Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô bao gồm những nội dung về độ đo; hàm đo được; bổ đề Urysohn; dung lượng trong không gian tôpô; tích phân Choquet theo dung lượng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------- Phan Phụng Hiệp LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------- Phan Phụng Hiệp LÝ THUYẾT DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
1 LỜI CÁM ƠN Lời cám ơn sâu sắc nhất, tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy của tôi – PGS - TS. Đậu Thế Cấp, người đã giảng dạy cho tôi trong khóa học, cũng như đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thạc sĩ này. Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và cho tôi những nhận xét về luận văn. Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, quý Thầy Cô của Khoa Toán - Tin học, quý Thầy Cô thuộc Phòng Quản Lý Khoa Học Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm TP. HCM đã trang bị cho tôi kiến thức cũng như đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy Cô – những đồng nghiệp của tôi Trường THPT Mạc Đĩnh Chi đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong công việc để tôi được thuận lợi hơn trong quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các bạn học viên cùng lớp Cao học Giải Tích khóa 16 đã chia sẻ, giúp đỡ nhau trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng là lời cám ơn tôi dành cho những người thân trong gia đình tôi, những người luôn động viên tôi trong suốt thời gian qua. TP. Hồ Chí Minh, ngày 1 tháng 10 năm 2008 Phan Phụng Hiệp
2 MỤC LỤC Lời cám ơn ……………………………………………………………….......1 Mục lục ………………………………………………………………………2 MỞ ĐẦU …………………………………………………………………….3 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ……………………………………...5 1.1. Độ đo ……………………………………………………………...5 1.2. Hàm đo được…...... …………….………………………………..18 1.3. Bổ đề Urysohn……………………………………………………19 Chương 2: DUNG LƯỢNG TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ ………….21 2.1. Các định nghĩa và tính chất ……………………………………...21 2.2. Mối liên hệ giữa dung lượng và độ đo …………………………..28 2.3. Một số dung lượng đặc biệt ……………………………………...29 Chương 3: TÍCH PHÂN CHOQUET THEO DUNG LƯỢNG ………...35 3.1. Định nghĩa ……………………………………………………….35 3.2. Tính chất………………………………………………………….36 KẾT LUẬN ………………………………………………………………...45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………...46
3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết dung lượng được đưa ra bởi G. Choquet và được tiếp tục phát triển bởi nhiều tác giả trong thời gian qua. Dung lượng đã được xét trong không gian đo được bất kỳ như là một khái quát của độ đo và gần đây là trong không gian mêtric R n với σ - đại số Borel của hai tác giả Nguyễn Nhụy và Lê Xuân Sơn. Vì vậy, tiếp tục mở rộng các kết quả trên một không gian tôpô tổng quát đó là lí do mà chúng tôi chọn đề tài này. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi đưa ra khái niệm dung lượng và khái niệm tích phân Choquet theo dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff tổng quát với σ - đại số Borel. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel, khảo sát một số trường hợp dung lượng có giá là tập hữu hạn, và một số tính chất của tích phân Choquet theo các dung lượng có giá là tập hữu hạn. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết quả có được của luận văn là một trường hợp cho lý thuyết dung lượng trong không gian tôpô Hausdorff với σ - đại số Borel. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn được trình bày 3 chương:
4 - Chương 1: Trình bày một số vấn đề về lí thuyết độ đo có liên quan và bổ đề Urysohn. - Chương 2: Trình bày định nghĩa của dung lượng trên không gian tôpô Hausdorff cùng một số tính chất của nó, mối liên hệ giữa dung lượng với độ đo và một số dung lượng đặc biệt. - Chương 3: Trình bày định nghĩa tích phân Choquet theo dung lượng và chứng minh một số kết quả trong trường hợp dung lượng có giá là tập hữu hạn.
