Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng điều kỳ dị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:79

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài trình bày một số kiến thức cơ sở về phạm trù, hàm tử, đồng luân, hai ánh xạ liên tục đồng luân, phức và phạm trù các phức; nghiên cứu về các đơn hình mẫu, đơn hình kì dị, đồng điều kì dị, phức kì dị và đưa ra mối tương quan giữa hai ánh xạ liên tục của hai không gian topo đồng luân với nhau với các biến đổi dây chuyền giữa các phức kì dị sinh ra bởi các không gian topo tướng ứng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng điều kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Võ Quang Phú ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Đồng điều kì dị” do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Huyên và chưa từng được công bố trong bất kì công trình khoa học nào khác cho tới thời điểm này.
LỜI CẢM ƠN Tôi xin cảm ơn thầy Trần Huyên – người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học và các thầy cô trong Khoa Toán – Trường Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường và trong suốt khoảng thời gian thực hiện luận văn này. Qua đây tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện khóa luận này. TP. Hồ Chí Minh, ngày 31 tháng 8 năm 2019 HỌC VIÊN Võ Quang Phú
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU......................................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 2 §1. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ................................................................................... 2 1. Phạm trù. ............................................................................................................... 2 2. Hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến. ................................................................ 4 3. Biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử hiệp biến và biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử phản biến. ........................................................................................................... 10 §2. ĐỒNG LUÂN ...................................................................................................... 12 1. Đồng luân............................................................................................................ 12 2. Hai ánh xạ liên tục đồng luân. ............................................................................ 12 3. Mệnh đề 2.3. ....................................................................................................... 12 4. Mệnh đề 2.4. ....................................................................................................... 13 5. Phạm trù các không gian topo và lớp đồng luân của các ánh xạ liên tục. .......... 13 6. Một số ví dụ về đồng luân. ................................................................................. 15 §3. PHỨC VÀ ĐỒNG ĐIỀU CÁC PHỨC ................................................................ 17 1. Phức và đồng điều các phức. .............................................................................. 17 2. Phức con – Phức thương. .................................................................................... 25 3. Dãy khớp ngắn các phức..................................................................................... 26
4. Phức trên một nhóm aben. .................................................................................. 29 Chương 2: ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ .................................................................................. 33 §1. ĐƠN HÌNH KÌ DỊ ................................................................................................ 33 1. Đơn hình mẫu ..................................................................................................... 33 2. Đơn hình kì dị ..................................................................................................... 37 3. Phép biến đổi affin .............................................................................................. 37 4. Đơn hình kì dị affin. ........................................................................................... 39 5. Bờ của đơn hình mẫu .......................................................................................... 41 6. Biên của đơn hình kì dị ....................................................................................... 42 7. Biên của đơn hình affin. ..................................................................................... 43 8. Biên lặp. .............................................................................................................. 43 §2. ĐỒNG ĐIỀU KÌ DỊ ............................................................................................. 46 1. Toán tử bờ. .......................................................................................................... 46 2. Dây chuyền n chiều của không gian X . ........................................................... 46 3. Phức kì dị. ........................................................................................................... 47 4. Đồng điều kì dị ................................................................................................... 52 5. Không gian acyclic. ............................................................................................ 53 §3. ĐỒNG LUÂN DÂY CHUYỀN CẢM SINH TỪ CÁC ÁNH XẠ LIÊN TỤC ĐỒNG LUÂN ............................................................................................................ 56 1. Không gian co rút. .............................................................................................. 56 2. Mệnh đề 3.3. ....................................................................................................... 57 3. Bổ đề 3.4. ............................................................................................................ 63 4. Bổ đề 3.5. ............................................................................................................ 63
5. Bổ đề 3.6. ............................................................................................................ 65 6. Định lý 3.5. ......................................................................................................... 68 7. Hệ quả 3.6. .......................................................................................................... 69 TỔNG KẾT .................................................................................................................. 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 72
1 MỞ ĐẦU Đồng điều là công cụ dùng để đo mức độ mà một dãy nửa khớp đi chệch so với một dãy khớp. Trong Topo đại số người ta dùng phương tiện đồng điều kì dị để nghiên cứu một số các bất biến đại số đối với không gian Topo X . Để xây dựng đồng điều kì dị, trước tiên người ta đưa ra khái niệm về đơn hình kì dị bằng cách xác lập các ánh xạ liên tục từ đơn hình mẫu n chiều vào không gian Topo và xây dựng các tổng hình thức của chúng tạo nên các dây chuyền kì dị. Chính các đơn hình kì dị này sẽ mô tả cho chúng ta các tương quan giữa hai ánh xạ liên tục của hai không gian topo đồng luân với nhau với các biến đổi dây chuyền giữa các phức kì dị sinh ra bởi các không gian topo tương ứng. Đề tài mà chúng tôi chọn nhằm làm sáng tỏ điều đó. Do vậy, trong đề tài này, chúng tôi chỉ quan tâm đến các ánh xạ liên tục đồng luân và các phép biến đổi dây chuyền cảm sinh từ chúng. Luận văn được trình bày gồm hai chương: Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về phạm trù, hàm tử, đồng luân, hai ánh xạ liên tục đồng luân, phức và phạm trù các phức. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2: Là phần chính của luận văn, trong chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu về các đơn hình mẫu, đơn hình kì dị, đồng điều kì dị, phức kì dị và đưa ra mối tương quan giữa hai ánh xạ liên tục của hai không gian topo đồng luân với nhau với các biến đổi dây chuyền giữa các phức kì dị sinh ra bởi các không gian topo tướng ứng. Luận văn này chắc chắn không thể tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô, nhà khoa học, các bạn học viên, người quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.
