Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhóm Tôpô

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu các nội dung liên quan đến một số tính chất ba không gian trong dấu hiệu hội tụ của các tập compact dãy. Các tính chất liên quan đến lưới của nhóm tôpô có thương đối với nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai, nhóm con mêtric, compact địa phương cũng sẽ được phát biểu và chứng minh. Từ đó giải quyết một số vấn đề trong nghiên cứu sự thác triển của một số tiêu chuẩn hội tụ trong các nhóm tôpô.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển dấu hiệu hội tụ trong nhóm Tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHÓM TÔPÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Dư Ngọc Minh Anh THÁC TRIỂN DẤU HIỆU HỘI TỤ TRONG NHÓM TÔPÔ Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Hà Thanh. Nội dung của luận văn có sự tham khảo, trình bày lại và phát triển các khái niệm, định lý trong bài báo [10] Lin, Shou, Fucai Lin, and Li-Hong Xie (2015), “The extensions of some convergence phenomena in topological groups”, Topology and its Applications, 180, pp.167- 180. Những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Học viên thực hiện luận văn Dư Ngọc Minh Anh
LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành luận văn này em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ về chuyên môn từ các Giảng viên trong khoa Toán, các giáo viên đồng nghiệp và các bạn trong lớp Hình học và tôpô khóa 26 cùng các anh chị khóa trên. Đầu tiên em xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Hà Thanh - Người hướng dẫn khoa học, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM. Thầy đã nhiệt tình hướng dẫn em trong nghiên cứu về chuyên môn, truyền đạt kiến thức lẫn động viên tinh thần, nhiệt tình giúp em chỉnh sửa luận văn để có một luận văn tốt nhất. Em xin gửi lời cám ơn đến các Thầy, Cô đang công tác tại phòng Đào tạo Sau Đại học đã quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn các thủ tục để em có thể hoàn thành luận văn đúng yêu cầu và đúng tiến độ. Em xin chân thành cảm ơn các Giảng viên đang công tác tại khoa Toán đã giảng dạy em trong suốt quá trình học tập tại lớp cao học này. Em xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Thanh Đa và các giáo viên đồng nghiệp đã quan tâm động viên giúp đỡ để em có thời gian nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn các thành viên trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để em yên tâm nghiên cứu. Em xin cảm ơn chị Phan Ngọc Yến và chị Nguyễn Phương Anh (email phanngocyen.dhsp@gmail.com và nguyenphuonganhintel@gmail.com) đã giúp đỡ em trong quá trình tìm tài liệu cũng như chia sẻ kinh nghiệm trong quá trình làm luận văn. Cảm ơn các bạn Hoàng Dũng, Hương và anh Xuân Trung trong lớp cao học Hình học và tôpô khóa 26 đã cùng nhau học tập, nghiên cứu, hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau, để hoàn thành khóa học này. Xin chân thành cảm ơn. Dư Ngọc Minh Anh
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 4 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô .............................. 4 1.2. Các tiên đề tách .......................................................................................... 9 1.3. Dãy và hội tụ trong tôpô ........................................................................... 10 1.4. ∑ −không gian .......................................................................................... 11 1.5. Compact .................................................................................................... 12 1.6. Nhóm tôpô ................................................................................................ 15 1.7. Không gian khả mêtric ............................................................................. 16 Chương 2. TÍNH CHẤT BA KHÔNG GIAN ĐỐI VỚI CÁC TẬP COMPACT DÃY .......................................................................... 18 2.1. Không gian dãy. Không gian Fréchet ..................................................... 18 2.2. Tính chất thớ nghịch đảo. Tính chất ba không gian đối với các tập compact dãy ............................................................................................ 25 Chương 3. NHÓM THƯƠNG ĐỐI VỚI NHÓM CON THỎA TIÊN ĐỀ ĐẾM ĐƯỢC THỨ HAI VÀ NHÓM CON COMPACT ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC ................................................... 35 3.1. Lưới trong không gian tôpô và 0  không gian ..................................... 35 3.2. Sự thác triển các tính chất trong nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai...................................................................................................... 37 3.3. Nhóm thương đối với nhóm con khả mêtric compact địa phương. ........ 43 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 50
