ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
NGUYỄN VĂN TUẤN
TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – Năm 2014
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------
Nguyễn Văn Tuấn
TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: CH.60440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Đinh Quốc Vƣơng
Hà Nội – Năm 2014
2
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1
Chương 1: SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG
TRONG BÁN DẪN KHỐI ............................................................................................... 3
1. 1. Siêu mạng pha tạp . .................................................................................................................... 3
1.1.1. Khái niệm về Siêu mạng pha tạp. ..................................................................... 3
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong Siêu mạng
pha tạp .................................................................................................................... …3
1.2. Tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối bằng phương pháp phương
trình động lượng tử. ............................................................................................................................. 4
1.2.1. X ây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối ............ 5
1.2.2. Biểu thức giải tích của từ trở trong bán dẫn khối ........................................... 20
Chương 2: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP ............................................................................................................ 26
2.1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp .............................26
2.2. Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp. ....................................38
Chương 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ, BÀN LUẬN KẾT QUẢ LÝ
THUYẾT .......................................................................................................................... 54
3.1. Sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường B. ...........................................................................54
3.2. Sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ E. ..............................................55
3.3. Sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ
. ................................................56
3.4. Sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ T. ..............................................................................56
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 69
PHỤ LỤC ......................................................................................................................... 60
3
LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Đinh Quốc Vương. Người đã hướng dẫn và chỉ đạo tận tình cho em trong quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ và dạy bảo tận tình của các thầy cô giáo trong bộ môn vật lí lý thuyết – Khoa Vật Lí – trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội trong suốt thời gian vừa qua, để em có thể học tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban chủ nhiệm khoa Vật Lí, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên
4
em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
MỞ ĐẦU
. L do chọn đề tài.
Trong nhiều năm lại gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến tính chất của hệ thấp chiều như tính chất quang, tính chất từ, tính chất điện Những kết quả nghiên cứu cho ta thấy sự khác nhau của các tính chất vật lý trên cả về mặt định tính lẫn định lượng giữa bán dẫn thấp chiều và bán dẫn khối. Tính toán từ trở đặc biệt được quan tâm và giải quyết khá tốt trong bán dẫn khối. Tuy nhiên, nó chưa được giải quyết trong siêu mạng pha tạp dưới sự ảnh hưởng của sóng điện từ. Tính toán từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của sóng điện từ được chúng tôi thực hiện bởi phương pháp phương trình động lượng tử nhằm giải quyết vấn đề còn bỏ ngỏ trên và được trình bày trong luận văn với đề tài: “Tính toán từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp’’.
2. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Trong lĩnh vực lý thuyết, bài toán tính từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như: phương pháp phương trình động lượng tử, phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, … Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng nên tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử: Đây là phương pháp được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định.
Ngoài ra, chúng tôi còn sử dụng chương trình Matlab để có được các kết quả tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của từ trở vào các đại lượng như: từ trường B, nhiệt độ T, biên độ của sóng điện từ E và tần số của sóng điện từ .
3. Bố cục của luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được
chia làm 3 chương:
Chương 1: siêu mạng pha tạp và tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối.
Chương 2: Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp.
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị, bàn luận kết quả lý thuyết.
5
Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và chương 3. Chúng tôi đã thu được biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp. Việc tính toán số cũng được thực hiện và cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của từ trở ngang vào các đại lượng như: từ trường B, biên độ của sóng điện từ E, tần số
của sóng điện từ thuộc của từ trở vào nhiệt độ, biên độ E và tần số hợp bán dẫn khối. Khi tần số và nhiệt độ T. Chúng ta thấy ở đây sự khác nhau trong sự phụ của sóng điện từ so với trường đạt đến giá trị 0, ta thu được giới hạn các kết quả
6
của bán dẫn khối.
Chƣơng : SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ TÍNH TOÁN TỪ TRỞ NGANG TRONG BÁN DẪN KHỐI
1. . Siêu mạng pha tạp.
1.1.1. Khái niệm về Siêu mạng pha tạp.
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành siêu mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ xung vào thế của mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng được chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau. Siêu mạng pha tạp có ưu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số của siêu mạng nhờ thay đổi nồng độ pha tạp.
. .2. Phổ năng lƣợng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp.
Trong siêu mạng pha tạp, chuyển động của các điện tử bị lượng tử hóa và
năng lượng là gián đoạn theo một chiều nào đó.
Chuyển động của điện tử trong mặt phẳng (xy) là tự do, phổ năng lượng có dạng:
Trong đó: là các thành phần vectơ sóng theo hai trục Ox và Oy.