2 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ 1. Phạm trù. 1.1. Định nghĩa 1.1. Một phạm trù C bao gồm: i) Một lớp các vật, ký hiệu Ob  C  mà các vật được ký hiệu là X , Y , Z Nếu không gây nhầm lẫn thì ta có thể ghi C thay cho Ob  C  . ii) Với mỗi cặp vật có thứ tự X ,Y có một tập các cấu xạ từ X vào Y mà ta ký hiệu là Mor  X , Y  mà nếu   Mor  X , Y  thì X được gọi là miền nguồn của  và Y được gọi là miền đích của  . Nếu   Mor  X , Y  thì ta cũng có thể viết   : X  Y hay X  Y . iii) Với mỗi bộ ba có thứ tự các vật X , Y , Z có một ánh xạ đi từ Mor  X , Y   Mor Y , Z  vào Mor  X , Z  được gọi là phép hợp thành. Ảnh của cặp cấu xạ  ,    Mor  X , Y   Mor Y , Z  được ký hiệu bằng   hay  và được gọi là tích của  và  . Đồng thời luật hợp thành phải thỏa các điểu kiện: PT1. Với mọi   Mor  X , Y  ,   Mor Y , Z  ,   Mor  Z ,W  tùy ý thì           (tính chất kết hợp). PT2. Với các vật X , Y , tồn tại một cấu xạ đồng nhất id X : X  X và một cấu xạ đồng nhất idY : Y  Y sao cho với mọi cấu xạ   Mor  X , Y  bất kì thì  id X   và idY    . 1.2. Đẳng xạ. Ta sẽ cần tới các cấu xạ đặc biệt được đưa ra trong các định nghĩa dưới đây:
3 1.2.1. Nghịch đảo trái và nghịch đảo phải của một cấu xạ. Định nghĩa 1.2. Nếu   Mor  X , Y  ,   Mor Y , X  là các cấu xạ trong phạm trù C thỏa   id X thì  được gọi là nghịch đảo trái của  và  được gọi là nghịch đảo phải của  . 1.2.2. Đẳng xạ. Định nghĩa 1.3. Cho   Mor  X , Y  là một cấu xạ trong phạm trù C . Nếu tồn tại đồng thời  t  Mor Y , X  là nghịch đảo trái của  và  p  Mor Y , X  là nghịch đảo phải của  thì khi đó  được gọi là đẳng xạ. Hơn nữa ta có t  t idY  t  p    t   p  id X  p   p . Vậy các nghịch đảo trái và nghịch đảo phải bằng nhau và được ký hiệu là  1 . Vậy  1  t   p . 1.2.3. Hai vật đẳng xạ. Định nghĩa 1.4. Hai vật X , Y của phạm trù C được gọi là đẳng xạ, ký hiệu là X Y , nếu tồn tại một đẳng xạ   Mor  X , Y  . 1.3. Ví dụ về phạm trù. Bây giờ, ta đưa ra hai ví dụ về phạm trù mà sẽ liên quan trong luận văn. 1.3.1. Phạm trù Top các không gian topo và các ánh xạ liên tục. + Lớp các vật là lớp các không gian topo. + Với hai không gian topo X và Y bất kì thì các cấu xạ từ X đến Y là các ánh xạ liên tục từ X vào Y . + Hợp thành hai ánh xạ liên tục  : X  Y ,  : Y  Z là tích  : X  Z theo nghĩa thông thường. 1.3.2. Phạm trù Ab các nhóm giao hoán và các đồng cấu nhóm. + Lớp các vật là lớp các nhóm aben. + Với hai nhóm aben X và Y bất kì thì các cấu xạ từ X đến Y là các đồng cấu nhóm đi từ X vào Y .
