống 2 là h(x). Em hãy vẽ hình

mô tả bài toán 2 trên phần mềm Casyopée. 𝑓(𝑥),

2) Tìm công thức cụ thể cho đồ thị ống dây nối và trình bày trên giấy A4.

Bài làm

...........................................................................................................................................

2. Phụ lục 2: Phiếu câu hỏi tình huống 2 thực nghiệm

PHIẾU SỐ 3

Nhóm:......................Lớp...........Trường...........................................................................

(Các nhóm thảo luận và trả lời câu hỏi trong 30 phút)

UCâu 1)U Hình 1 là đồ thị hàm số y = f(x)

trên khoảng (a;b). Dựa vào hình vẽ, em

hãy nêu nhận xét về dấu của

′

Hình 1 𝑓 (𝑥3) (𝑥1), 𝑓 (𝑥2) 𝑣à 𝑓

Bài làm

...........................................................................................................................................

UCâu 2)U Hình 2 là đồ thị hàm số y = f(x)

...........................................................................................................................................

xác định trên (a;b). Dựa vào hình vẽ, em

hãy cho biết tại mỗi điểm xR1R, xR2R, xR3R, xR4R

hàm số có đạo hàm không? Tính đạo hàm

UBài làm

Hình 2 nếu có.

...........................................................................................................................................

3. Phụ lục 3: Hướng dẫn sử dụng một số tính năng của phần mềm Casyopée.

a. Vẽ đồ thị hàm số bất kì cho bởi công thức tổng quát có chứa các tham số.

+ Trong mục Create function chọn by formula

+ Nhập công thức tổng quát của hàm số bất kì.

Chẳng hạn, ta nhập

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

b. Vẽ đồ thị hàm số bất kì trên miền xác định cho trước

+ Trong mục Create function chọn by domain + formula

+ Nhập công thức tổng quát của hàm số với miền xác định cho trước.

Chẳng hạn, ta nhập trên [-1;1], chọn Evaluate Create

𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

c. Xem và đọc bảng giá trị của một đồ thị hàm số trên phần mềm Casyopée

trên [-1;1] + Nhập công thức hàm số

− 4𝑥 + 2𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 7𝑥

+ Ta chọn Graphs vẽ hàm số (f) chọn

Đối với đồ thị hàm bậc ba đã cho ta có f(0) =0, f(1) = 5, f(-1) = -13.

d. Tính đạo hàm của một hàm số thông qua phần mềm Casyopée

+ Nhập hàm số cần tính đạo hàm, chẳng hạn

+ Chọn Calculate derivative 𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 + 𝑑

e. Rê chuột điều chỉnh giá trị hệ số của một hàm số được cho bởi công thức tổng

quát

+ Nhập hàm số với công thức tổng quát cho trước, chẳng hạn

. 𝑦 = 𝑡𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 +

+ Nhấp vào thanh trượt của các hệ số và rê chuột thay đổi các giá trị của chúng. 𝑑

Điều chỉnh bước nhảy của một tham số.

Chọn Parameters, trong Step nhập bước nhảy tham số cần thay đổi và nhấn OK

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Dạy học khái niệm đạo hàm trong môi trường tích hợp phần mềm Casyopée

Chủ đề:

Luận văn thạc sĩ CNTT

Luận văn thạc sĩ kỹ thuật phần mềm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Huỳnh Anh

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Huỳnh Anh

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MÔI TRƯỜNG TÍCH HỢP PHẦN MỀM CASYOPÉE

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS. NGUYỄN CHÍ THÀNH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

4TCHƯƠNG 2. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN THPT4T ....................................................................................................... 12