5 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Độ đo Kí hiệu P ( X ) là họ tất cả các tập con của tập X. Định nghĩa 1.1.1 Một họ M ⊂ P ( X ) được gọi là một σ - đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện i. ∅ ∈ M . +∞ ii. { E j } +∞ ⊂ M thì UE j ∈M. j =1 j =1 iii. E ∈ M thì E c = X \ E ∈ M . Nếu điều kiện ii. được thay bởi điều kiện n ii’. { E j } n ⊂ M thì UE j ∈M j =1 j =1 thì M gọi là một đại số. Cặp ( X , M) gồm tập X và một σ - đại số M trên X gọi là một không gian đo được. Ta biết giao của một họ khác rỗng các σ - đại số các tập con của X là một σ - đại số. Nếu E là một họ các tập con của X thì P ( X ) là một σ - đại số chứa E . Do đó ta có σ - đại số M( E ) là giao của tất cả các σ - đại số chứa E và σ - đại số M( E ) được gọi là σ - đại số sinh bởi E . Với các họ tập con E , F của X ta có E ⊂ M( F ) ⇒ M( E ) ⊂ M( F ).
6 Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian tôpô. Ta gọi σ - đại số Borel trên X là σ - đại số sinh bởi họ các tập con mở của X, kí hiệu là B( X ). Mỗi phần tử thuộc B( X ) gọi là một tập Borel. Như vậy tập Borel bao gồm các tập mở, các tập đóng, giao của đếm được các tập mở, hợp của đếm được các tập đóng… của X. Đặc biệt nếu X là không gian Hausdorff thì mọi tập con compăc là tập Borel. Ta gọi một tập bằng giao của đếm được các tập mở là tập Gδ , một tập bằng hợp của đếm được các tập đóng là tập Fσ . Định lí 1.1.1 B( R ) được sinh bởi một trong các họ tập con sau đây của R a. Họ các khoảng mở E1 = {(a; b) / a < b} . b. Họ các khoảng đóng E2 = {[a; b]/ a < b} . c. Họ các khoảng nửa mở E3 = {(a; b]/ a < b} hoặc E4 = {[a; b) / a < b} . d. Họ các nửa đường thẳng mở E5 = {(a; +∞) / a ∈ R} hoặc E6 = {(−∞; a) / a ∈ R} . e. Họ các nửa đường thẳng đóng E7 = {[a; +∞) / a ∈ R} hoặc E8 = {(−∞; a ]/ a ∈ R} . Định nghĩa 1.1.3 Cho { X α }α∈I là một họ các tập khác rỗng, X = ∏ X α và π α : X → X α α ∈I là ánh xạ tọa độ thứ α . Với mỗi α , cho Mα là σ - đại số trên X α .
7 Ta gọi σ - đại số tích của các σ - đại số trên X α là σ - đại số trên X sinh bởi họ tập {π α−1 ( Eα ) / Eα ∈ Mα ,α ∈ I } . n Ta kí hiệu σ - đại số này là ⊗ Mα , nếu I = {1,..., n} thì ta kí hiệu ⊗ M j hoặc α ∈I 1 M1 ⊗ ... ⊗ Mn . Định lí 1.1.2 Nếu I là tập đếm được thì ⊗ Mα là σ - đại số sinh bởi họ tập α ∈I   ∏ Eα / Eα ∈ Mα  .  α∈I  Định lí 1.1.3 Cho Mα sinh bởi Eα , α ∈ I . Khi đó ⊗ Mα được sinh bởi F1 = {π α−1 ( Eα ) / Eα ∈ Eα , α ∈ I } . α ∈I Nếu I đếm được và X α ∈ Eα , ∀α ∈ I thì ⊗ Mα được sinh bởi α ∈I   F2 = ∏ Eα / Eα ∈ Eα  .  α∈I  Định lí 1.1.4 n Cho X 1 ,..., X n là các không gian mêtric và X = ∏ X j là không gian 1 n mêtric tích. Khi đó ⊗ B( X j ) ⊂ B( X ) . Nếu tất cả các không gian X j khả li thì 1 n ⊗ B ( X j ) = B( X ) . 1
8 Ta gọi một gian trong R n là một tập dạng G1 × ... × Gn , trong đó Gi là khoảng mở, khoảng đóng, hoặc khoảng nửa mở trong R. Định lí 1.1.5 n B( R n ) = ⊗ B( R) và B( R n ) là σ - đại số được sinh bởi các gian trong 1 Rn . Định nghĩa 1.1.4 Họ E các tập con của X gọi là một họ sơ cấp nếu i. ∅ ∈ E . ii. E , F ∈ E ⇒ E ∩ F ∈ E . iii. E ∈ E thì E c bằng hợp của hữu hạn các tập rời nhau của E . Định lí 1.1.6 Nếu E là một họ sơ cấp thì họ A các hợp hữu hạn của các tập rời nhau của E là một đại số. Định nghĩa 1.1.5 Cho M là một σ - đại số trên X. Một hàm tập µ : M → [0; +∞] gọi là một độ đo trên M nếu thỏa mãn các điều kiện i. µ (∅) = 0 .  +∞  +∞ ii. { E j } +∞ là dãy các tập rời nhau thuộc M thì µ  U E j  = ∑ µ ( E j ) . j =1  j =1  j =1 Độ đo µ trên M gọi là hữu hạn nếu µ ( E ) < +∞, ∀E ∈ M .