1 MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu đề tài Trong tôpô đại cương, không gian thương cùng các tính chất của nó là đối tượng thu hút nhiều nhà toán học quan tâm, tìm hiểu. Bài toán sau đây là chủ đề của sự nghiên cứu chuyên sâu và tỉ mỉ của các nhà toán học trong một thời gian dài. Cho H là một nhóm con đóng của nhóm tôpô G , và G / H là không gian thương. Giả thiết rằng cả H và G / H đều thoả một tính chất nào đó của không gian tôpô. Khi nào chúng ta có thể kết luận rằng G cũng có tính chất đó? Nhóm G được gọi là thác triển của nhóm H bởi không gian thương G / H . Năm 1949, Jean-Pierre Serre - một nhà toán học Pháp - đã chứng minh được rằng nếu H là một tập con đóng của nhóm tôpô G , và cả hai không gian H và G / H đều là compact địa phương, thì nhóm tôpô G là compact địa phương. Kết quả này dựa trên sự thác triển các tính chất từ G / H lên G , từ đó mở ra một hướng nghiên cứu mới cho câu hỏi được nêu trên. Chúng ta có khái niệm tính chất ba không gian: Cho H là một nhóm con đóng của nhóm tôpô G và G / H là không gian thương tương ứng, giả thiết rằng không gian H và G / H đều thoả tính chất P (tôpô, đại số, hoặc cả hai), nếu G cũng thoả tính chất P , thì P được gọi là tính chất ba không gian. J .P .Serre khẳng định rằng tính compact địa phương là một tính chất ba không gian. Thực tế đã có nhiều công trình chứng minh được tính compact, tính đầy đủ, tính liên thông, tính giả compact và tính mêtric là các tính chất ba không gian trong lớp các nhóm tôpô. Vào các năm gần đây, kế thừa những phát hiện của A.V. Arhangel’skiˇı, M. Bruguera, M. G. Tkachenko và V. V. Uspenskij đã đưa ra nhiều kết quả dựa trên sự mở rộng của các nhóm tôpô đối với các nhóm con đóng chuẩn tắc, nhóm con compact địa phương hay nhóm con khả mêtric compact địa phương. Điều đó cho thấy sự nghiên cứu về các tính chất ba không gian trong lớp các nhóm tôpô
2 được nhiều nhà toán học nghiên cứu, phát triển. Tuy nhiên, đề tài trên vẫn còn khá nhiều những vấn đề mở liên quan đến ứng dụng của các tính chất tôpô và đại số trong quá trình tạo ra nhóm thương. Mặt khác, sự hội tụ của dãy (tập hợp) là một đề tài luôn được quan tâm trong tôpô. Vào năm 2008, A. V. Arhangel’skii đã trình bày trong [3] những phát hiện ban đầu về sự thác triển các tiêu chuẩn hội tụ trong nhóm tôpô. Đây là một vấn đề mở thu hút nhiều sự nghiên cứu của các nhà toán học. Trong luận văn chúng tôi nghiên cứu các nội dung liên quan đến một số tính chất ba không gian trong dấu hiệu hội tụ của các tập compact dãy. Các tính chất liên quan đến lưới của nhóm tôpô có thương đối với nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai, nhóm con mêtric, compact địa phương cũng sẽ được phát biểu và chứng minh. Từ đó giải quyết một số vấn đề trong nghiên cứu sự thác triển của một số tiêu chuẩn hội tụ trong các nhóm tôpô. 2. Phương pháp nghiên cứu Trình bày các lý thuyết về tính chất ba không gian, lý thuyết không gian thương, đưa ra các kết quả qua lập luận và chứng minh chi tiết. Tổng hợp, bổ sung và hoàn thiện từ những bài báo đã có, tài liệu khoa học có liên quan đến đề tài, vấn đề cần nghiên cứu. 3. Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày như sau: Mở đầu gồm có giới thiệu đề tài, nội dung của luận văn, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. Chương 1: Kiến thức tổng quan. Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho luận văn gồm các khái niệm, Định nghĩa và tính chất cơ bản trong không gian tôpô. Chương 2: Trình bày các tính chất ba không gian đối với các tập compact dãy.
3 Chương 3: Trình bày sự thác triển các tính chất liên quan đến lưới của không gian thương đối với nhóm con thỏa tiên đề đếm được thứ hai và tính chất của không gian thương đối với nhóm con khả mêtric, compact địa phương. Kết luận: Hệ thống các kết quả đạt được trong chương 2 và chương 3. Tài liệu tham khảo.
