Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm diện tích trong dạy - học Toán ở trung học cơ sở

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

84
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm diện tích trong dạy - học Toán ở trung học cơ sở giới thiệu tới các bạn những nội dung về diện tích - từ khoa học luận đến didactic; nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích; thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Khái niệm diện tích trong dạy - học Toán ở trung học cơ sở

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Đức Thuận KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Đức Thuận KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH TRONG DẠY - HỌC TOÁN Ở TRUNG HỌC CƠ SỞ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
LỜI CẢM ƠN Một trong những món quà tuyệt vời mà cuộc sống dành tặng cho mỗi chúng ta là khó khăn, thử thách, là cơ hội để vươn lên, trưởng thành hơn. Tôi đã trải qua một giai đoạn khó khăn, rất khó khăn. Didactic Toán là một ngành học khó, đòi hỏi rất cao ở người học, người nghiên cứu... Chập chững bước đầu đến với didactic, có lẽ tôi chưa đưa ra được những kết quả thật xuất sắc, ấn tượng, nhưng tôi đã học hỏi được nhiều kiến thức quý giá và cần thiết. Tôi muốn dành lời cảm ơn đầu tiên đến PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu. Dẫu bộn bề công việc, Cô vẫn dành nhiều thời gian để hướng dẫn, góp ý cho các học viên về mặt khoa học. Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung về sự nhiệt tình chỉ bảo, động viên, chia sẻ. Tôi muốn cảm ơn PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã nhiệt tình góp ý về luận văn và giải đáp thắc mắc của lớp chúng tôi về didactic toán. Tôi muốn cảm ơn TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã dành thời gian dịch tài liệu, luận văn cho chúng tôi. Tôi muốn cảm ơn những người bạn cùng lớp cao học về sự hợp tác, động viên, giúp đỡ trong toàn khóa học. Tôi muốn cảm ơn những người bạn, những đồng nghiệp đã nhiệt tình giới thiệu, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi triển khai thực nghiệm. Sau cùng, tôi muốn đặc biệt cảm ơn các thành viên trong gia đình, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Nhờ có sự chia sẻ của Ban Giám hiệu Trường, Phòng Khoa học Công nghệ - Sau đại học, Khoa Giáo dục Tiểu học, tôi đã có những điều kiện thuận lợi trong việc học, hoàn thành luận văn. Trần Đức Thuận
MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1 Chương 1. DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC ................... 4 1. Một điều tra khoa học luận về khái niệm diện tích......................................... 5 1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử .................................................................................................... 5 1.2. Khái niệm diện tích ................................................................................ 8 2. Từ khoa học luận đến didactic ......................................................................10 2.1. Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích”..................................10 2.2. Các quan niệm về khái niệm diện tích ...................................................10 2.3. Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích.........................................11 2.4. Vai trò của các công thức tính diện tích .................................................13 Chương 2. NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG DIỆN TÍCH .........................................................................................15 1. Diện tích trong chương trình toán bậc phổ thông ..........................................15 1.2. Diện tích trong chương trình tiểu học ....................................................16 1.2. Diện tích trong chương trình trung học cơ sở.........................................16 1.3. Diện tích trong chương trình trung học phổ thông .................................18 2. Diện tích trong các sách giáo khoa toán tiểu học...........................................18 2.1. Về biểu tượng và tính chất của diện tích ................................................18 2.2. Về đơn vị đo diện tích ...........................................................................19 2.3. Về các công thức tính diện tích..............................................................19 3. Diện tích trong sách giáo khoa Toán 8..........................................................21 3.1. Về định nghĩa, tính chất của diện tích ....................................................21 3.2. Về các công thức tính diện tích..............................................................23 3.3. Về các tổ chức toán học.........................................................................25 4. Kết luận........................................................................................................32
Chương 3. THỰC NGHIỆM ..................................................................................34 1. Thực nghiệm đối với giáo viên .....................................................................34 1.1. Giới thiệu bộ câu hỏi .............................................................................35 1.2. Phân tích a-posteriori.............................................................................39 1.3. Kết luận.................................................................................................40 2. Thực nghiệm đối với học sinh ......................................................................41 2.1. Thực nghiệm thứ nhất............................................................................41 2.2. Thực nghiệm thứ hai..............................................................................45 3. Kết luận phần thực nghiệm ...........................................................................51 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TIẾP THEO ......................................52 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC
1 MỞ ĐẦU Ø Lý do chọn đề tài. Câu hỏi ban đầu Ø Khung lý thuyết tham chiếu Ø Mục đích nghiên cứu Ø Phương pháp nghiên cứu 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI VÀ NHỮNG CÂU HỎI BAN ĐẦU Tính diện tích, so sánh diện tích là những vấn đề thường gặp trong cuộc sống hàng ngày và trong nhiều ngành khoa học như toán học, vật lý, địa lý... Ở Việt Nam, diện tích được đưa vào giảng dạy khá sớm, ngay từ bậc tiểu học, và xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông. Việc dạy học diện tích được chia thành nhiều giai đoạn. Theo Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo năm 2006, những kiến thức về “diện tích” đưa vào bậc tiểu học là những “yếu tố, kiến thức chuẩn bị” [1, tr. 8]. Chỉ từ lớp 8, học sinh mới được nghiên cứu đối tượng “diện tích”. Vì thế, chúng tôi quyết định chọn nghiên cứu việc dạy - học khái niệm diện tích ở trung học cơ sở tại Việt Nam. Điều này không có nghĩa chúng tôi sẽ hoàn toàn không quan tâm đến việc đưa vào diện tích ở bậc tiểu học. Những câu hỏi ban đầu mà chúng tôi tự đặt ra cho mình là: – Khái niệm diện tích được hình thành như thế nào? – Khái niệm diện tích có những đặc trưng nào? – Có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích? – Sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào (theo quan điểm nào)? – Cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học sinh? 2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời những câu hỏi trên, chúng tôi đặt nghiên cứu trong khuôn khổ của lý thuyết didactic, cụ thể là lý thuyết nhân chủng học. Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm “quan hệ thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”. Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Nghiên cứu về mối quan hệ thể chế sẽ cho chúng tôi biết đối tượng tri thức “diện tích” xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì
2 trong thể chế. Nói cách khác, tùy theo thể chế được lựa chọn là thể chế toán học hay thể chế dạy - học toán ở Việt Nam, chúng tôi có thể trả lời được các câu hỏi: “khái niệm diện tích được hình thành như thế nào?”, “khái niệm diện tích có những đặc trưng nào?”, “có những cách tiếp cận nào cho khái niệm diện tích?”, “sách giáo khoa Việt Nam đã chọn giới thiệu khái niệm diện tích như thế nào?”. Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác với O ra sao. Việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ R(X,O) và bị ảnh hưởng, chi phối bởi quan hệ thể chế. Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân học sinh với đối tượng “diện tích” cho phép chúng tôi biết cách hiểu của học sinh về khái niệm diện tích sau khi học, đọc sách giáo khoa... Từ đó, chúng tôi có thể tìm được câu trả lời cho câu hỏi “cách trình bày của sách giáo khoa có ảnh hưởng gì đến việc học khái niệm diện tích của học sinh?”. Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thông qua nghiên cứu các tổ chức toán học, các praxéologie. Praxéologie là một khái niệm do Yves Chevallard (1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T, t, q, Q], trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, t là kỹ thuật cho phép giải quyết T, q là công nghệ giải thích cho kỹ thuật t, Q là lý thuyết giải thích cho công nghệ q. 3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong khuôn khổ của phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này: Q1. Khái niệm diện tích có những đặc trưng khoa học luận nào? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm diện tích xuất hiện và tác động? Những đối tượng, khái niệm toán học nào có liên quan, góp phần làm nảy sinh và tiến triển khái niệm này? Q2. Mối quan hệ của thể chế với đối tượng diện tích? Khái niệm diện tích (một hình phẳng) được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 8 hiện hành? Nó mang những đặc trưng nào? Đặc trưng nào chiếm ưu thế? Các kiểu nhiệm vụ nào được ưu tiên? Các kỹ thuật liên quan nào được giảng dạy, các kỹ thuật nào được ưu tiên? Các phát biểu công nghệ lý giải những kỹ thuật đó?
3 Q3. Những ràng buộc của thể chế dạy học ở Việt Nam có ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân của giáo viên và học sinh? 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Từ những câu hỏi ban đầu, chúng tôi lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp và đặt ra những câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3. Để trả lời câu hỏi Q1, chúng tôi tiến hành nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học về khái niệm diện tích. Tuy nhiên, chúng tôi không tiến hành một nghiên cứu gốc mà chỉ tổng kết phần phân tích khoa học luận của khái niệm diện tích trong luận án tiến sĩ của Baltar (1996). Để rõ hơn về cách tiếp cận hình học, chúng tôi có tham khảo tác phẩm “Cơ bản”(Euclide), “Cơ sở hình học” (Hilbert). Chúng tôi điểm lại một số kiểu bài toán, kiểu tình huống mà trong đó khái niệm này xuất hiện và tác động một cách tường minh hay ngầm ẩn, những đối tượng, khái niệm khác có mối liên hệ với khái niệm này, những chướng ngại có thể gặp khi tiếp cận khái niệm... Kết quả thu được cho phép chúng tôi đưa ra câu trả lời cho câu hỏi Q1 và được trình bày trong Chương 1: “Diện tích: Từ khoa học luận đến didactic”. Để trả lời câu hỏi Q2, Q3, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích. Thông qua việc nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, và đặc biệt là sách giáo khoa, chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ các kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật, công nghệ gắn với đối tượng diện tích, trả lời được câu hỏi Q2. Chúng tôi so sánh với tổ chức toán học tham chiếu để đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng trong sách giáo khoa. Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cũng cho phép chúng tôi trả lời câu hỏi Q3, đưa ra các giả thuyết nghiên cứu. Kết quả này sẽ được trình bày trong Chương 2: “Nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích”. Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: thực nghiệm đối với giáo viên qua các phiếu thăm dò và thực nghiệm đối với học sinh qua các phiếu bài tập. Đây cũng là nội dung của Chương 3: “Thực nghiệm”.
