Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian mêtric mờ làm đầy được

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tiếp tục tìm hiểu việc xác định các lớp không gian mêtric mờ thỏa mãn điều kiện; để có thể có một hướng tiếp cận tiện lợi hơn trong công cuộc tìm kiếm các không gian mêtric mờ làm đầy được;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không gian mêtric mờ làm đầy được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Việt Duy Kha KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ LÀM ĐẦY ĐƯỢC Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 8 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Phạm Việt Duy Kha
LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 đã cho tôi những kiến thức toán học về Đại số, Giải tích và Hình học và tôpô. Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hình học và tôpô khoa Toán khóa 27 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học. Phạm Việt Duy Kha
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 5 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô ........................... 5 1.2. Các tiên đề tách ....................................................................................... 8 1.3. Không gian mêtric ................................................................................... 9 1.4. Phần trong, bao đóng, biên, đường kính của một tập hợp, tập trù mật . 11 1.5. Không gian khả ly ................................................................................. 13 1.6. Ánh xạ liên tục ...................................................................................... 13 Chương 2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ ................................................................... 15 2.1. Định nghĩa t-chuẩn ................................................................................ 15 2.2. Ví dụ t-chuẩn ......................................................................................... 15 2.3. Định nghĩa Không gian mêtric mờ ....................................................... 16 2.4. Tính chất không giảm của ánh xạ tập mờ ............................................. 17 2.5. Định nghĩa Mêtric mờ ổn định .............................................................. 17 2.6. Định nghĩa Mêtric mờ mạnh ................................................................. 17 2.7. Định nghĩa Tôpô mờ và tập mờ mở ...................................................... 17 2.8. Quả cầu mở ........................................................................................... 18 2.9. Hệ quả ................................................................................................... 19 2.10. Định lý không gian mêtric mờ là không gian Hausdorff .................... 19 2.11. Mêtric mờ chuẩn ................................................................................. 20 2.12. Định nghĩa tập F- bị chặn ................................................................... 20 2.13. Định lý về tập con compact của không gian mêtric ............................ 20 2.14. Định lý về dãy hội tụ ........................................................................... 21 2.15. Định nghĩa dãy Cauchy trong không gian mêtric mờ ......................... 22
Chương 3. GIỚI THIỆU KHÔNG GIAN MÊTRIC PHÂN TẦNG – TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN MÊTRIC MỜ ............. 23 3.1. Không gian mêtric mờ đầy đủ............................................................... 23 3.2. Không gian mêtric mờ phân tầng .......................................................... 29 3.3. Một số ví dụ và phản ví dụ về không gian mêtric mờ phân tầng.......... 30 3.4. Các định lý về không gian mêtric mờ phân tầng và tính làm đầy được ... 34 3.5. Ví dụ minh họa cho ý nghĩa các điều kiện trong định lý 3.4.4 ............. 40 KẾT LUẬN .................