9 Độ đo µ trên M gọi là σ - hữu hạn nếu tồn tại dãy { E j } ⊂ M , +∞ j =1 +∞ µ ( E j ) < +∞, ∀j và UE j =X. j =1 Độ đo µ trên M gọi là độ đo đầy đủ nếu mọi E ∈ M , µ ( E ) = 0 thì mọi F ⊂ E đều có F ∈ M . Bộ ba ( X , M, µ ) trong đó M là một σ - đại số trên X, µ là một độ đo trên M gọi là một không gian độ đo. Định lí 1.1.7 Cho ( X , M, µ ) là một không gian độ đo. Khi đó a. Mọi E , F ∈ M, E ⊂ F đều có µ ( E ) ≤ µ ( F ) (tính chất đơn điệu). b. Mọi dãy { E j } +∞ ⊂ M đều có j =1  +∞  +∞ µ  U E j  ≤ ∑ µ ( E j ) (tính chất cộng tính dưới).  1  1 c. Mọi dãy { E j } +∞ ⊂ M, E j ⊂ E j +1 ∀j , đều có j =1  +∞  µ  U E j  = lim µ ( E j ) (tính chất liên tục dưới).  1  j →+∞ d. Mọi dãy { E j } +∞ ⊂ M, E j ⊃ E j +1 ∀j , µ ( E1 ) < +∞ , đều có j =1  +∞  µ  I E j  = lim µ ( E j ) (tính chất liên tục trên).  1  j →+∞ Định lí 1.1.8 Cho ( X , M, µ ) là một không gian độ đo.
10 Giả sử N = { N ∈ M | µ ( N ) = 0} , M = { E ∪ F | E ∈ M , F ⊂ N , N ∈ N} . Khi đó M là một σ - đại số và tồn tại duy nhất độ đo µ trên M là mở rộng của µ , µ là một độ đo đầy đủ trên M . Ta gọi µ là bổ sung đầy đủ của độ đo µ , σ - đại số M gọi là bổ sung đầy đủ của σ - đại số M tương ứng với độ đo µ . Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một tập khác rỗng. Hàm µ * : P ( X ) → [0; +∞] gọi là một độ đo ngoài trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện i. µ * (∅) = 0 . ii. A, B ∈ P ( X ), A ⊂ B ⇒ µ * ( A) ≤ µ * ( B) .  +∞  +∞ iii. { Aj } +∞ ⊂ P ( X ) ⇒ µ *  U Aj  ≤ ∑ µ * ( Aj ) . 1  1  1 Định lí 1.1.9 Cho E ⊂ P ( X ), {∅, X } ⊂ E , ρ : E → [0; +∞] là hàm thỏa mãn ρ (∅) = 0 . Với mỗi A ⊂ X , ta đặt +∞  +∞  {E } +∞ µ ( A) = inf ∑ ρ ( E j ) | * j 1 ⊂ E , A ⊂ UEj  .  1 1  Khi đó µ * là một độ đo ngoài trên X. Định nghĩa 1.1.7 Cho µ * là một độ đo ngoài trên X. Tập A ⊂ X gọi là µ * - đo được nếu µ * ( E ) = µ * ( E ∩ A) + µ * ( E ∩ Ac ), ∀E ⊂ X .