- Ngoài ra, năng lượng của điện tử tự do là lượng tử hóa nên sẽ phụ thuộc vào một
7
số lượng tử n là . Khi đó năng lượng toàn phần của điện tử là:
.
- Điều kiện để quan sát các hiệu ứng liên quan đến điện từ là hiệu giữa hai mức năng lượng liên tiếp phải lớn hơn năng lượng chuyển động nhiệt koT và độ rộng va
chạm các mức .
Giải phương trình Schrodinger:
.
Ta tìm được phổ năng lượng của điện tử:
Với n là số lượng tử (n=1,2,3…), m là khối lượng điện tử.
Khi đó phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử có dạng:
với
Với N=0,1,2,……;
là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất dornor với nồng độ
pha tạp .
là tần số cyclotron
, với H(z) là đa thức Hermite.
8
1.2. Tính toán từ trở ngang trong bán dẫn khối bằng phƣơng pháp phƣơng trình động lƣợng tử.
.2. . Xây dựng phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
(1.1)
Trong đó:
(1.2)
là Hamiltonian của hệ điện tử trong điện từ trường.
tương ứng là các toán tử sinh hủy điện tử (phonon) ứng với
xung lượng (vec tơ sóng ).
là Hamiltonian của hệ các dao động điện tử điều hòa
không tương tác.
là toán tử mô tả tương tác điện tử và phonon.
+) : hằng số tương tác điện tử - phonon âm.
+) m , e là khối lượng và điện tích cho điện tử.
là thế vectơ.
+) Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử tồn tại các hệ thức giao hoán sau :
;
9
+) Giữa các toán tử sinh, hủy phonon tồn tại các hệ thức giao hoán sau :
;
Vế phải của (1.2) có tương ứng bốn số hạng với toán tử Hamilton. Ta lần lượt tính từng số hạng bằng cách tính toán các giao hoán tử. Sử dụng tính giao hoán giữa các toán tử sinh, hủy cùng loại, khác loại để hoán vị các toán tử một cách thích hợp.
*) Số hạng thứ nhất:
*) Số hạng thứ hai: do toán tử a, b là hai loại độc lập
thì chúng giao hoán với nhau.
*) Số hạng thứ ba:
Làm tương tự cách phân tích số hạng thứ nhất vừa tính toán ở trên ta có :
10
Do đó:
*) Số hạng thứ tư:
+)
Thay kết quả vào số hạng thứ 4:
với
11
Vậy phương trình (1.1) trở thành:
(1.3)
Với:
Để giải (1.3) ta cần tính thông qua phương trình:
(1.4)
Vế phải của (1.4) chứa ba số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton
H. Ta lần lượt tính từng số hạng bằng cách tính giao hoán tử ta thu được.
*) Số hạng thứ nhất:
12
*) Số hạng thứ hai:
*) Số hạng thứ ba:
Ta có:
Đặt vào số hạng thứ ba ta được:
13
Thay các số hạng vào (1.4) ta được phương trình:
(1.5)
Phương trình (1.5) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng phương pháp biến thiên hằng số. Để tìm được nghiệm của phương trình trước hết ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng:
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt tương tác được nghiệm
của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:
Từ đó, ta đi tìm nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng
14
Suy ra:
15
Suy ra :
Như vậy ta thu được kết quả cuối cùng là:
Đổi
(1.6)
*) Tính thế vectơ của trường sóng điện từ.
Ta có cường độ điện trường biến thiên theo thời gian
Suy ra:
Nếu xét hàm ta có:
16
Thay thế vectơ vào tích phân
(1.7)
Thay kết quả tính vào (1.3) ta được:
(1.8)
Trong số hạng thứ nhất, thứ 3 ta thay và trong số hạng thứ 2, thứ 4
ta thay . Khi đó phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khi có
17
mặt trường sóng điện từ:
(1.9)
Chú ý:
vì ( )
+) Tần số dao động của phonon:
18
*) Tính:
(1.10)
Thay (1.10) vào (1.9 )ta có
(1.11)
*) Áp dụng công thức chuyển phổ Fourier
(1.12)
19
Đặt (1.12) vào (1.11) ta được:
(1.13)
Ta có:
(a)
+) Đổi thứ tự lấy tích phân trong (1.13):
20
Với lưu ý rằng ; ; không thuộc biến t’, khi đó ta có:
(b)
Thay (a), (b) vào (1.13) ta có:
(1.14)
*) Lưu ý:
Suy ra:
21
+) Đặt:
Từ (1.14) ta có:
(1.15)
*) Ta thấy rằng, với s ≠ ℓ trong vế trái của (1.15) sẽ cho đóng góp bậc cao hơn hằng số tương tác điện tử - phonon. Vì vậy ta chỉ lấy s = ℓ và thực hiện ngắt chuỗi bậc hai với .