4 Chương 1 DIỆN TÍCH: TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC Ø Những bài toán gắn với diện tích trong lịch sử Ø Khái niệm diện tích Ø Sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích Ø Các quan niệm về khái niệm diện tích Ø Những tổ chức toán học tham chiếu Ø Vai trò của công thức tính Để trả lời cho câu hỏi Q1, chúng tôi cần phải tìm hiểu trước hết những đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích. Thiếu sự am hiểu các đặc trưng của tri thức, người ta khó có thể đặt ra những câu hỏi thỏa đáng liên quan đến việc dạy học tri thức đó. Do điều kiện về thời gian và tư liệu, chúng tôi không thể tiến hành một nghiên cứu gốc trên phương diện khoa học luận của khái niệm diện tích - đối tượng tri thức được lựa chọn để nghiên cứu trong luận văn này. May thay, chúng tôi đã tìm thấy những kiến thức cơ sở về khái niệm đó trong các công trình của một số nhà didactic toán. Đặc biệt, ba tác giả sau đã có những nghiên cứu khá hệ thống về khái niệm này: – Perrin (1992) nghiên cứu về “vấn đề chuyển đổi didactic của khái niệm diện tích trong mặt phẳng”; – Baltar (1996), trong luận án mang tên “Dạy và học khái niệm diện tích trong mặt phẳng: một nghiên cứu về sự lĩnh hội mối quan hệ giữa độ dài và diện tích ở trường phổ thông”, đã làm rõ tiến triển của khái niệm diện tích trong lịch sử, các đặc trưng, các tình huống nảy sinh khái niệm diện tích. Chính trên cơ sở nghiên cứu này mà tác giả đã thiết kế một đồ án dạy học với sự hỗ trợ của Cabri; – Valentina (2005) nghiên cứu vai trò của “các công thức tính diện tích hình phẳng: cầu nối giữa hình học và đại số”. Tham khảo những công trình trên, cùng với việc nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide, “Cơ sở hình học” của D. Hilbert, chúng tôi đã tìm được câu trả lời cho câu hỏi Q1. Chính trên cơ sở hiểu rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm diện tích, chúng tôi sẽ xác định được những tổ chức toán học liên quan đến nó. Các tổ chức toán
5 học ấy sẽ là cơ sở tham chiếu cho phần phân tích quan hệ thể chế được thực hiện ở chương sau. Hơn thế, ba tài liệu tham khảo trên còn mang lại cho chúng tôi một tiếp cận ban đầu về khái niệm diện tích với tư cách là đối tượng dạy - học. Cụ thể, đó là sự chuyển đổi didactic khái niệm diện tích, những quan điểm có thể gắn với nó và vai trò của các công thức tính. Sự tiếp cận từ góc độ didactic ấy cũng sẽ là cơ sở cho nghiên cứu được thực hiện tiếp theo trong khuôn khổ của luận văn. 1. MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN VỀ KHÁI NIỆM DIỆN TÍCH 1.1. Những bài toán gắn với diện tích và sự tiến triển của chúng trong lịch sử Những gì được trình bày ở đây chủ yếu được rút ra từ nghiên cứu của Baltar (1996). Diện tích xuất hiện từ rất lâu, nhưng chỉ được định nghĩa một cách chính xác từ thế kỷ XIX. 1.1.1. Bài toán đo đạc, so sánh, cầu phương ở thời cổ đại Khái niệm diện tích gắn liền với ba bài toán: tính diện tích (đo đạc ruộng đất), so sánh diện tích và cầu phương một hình. – Bài toán tính diện tích được hình thành từ nhu cầu đo đạc ruộng đất để tính thuế sau mỗi vụ mùa. Các nền văn minh Ai Cập, Babylon, Trung Hoa cổ đại đều tìm được những công thức riêng để tính chính xác hoặc xấp xỉ diện tích của một số hình thường gặp: tam giác, các loại tứ giác, hình tròn... Những công thức này giúp họ giải quyết được bài toán đo đạc diện tích, nghĩa là tìm được số đo tương ứng với hình. Phân tích thành tựu toán học thời kỳ này, Baltar khẳng định: “ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có một bước chuyển từ hình sang số đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16). Cần phải lưu ý rằng diện tích còn được người xưa sử dụng như một công cụ để giải nhiều phương trình bậc hai. Trong xu hướng sử dụng này, một số dương được gắn với một độ dài, một bình phương được gắn với một diện tích. Nói cách khác, ở đây, diện tích cũng được xem xét theo quan điểm số. – Bài toán so sánh diện tích cũng đã xuất hiện từ thời cổ đại. Đặc biệt, như Baltar đã chỉ ra, trong toán học của người Hy Lạp, “bài toán diện tích được đặt trong phạm vi hình và không có bước chuyển sang số”, hay nói cách khác là họ đã có một cách “tiếp cận hình học đối với khái niệm diện tích” (Baltar, tr. 16). Để làm rõ thêm điều này, chúng tôi đã nghiên cứu bộ “Cơ bản” của Euclide và tìm thấy trong quyển I những tiên đề, mệnh đề được ông đưa ra làm cơ sở cho việc so sánh diện tích của hai hình:
6 · Tiên đề 1: Hai cái cùng bằng một cái thứ ba thì bằng nhau. · Tiên đề 2: Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. · Tiên đề 3: Bớt những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau. · Tiên đề 4: Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau. · Tiên đề 5. Toàn thể lớn hơn một phần. · Các mệnh đề từ 34 đến 41 trong tập I nói về các trường hợp đẳng diện của hình bình hành và hình tam giác (hai hình không bằng nhau nhưng có cùng diện tích). Chẳng hạn : “hai tam giác có đáy bằng nhau và có các đỉnh thuộc cùng cặp đường thẳng song song thì có cùng diện tích” (mệnh đề 38). – Bài toán thứ ba là bài toán cầu phương (dựng hình vuông có cùng diện tích với một hình cho trước). Với hệ thống các mệnh đề trình bày theo trình tự phù hợp, Euclide đã chỉ ra cách dựng một hình vuông đẳng diện (có cùng diện tích) với một đa giác bất kỳ cho trước (mệnh đề 14, tập II). Như vậy, Euclide đã giải quyết trọn vẹn bài toán cầu phương một đa giác cho trước với thước thẳng và com-pa. Bài toán cầu phương một hình bất kỳ, đặc biệt là hình tròn, với công cụ là com-pa, chưa được giải quyết triệt để. Lưu ý rằng cho đến tận thế kỷ thứ III trước công nguyên, khái niệm “diện tích” vẫn chưa được định nghĩa dù ba bài toán trên đã xuất hiện từ thuở sơ khai của loài người, và dù tác phẩm “Cơ bản” của Euclide được viết với ý đồ xây dựng hình học thành một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề. Điều cần nói ở đây là Euclide đã đưa ra một số tiên đề cho phép giải quyết nhiều bài toán về diện tích theo quan điểm hình học và “diện tích chưa được biểu thị bằng con số” [14, tr. 6]. Tuy nhiên, như một số nhà toán học của giai đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặc biệt là diện tích và các tính chất của diện tích, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi số học và đại số dưới dạng hình học (các hằng đẳng thức đại số, các tỷ lệ thức...). 1.1.2. Bài toán cầu phương ở thế kỷ XVII Cho đến tận thế kỷ XVI, khái niệm diện tích vẫn chưa được định nghĩa. Thời kỳ này, với sự phát triển của cơ học, thiên văn học, người ta đặc biệt quan tâm đến diện tích của các parabol, elip... Nổi bật trong giai đoạn này là việc Cavalieri đưa ra phương pháp Indivisible (không thể phân chia) để giải quyết bài toán so sánh hay tìm tỉ số diện tích, thể tích hai hình. Bằng cách tìm tỉ số diện tích của hình với một hình đã biết diện tích, phương pháp Indivisible cho phép tính diện tích hình. Cavalieri xem một hình phẳng được tạo thành từ nhiều đoạn thẳng (các indivisible) và tỉ số diện tích hai hình tìm được thông qua tỉ số độ dài các indivisible. Tuy nhiên, phương pháp
7 này gặp phải những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử indivisible, tính liên tục và gây ra nhiều cuộc tranh luận. Thời kỳ này đặt nền tảng cho sự ra đời và phát triển của phép tính vi - tích phân. 1.1.3. Bài toán xác định hàm độ đo từ cuối thế kỷ XIX Cuối thế kỷ XIX, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Phép tính tích phân trở thành một công cụ hữu hiệu để giải bài toán tính diện tích. Cũng trong thời kỳ này, bài toán cầu phương hình tròn, bài toán khó có từ thời Hy Lạp cổ đại, được giải quyết. Năm 1882, Lindemann chứng minh được p là số siêu việt, nghĩa là không thể cầu phương hình tròn bằng thước và com-pa. Một sự kiện lớn xảy ra trong thời kỳ này là một định nghĩa toán học cho khái niệm diện tích đã được xây dựng. Hilbert quan tâm đến việc tiên đề hóa hình học, xây dựng nó thành một khoa học mà trong đó mọi khái niệm, không loại trừ diện tích, đều được định nghĩa từ một số khái niệm ban đầu (gọi là khái niệm cơ bản) và những khái niệm đã được định nghĩa ở trước. Nhiều nhà toán học khác, trong đó có Lesbegue, lại quan tâm đến bài toán “xác định một hàm độ đo m từ tập hợp các hình phẳng vào ¡ + (có thể