11 Định lí 1.1.10 (Định lí Caratheodory) Nếu µ * là một độ đo ngoài trên X thì họ M các tập µ * - đo được là một σ - đại số và thu hẹp của µ * trên M là một độ đo đầy đủ. Định nghĩa 1.1.8 Cho A ⊂ P ( X ) là một đại số. Hàm µ : A → [0; +∞] gọi là một tiền độ đo nếu i. µ (∅) = 0 . +∞ {A } +∞ ii. Nếu j 1 ⊂A là các tập rời nhau và UA ∈A j thì 1  +∞  +∞ µ  U Aj  = ∑ µ ( Aj ) .  1  1 Định lí 1.1.11 Cho µ là một tiền độ đo trên đại số A . +∞  +∞  {A } +∞ Đặt µ ( E ) = inf ∑ µ ( Aj ) / * j 1 ⊂ A , E ⊂ U Aj  . Khi đó µ * là độ đo  1 1  ngoài trên X và a. µ * | A = µ . b. Mọi tập thuộc A là µ * - đo được. Định lí 1.1.12 (Định lí Hahn) Cho A ⊂ P ( X ) là một đại số, µ là tiền độ đo trên A , M là σ - đại số sinh bởi A . Khi đó a. Tồn tại độ đo µ trên M mở rộng của µ , cụ thể là µ = µ ∗ | M, µ ∗ là độ đo ngoài trên X xác định bởi
12 +∞  +∞  { Aj } +∞ µ * ( E ) = inf ∑ µ ( Aj ) | ⊂ A , E ⊂ U Aj  .  1 1 1  b. Nếu ν là độ đo bất kì trên M mở rộng của µ thì ν ( E ) ≤ µ ( E ), ∀E ∈ M , dấu đẳng thức xảy ra khi µ ( E ) < +∞ . c. Nếu µ là σ - hữu hạn thì µ là mở rộng duy nhất của µ thành độ đo trên M . Kí hiệu E là họ các khoảng mở bên trái (hữu hạn và vô hạn) của R và tập rỗng. Ta có E là một họ sơ cấp. Gọi A là đại số sinh bởi E . Ta có M ( A ) = M ( E ) = B( R ) . Định lí 1.1.13 Với (a j ; b j ], j = 1,..., n là các khoảng rời nhau, đặt  n  n µ  U (a j ; b j )  = ∑ ( b j − a j ), µ (∅) = 0 .  1  1 Khi đó µ là một tiền độ đo trên A . Chứng minh: n Nếu {(a j ; b j ]} là các khoảng rời nhau và n 1 U ( a ; b ] = ( a; b ] 1 j j thì bằng cách đánh lại chỉ số j ta có a = a1 < b1 = a2 < b2 = ... < bn = b n nên ∑ (b 1 j − a j ) = bn − a1 = b − a .
13 {Ii }1 , { J j }1 n m Bây giờ giả sử là hai họ các khoảng mở bên trái rời nhau, n m U Ii = U J j . Theo trường hợp đã chứng minh ta có 1 1 n n m m  n  m ∑ µ ( Ii ) =∑∑ µ ( Ii ∩ J j ) = ∑ µ  U ( Ii ∩ J j )  = ∑ µ ( J j ) 1 j =1 j =1 j =1  i =1  j =1 Vậy định nghĩa µ là hợp lí và µ cộng tính hữu hạn. Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu { I j } +∞ là một dãy các khoảng rời nhau trong 1  +∞  +∞ A thì µ  U I j  = ∑ µ ( I j ) .  1  1 +∞ Đặt I = U I j , do µ cộng tính hữu hạn nên ta chỉ cần xét 1 I = (a; b], I = (−∞; b], I = (a; +∞), a, b ∈ R, a < b .  n   n   n  n Ta có µ ( I ) = µ  U I j  + µ  I \ U I j  ≥ µ  U I j  = ∑ µ ( I j ) .  