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Những ghi nhận ban đầu Khi nghiên cứu về các không gian mới, ngoài việc tìm hiểu những sự tương đồng với các không gian đã biết, thì một trong những vấn đề khiến các nhà Toán học đặc biệt quan tâm chính là tìm hiểu sự khác biệt với lí thuyết cổ điển. Việc nghiên cứu về các không gian mêtric mờ cũng không nằm ngoài định hướng trên. Ngay từ khi những khái niệm đầu tiên được hình thành, hai chủ đề vừa nêu đã thu hút mạnh mẽ sự chú ý của các nhà Toán học trên khắp thế giới. Trong số những người tiên phong tìm hiểu về lí thuyết không gian mêtric mờ, thì Geogre và Veermani là những cái tên nổi bật với việc xây dựng các khái niệm nền tảng ban đầu và chỉ ra những sự tương đồng nhất định với các không gian đã biết. Ví dụ như họ đã chứng minh được mỗi mêtric mờ M trên một tập X sẽ cảm sinh một tôpô  M trong X, điều này tương tự như trong lí thuyết cổ điển. Kế thừa những kết quả này, về sau V. Gregori và S. Romaguera đã chứng minh được rằng các tôpô cảm sinh bởi bất kì không gian mêtric mờ đầy đủ nào thì cũng khả mêtric đầy đủ [12]. Chính nhờ vào chứng minh này mà các kết quả về không gian mêtric trong lí thuyết cổ điển nay có thể thác triển và phát biểu trên các cấu trúc mêtric mờ như tính đầy đủ, tính khả li, tính compact [12]. Ngoài những vấn đề về sự tương đồng nói trên, để làm rõ sự khác biệt với lí thuyết cổ điển về các không gian mêtric, nhiều nhà Toán học như V. Gregori, J.J. Minana , S.Morillas, S. Romaguera, A. Sapena, … [6, 8, 9, 13, 14, 15] đã không ngừng tìm hiểu về tính đầy đủ của các không gian mêtric mờ. Trong đó, ta đặc biệt chú ý đến kết quả của Gregori và Romaguera trong việc chứng minh sự tồn tại của các không gian mêtric mờ nhưng không thể làm đầy
2 được [13], để từ đây, cũng chính cặp tác giả đã tìm hiểu và đưa ra các dấu hiệu nhận biết một không gian mêtric mờ làm đầy được. Kết quả này tiếp tục được phát triển và hoàn thiện bởi V. Gregori, J.J. Minana , A. Sapena góp phần tạo ra nhiều ứng dụng về sau [15]. 1.2. Thực tiễn của đề tài Các dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ có thể làm đầy được của hai tác giả Gregori và Romaguera được phát biểu như sau [14]: Một không gian mêtric mờ  X , M ,* gọi là làm đầy được khi và chỉ khi với mỗi cặp dãy Cauchy an , bn  trong X thì 3 điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép gán tương ứng t với lim M  an , bn , t  , t  0 là ánh xạ liên tục n trên  0,   , xét theo tôpô thông thường trên . (ii) Mỗi cặp dãy Cauchy tương đương điểm là tương đương, nghĩa là lim M  an , bn , s   1 với s  0 thì lim M  an , bn , t   1 với t  0 . n n (iii) lim M  an , bn , t   0 với mọi t  0 . n Với sự ra đời của nhóm dấu hiệu này, việc tìm kiếm những lớp các không gian mêtric mờ làm đầy được đã trở thành một câu hỏi thú vị dành cho các nhà toán học. Và đặc biệt hơn nữa, bộ ba điều kiện vừa nêu đã được chứng minh là có thể xem như một hệ tiên đề hoàn toàn độc lập [8]. Và trên thực tế, dựa vào “hệ tiên đề” này, Gregori và một số nhà toán học khác đã chỉ ra được nhiều trường hợp các không gian mêtric mờ không làm đầy được vì chỉ thỏa mãn hai trong số ba điều kiện đã nêu. Để có được điều kiện (iii) thỏa mãn trên không gian mêtric mờ  X , M ,* thì * phải là một t-chuẩn dương. Giả thiết như vậy, một mêtric mờ mạnh (phi Archimedes) là làm đầy được khi và chỉ khi điều kiện (ii) được thỏa mãn [8] và
3 hệ quả này được suy ra trực tiếp từ việc điều kiện (i) luôn thỏa mãn trên các không mêtric mờ mạnh [9]. Và trong suốt một thời gian, các nhà Toán học vẫn chưa tìm được một hướng tiếp cận nào cho điều kiện (ii) mãi cho đến công trình của V. Gregori, J.J. Minana , A. Sapena vào năm 2017 [15]. 2. Khung lí thuyết tham chiếu Dựa trên các kiến thức nền tảng của Tôpô đại cương, Tôpô mờ và đặc biệt là hệ thống các khái niệm và nghiên cứu về các tính chất của Tôpô mờ và tính đầy đủ của không gian tôpô mờ. 3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 3.1. Mục tiêu nghiên cứu Từ các dấu hiệu nhận biết không gian mêtric mờ làm đầy được đã nêu ở Định lí 1, luận văn này sẽ tiếp tục tìm hiểu việc xác định các lớp không gian mêtric mờ thỏa mãn điều kiện (ii) để có thể có một hướng tiếp cận tiện lợi hơn trong công cuộc tìm kiếm các không gian mêtric mờ làm đầy được, cụ thể là:  Chỉ ra rằng lớp các không gian mêtric mờ phân tầng chứa nhiều không gian mêtric mờ quen thuộc.  Cung cấp ví dụ về các không gian mêtric mờ không phân tầng.  Chỉ ra những hướng tiếp cận khác nhau trong việc tìm kiếm không gian mêtric mờ phân tầng. 3.2. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số công trình đã có làm cơ sở lý luận hoặc sử dụng các kết quả nghiên cứu đã có để chứng minh một số định lý và tính chất trong bài. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết thúc và ba chương. Mở đầu