4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho: i. , X  ii. U , V   U  V  iii. Ui   , i  I  Ui   iI Khi đó ta gọi  là một tôpô trên X và  X ;   là một không gian tôpô. 1.1.2. Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ;   và điểm x  X , U  X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại V   sao cho x  V và V  U . 1.1.3. Định nghĩa Tập A  X là tập mở nếu với mỗi x  A thì có một lân cận U x của x được chứa trong A . Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở. 1.1.4. Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   và A  X . Trên A ta xét tôpô  A   A  U :U mở trong X là họ các tập mở trong A . Dễ thấy  A là tôpô được cảm sinh từ tôpô  . Khi đó  X ,  A  được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô  X ,   . 1.1.5. Định nghĩa Cho họ các không gian tôpô đôi một rời nhau Xi   iI . Đặt: X Xi và   U  X :U  Xi mở trong Xi , i  I  iI Khi đó  là một tôpô trên X và  X ,   được gọi là tôpô tổng của các không gian tôpô Xi   iI . Kí hiệu: iI Xi .
5 1.1.6. Định nghĩa Cho họ các không gian tôpô Xi , i   iI . Xét tích Descartes X i và họ các phép chiếu pi   iI từ X lên Xi . Khi đó tôpô cảm sinh từ các iI phép chiếu p  i iI được gọi là tôpô tích trên X , kí hiệu  . i Không gian iI     Xi ,  i  được gọi là không gian tôpô tích.  iI iI  1.1.7. Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   và R là một quan hệ tương đương trên X . Ta đặt: q: X  X/ R x [x] với X / R là tập các lớp tương đương của R .   Họ  / R  U  X / R : q 1 (U )   là một tôpô trên X / R và được gọi là tôpô thương. 1.1.8. Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   , một họ    được gọi là cơ sở của không gian  X ,   nếu mọi tập con khác rỗng của  được biểu diễn qua hợp của một họ con của  . Như vậy, một họ các tập con (trên X )    gọi là cơ sở của không gian  X ,   nếu với mọi x  X và lân cận V bất kì của x thì tồn tại tập mở U  sao cho x U  V . Một không gian tôpô  X ,   có thể có nhiều cơ sở khác nhau. Một họ   x  các lân cận của x được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với lân cận V bất kì của x thì có một U   x  sao cho x U  V .
6 1.1.9. Định nghĩa Cho cơ sở lân cận   x  , ta gọi số phần tử nhỏ nhất có dạng   x  là đặc số tại một điểm x của không gian tôpô  X ,   . Kí hiệu:   x; X  . Đặc số của một không gian tôpô  X ,   , kí hiệu là   ( X , )  hay   X  là cận trên đúng của tất cả các số   x; X  với x  X . Tức là:     X   sup   x , X  : x  X   1.1.10. Định nghĩa Không gian tôpô  X ,   được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x  X thì tồn tại một cơ sở lân cận đếm được. Nói cách khác X gọi là thỏa tiên đề đếm được thứ nhất nếu   X   0 , với  0 là tập hợp song ánh với tập các số nguyên dương. 1.1.11. Định nghĩa Không gian tôpô  X ,   được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nó có một cơ sở đếm được. Rõ ràng, nếu không gian X thỏa tiên đề đếm được thứ hai thì nó cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. 1.1.12. Tính chất i. Không gian con của không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai) cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai). ii. Tích đếm được các không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai) là không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất (thứ hai). 1.1.13. Định lý Cho không gian X thỏa tiên đề đếm được thứ nhất thì tại mỗi     điểm x  X có một cơ sở địa phương chính quy  x  Un n tức là: i. Mỗi U n là một tập mở chứa x . ii. U1  U2  U3 .....  Un , với mọi n . iii. Nếu xn  Un , với mọi n thì dãy xn   n hội tụ về x .