bổ sung giá trị vô hạn ¥ tùy theo các hình có bị giới hạn bởi các biên hay không), thỏa mãn tính chất cộng tính và bất biến qua phép dời hình” (Perrin, tr. 19). Diện tích sẽ được định nghĩa sau khi giải quyết được bài toán trên, hay cụ thể hơn là bài toán xác định một hàm độ đo m thỏa các tính chất: · Nếu S1 và S2 rời nhau, thì m ( S1 È S 2 ) = m ( S1 ) + m ( S 2 ) ; · m ( S ) ³ 0 với mọi S ; · Với mọi phép đẳng cự g, và với mọi mặt S, ta có: m ( g ( S )) = m ( S ) . Tóm lại, nghiên cứu về lịch sử cho thấy khái niệm diện tích đã trải qua nhiều thế kỷ tiến triển và gắn liền với các bài toán: tính diện tích, so sánh diện tích, cầu phương một hình... Việc giải quyết bài toán cầu phương ở thời cổ đại được thực hiện bằng công cụ hình học. Trong khi đó, đối với các bài toán tính diện tích, so sánh diện tích, người ta lại thường chuyển sang phạm vi số. Thế nhưng, thực ra thì ngay cả đối với nhiều bài toán thuộc dạng so sánh, tìm tỉ số diện tích, nhiều khi không nhất thiết phải chuyển sang phạm vi số, nghĩa là vẫn có thể giải quyết chúng trong phạm vi hình học. Những tiên đề, mệnh đề tìm thấy trong bộ Cơ bản của Euclide cho phép thực hiện điều này. Ở những tiên đề đó diện tích được tiếp cận từ quan điểm hình học. Lý thuyết độ đo mang lại một định nghĩa chính xác cho khái niệm diện tích. Rồi công cụ tích phân cho phép giải quyết các bài toán về diện tích một cách hiệu quả, đặc
8 biệt đối với những hình không phải là đa giác. Đến lúc này, dường như quan điểm số lấn át quan điểm hình trong việc giải các bài toán về diện tích. 1.2. Khái niệm diện tích Trong phần này, trước hết chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa diện tích của một mặt đo được tùy ý, sau đó nêu những cách xây dựng khái niệm diện tích hình đa giác, loại hình đặc biệt mà ở chương sau sẽ được xem xét với tư cách là đối tượng dạy học. Các định nghĩa dưới đây được chúng tôi trích từ công trình của Perrin (1992) và Baltar (1996). 1.2.1. Định nghĩa diện tích một mặt đo được S tùy ý Để xây dựng khái niệm diện tích theo lý thuyết độ đo, người ta cần phải xác định sự tồn tại của hàm độ đo thỏa các tính chất nêu ở trên, nói cách khác là cần chỉ ra cách tìm giá trị số tương ứng với mỗi mặt S. Cách tiếp cận giải tích dưới đây cho phép định nghĩa diện tích của một hình phẳng bất kỳ, nhưng đòi hỏi phải sử dụng đến giới hạn. · Chọn một hình vuông đơn vị C ( m (C ) = 1 ). · Chia nhỏ lưới các ô vuông C bằng những đường thẳng song song với các cạnh, chẳng hạn, chia mỗi cạnh hình vuông C theo lũy thừa của 10: gọi Ci là hình vuông thu được khi chia mỗi cạnh hình vuông C thành 10i phần bằng nhau. · Gọi ni là số hình vuông Ci nằm hoàn toàn trong S, Ni là số hình vuông Ci có ít nhất một điểm chung với S. N i - ni · Chứng minh được ® 0 khi i ® ¥ 100i Ni n · Giới hạn chung của i và i i gọi là diện tích của S. 100 100 Người ta cũng đã chứng minh được: nếu thay hình vuông C bởi C’ có cạnh gấp k lần cạnh của C thì diện tích tính theo C’ bằng diện tích tính theo C chia cho k2; nếu thực hiện một phép vị tự tỉ số k cho mặt thì diện tích của mặt qua phép vị tự gấp k2 lần diện tích mặt ban đầu. 1.2.2. Định nghĩa diện tích đa giác Đối với trường hợp đa giác, việc định nghĩa diện tích không cần thiết phải sử dụng giới hạn. Ø Định nghĩa của Lebesgue Theo Lebesgue, diện tích của đa giác A1A2...An là giá trị 1 ( ± A1 A2 ´ dist(O, A1 A2 ) ± ... ± An A1 ´ dist(O, An A1 ) 2
9 trong đó O là một điểm bất kỳ được chọn trước và trước AiAi+1 là dấu + nếu O và đa giác nằm cùng nửa nằm mặt bờ là đường thẳng AiAi+1 và mang dấu – trong trường hợp ngược lại. A1 O 1 A2 [ A1 A2 .d (O, A1 A2 ) + A2 A3 .d (O, A2 A3 ) 2 + A3 A4 .d (O, A3 A4 ) + A4 A5 .d (O, A4 A5 ) A5 - A5 A1.d (O, A5 A1 )] A3 A4 Điểm mấu chốt ở đây là chứng minh giá trị trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O. Diện tích định nghĩa trong hợp này thỏa mãn các tính chất của hàm độ đo. Tính bất biến của diện tích qua phép dời hình được suy ra từ tính bất biến của độ dài đoạn thẳng qua phép dời hình. Ø Định nghĩa của Hadamard Trong “Les leçons de géométrie”, Hadamard (1902) có cách xây dựng tương tự