4 Trong phần này tôi trình bày những ghi nhận ban đầu và thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích và phương pháp nghiên cứu cũng như cấu trúc luận văn. Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Các kiến thức chuẩn bị về đại số, nhóm tôpô, tính compact, tính liên thông, không gian mêtric, các kiến thức về tiên đề Hausdorff, tiên đề tách được, ba tiên đề đếm được trên không gian tôpô thông thường. Và đặc biệt tôi sẽ nhấn mạnh các khái niệm, định lý về tính đầy đủ trong lý thuyết mêtric. Chương 2: Một số khái niệm và tính chất của Không gian mêtric mờ Trong chương này tôi nêu ra một số kiến thức cơ bản về không gian mêtric mờ của Geogre và Veeramani để làm tiền đề cho việc thông hiểu một số ký hiệu cũng như sử dụng một số tính chất trong các chứng minh được đề cập trong các chương sau. Chương 3: Giới thiệu Không gian mêtric phân tầng – Tính đầy đủ của Không gian mêtric mờ. Trong chương này tôi sẽ nêu lại một số định nghĩa và kết quả trong việc nghiên cứu về tính đầy đủ của các không gian mêtric mờ trước đây, cũng như giới thiệu khái niệm về không gian mêtric mờ phân tầng mà chúng ta sẽ cần tới trong các chứng minh về sau. Cuối cùng, tôi sẽ trình bày rõ ràng lại phần chứng minh một số kết quả quan trọng liên quan đến tính đầy đủ của lớp các không gian mêtric mờ; đồng thời cung cấp một số ví dụ để minh họa và làm rõ các luận điểm đã nêu. Kết luận: Tôi đã trình bày lại một cách rõ ràng các kết quả và chứng minh trong chương 2 và chương 3, đồng thời nêu ra một số vấn đề mở rộng và phương hướng nghiên cứu trong tương lai.
5 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để nghiên cứu các tính chất của Không gian mêtric mờ đầy đủ hay Không gian mêtric mờ, trước tiên tôi xin nêu lại các khái niệm và tính chất quan trọng về Không gian Tôpô và Không gian mêtric. Việc nhắc lại này sẽ tạo cơ sở cho các bước nghiên cứu những điểm tương đồng và khác biệt trong lí thuyết về không gian mêtric mờ ở các chương sau. 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa không gian tôpô Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho: 1) , X  ; 2) U ,V   U V  ; 3) U i  , i  I  U i  . iI Khi đó  được gọi là một tôpô trên X và cặp  X ,  là một không gian tôpô. 1.1.2. Lân cận của một điểm Cho không gian tôpô  X ,  và điểm x  X , U  X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại một tập mở V  sao cho x V và V  U . 1.1.3. Tập mở, tập đóng Tập A  X được gọi là tập mở nếu với mỗi x  A tồn tại một lân cận U x của x được chứa trong A . Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở. 1.1.4. Tôpô cảm sinh Cho không gian tôpô  X ;  và A  X . Họ  A   A  U :U mở trong X  được cảm sinh từ tôpô  là một tôpô trên A . Khi đó  A, A  được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô
6  X ,  . 1.1.5. Tôpô tích Cho  X ,  i i iI là một họ các không gian tôpô. Đặt X :  X i và pi : X  X i là phép chiếu thứ i . iI Tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất (hay tôpô thô nhất) để tất cả các phép chiếu pi liên tục với mọi i  I . Tôpô tích còn được gọi là tôpô Tychonoff. Tập X cùng với tôpô Tychonoff gọi là tích của họ các không gian tôpô đã cho. 1.1.6. Cơ sở của không gian tôpô Cho không gian tôpô  X ;  và x  X . Họ x những lân cận của điểm x được gọi là cơ sở địa phương của tôpô  tại x (hay là cơ sở lân cận tại x ) nếu với mỗi lân cận bất kỳ U của x luôn tồn tại V  x sao cho x V  U . Họ con B các phần tử của tôpô  được gọi là cơ sở của  trên X nếu mọi phần tử thuộc  đều là hợp nào đó của các phần tử thuộc B . Họ con được gọi là tiền cơ sở của tôpô  nếu họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc lớp tập thành một cơ sở của tôpô  . Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay không quá đếm được) những tập mở. 1.1.7. Tiên đề đếm được thứ nhất Không gian tôpô  X ,  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x  X tồn tại một cơ sở địa phương đếm được. 1.1.8. Tiên đề đếm được thứ hai Không gian tôpô  X ,  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nó có một cơ sở đếm được.