Suy ra:
(1.16)
và chuỗi theo
*) Do tính chất đối xứng của mạng tinh thể nên thay vecto ℓ chạy từ nên thay …+ℓΩ… …- ℓΩ; suy ra:
22
(1) + (2) số hạng 1; (3) + (4) (2)
(1.17)
(Sử dụng một lần nữa phép biến đổi Fourier) và lưu ý đến công thức
Suy ra:
Nên:
+)
+)
Và sử dụng:
+) Vậy công thức (1.14), khi chưa chú ý đến (1.15) ta có:
23
Suy ra:
(1.18)
Biểu thức (1.18) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối.
1.2.2. Biểu thức giải tích của từ trở trong bán dẫn khối
Giải phương trình động lượng tử (1.18) trong phép xấp xỉ:
;
Sau đó nhân hai vế với rồ lấy tổng theo ta được:
(1.19)
Trong đó:
(1.20) +)
+)
(1.21)
(1.22) Với :
Ta có:
, (1.23)
Mật độ dòng:
24
(1.24)
(1.25)
Thay (1.20), (1.21) vào (1.19) và chú ý (1.24), (1.25) ta có :
+)
(1.26)
(1.27) +)
(1.28) +)
(1.29) +)
Hàm phân bố trong phép xấp xỉ tuyến tính qua điện trường không đổi có
dạng:
(1.30)
Trong đó:
: hàm phân bố điện tử cân bằng. +)
+)
(1.3) +)
(1.32) +)
25
(1.33) +)
(1.34) +)
+)
Thay (1.30) vào (1.20) ta có:
(1.35)
Thay (1.30) vào (1.21) và chú ý đến công thức (1.33), (1.34)
(1.36) +)
(1.37) +)
Với :
Từ (1.32), (1.35), (1.27), (1.29) ta có:
+)
(1.38)
(1.39) +)
Từ (1.27), (1.38) và (1.39) suy ra:
26
+)
(1.40)
+)
(1.41)
+)
(1.42)
+)
(1.43)
Lấy:
(1.44) +)
(1.45) +)
27
(1.46) +)
(1.47) +)
Ta có:
; ;
; ;
. (1.48)
Khi thì:
+)
(1.49)
(1.50) +)
Trong đó: ; ;
; ;
.
Nếu và thì:
(1.51) +)
(1.52) +)
28
Từ trở:
(1.53)
Với:
Suy ra: (1.54)
29
Biểu thức (1.54) là biểu thức của từ trở trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2: BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA TỪ TRỞ NGANG TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp.
Đặt một điện trường không đổi và từ trường không đổi
. Khi đó, hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử có dạng:
với
Với : N = 0,1,2….
là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất dornor với nồng độ
pha tạp
là tần số cyclotron
Hm là đa thức Hermite.
Khi có mặt của trường bức xạ lazer đặc trưng bởi thế vectơ
thoả: .
Thì Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp trên có
30
dạng:
(2.1)
Trong đó:
+) là vectơ sóng của điện tử, phonon.
+) là toán tử sinh, huỷ điện tử.
+) là toán tử sinh, huỷ phonon.
+) là tần số phonon âm.
+) : hệ số tương tác điện tử phonon.
Thế vô hướng của trường điện không đổi
Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử:
(2.2)
*) Số hạng thứ nhất:
= +)
31
(2.2.1)
Vì : +)
+) Khi N ≠N’, thì = 0
+) Khi N =N’, thì = 1
*) Số hạng thứ hai:
(2.2.2)
*) Số hạng thứ ba:
+)
) (Đổi
=
-
Khi: ;
;
32
Suy ra:
(Thay N = N''; kx = k +qx) (Thay N = N' , kx = k )
Đổi chỉ số N'' N' ở số hạng thứ 2
=
(2.2.3) Với:
*) Số hạng thứ tư:
+)
(2.2.4)
Thay (2.2.1), (2.2.2) ,(2.2.3), (2.2.4) vào (2.2) ta thu được:
) (2.3)
33
Để tìm ta sử dụng phương trình động lượng tử:
(2.4)
*) Số hạng thứ nhất:
(2.4.1)
(N2 = N3; k2 = k3) (N1 = N3; k1 = k3)
*) Số hạng thứ hai:
+) (2.4.2)
*) Số hạng thứ ba:
+)
b N q
b q 1
b q 1
q a a ' 1 N k , N k q , 2 2 1 3 3
D ' N N , 3 3 ' , , , N N k q 1 3 3 3
N k k 3 , 1 3 , 1
34
(2.4.3)
sẽ không xuất hiện vì nó chỉ tồn tại khi trường điện cố định
*) Số hạng chứa đủ mạnh. Thay (2.4.1), (2.4.2), (2.4.3) vào (2.4) ta được:
(2.5)
Tương tác e - phonon là yếu và xem như nhiễu loạn. Khi đó, trong vế phải
của (2.5) ta chỉ giữ lại cái giá trị trung bình chéo:
;
3 = N2; k3 = k1, trong
Tức là trong phép lấy tổng ta lấy N3 = N1; N'
3 = N2; q1 = k2 - k1 = q và trong
lấy N' ta lấy N3 = N1; q1 = k2 - k1 = q
35
Ta thu được:
Biến đổi:
+
Thu được:
+
(2.6)
Với điều kiện:
Phương trình (2.6) là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:
Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng
36
Nghiệm tổng quát: f(t) =
Suy ra:
Do vậy: f(t)=
Phương trình (2.6) cho nghiệm:
Biến đổi:
+)
= -
=
37
Do vậy:
=
Với:
Đặt và sử dụng tính chất hàm Bessel
+)
Cuối cùng ta thu được:
(2.7)
38
Một cách tương tự:
(2.8)
Từ (2.7) và (2.8) ta sẽ tính được:
rồi thay vào (2.3) ta được:
(2.9)
là do giả thiết đoạn nhiệt ở
Việc đưa vào thừa số hợp tần số thấp của hàm phân bố, khi đó . Xét tập và chọn l=s trong
39
phép lấy tổng ta thu được phương trình cho tập hợp tần số thấp của hàm phân bố điện tử:
Áp dụng:
Ta được:
Trong phép lấy tổng theo q và l ở vế phải, ta thực hiện phép đổi chỉ số:
+) q - q ở số hạng thứ 2 và số hạng thứ 4.
40
+) l - l ở số hạng thứ 3 và số hạng thứ 4.
Lưu ý: và là các hàm chẵn nên không thay đổi khi thực
hiện việc đổi chỉ số này. Sau đó ta nhóm số hạng thứ nhất với số hạng thứ 4, số hạng thứ 2 với số hạng thứ 3, thu được:
Sử dụng:
Ta thu được:
(2.10)
Do phonon âm có nhỏ nên ta bỏ qua trong các hàm của công
- qx ở số hạng thứ 2, giả thiết
thức (2.10). Đồng thời việc đổi chỉ số q - q; qx phân bố phonon là đối xứng (Nq =N-q) ta thu được:
41
Hay:
Bổ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được:
(2.11)
Trong đó là vectơ đơn vị theo chiều từ trường.
Biểu thức (2.11) là phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp .
2.2. Biểu thức giải tích của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp.
Giải (2.11) trong phép xấp xỉ thấp nhất qua cường độ của trường bức xạ ( tỉ
lệ với ) ta chỉ lấy l=0; 1 ở vế phải. Sử dụng
;
Sau đó nhân 2 vế với rồi lấy tổng theo kx, N ta thu được:
(2.12)
(2.12.1) Trong đó:
(2.12.2)
Với:
42
Nếu thì
(2.12.3)
( là thời gian phục hồi)
Từ (2.12) suy ra:
(2.12.4)
Nhân trái có hướng 2 vế với ta được:
(2.12.5)
Biến đổi:
(2.12.6)
Lại nhân trái vô hướng 2 vế của 12.4 với rồi nhân tiếp với ta được:
(2.12.7)
Thế (2.12.6), (2.12.7) vào (2.12.5). Sau đó lấy (2.12.4)-(2.12.5) ta được:
Rút ra:
(2.13)
Mật độ dòng :
(2.14)
Hay: (2.15)
(2.16) +)
43
(2.17) +)
Trong công thức (2.15), mô tả thông lượng điện tích trong sự thiếu
bức xạ còn mô tả ảnh hưởng của bức xạ lên thông lượng điện tích này. Trong
sự vắng mặt của bức xạ, hàm phân bố trong phép xấp xỉ tuyến tính qua điện
trường không đổi có dạng :
(2.18)
Trong đó:
+)
+) là hàm phân bố điện tử cân bằng.
+)
(2.19)
*) Tính
Từ (2.12.2) ta tính trong phép xấp xỉ tuyến tính theo
Do:
Ta viết:
44
Suy ra:
Biến đổi:
Xét bài toán tổng quát:
;
Suy ra:
Xét hàm: ta có:
(2.20)
45
Suy ra:
thay vào và chuyển tổng
thành ta thu được:
Thay vào (2.16) ta thu được:
(2.21)
(2.21)’
Nhận xét: Trong (2.21) ta vẫn có xuất hiện trong , song đây được
hiểu là thành phần xuất hiện trong năng lượng của điện tử. Còn tuyến tính
theo được thể hiện qua thành phần có trong = .