DANH MỤC CÁC BẢNG

NGHIÊN CỨU QUAN HỆ

TỔNG HỢP MỘT SỐ CÔNG

THỂ CHẾ

TRÌNH ĐÃ NGHIÊN CỨU

THỰC NGHIỆM

7. Cấu trúc của luận văn

′ Kiểu nhiệm vụ TR3dauR: “Xét dấu đạo hàm của �

D , điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị 𝑦 = 𝑃(𝑥)

b) Tìm vận tốc tại thời điểm t = 5’’ [9, tr.192]. 𝑡 + ∆𝑡 Kiểu nhiệm vụ TR4hdoR: “Tìm hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C) trong bài toán

Giải. Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt. Rõ ràng x phải thoả mãn điều kiện

3.2.2. Đối tượng và hình thức thực nghiệm

3.2.3. Tình huống 1

3.2.3.1. Mục đích tình huống 1

3.2.3.2.Thông báo bài toán thực nghiệm

3.2.3.3. Dàn dựng kịch bản tình huống 1

3.2.3.4. Phân tích tiên nghiệm tình huống 1

3.2.3.5. Phân tích chi tiết kịch bản tình huống 1

3.2.3.6. Phân tích hậu nghiệm tình huống 1

HS: Thưa cô, theo em nhóm 2 chưa chính xác, không chọn hàm sin được vì sin(1)

GV: Cảm ơn em. Cả lớp nhất trí không?

HS: (Cả lớp) Nhất trí.

GV: Như vậy, đối với bài toán này chúng ta chỉ vẽ một ống nước để nối ống 1 và ống

Nhóm 4: Thưa cô, em kéo cho a = 1 thì c = 0 vì a+c=1, cho a = 2 thì c = -1 mà em

Nhóm 5: Thưa cô, a + c = 1 nên em nghĩ phân số cộng lại sẽ ra 1”.

HS: (Lớp xôn xao) Gần được rồi nè!

GV: Đồ thị của nhóm 4 đã tạo thành một hệ thống ống nước mà ta mong muốn chưa

HS: Chưa ạ!

GV: Tại sao?

HS: Thưa cô, tại hai đầu mút nó bị gãy rồi ạ!

GV: Trong thực tế, đồ thị ống nước cần nối theo em phải thỏa điều kiện gì thì hệ

HS: Thưa cô, đầu nối phải là đường trơn, không gồ ghề.

GV: Cả lớp ai có ý kiến gì không?

HS: Thưa cô, đúng ạ!

GV: Đường trơn nghĩa là sao em?

HS: Thưa cô, đường trơn có nghĩa là hai đồ thị dính chặt nhau tại 1 và -1 ạ.

GV: Nói rõ hơn được không em? Ai có thể nói rõ hơn nào?

HS: Thưa cô, đồ thị tiếp xúc nhau tại 1 điểm ạ.

GV: Tiếp xúc nhau tại 1 điểm nghĩa là gì em?

HS: Nghĩa là hai đồ thị có một điểm chung ạ.

GV: Trong bài này hai đồ thị nào có điểm chung vậy em?

HS: Thưa cô, f(x) và g(x) có điểm chung là x = 1, f(x) và h(x) có điểm chung là x= -1

GV: Sử dụng điểm chung như vậy có tìm được hệ số a và c không các em?

HS: Suy nghĩ.....

HS: Thưa cô, tụi em đã thế điểm chung vào rồi và không tìm thêm được gì ạ.

GV: Cả lớp hãy rê chuột cho

𝑡 = − , 𝟏

“HS: Lúc này đồ thị là một đường trơn và đã trở thành hệ thống ống nước hoàn chỉnh

GV: Chúng ta có cách nào tìm

HS: (Suy nghĩ và thảo luận trong 5 phút)

HS: Thưa cô, chúng em không biết ạ!

GV: Lúc này đồ thị hàm f , g và f, h có điểm chung giống như các em nói khi nãy

HS: Thưa cô, cũng có điểm chung giống khi nãy ạ.

GV: Ttrường hợp

HS: (Suy nghĩ)..................”

“GV: Cảm ơn các em, chúng ta sẽ chuyển sang tình huống số 2 và sau đó chúng ta