4 + Hợp thành của hai đồng cấu nhóm  : X  Y ,  : Y  Z là tích  : X  Z theo nghĩa thông thường. 2. Hàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến. 2.1. Hàm tử hiệp biến. Định nghĩa 1.5. Cho C và D là các phạm trù. Một hàm tử hiệp biến T đi từ C vào D , ký hiệu là T : C  D , gồm: i) Một ánh xạ T : Ob  C   Ob  D  đặt tương ứng mỗi vật X  Ob  C  với vật TX  Ob  D  . ii) Một ánh xạ từ lớp các cấu xạ của phạm trù C vào lớp các cấu xạ của phạm trù D đặt tương ứng mỗi cấu xạ   Mor  X , Y  với cấu xạ T   Mor TX , TY  thỏa các điều kiện sau: HT1. Với mọi cặp cấu xạ  ,    MorC  X , Y   MorC Y , Z  thì T      T   T   . HT2. Với mỗi vật X  Ob  C  thì T  id X   idTX . 2.2. Hàm tử phản biến. Định nghĩa 1.6. Cho C và D là các phạm trù. Một hàm tử phản biến (hay còn gọi là phản hàm tử) F đi từ C vào D , ký hiệu là F : C  D , gồm: i) Một ánh xạ F : Ob  C   Ob  D  đặt tương ứng mỗi vật X  Ob  C  với vật FX  Ob  D  . ii) Một ánh xạ từ lớp các cấu xạ của phạm trù C vào lớp các cấu xạ của phạm trù D , đặt tương ứng mỗi cấu xạ   Mor  X , Y  với cấu xạ F  Mor  FY , FX  thỏa các điều kiện sau: PHT1. Với mỗi cặp cấu xạ  ,    MorC  X , Y   MorC Y , Z  thì F      F F  PHT2. Với mỗi vật X  Ob  C  thì F  id X   id FX .
5 2.3. Ví dụ về các hàm tử. 2.3.1. Hàm tử đồng nhất. Cho phạm trù C , hàm tử đồng nhất ID : C  C gồm: + Một ánh xạ ID : Ob  C   Ob  C  đặt tương ứng mỗi vật X  Ob  C  với vật ID  X   X  Ob  C  . + Một ánh xạ đi từ lớp các cấu xạ của phạm trừ C vào lớp các cấu xạ của phạm trù C đặt tương ứng mỗi cấu xạ   Mor  X , Y  với cấu xạ ID      Mor  X , Y  . Hiển nhiên ánh xạ này thỏa mãn hai điều kiện PT1 và PT2, do đó ID là một hàm tử hiệp biến. 2.3.2. Tích của hai hàm tử hiệp biến. Cho các phạm trù C, D, E và các hàm tử hiệp biến T : C  D và U : D  E . Khi đó ta xét tích UT : C  E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob  C   Ob  E  được định nghĩa như sau: với mỗi vật X  Ob  C  thì UT  X  U TX  . + Một ánh xạ từ lớp các cấu xạ của phạm trù C vào lớp các cấu xạ của phạm trù E được định nghĩa như sau: với mỗi cấu xạ   MorC  X , Y  bất kì thì UT   U T  . Khi đó, với mọi cặp cấu xạ  ,    MorC  X , Y   MorC Y , Z  bất kì, vì U và T là các hàm tử hiệp biến nên ta có: UT      U T       U T  T   U T   U T    UT     UT   Hơn nữa, với mỗi vật X  Ob  C  , vì U và T là các hàm tử hiệp biến nên tồn tại cấu xạ id X  Mor  X , X  sao cho: UT  id X   U T  id X    U  idTX   idU TX   id UT  X