*) Tính
Từ (2.12.3) ta tính trong xấp xỉ tuyến tính qua . Lúc này ta bỏ qua
thành phần vì không chứa .
Thực hiện chuyển chỉ số đối với số hạng chứa
46
ta thu được:
(2.22)
(2.22.0)
Biến đổi:
Suy ra:
(2.22.1)
(2.22.01)
47
Tương tự:
(2.22.02)
Lại có: ; (2.22.03)
Thay (2.22.01), (2.22.02), (2.22.03) vào (2.22.0) và chuyển
ta thu được:
*)
còn
Đặt:
*)
48
Do vậy:
*)
(2.22.2)
*)
(2.22.3)
Với:
49
Biến đổi:
Suy ra:
(2.22.4)
Suy ra:
Tương tự:
; và chuyển Lại thay:
ta thu được:
50
Nhận xét: Sau khi lấy tích phân theo các hàm deta dirac của kx, qx ta sẽ có:
*)
nên và ta có:
Với các phép biến đổi tương tự như SH4 và lưu ý rằng sau khi lấy tích phân
theo các hàm delta dirac của kx, qx ta có:
Còn: (2.22.5)
51
*)
(2.22.6)
Đặt: +)
+)
+)
;
Ta viết lại:
Thay vào (2.17) ta được:
(2.23)
52
Từ (2.21)’ ta có:
với (2.24)
Thay (2.23), (2.24) vào (2.15):
Biểu diễn:
Còn .Ta thu được biểu thức của tenxơ độ dẫn.
(2.25)
Từ trở ngang quang kích thích:
(2.26)
Với: (2.27)
53
*)Tính:
Lưu ý: ;
(2.28)
54
*) Tính :
(2.29)
Thay (2.28), (2.29) vào (2.27) ta thu được
Nhận xét: Đóng góp của năng lượng mức landau là lớn so với đóng góp của
55
điện trường nên ta có thể lấy gần đúng như sau:
Lại xét trường hợp >> . Khi đó SH3 và SH5 sẽ không xuất hiện
;
(2.30)
56
Sử dụng công thức (2.25) ta thu được:
(2.31)
57
Biểu thức (2.31) là biểu thức giải tích của từ trở trong siêu mạng pha tạp. Nó thể hiện sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường, sóng điện từ và các đặc tính của siêu mạng pha tạp. Trong công thức (2.31) cho thấy biểu thức tính từ trở có thể dễ dàng đưa về bán dẫn khối khi cho tần số tiến về giá trị 0.
Chƣơng 3:TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ, BÀN LUẬN KẾT QUẢ LÝ THUYẾT
và Khảo sát sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường B, biên độ E, tần số nhiệt độ T cho trường hợp siêu mạng pha tạp GaAs:Si/ GaAs:Be. Các tham số vật liệu được cho như sau:
=50meV; - Năng lượng Fermi.
- Hằng số Boltzman. kB=1.3807 10-23 (JK-1)
vs=5220 (m/s) - vận tốc sóng âm.
- Khối lượng hiệu dụng của điện tử tự do. m=0.067 m0;
- Khối lượng của điện tử tự do. m0=9.109389 10-31kg;
- Điện tích của điện tử. e0=1.60219 10-19(C)
- Điện tích hiệu dụng của điện tử. e=2.07*e0;
c=3.108 (m/s) - Tốc độ ánh sáng trong chân không.
ND - Nồng độ pha tạp
Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab, kết quả tính toán số và vẽ đồ thị cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của từ trở trong siêu mạng pha tạp vào các đại lượng như: từ trường B, biên độ sóng điện từ E, tần số và nhiệt độ T.
3. . Sự phụ thuộc của từ trở vào từ trƣờng B.
Khảo sát sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường B cho siêu mạng pha tạp
(s); các giá trị của nhiệt độ T1=2K, T2=3K
58
GaAs:Si/ GaAs:Be với N=0, N’=1, và T3=5K.
Hình 3.1 : Sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường.
Theo đồ thị hình 3.1, giá trị của từ trở giảm khi từ trường nhỏ rồi tăng dần đến giá trị cực đại, sau đó từ trở giảm rất nhanh. Với các giá trị khác nhau của nhiệt độ được đỉnh cộng hưởng tại các điểm khác nhau của từ trường. Kết quả này hoàn toàn khác biệt so với kết quả thu được trong trường hợp bán dẫn khối.
3.2. Sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ E.
Khảo sát sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ E cho siêu
mạng pha tạp GaAs:Si/ GaAs:Be với N=0, N’=1, (s); các giá trị khác nhau
59
của tần số , ,
Hình 3.2 : Sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ.