1   1   1  1 +∞ Cho n → +∞ ta nhận được µ ( I ) ≥ ∑ µ ( I j ) . 1 Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước hết xét trường hợp I = (a; b] . Cố định ε > 0 . Với mỗi I j = (a j ; b j ] , chọn δ j sao cho 0 < δ j < ε .2− j . Họ các khoảng mở (a j ; b j + δ j ) là một phủ mở của tập compắc [a + ε ; b] nên có phủ con hữu hạn. Bằng cách loại các khoảng được chứa trong một khoảng khác và đánh số lại phủ con hữu hạn này ta có các khoảng (a1; b1 + δ1 ) ,…, (aN ; bN + δ N ) phủ [a + ε ; b] , a1 < a2 < ... < aN và b j + δ j ∈ ( a j +1; b j +1 + δ j +1 ) , j = 1,..., N − 1 . Khi đó:
14 µ ( I ) = b − ( a + ε ) + ε ≤ (bN + δ N ) − a1 + ε N −1 = (bN + δ N ) − a N + ∑ ( a j +1 − a j ) + ε 1 N −1 ≤ (bN + δ N ) − aN + ∑ ( (b j + δ j ) − a j ) + ε 1 N = ∑ ( (b j + δ j ) − a j ) + ε 1 N N = ∑ ( b j − a j ) + ∑ ( (b j + δ j ) − b j ) + ε 1 1 +∞ ≤ ∑ µ ( I j ) + 2ε . 1 +∞ Vì ε > 0 tuỳ ý nên ta có µ ( I ) ≤ ∑ µ ( I j ) . 1 Với mọi M > 0 đủ lớn theo trường hợp đã chứng minh ta có +∞ I = (−∞; b] thì µ ( (− M , b]) ≤ ∑ µ ( I j ) + 2ε 1 +∞ I = (a; +∞) thì µ ( (a, M ]) ≤ ∑ µ ( I j ) + 2ε . 1 +∞ Cho M → +∞ và ε → 0 ta có µ ( I ) ≤ ∑ µ ( I j ) . 1 Theo định lí Hahn, tồn tại duy nhất độ đo µ trên B( R) mở rộng của µ . Kí hiệu m là bổ sung đầy đủ của µ , gọi là độ đo Lebesgue trên R, kí hiệu miền của độ đo này là L . Rõ ràng B( R ) ⊂ L . Mỗi tập thuộc L gọi là tập đo được Lebesgue.
15 Định lí 1.1.14 Với mọi E ∈ L ta có +∞  +∞  a. m( E ) = inf ∑ m ( (a j , b j ) ) | E ⊂ U (a j , b j )  .  1 1  b. m( E ) = inf { m(U ) / U ⊃ E và U mở}. c. m( E ) = sup { m( K ) / K ⊂ E và K compăc}. Chứng minh: +∞  +∞  a) Kí hiệu ν ( E ) := inf ∑ m(a j , b j ) / E ⊂ U (a j , b j )  .  1 1  +∞ Giả sử E ⊂ U (a j , b j ) . 1 Với mỗi j đặt l j = b j − a j và I jk = ( b j − l j .21−k , b j + l j .2− k ) , k ∈ N . +∞ +∞ +∞ Khi đó (a j , b j ) = U I jk và k =1 ∑ m ( (a j , b j ) ) = ∑ m( I jk ) ≥ m( E ) . 1 j , k =1 Vậy ν ( E ) ≥ m( E ) . Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên nếu m( E ) = +∞ . +∞ Trường hợp m( E ) < +∞ , ∀ε > 0 , tồn tại {(a j , b j ]} +∞ sao cho E ⊂ U (a j , b j ] 1 1 +∞ và ∑ m ( ( a , b ]) ≤ m ( E ) + ε . 1 j j Với mọi j, tồn tại δ j sao cho 0 < δ j < ε .2− j . +∞ Khi đó E ⊂ U (a j , b j + δ j ) 1 +∞ +∞ và ∑ m ( (a j , b j + δ j ) ) ≤ ∑ m ( (a j , b j ]) + ε ≤ m( E ) + 2ε . 1 1 Vậy trường hợp này ta cũng có ν ( E ) ≤ m( E ) .