6 Vậy UT thỏa mãn hai tính chất HT1 và HT2 nên UT là hàm tử hiệp biến từ C đến E . Hàm tử UT được gọi là hàm tử tích của hai hàm tử U và T . 2.3.3. Tích của hai phản hàm tử. Cho các phạm trù C , D , E và các hàm tử phản biến T : C  D và U : D  E . Khi đó, ta xét tích UT : C  E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob  C   Ob  E  được định nghĩa như sau: với mỗi vật X  Ob  C  thì UT  X  U TX  . + Một ánh xạ từ lớp các cấu xạ của phạm trù C vào lớp các cấu xạ của phạm trù E được định nghĩa như sau: với mỗi cấu xạ   MorC  X , Y  bất kỳ thì UT   U T  . Khi đó, với mọi cặp cấu xạ  ,    MorC  X , Y   MorC Y , Z  , vì U và T là các hàm tử phản biến nên ta có: UT   a   U T   a    U T T    U T   U T   UT     UT    Hơn nữa, vơi mọi vật X  Ob  C  , vì U và T là các phản hàm tử nên tồn tại cấu xạ id X  Mor  X , X  sao cho: UT  id X   U T  id X    U  idTX   idU TX   id UT  X Vậy UT thỏa mãn hai tính chất HT1 và HT2 nên nó là hàm tử hiệp biến từ C đến E . Hàm tử UT được gọi là hàm tử tích của hai hàm tử phản biến U và T . 2.3.4. Hàm tử Hom  A,   : Ab  Ab Xét phạm trù các nhóm aben Ab và A là một nhóm aben cho trước. Khi đó, xét Hom  A,   : Ab  Ab gồm: + Một ánh xạ Hom  A,   : Ab  Ab đặt tương ứng mỗi nhóm aben X với một nhóm aben các đồng cấu nhóm đi từ A vào X , ký hiệu là Hom  A, X  .
7 + Một ánh xạ đi từ lớp các đồng cấu nhóm aben vào lớp các đồng cấu nhóm aben đặt mỗi đồng cấu  : X  Y , trong đó X và Y là các nhóm aben, với đồng cấu nhóm H  A,    : Hom  A, X   Hom  A, Y  được định nghĩa như sau: với mọi đồng cấu f  Hom  A, X  thì  Hom  A,    f   f . Ta sẽ chứng minh Hom  A,   thỏa hai điều kiện HT1 và HT2. Với mọi cặp đồng cấu nhóm  : X  Y và  :Y  Z , trong đó X , Y , Z là các nhóm aben, với mọi đồng cấu f  Hom  A, X  , ta có:  Hom  A,    f     f    f     Hom  A,   f     Hom  A,      Hom  A,    f    Hom  A,      Hom  A,    f Vậy Hom  A,       Hom  A,      Hom  A,    . Hơn nữa, với mọi nhóm aben X bất kì, với mọi đồng cấu nhóm f  Hom  A, X  , khi đó tồn tại đồng cấu đồng nhất id X : X  X sao cho:  Hom  A,   id  fX  id X f  f  id Hom A, X   f  Vậy Hom  A,   id X  id Hom A, X  . Do đó, Hom  A,   thỏa mãn các tính chất HT1 và HT2 nên Hom  A,   là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù Ab đến phạm trù Ab . 2.4. Các ví dụ về hàm tử phản biến. 2.4.1. Tích của một hàm tử hiệp biến và một hàm tử phản biến. Cho các phạm trù C , D , E , hàm tử phản biến T : C  D và hàm tử hiệp biến U : D  E . Khi đó ta xét tích UT : C  E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob  C   Ob  E  được định nghĩa như sau: với mỗi vật X bất kì của phạm trù C thì UT  X  U TX  .