Đồ thị hình 3.2 chỉ ra rằng, khi biên độ của sóng điện từ càng lớn thì từ trở tăng càng nhanh. Sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ E thay đổi khi ta thay đổi giá trị của tần số . Chúng ta có thể nhận được đồ thị tương tự như trong bán dẫn khối khi cho giá trị tần số tiến tới 0.
3.3. Sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ .
Khảo sát sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ cho siêu
(s); các giá trị khác nhau
mạng pha tạp GaAs:Si/ GaAs:Be với N=0, N’=1, của từ trường B=2,00T, B=2,05T, B=2,10T.
Hình 3.3 : Sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ.
Qua đồ thị hình 3.3 cho thấy từ trở phụ thuộc phi tuyến vào tần số. Giá trị của từ trở tăng mạnh khi tần số thấp, sau đó giảm đều đặn. Với các giá trị khác nhau của từ trường B ta nhận được đỉnh cộng hưởng tại cùng một điểm của tần số.
3.4. Sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ T.
Khảo sát sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ cho siêu
(s); các giá trị khác nhau
60
mạng pha tạp GaAs:Si/ GaAs:Be với N=0, N’=1, của biên độ sóng điện từ E1=1.106 (V/m), E2=2.106 (V/m), E1=3.106 (V/m).
Hình 3.4 : Sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ.
Đồ thị hình 3.4 chỉ ra rằng, hiện tượng từ như là một hàm của nhiệt độ. Giá trị của từ trở tăng mạnh khi nhiệt độ thấp, sau đó giảm đều đặn. Với các giá trị khác nhau của cường độ điện trường ta nhận được đỉnh cộng hưởng tại các điểm khác nhau của nhiệt độ.
61
Các kết quả của luận văn là mới mẻ và có giá trị khoa học. Việc nghiên cứu từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp đã bổ sung thêm sự hiểu biết về tính chất của điện tử trong các hệ thấp chiều.
KẾT LUẬN CHUNG
Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, luận văn nghiên cứu về từ
trở ngang trong siêu mạng pha tạp. Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1. Bằng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp đã thu được biểu thức giải tích của từ trở ngang. Từ đó cho thấy sự phụ thuộc của từ trở ngang vào một số đại lượng như: từ trường B, biên độ của sóng điện từ E, tần số của sóng điện từ và nhiệt độ T của hệ, khác biệt rõ rệt so với trong bán dẫn khối.
2. Kết quả lý thuyết của từ trở ngang trong siêu mạng pha tạp đã được tính toán số, vẽ đồ thị và bàn luận cho trường hợp siêu mạng pha tạp GaAs:Si/ GaAs:Be. Ta thấy từ trở nhận các giá trị âm và sự phụ thuộc của từ trở vào từ trường B, biên đạt đến giá trị 0, thu được độ E, tần số và nhiệt độ T là phi tuyến. Khi tần số
62
giới hạn các kết quả của bán dẫn khối.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phong TC, Bau NQ: Parametric resonance or acoustic and optical phonons in a quantum well. J Korean Phys Soc. 2003; 42: 647-651.
[2] Bau NQ, Hung LT, Nam ND: The nonlinear apsorption coefficient of strong
electromagnetic waves by confined electrons in quantum wells under the influences of confined phonons. JEWA. 2010; 13: 1751-1761.
[3] Bau NQ, Dinh L, Phong TC: Absorption Coefficient of Weak Electromagnetic Waves caused by Confined Electrons in Quantum Wires. J Korean Phys Soc. 2007; 51: 1325-1330.
[4] Bau NQ, Trien HD: The nonlinear absorption coefficient of strong electromagnetic waves caused by electrons confined in quantum wires. J Korean Phys Soc. 2010; 56: 120-127.
[5] Yua. SG, Kim KW, Stroscio MA, Iafrate GJ and Ballato A: Electron interaction with confined acoustic phonons in cylindrical quantum wires via deformation potential. J.Appl. Phys. 1996; 80: 2815-2822.
[6] Nishiguchi N: Resonant acoustic-phonon modes in quantum wire. Phys Rev B . 1995; 52:5279-5288.
[7] Zhao P: Phonon amplification by absorption of an intense laser field in a quantum well of polar material. Phys Rev B. 1994; 49: 13589-13599.
[8] Epstein EM: Parametric resonance of acoustic and optical phonons in semiconductors.Sov Phys Semicond. 1976; 10: 1164.
[9] Vyazovskii MV, Yakovlev VA: Parametric resonance of acoustic and optical phonons in impurity semiconductors in low temperature. Sov Phys Semicond. 1977; 11: 809.
[10] Lee SC: Optically detected magnetophonon resonances in quantum wells. J Korean Phys Soc. 2007; 51: 1979-1986.