7 1.1.14. Định nghĩa Gọi U = Ui   iI là họ các tập con của không gian X , U được gọi là phủ của X nếu X  U | U  U . i i iI Một họ con của phủ X được gọi là phủ con nếu nó cũng là một phủ của X . 1.1.15. Định nghĩa Phủ U được gọi là được gọi là hữu hạn (đếm được, vô hạn) nếu U chứa hữu hạn (đếm được, vô hạn) phần tử. U được gọi là rời rạc (đếm được địa phương, hữu hạn địa phương) nếu với mọi điểm x  X , tồn tại một lân cận U của x có giao khác rỗng với không quá một (không quá hữu hạn, không quá đếm được) phần tử của U . U được gọi là   rời rạc (   hữu hạn địa phương,   đếm được địa  phương) nếu U  Ui , trong đó Ui là một họ rời rạc (hữu hạn địa phương, đếm i 1 được địa phương) các tập con của X với mọi i  1, 2, 3... 1.1.16. Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   và A  X . Một phủ của A mà trong đó tất cả các tập con đều là tập mở thì được gọi là phủ mở của A . 1.1.17. Định nghĩa Không gian tôpô  X ,  được gọi là không gian Linderloff nếu với mọi phủ mở của X đều trích ra được một phủ con đếm được. 1.1.18. Mệnh đề Không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian Linderloff. Chứng minh Ta gọi: U  U I là phủ mở bất kỳ của X và   Vi i là một cơ sở đếm được của X , ta sẽ chứng minh tồn tại một phủ con đếm được của U . Thật vậy:
8 Mỗi U  U đều tồn tại họ Vi    sao cho: i   U  Vi  X  U   Vi  i  I I  i   Đặt V  Vi i I  Suy ra V có lực lượng không quá đếm được và phủ X (do V   và  có lực lượng đếm được) Với mỗi Vi  V ta chọn một tập U  U tương ứng sao cho Vi  Ui . i Đặt U 0  U  i Dễ thấy U 0  U và lực lượng của U 0 bằng lực lượng của V nên nó có lực lượng không quá đếm được. Vậy ta có họ U 0 phủ X . 1.1.19. Định nghĩa Cho không gian tôpô  X ,   , tập A  X gọi là trù mật (trù mật khắp nơi) nếu A  X (tức là mọi điểm trong không gian đều là điểm dính của A ). 1.1.20. Mệnh đề Tập A  X là trù mật khi và chỉ khi với mọi U là tập con mở khác rỗng của X thì U  A   . 1.1.21. Định nghĩa Không gian X được gọi là không gian khả ly nếu nó chứa tập con trù mật đếm được. 1.1.22. Mệnh đề Mọi không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian khả ly. Chứng minh   Gọi   Un n là cơ sở đếm được của X . Ta đặt:
9 A   xn nN trong đó mỗi xn được lấy ra tương ứng trong một tập U n . Giả sử V là một tập mở bất kỳ trong X V  U : U  i i  Ui  V  xi  A sao cho xi Ui  V . 0 0 0 0  A  V    A  X hay A là trù mật. Vậy ta có X là không gian khả ly. 1.1.23. Tính chất i. Không gian con mở của không gian khả ly là không gian khả ly. ii. Ảnh liên tục của một không gian khả ly là không gian khả ly. iii. Tích đếm được các không gian khả ly là không gian khả ly. 1.1.24. Định nghĩa Một không gian tôpô X là không gian thuần nhất nếu với mỗi x  X và y  Y thì tồn tại một đồng phôi f từ không gian X vào chính nó thỏa f ( x)  y . 1.1.25. Định nghĩa Trong không gian tôpô, tập A được gọi là một G  tập nếu A là giao của đếm được các tập mở. 1.2. Các tiên đề tách 1.2.1. Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   được gọi là T0  không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại một lân cận U1 của x sao cho y  U1 hoặc một lân cận U 2 của y sao cho x U2 . 1.2.2. Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   được gọi là T1  không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X có một lân cận U1 của x sao cho y  U1 và một lân cận U 2 của y sao cho x U2 .