8 + Một ánh xạ từ lớp các cấu xạ của phạm trù C vào lớp các cấu xạ của phạm trù E được định nghĩa như sau: với mọi cấu xạ   MorC  X , Y  thì UT    U T   . Thì khi đó UT là một hàm tử phản biến. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh UT thỏa hai điều kiện PHT1 và PHT2. Thật vậy, với mọi cặp cấu xạ  ,    MorC  X , Y   MorC Y , Z  , vì U là hàm tử hiệp biến và T là hàm tử phản biến nên ta có: UT      U T       U T T    U T  U T    UT  UT   Hơn nữa, với mỗi vật X  Ob  C  , vì U là hàm tử hiệp biến và T là phản hàm tử nên tồn tại cấu xạ id X  Mor  X , X  sao cho: UT  id X  U Tid X   U  idTX   idU TX   idUT  X Vậy UT thỏa hai điều kiện PHT1 và PHT2. Do đó, UT là một hàm tử phản biến. 2.4.2. Tích của một hàm tử phản biến và một hàm tử hiệp biến. Cho các phạm trù C , D , E , hàm tử hiệp biến T : C  D và hàm tử phản biến U : D  E . Khi đó ta xét tích UT : C  E gồm: + Một ánh xạ UT : Ob  C   Ob  E  được định nghĩa như sau: với mỗi vật X bất kì của phạm trù C thì UT  X  U TX  . + Một ánh xạ từ lớp các cấu xạ của phạm trù C vào lớp các cấu xạ của phạm trù E được định nghĩa như sau: với mọi cấu xạ   MorC  X , Y  thì UT    U T   . Thì khi đó UT là một hàm tử phản biến. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh UT thỏa hai điều kiện PHT1 và PHT2. Thật vậy, với mọi cặp cấu xạ  ,    MorC  X , Y   MorC Y , Z  , vì U là hàm tử phản biến và T là hàm tử hiệp biến nên ta có: UT      U T       U T  T   U T  U T    UT  UT  
9 Hơn nữa, với mỗi vật X  Ob  C  , vì U là phản hàm tử và T là hàm tử hiệp biến nên tồn tại cấu xạ id X  Mor  X , X  sao cho: UT  id X  U Tid X   U  idTX   idU TX   idUT  X Vậy UT thỏa hai điều kiện PHT1 và PHT2. Do đó, UT là một hàm tử phản biến. 2.4.3. Hàm tử phản biến Hom  , A  : Ab  Ab Xét phạm trù các nhóm aben Ab và A là một nhóm aben cho trước. Khi đó ta xét Hom  , A  : Ab  Ab gồm: + Một ánh xạ Hom  , A  : Ab  Ab đặt tương ứng mỗi nhóm aben X với một nhóm aben các đồng cấu nhóm đi từ X vào A mà ta ký hiệu là Hom  X , A  . + Một ánh xạ đi từ lớp các đồng cấu nhóm aben vào lớp các đồng cấu nhóm aben, đặt tương ứng mỗi đồng cấu  : X  Y , trong đó X và Y là các nhóm aben, với đồng cấu nhóm H  , A   : Hom Y , A   Hom  X , A  được định nghĩa như sau: với mỗi đồng cấu f  Hom Y , A  thì  Hom  , A  f  f  . Ta sẽ chứng minh Hom  , A  là một hàm tử phản biến, tức là Hom  , A  phải thỏa hai điều kiện PHT1 và PHT2. Thật vậy, với mỗi cặp đồng cấu nhóm  : X  Y và  :Y  Z , trong đó X , Y , Z là các nhóm aben và với mọi đồng cấu f  Hom  X , A  , ta có:  Hom  , A    f  f      f     Hom  , A   f      Hom  , A   Hom  , A   f    Hom  , A   Hom  , A   f Vậy Hom  , A     Hom  , A   Hom  , A   Hơn nữa, với mọi nhóm aben X bất kì, khi đó tồn tại đồng cấu đồng nhất id X : X  X sao cho với mọi đồng cấu nhóm f  Hom  Z , A  , ta có:  Hom  , A id  fX  fid X  f  id Hom X , A  f 
10 Vậy Hom  , A id X  id Hom X , A . Do đó Hom  , A  thỏa mãn tính chất PHT1 và PHT2 nên Hom  , A  là một hàm tử phản biến. 3. Biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử hiệp biến và biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử phản biến. 3.1. Biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử hiệp biến. Định nghĩa 1.9. Cho các phạm trù C , D và các hàm tử hiệp biến S : C  D , T : C  D . Một phép biến đổi tự nhiên  từ S vào T , ký hiệu là  : S  T , gồm một hệ thống các cấu xạ  X  MorD  SX , TX  , X  Ob  C  sao cho với mọi cấu xạ   MorC  X , Y  , X , Y  Ob  C  , ta có biểu đồ sau giao hoán: S SX   SY X Y (1.1) T TX   TY nghĩa là  Y  S    T   X . Nếu  X là đẳng xạ với mọi X  Ob  C  thì  được gọi là tương đương tự nhiên. Trong trường hợp này  X   X1 cũng được gọi là tương đương tự nhiên (chỉ cần đảo chiều mũi tên trong (1.1)) và nó được gọi là tương đương tự nhiên nghịch đảo 3.2. Biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử phản biến. Định nghĩa 1.10. Cho các phạm trù C , D và các hàm tử phản biến U : C  D ,V : C  D . Một phép biến đổi tự nhiên  từ U vào V , ký hiệu là  :U  V gồm một hệ thống các cấu xạ  X  MorD UX ,VX  , X  Ob  C  sao cho với mọi cấu xạ   MorC  X , Y  , X , Y  Ob  C  ta có biểu đồ sau giao hoán: U UY  UX Y X (1.2) V VY  VX
11 nghĩa là,  X U    V   Y . Nếu  X là đẳng xạ với mọi X  Ob  C  thì  được gọi là tương đương tự nhiên. Trong trường hợp này  X   X1 cũng được gọi là tương đương tự nhiên (chỉ cần đổi chiều mũi tên trong (1.2)) và nó được gọi là tương đương tự nhiên nghịch đảo.