trên, nhưng xuất phát từ trường hợp tam giác: diện tích tam giác ABC không phụ thuộc vào cách chọn cạnh đáy và cũng không phụ thuộc vào việc chọn điểm O, nó bằng: ± diện tích ABO ± diện tích ACO ± diện tích BCO (mang dấu + nếu O nằm cùng phía với tam giác so với cạnh đáy được xét và dấu – trong trường hợp ngược lại). Từ trường hợp tam giác, Hadamard mở rộng cho trường hợp đa giác. Ø Định nghĩa của Hilbert Lý thuyết về diện tích của Hilbert “cho phép xây dựng khái niệm diện tích cho các đa giác đơn giản, không cần chuyển qua số” (Baltar, tr. 29). Trước hết, Hilbert đưa ra định nghĩa về hai đa giác đẳng hợp, đẳng diện. · Hai đa giác được gọi là đẳng hợp nếu chúng có thể phân hoạch thành hữu hạn các tam giác bằng nhau từng đôi. · Hai đa giác được gọi là đẳng diện nếu có thể thêm vào các đa giác khác đẳng hợp sao cho hai đa giác thu được là đẳng hợp. Sau đó, ông chứng minh các mệnh đề về sự đẳng hợp, đẳng diện của các hình bình hành, tam giác. Đây là những mệnh đề làm cơ sở cho việc so sánh diện tích hai hình trong phạm vi hình học. Sử dụng những kết quả quan trọng thu được trước đấy, Hilbert định nghĩa: “Một nửa tích của đáy nhân với chiều cao của tam giác D là độ đo diện tích của tam giác D, ký hiệu bởi F(D)”. Độ đo diện tích F(P) của một đa giác được định nghĩa bằng tổng các độ đo diện tích của các tam giác thu được từ phép phân hoạch đa giác đã cho thành hữu hạn tam giác.
10 Lưu ý là trước đấy Hilbert đã xây dựng đại số các đoạn thẳng, cho phép xác định đoạn thẳng bằng tích của hai đoạn thẳng khác. Như vậy, với cách xây dựng của Hilbert, diện tích một đa giác có thể hiểu như một bất biến hình học đặc trưng cho đa giác ấy. 2. TỪ KHOA HỌC LUẬN ĐẾN DIDACTIC 2.1. Một sự chuyển đổi didactic khái niệm “diện tích” Trong các công trình của Perrin (1992), Baltar (1996), chúng tôi tìm thấy cách tiếp cận khái niệm diện tích theo lớp tương đương và diện tích mang nghĩa đại lượng, đặc trưng cho một lớp các hình và không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo diện tích. “Nếu chọn một mặt đơn vị A và xác định được ánh xạ mA tương ứng, ta có thể xây dựng một quan hệ tương đương rA như sau: SrAS’ nếu mA(S) = mA(S’) Các lớp tương đương này không phụ thuộc vào việc chọn A. Chúng ta gọi diện tích a của A là lớp tương đương của A theo quan hệ tương đương rA và định nghĩa độ đo của diện tích a là độ đo của các mặt của a. Khi đó, chúng ta có biểu đồ giao hoán: S ¾¾mA ® ¡+ X] Zm A với mọi B thuộc S thì: X ( B ) = b , mA ( b ) = m A ( B ) ” a Cách tiếp cận theo lớp tương đương vừa nêu có nhiều khả năng xuất hiện trong dạy - học khái niệm diện tích, đặc biệt là khi thiết lập mối quan hệ giữa hình và số. Mối quan hệ hình - số này có thể được thiết lập trực tiếp hoặc qua một hình trung gian có cùng diện tích. 2.2. Các quan niệm về khái niệm diện tích Theo Baltar, trong biểu đồ giao hoán của Perrin (đề cập ở mục 2.1), cần phân biệt diện tích ở 3 cực sau đây: – Cực hình học với các mặt; – Cực “đại lượng”; – Cực số với các độ đo. Tuy nhiên, khi “chọn một đơn vị và đồng nhất diện tích với độ đo”, chúng ta sẽ còn hai cực: “hình học và số”. Dựa theo hai cực hình - số này, chúng ta có các quan niệm về diện tích như sau: – Quan niệm hình học: quan niệm này gắn diện tích với kích cỡ của mặt, tiếp cận theo nghĩa “phần mặt chiếm đóng” hoặc dựa vào tri giác. – Quan niệm số (của Douady và Perrin-Glorian): diện tích là số, phương diện hàm vắng mặt. (Tham khảo Baltar, tr. 49, 52)
11 2.3. Bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích Điều tra khoa học luận đã chỉ ra cho chúng tôi thấy có ba kiểu bài toán gắn liền với lịch sử tiến triển của khái niệm diện tích: tính diện tích, so sánh diện tích và cầu phương một hình. Nếu như kiểu bài toán thứ ba được người xưa giải quyết trong phạm vi hình học thì với bài toán thứ hai, người ta lại có thể tiếp cận từ một trong hai quan điểm hình hay số, hoặc kết hợp cả hai quan điểm đó. Ở đây thuật ngữ quan điểm số được hiểu theo nghĩa nó đặt tương ứng diện tích với một số, còn quan điểm hình thì dựa trên những khái niệm như đẳng hợp, đẳng diện để xem xét diện diện tích một hình. Những bài