[11] Manlevich VL, Epshtein EM: Photostimulated odd magnetoresistance of
semiconductors. Sov Phys Semicond. 1976; 18: 739-741.
63
[12] Manlevich VL, Epshtein EM: Photostimulated kinetic effects in semiconductors.JSovPhys.1976;19:230-237
PHỤ LỤC
CHƢƠNG TRÌNH MATLAB XỬ LÍ SỐ LIỆU
1.Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của từ trở vào từ trƣờng B. clc;close all;clear all; T=2; E1=1e6;g E0=2e6; L=20e-9; ome=2e12; B=linspace(2,7);nd=10^20; tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(B,tutro1,':k','linewidth',3);grid on; hold on; T=3; tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(B,tutro1,'--k','linewidth',3); T=5; tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(B,tutro1,'-k','linewidth',3); legend('T=2 K','T=3 T','T=5 K'); xlabel('Magnetic Field (T)'); ylabel('Magnetoresistance'); 2. Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của từ trở vào biên độ của sóng điện từ E. clc;close all;clear all;
T=2;
E0=linspace(1e6,10e6);
E1=1e5;
L=20e-9;
ome=5.0e12;
B=4;nd=10^20;
tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd);
plot(E0,tutro1,':k','linewidth',3);grid on;
64
hold on;
ome=6.0e12;
tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd);
plot(E0,tutro1,'--k','linewidth',3);
ome=7.0e12;
tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd);
plot(E0,tutro1,'-k','linewidth',3);
legend('\Omega=5.10^{12} s^{-1}','\Omega=6.10^{12} s^{-1}','\Omega=7.10^{12} s^{- 1}');
xlabel('Intensity of EMW E_{0}(V/m)');
ylabel('Magnetoresistance');
.
65
3. Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của từ trở vào tần số của sóng điện từ clc;close all;clear all; T=4; E1=1e6; E0=4.5e6; L=20e-9; ome=linspace(1e12,10e12);nd=10^20; B=2.25; tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(ome,tutro1,':k','linewidth',3);grid on; hold on; B=2.5; tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(ome,tutro1,'--k','linewidth',3); B=2.75; tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(ome,tutro1,'k','linewidth',3); legend('B=2 T','B=2.10 T','B=2.15 T'); xlabel('Frequency of EMW \Omega (s^{-1})'); ylabel('Magnetoresistance'); 4. Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của từ trở vào nhiệt độ T. clc;close all;clear all; T=linspace(0,100);
E1=1e6; E0=6e6; L=20e-9; ome=4e12; B=3;nd=10^20; tutro1=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(T,tutro1,':k','linewidth',3);grid on; hold on; E1=2e6; tutro2=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(T,tutro2,'--k','linewidth',3); E1=3e6; tutro3=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd); plot(T,tutro3,'-k','linewidth',3); legend('E_{1}=10^{6} V/m','E_{1}=2.10^{6} V/m','E_{1}=3.10^{6} V/m'); xlabel('Temprature (K)'); ylabel('Magnetoresistance'); 5. Các hàm sử dụng
*) Tính I
66
function tinhI=tinhI(N,N1,B,m,omc) x = sym('x','real'); qz = sym('qz','real'); e0=1.60219e-19;e=2.07*e0; h=1.05459e-34; lz=sqrt(h./(m.*omc)); f=(-1).^N.*exp(x.^2).*diff(exp(-x.^2),N); f1=(-1).^N1.*exp(x.^2).*diff(exp(-x.^2),N1); ff=sqrt((1./(2.^N.*factorial(N))).*(1./(2.^N1.*factorial(N1).*pi))).*... exp(-x.^2).*cos(qz.*x.*lz).*f.*f1; I11=int(ff,x,-inf,inf); ff1=sqrt((1./(2.^N.*factorial(N))).*(1./(2.^N1.*factorial(N1).*pi))).*... exp(-x.^2).*sin(qz.*x.*lz).*f.*f1; I21=int(ff1,x,-inf,inf); Isq=I11.^2+I21.^2; Isqnk=int(Isq,qz,-inf,inf); tinhI=double(Isqnk); end