10 1.2.3. Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   được gọi là T2  không gian (hay không gian Hausdorff) nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X có các lân cận U1 , U2 sao cho x U1 , y U2 và U1  U2  . 1.2.4. Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   được gọi là T3  không gian (hay không gian chính qui) nếu X là T1  không gian và với mọi x  X và với tập đóng A  X sao cho x  A thì tồn tại các tập mở U1 ,U2 sao cho x U1 , A  U2 và U1  U2   . 1.2.5. Định nghĩa Không gian tôpô  X ;   được gọi là T4  không gian (hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1  không gian và với hai tập đóng A, B bất kì phân biệt trong X , thì tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U , B  V và U V  . 1.2.6. Tính chất i. T1  không gian là T0  không gian. ii. T2  không gian (không gian Hausdorff) là T1  không gian. iii. T3  không gian (không gian chính qui) là T2  không gian (không gian Hausdorff). iv. T4  không gian là T3  không gian. 1.3. Dãy và hội tụ trong tôpô 1.3.1. Định nghĩa Dãy trong không gian tôpô X là một hàm được xác định trên tập các số nguyên dương, giá trị của hàm tại số nguyên dương n được kí   hiệu là xn và dãy đó được kí hiệu là  xn : n  1, 2,... hoặc đơn giản là xn n . 1.3.2. Định nghĩa Cho dãy xn   n và  :  là ánh xạ tăng ngặt. Ánh xạ:
11 X n x ( n ) được gọi là dãy con của xn   n .   1.3.3. Định nghĩa Dãy xn n được gọi là hội tụ tới x  X , kí hiệu xn  x , nếu với mọi lân cận U của x thì tồn tại số nguyên dương n0 sao cho xn U với mọi n  n0 . Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy xn n .   Nếu dãy xn   n hội tụ tới x thì ta gọi tập x1 , x2 ,...  x là dãy hội tụ của   dãy xn n . 1.4. ∑–không gian 1.4.1. Định nghĩa Cho không gian tôpô X . Gọi F là một phủ của X và lấy x  X , ở đây: C  x, F   F : x  F  F và dãy F  Fi iI các phủ đóng hữu hạn địa phương của X thỏa điều kiện: Nếu K1  K2  ... là một dãy các tập con đóng khác rỗng của X sao cho tồn tại một x  X để K1  C  x, Fi  với mọi i  I thì Ki   , iI Khi đó ta có F  Fi iI là   lưới của không gian tôpô X . 1.4.2. Mệnh đề Nếu ta đặt C  x   C  x, Fi  thì C  x  là đóng và compact iI đếm được. 1.4.3. Định nghĩa   lưới F của không gian tôpô X được gọi là   lưới mạnh của X nếu thỏa mãn C  x  là compact với mọi x  X . 1.4.4. Định nghĩa Không gian X có một   lưới (   lưới mạnh) được gọi là   không gian (   không gian mạnh). 1.4.5. Định lý Mọi   không gian paracompact là   không gian mạnh.
12 1.4.6. Định lý Giả sử F  Fi   iI là một   lưới của không gian X . Nếu H i vừa là một phủ đóng hữu hạn địa phương của X vừa là mịn của H i với mọi i  I thì H  Hi  iI là một   lưới của X . 1.5. Compact 1.5.1. Định nghĩa Không gian X được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của X luôn có một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X được gọi là không gian compact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X được gọi là không gian compact địa phương nếu với mỗi điểm x thuộc X có một lân cận U của x sao cho U là compact. 1.5.2. Định lý Cho không gian tôpô  X ,   , A là một tập con của X . Tập A là compact khi và chỉ khi với mỗi họ  Fi iI các tập con  A  đóng của A có tính chất giao hữu hạn, tức là iJ Fi   . 1.5.3. Định lý Nếu một không gian con A của không gian tôpô X là không gian compact thì với mọi họ Ui   iI các tập con mở của X sao cho A  iI Ui , tồn tại một tập hữu hạn i1 , i2 ,..., ik   I sao cho A  k j 1 Ui . j 1.5.4. Định lý (Định lý Tychonoff) Cho Xi , i   iI là một họ các không gian tôpô, ( X , ) là không gian tích của chúng. i. Nếu tất cả các không gian  Xi , i  compact thì ( X , ) cũng compact. ii. Nếu tất cả các tập Xi là khác rỗng và ( X , ) là compact thì tất cả các không gian  Xi , i  cũng compact. 1.5.5. Định lý Cho không gian tôpô ( X , ) . Các mệnh đề sau tương đương. i. ( X , ) là compact đếm được.