toán này chắc chắn sẽ là một phần không thể thiếu trong dạy - học “diện tích”. Việc xác định tổ chức toán học tham chiếu gắn với những bài toán trên sẽ cho chúng tôi một cơ sở để phân tích, đối chiếu, đánh giá các tổ chức toán học cần xây dựng khi phân tích chương trình, sách giáo khoa. Trong nhiều bài toán so sánh diện tích người ta có đề cập đến vấn đề tìm tỉ số diện tích của hai hình. Nếu để trả lời câu hỏi so sánh ta chỉ cần cho biết diện tích hình này lớn hơn hay bé hơn diện tích hình kia, thì bài toán tìm tỉ số diện tích đòi hỏi phải cho một kết quả cụ thể hơn. Cũng vì thế mà kỹ thuật tìm câu trả lời cho bài toán thứ hai này sẽ mang những đặc trưng khác so với lời giải bài toán so sánh. Vì lẽ đó, chúng tôi sẽ tách riêng bài toán tìm tỉ số diện tích ra khỏi bài toán so sánh. Như vậy, chúng tôi sẽ nói đến bốn bài toán: tính, so sánh, tìm tỉ số diện tích và cầu phương một hình. Trong cách tiếp cận của lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi gọi đó là bốn kiểu nhiệm vụ. Từ việc nghiên cứu lịch sử, ta có thể chỉ ra những tổ chức toán học (OM) liên quan đến bốn kiểu nhiệm vụ này. Ø Tổ chức toán học OM1 gắn với kiểu nhiệm vụ tính diện tích một hình (Ttính). Kỹ thuật giải có thể là: – Sử dụng công thức đại số (tĐS). Kỹ thuật này áp dụng hiệu quả trong trường hợp có thể phân tích hình thành các hình có công thức tính diện tích như đa giác, hình tròn, hình vành khăn... Ngày nay, công cụ tích phân cho phép chứng minh các công thức tính đại số ấy. – Sử dụng công cụ tích phân (ttp) để tính diện tích của các hình khả tích. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Công thức tính diện tích hình chữ nhật, các công thức, tính chất của tích phân, ... ttp Các công thức tích phân Giới hạn, định nghĩa và tính chất tích phân, ... Bảng 1.1. Tổ chức toán học OM1 gắn với kiểu nhiệm vụ Ttính
12 Ø Tổ chức toán học OM2 gắn với kiểu nhiệm vụ so sánh diện tích (Tss). Kỹ thuật giải có thể là: – Kỹ thuật đại số tĐS: tính diện tích mỗi hình, đưa về so sánh số hoặc biểu thức kết quả. Để tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích phân. – Kỹ thuật hình học tHH: tách - ghép, chồng hình để so sánh trong phạm vi hình học. Các mệnh đề như “Các hình chồng khít lên nhau thì bằng nhau”, “Toàn thể lớn hơn một phần”, ... được sử dụng trong quá trình giải toán. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Định nghĩa, tính chất, công thức tính Các công thức tích phân tích phân tHH Các tiên đề, mệnh đề về diện tích Các tiên đề, mệnh đề về diện tích của Euclide, Hilbert... của Euclide, Hilbert... Bảng 1.2. Tổ chức toán học OM2 gắn với kiểu nhiệm vụ Tss Ø Tổ chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ tìm tỉ số diện tích (Tts). Kỹ thuật giải có thể là: – Kỹ thuật đại số tĐS: tính diện tích mỗi hình và lập tỉ số hai số đo diện tích. Để tính diện tích hình, người ta có thể sử dụng các công thức đại số hoặc tích phân. – Kỹ thuật hình học tHH: chia mỗi hình thành những phần bằng nhau và tìm được tỉ số diện tích thông qua tỉ số các phần tương ứng. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Định nghĩa, tính chất, công thức tính Các công thức tích phân tích phân tHH Các mệnh đề về sự đẳng diện Các mệnh đề về diện tích (hình) Các công thức tính diện tích (số) Bảng 1.3. Tổ chức toán học OM3 gắn với kiểu nhiệm vụ Tts Ø Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ cầu phương đa giác (Tcp). Kỹ thuật giải có thể là: – tĐS: tính diện tích hình, từ đó tìm các độ dài cần thiết để dựng hình. – tHH: dựng hình theo các mệnh đề của Euclide. Kỹ thuật Yếu tố công nghệ Yếu tố lý thuyết tĐS Các công thức đại số Tính chất diện tích, công thức tính diện tích hình chữ nhật tHH Mệnh đề 14, tập II, bộ Cơ bản Các mệnh đề của Euclide Bảng 1.4. Tổ chức toán học OM4 gắn với kiểu nhiệm vụ Tcp