*) tu tro
67
function tutro=tutro(T,E0,E1,B,L,ome,nd) m0=9.109389e-31;m=0.067*m0; e0=1.60219e-19;e=2.07*e0; h=1.05459e-34;kb=1.3807e-23; vs=5220;ro=5320; c=3e8;xi=13.5*1.6e-19;ko=8.854*10^-12; hnu=3.66e-2*1.60219e-19;ome0=hnu/h; omz=sqrt(4*pi*e^2*nd/ko/m); Ef=0.05*1.6*10^(-19); tau=1e-12; r=1/2; tau2=tau.*(1-h.*ome./Ef).^r; tau3=tau.*(1+h.*ome./Ef).^r; omc=e.*B/m; omp=sqrt(omz.^2+omc.^2); N=0;N1=1; Isqn=tinhI(N,N1,h,e,B); d0=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*omp*(N+1/2))./(h.*omz)^2; d1=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*omp*(N1+1/2))./(h.*omz)^2; d2=2.*m.*omp.^2.*(Ef+h*ome-h*omp*(N1+1/2))./(h.*omz)^2; d3=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*ome-h*omp*(N1+1/2))./(h.*omz)^2; d5=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*ome-h*omp*(N+1/2))./(h.*omz)^2; d6=2.*m.*omp.^2.*(Ef+h*ome-h*omp*(N+1/2))./(h.*omz)^2; b0=e.*L.*xi^2.*kb.*T.*e^2.*E0.^2.*e.*E1.*omc.*Isqn/4/pi^2/m/ro/vs^2/h^4./ome.^4/h/om z^2; b1=4.*sqrt(d0./d1).*(d0+3.*d1).*heaviside(d0).*heaviside(d1)-... 2.*sqrt(d0./d2).*(d0+3.*d2).*heaviside(d0).*heaviside(d2)-... 2.*sqrt(d0./d3).*(d0+3.*d3).*heaviside(d0).*heaviside(d3)+... 2.*(d0.^2-d1.^2)./sqrt(d0.*d1).*heaviside(d0).*heaviside(d1); b2=(d1.^2-d5.^2)./sqrt(d5.*d1).*heaviside(d5).*heaviside(d1); b3=(d1.^2-d6.^2)./sqrt(d6.*d1).*heaviside(d6).*heaviside(d1); a0=e.*L/pi/h.*sqrt(d0).*heaviside(d0); sigmazzH=a0+b0.*b1.*tau.*(1-omc.^2.*tau.^2)./(1+omc.^2.*tau.^2)+... b0.*b2.*tau2.*(1-omc.^2.*tau.*tau2)./(1+omc.^2.*tau2.^2).*heaviside(Ef-h*ome)+... b0.*b3.*tau3.*(1-omc.^2.*tau.*tau3)./(1+omc.^2.*tau3.^2); sigmaxzH=a0.*omc.*tau+b0.*b1.*omc.*tau.*(tau+tau)./(1+omc.^2.*tau2.^2)+... b0.*b2.*omc.*tau2.*(tau+tau2)./(1+omc.^2.*tau2.^2).*heaviside(Ef-h*ome)+ ... b0.*b3.*omc.*tau3.*(tau+tau3)./(1+omc.^2.*tau3.^2); omc=0;
68
omp=sqrt(omz.^2+omc.^2); N=0;N1=1; Isqn=tinhI(N,N1,h,e,B); d0=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*omp*(N+1/2))./(h.*omz)^2; d1=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*omp*(N1+1/2))./(h.*omz)^2; d2=2.*m.*omp.^2.*(Ef+h*ome-h*omp*(N1+1/2))./(h.*omz)^2; d3=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*ome-h*omp*(N1+1/2))./(h.*omz)^2; d5=2.*m.*omp.^2.*(Ef-h*ome-h*omp*(N+1/2))./(h.*omz)^2; d6=2.*m.*omp.^2.*(Ef+h*ome-h*omp*(N+1/2))./(h.*omz)^2; b0=e.*L.*xi^2.*kb.*T.*e^2.*E0.^2.*e.*E1.*omc.*Isqn/4/pi^2/m/ro/vs^2/h^4./ome.^4/h/om z^2; b1=4.*sqrt(d0./d1).*(d0+3.*d1).*heaviside(d0).*heaviside(d1)-... 2.*sqrt(d0./d2).*(d0+3.*d2).*heaviside(d0).*heaviside(d2)-... 2.*sqrt(d0./d3).*(d0+3.*d3).*heaviside(d0).*heaviside(d3)+... 2.*(d0.^2-d1.^2)./sqrt(d0.*d1).*heaviside(d0).*heaviside(d1); b2=(d1.^2-d5.^2)./sqrt(d5.*d1).*heaviside(d5).*heaviside(d1); b3=(d1.^2-d6.^2)./sqrt(d6.*d1).*heaviside(d6).*heaviside(d1); a0=e.*L/pi/h.*sqrt(d0).*heaviside(d0); sigmazz0=a0+b0.*b1.*tau+b0.*b2.*tau2.*heaviside(Ef-h*ome)+b0.*b3.*tau3; tutro=sigmazzH.*sigmazz0./(sigmazzH.^2+sigmaxzH.^2)-1; end