13 ii. Mỗi họ đếm được các tập đóng của X có tính giao hữu hạn thì có giao khác rỗng. iii. Với mỗi dãy giảm F1  F2  ... các tập con đóng khác rỗng của X , giao  F khác rỗng. i 1 i 1.5.6. Tính chất: i. Mọi tập compact đều là compact đếm được. ii. Mọi không gian con đóng của một không gian compact đếm được là không gian compact đếm được. iii. Nếu một không gian đếm được thỏa tiên đề đếm được thứ hai thì nó là không gian compact. 1.5.7. Định nghĩa Không gian X được gọi là không gian paracompact nếu mọi phủ mở của X luôn có một mịn mở địa phương hữu hạn . Không gian X được gọi là không gian paracompact đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn mở địa phương hữu hạn. 1.5.8. Định nghĩa Không gian X được gọi là không gian paracompact con nếu mọi phủ mở của X luôn có một mịn đóng   rời rạc. Không gian X được gọi là không gian paracompact con đếm được nếu mọi phủ mở đếm được của X luôn có một mịn đóng   rời rạc. 1.5.9. Định nghĩa Cho X là một không gian Hausdorff và ánh xạ liên tục f : X  Y . Ánh xạ f là ánh xạ hoàn chỉnh nếu f là một ánh xạ đóng và tất cả các thớ f 1  y  đều là tập con compact của X , y Y. 1.5.10. Định lý Giả sử A, B là một các tập con đóng của không gian Hausdorff paracompact X . Nếu với mọi x  B , tồn tại một lân cận U x của A và một lân cận Vx của x sao cho U x  Vx   thì cũng tồn tại một lân cận U của A và một lân cận V của B sao cho U  V   .
14 Chứng minh Do họ Vx | x  B   X \ B  là một phủ mở nên nó có một mịn mở W |   I  hữu hạn địa phương.    Đặt I 0    I | W  B   . Khi đó B   I W và A  W   với mọi  I 0 . Suy ra U  X \ W là một tập mở. Dễ dàng kiểm tra U  X \ W và I0 I0 V W thỏa mãn các tính chất cần chứng minh.  I 0 1.5.11. Hệ quả Mọi không gian Hausdorff paracompact là không gian chuẩn tắc. 1.5.12. Hệ quả Mọi không gian Hausdorff compact là không gian chuẩn tắc. 1.5.13. Định lý (Định lý 1.1 trong [13]) Cho X là một không gian tôpô. Khi đó các mệnh đề sau tương đương nhau: i. X là một không gian chuẩn tắc m  paracompact. ii. Mọi phủ mở có lực lượng  m của X luôn có một mịn là phủ đóng hữu hạn địa phương. iii. Mọi phủ mở có lực lượng m của X luôn có một mịn là phủ mở   hữu hạn địa phương và X là không gian chuẩn tắc paracompact đếm được. 1.5.14. Định nghĩa Không gian tôpô ( X , ) được gọi là compact dãy nếu mỗi dãy xn   n  X thì có dãy con hội tụ về một điểm trong X . 1.5.15. Tính chất i. Nếu X là không gian compact dãy thì X cũng là không gian compact đếm được. ii. Trong không gian thỏa tiên đề đếm được thứ nhất, tính compact dãy và tính compact đếm được là tương đương nhau.
15 1.5.16. Định lý Nếu A là tập con đóng của không gian compact dãy thì A cũng là tập compact dãy. 1.6. Nhóm tôpô 1.6.1. Định nghĩa Nhóm G là một nhóm tôpô khi và chỉ khi ánh xạ: GG G  x, y  xy 1 là liên tục trong đó, G  G là không gian tôpô được trang bị tôpô tích. 1.6.2. Mệnh đề Cho f : G  H là một đồng cấu nhóm tôpô. Nếu f liên tục tại phần tử đơn vị eG của G thì f liên tục trên G . 1.6.3. Định lý Nếu G là một nhóm tôpô và A1 , A2 là các tập con compact của G thì A1 A2 cũng là tập compact. 1.6.4. Định lý Cho G là một nhóm tôpô, A là một tập con đóng và B là một tập con compact của G sao cho A  B   . Khi đó tồn tại một lân cận mở V của phần tử đơn vị e sao cho A  VB   và A  BV   . 1.6.5. Mệnh đề ([4, Hệ quả 1.2]) Một nhóm tôpô paracompact địa phương là paracompact. 1.6.6. Định lý ([3]) Cho G là nhóm tôpô trái có phần tử đơn vị e và tôpô  , H là một nhóm con đóng của G . Ta kí hiệu G / H là tập tất cả các lớp trái aH của H trong G cùng với tôpô thương cảm sinh bởi phép chiếu chính tắc  : G  G / H ,   a   aH . Khi đó ta có các điều sau:   (a) Họ   xU  : U  , e  U là một cơ sở địa phương của không gian G / H tại điểm xH  G / H . (b) Ánh xạ  là ánh xạ mở. (c) G / H là T1  không gian thuần nhất. 1.6.7. Định lý ([3]) Cho G là nhóm tôpô trái và H là một nhóm con bất biến, đóng của G . Khi đó, G / H cùng với tôpô thương với phép toán nhân là một