13 2.4. Vai trò của các công thức tính diện tích Các công thức tính được xem như phương tiện cho phép chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số. Nhờ chúng, người ta tính ra số đo diện tích và cũng thể hiện mối quan hệ hàm số giữa các yếu tố của hình (như cạnh, góc) với diện tích của nó. Về vấn đề này, Valentina (2005) đã đặc biệt quan tâm đến ba kiểu nhiệm vụ sau khi nghiên cứu các sách giáo khoa của Pháp và Ý. · Kiểu nhiệm vụ T1v: Tính diện tích một hình đa giác. · Kiểu nhiệm vụ T2v: So sánh diện tích một đa giác với một trong các bộ phận của nó. · Kiểu nhiệm vụ T3v: Chứng minh tỉ số diện tích của một đa giác với một bộ phận của nó bằng một số cho trước. Đây là các kiểu nhiệm vụ Ttính, Tss, Tts, với hình được xét là đa giác. Valentina chỉ rõ các yếu tố còn lại (ti, qi, Qi) của những tổ chức toán học liên quan đến T1v, T2v, T3v được đưa vào như thế nào trong sách giáo khoa toán ở Pháp và Ý, theo nhiều chương trình khác nhau, áp dụng từ đầu thế kỷ XX đến đầu thế kỷ XXI. Điểm chung của các chương trình, sách giáo khoa là: · Kỹ thuật giải t1 cho kiểu nhiệm vụ T1v là sử dụng công thức tính diện tích đa giác (phạm vi số); · Kỹ thuật giải t2 cho kiểu nhiệm vụ T2v là sử dụng công thức tính diện tích đa giác (phạm vi số). · Kỹ thuật giải t3 cho kiểu nhiệm vụ T3v là chia đa giác thành các tam giác có cùng diện tích (và/hoặc bằng nhau) (phạm vi hình học). Cả hai kỹ thuật giải t1, t2 ở trên đều phải dựa vào các công thức tính diện tích, hay nói cách khác, chúng có chung yếu tố công nghệ q là các công thức tính diện tích. Trên cơ sở đó, Valentina xác định một tổ chức toán học địa phương (gồm hai tổ chức toán học bộ phận [T1v, t1, q, Q], [T2v, t2, q, Q]) gắn liền với các công thức tính diện tích đa giác. Ở đây, các công thức tính diện tích giúp thực hiện bước chuyển từ hình sang số. Khi nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa Việt Nam, với việc sử dụng các tổ chức toán học tham chiếu theo cách phân chia của Valentina, chúng tôi sẽ có thể: – Tìm thấy những yếu tố công nghệ cho phép chuyển đổi phạm vi; – Đánh giá tổ chức toán học cần xây dựng là đầy đủ hay không đầy đủ; – Đối chiếu, so sánh với các tổ chức toán học được xây dựng ở Pháp, Ý để làm rõ những đặc trưng của quan hệ thể chế mà chúng tôi nghiên cứu (dạy-học toán ở lớp 8).
14 Chúng tôi đã trình bày các cách tiếp cận khái niệm diện tích mà chúng tôi tổng hợp được từ các tài liệu tham khảo. Sách giáo khoa Việt Nam chọn cách tiếp cận nào? Sự lựa chọn của sách giáo khoa dẫn đến hệ quả gì? Chúng tôi nỗ lực tìm câu trả lời và trình bày kết quả nghiên cứu trong phần tiếp theo của luận văn.
15 Chương 2 NGHIÊN CỨU MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG DIỆN TÍCH Ø Diện tích trong chương trình toán phổ thông Ø Diện tích trong các sách giáo khoa tiểu học Ø Diện tích trong sách giáo khoa lớp 8 Nghiên cứu ở chương 1 đã chỉ ra rằng vấn đề gắn liền với việc định nghĩa diện tích trong lý thuyết độ đo là xác định một ánh xạ từ tập hình vào tập số. Chúng ta cũng đã chỉ ra bốn tổ chức toán học liên quan đến diện tích các hình phẳng. Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng diện tích. Thể chế mà chúng tôi đặc biệt quan tâm là việc dạy học toán ở lớp 8 theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành. Chúng tôi sẽ phân tích chương trình, sách giáo viên, sách bài tập và đặc biệt là sách giáo khoa để tìm câu trả lời cho các câu hỏi Q2, Q3: · Khái niệm diện tích các đa giác được trình bày như thế nào trong sách giáo khoa lớp 8 hiện hành? · Những tổ chức toán học nào liên quan đến diện tích được đưa vào sách giáo khoa? · Có những quy tắc nào của hợp đồng didactique? 1. DIỆN TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN BẬC PHỔ THÔNG Diện tích được đưa vào giảng dạy ở các lớp 3, 4, 5 như những kiến thức chuẩn bị cho việc học chính thức từ lớp 8. Khái niệm giới hạn, tích phân được giảng dạy ở bậc trung học phổ thông tạo điều kiện thuận lợi để học sinh bổ sung kiến thức về diện tích. Luận văn đặt trọng tâm nghiên cứu về dạy học diện tích ở bậc trung học cơ sở, đặc biệt là lớp 8. Tuy nhiên, theo quan điểm sinh thái, cần thiết phải xem xét chương trình trước và sau bậc học mà chúng tôi quan tâm. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ dùng ký hiệu sau đây: – CT để chỉ Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2006; – G3 để chỉ sách giáo viên toán 3, G8 để chỉ sách giáo viên toán 8 - tập một;