12 §2. ĐỒNG LUÂN 1. Đồng luân. Định nghĩa 2.1. Cho X và Y là các không gian topo và I  0,1 , khi đó đồng luân đi từ X vào Y là một ánh xạ liên tục  : X  I  Y mà với mọi t  I ta có: t : X  Y , t  x     x, t  là một ánh xạ liên tục. 2. Hai ánh xạ liên tục đồng luân. Định nghĩa 2.2. Cho X và Y là hai không gian topo, hai ánh xạ liên tục f 0 , f1 : X  Y được gọi là đồng luân với nhau nếu tồn tại một đồng luân  : X  I  Y sao cho f0  0 , f1  1 . Ký hiệu:  : f0 f1 : X  Y . 3. Mệnh đề 2.3. Quan hệ đồng luân, mà ta ký hiệu là , là quan hệ tương đương, lớp tương đương (dưới quan hệ ) của f được ký hiệu là  f  và được gọi là lớp đồng luân của f . Chứng minh. Ta chứng minh quan hệ đồng luân thỏa các tính chất phản xạ, bắc cầu và đối xứng. Tính phản xạ. Cho X và Y là các không gian topo bất kì, f : X  Y là một ánh xạ liên tục tùy ý, khi đó, tồn tại đồng luân  : X  I  Y mà t  f với mọi t  I . Khi đó ta có, 1 f và 0  f . Tức là f f . Vậy quan hệ có tính phản xạ. Tính bắc cầu. Cho X và Y là các không gian topo bất kì và f , g , h : X  Y là các ánh xạ liên tục đi từ X vào Y thỏa f g và g h . Khi đó, do f g nên tồn tại một đồng luân  : X  I  Y sao cho 0  f và 1  g . Do g h nên tồn tại đồng luân  : X  I  Y sao cho  0  g và 1  h . Xét  : X  I  Y cho bởi:
13 t  2t với 2t  1, t   2t1 với 2t  1 Khi đó ta có  là đồng luân và 0  0  f và 1  2.11  1  h . Vậy : f h. Tính đối xứng. Cho X và Y là các không gian topo, f , g : X  Y là các ánh xạ liên tục đi từ X vào Y và f g . Khi đó, do f g nên tồn tại một đồng luân  : X  I  Y sao cho 0  f và 1  g . Xét  : X  I  Y cho bởi t  1t với mọi t  I . Khi đó ta có  là một đồng luân và 0  10  1  g và 1  11  0  f . Vậy  : g f. Vậy quan hệ là một quan hệ tương đương. 4. Mệnh đề 2.4. Quan hệ đồng luân bảo toàn đối với phép hợp thành các ánh xạ. Nghĩa là, nếu ta có X , Y , Z là các không gian topo và f0 , f1 : X  Y , g0 , g1 : Y  Z là các ánh xạ liên tục mà f0 f1 , g0 g1 thì ta cũng có g0 f0 g1 f1 . Chứng minh. Do f0 f1 nên tồn tại đồng luân  : X  I  Y sao cho 0  f 0 và 1  f1 . Do g0 g1 nên tồn tại đồng luân  ' :Y  I  Z sao cho  '0  g0 và  '1  g1 . Xét  : X  I  Z cho bởi t   't t Khi đó, ta có  là một đồng luân và  0   '0 0  g0 f0 , 1   '1 1  g1 f1 . Vậy  : g0 f 0 g1 f1 . 5. Phạm trù các không gian topo và lớp đồng luân của các ánh xạ liên tục. Xét Htp gồm: + Các vật là các không gian topo.