16 b) Nếu U ⊃ E , U mở thì m(U ) ≥ m( E ) . Mặt khác nếu U bằng hợp của đếm +∞ được các khoảng (a j , b j ) phủ E thì U mở, U ⊃ E và m(U ) ≤ ∑ m ( (a j , b j ) ) . 1 Vậy b) suy ra từ a). c) Trước hết ta giả thiết E bị chặn. Nếu E = E thì E compắc, kết quả là hiển nhiên. Nếu E không đóng thì theo b) với mọi ε > 0 , tồn tại tập mở U sao cho U ⊃ E \ E và m(U ) ≤ m( E \ E ) + ε . Đặt K = E \ U thì K compắc, K ⊂ E và m ( K ) = m( E ) − m( E ∩ U ) = m( E ) − ( m(U ) − m(U \ E ) ) ≥ m( E ) − m(U ) + m( E \ E ) ≥ m( E ) − ε . Cuối cùng, nếu E không bị chặn thì đặt E j = E ∩ ( j , j + 1] . Theo trường hợp bị chặn, mọi n∈ N tồn tại tập compắc K j ⊂ Ej sao cho n 1 −j m( K j ) ≥ m( E j ) − 2 . Đặt H n = U K j thì H n là tập compắc, H n ⊂ E và n −n  n  3 m( H n ) ≥ m  U E j  − .  −n  n Từ đó ta có lim m( H n ) = m( E ) và có K = H n với n đủ lớn. Cho các không gian độ đo ( X j , M j , µ j ), j = 1,..., n . n Ta gọi gian trong ∏X1 j là các tập dạng A1 × ... × An , trong đó Aj ∈ M j gọi là các cạnh của gian. Với mọi gian A1 × ... × An ta có
17 n ( A1 × ... × An ) = U ( X 1 × ... × X j −1 × Acj × X j +1 × ... × X n ) c j =1 là hợp của các gian rời nhau. n Ta có ∅ là gian và giao của hai gian là gian nên họ các gian trong ∏X 1 j là một họ sơ cấp. Kí hiệu A là họ các hợp hữu hạn của các gian rời nhau. Ta có A là một đại số. Với mỗi gian A1 × ... × An , đặt π ( A1 × ... × An ) = µ1 ( A1 )...µ n ( An ) , ở đây ta quy ước 0.∞ = 0 . Ta có π là một tiền độ đo trên A . Thế thì tồn tại duy nhất độ đo µ trên M1 ⊗ ... ⊗ Mn sao cho µ | A = π . Độ đo µ gọi là tích của các độ đo µ1 ,..., µ n , kí hiệu là µ1 × ... × µ n . n Nếu A1 × ... × An là một gian thì ta có µ1 × ... × µ n ( A1 × ... × An ) = ∏ µ j ( Aj ) . 1 Xét trường hợp X j = R và µ j = m trên B( R) với j = 1,..., n thì ta có độ đo tích m × ... × m trên σ - đại số Borel B( R ) ⊗ ... ⊗ B( R ) = B( R n ) . Bổ sung đầy đủ của độ đo này gọi là độ đo Lebesgue trên R n , kí hiệu là m n , miền của nó kí hiệu là L n . Một cách tương đương cũng có thể coi m n là bổ sung đầy đủ của độ đo tích m × ... × m trên L ⊗ ... ⊗ L . m n | B( R n ) gọi là độ đo Borel trên R n . Định nghĩa 1.1.9 Một độ đo trên σ - đại số Borel của không gian tôpô X được gọi là độ đo Borel. Một độ đo Borel µ trên X gọi là chính quy nếu mọi E ∈ B( X ) ta có
18 µ ( E ) = inf { µ (U ) | U ⊃ E và U mở} = sup { µ ( K ) | K ⊂ E và K compăc}. Định lí 1.1.15 Độ đo Lebesgue trên R n có tính chính quy, tức là mọi E ∈ L n đều có m( E ) = inf { m(U ) | U ⊃ E và U mở} = sup { m( K ) | K ⊂ E và K compăc}. Chứng minh: Từ định nghĩa độ đo tích, mọi ε > 0 tồn tại dãy {G j } +∞ các gian sao 1 +∞ +∞ cho E ⊂ U G j và 1 ∑ m(G ) ≤ m( E ) + ε . 1 j Áp dụng định lí 1.1.14 cho các cạnh của gian G j ta có thể tìm được gian S j ⊃ G j có các cạnh là tập mở sao cho m( S j ) ≤ m(G j ) + ε .2− j . +∞ +∞ Đặt U = U S j thì U là mở và m(U ) ≤ ∑ m( S j ) ≤ m( E ) + 2ε . 1 1 Vậy ta có m( E ) = inf { m(U ) | U ⊃ E và U mở}. Tương tự như trong chứng minh định lí 1.1.14 ta có m( E ) = sup { m( K ) | K ⊂ E và K compăc}. 1.2. Hàm đo được Định nghĩa 1.2.1 Cho ( X , M) và (Y , N) là hai không gian đo được. Ánh xạ f : X → Y gọi là ( M, N) - đo được nếu mọi B ∈ N đều có f −1 ( B ) ∈ M . Hàm f : X → R gọi là đo được nếu f là ( M, B( R ) ) - đo được.