7 Rõ ràng, nếu không gian X thỏa tiên đề đếm được thứ hai thì nó cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất. 1.1.9. Định nghĩa phủ Cho tập X tùy ý khác rỗng và A  X . Một họ  Bi iI các tập con của X được gọi là một phủ của tập con A hay  Bi iI phủ tập A nếu A  iI Bi .  Bi iI là phủ hữu hạn của A nếu I là tập hữu hạn. 1.1.10. Định nghĩa phủ con Cho  Bi iI là một phủ của tập A . Họ con B  j jK K  I  của họ  Bi iI   được gọi là phủ con của phủ trên nếu họ B j jK cũng là một phủ của A. 1.1.11. Định nghĩa tập compact và không gian compact Cho không gian tôpô X và A  X . Tập A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là tập compact. 1.1.12. Định nghĩa không gian compact địa phương Không gian tôpô X được gọi là không gian compact địa phương nếu mọi điểm của nó đều có một lân cận U là tập compact. 1.1.13. Không gian Lindelöf Không gian tôpô  X ;  được gọi là không gian Lindelöf nếu mọi phủ mở đều tồn tại một phủ con đếm được. 1.1.14. Không gian liên thông Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập mở
8 khác rỗng A và B trong X sao cho A  B   và X  A  B . 1.1.15. Liên thông địa phương Không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương nếu với mọi x  X và mọi lân cận U mở của x thì có một lân cận liên thông V của x sao cho V  U . 1.1.16. Tập liên thông Tập con M của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông nếu M cùng với tôpô cảm sinh là không gian liên thông. 1.1.17. Thành phần liên thông Tập liên thông lớn nhất trong không gian X chứa phần tử x  X được gọi là thành phần liên thông của điểm x . Nếu x  A  X thì thành phần liên thông của x trong không gian con A được gọi là thành phần liên thông của x trong A . 1.2. Các tiên đề tách 1.2.1. Định nghĩa không gian T0 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T0  không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại một lân cận U1 của x sao cho y U1 hoặc một lân cận U 2 của y sao cho x U 2 . 1.2.2. Định nghĩa không gian T1 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T1  không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại một lân cận U1 của x sao cho y U1 và một lân cận U 2 của y sao cho x U 2 .
9 1.2.3. Định nghĩa không gian T2 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T2  không gian (hay không gian Hausdorff) nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại các lân cận U1 , U 2 sao cho x U1 , y U 2 và U1  U 2   . 1.2.4. Định nghĩa không gian T3 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T3  không gian nếu X là T1  không gian và với mọi x  X và với tập đóng A  X sao cho x  A thì tồn tại các tập mở U1 ,U 2 sao cho x U1 , A  U 2 và U1  U 2   . 1.2.5. Định nghĩa không gian T4 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T4  không gian nếu X là T1  không gian và với hai tập đóng A, B bất kì phân biệt trong X thì tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U , B  V và U  V   . 1.2.6. Tính chất 1) T1  không gian là T0  không gian. 2) T2  không gian là T1  không gian. 3) T3  không gian là T2  không gian. 4) T4  không gian là T3  không gian. 1.3. Không gian mêtric 1.3.1. Định nghĩa  Cho tập X   . Một ánh xạ d : X  X  được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn x, y, z  X : 1) d  x, y   0 d  x, y   0  x  y. (tiên đề đồng nhất) 2) d  x, y   d  y, x . (tiên đề đối xứng)
10 3) d  x, y   d  x, z   d  z, y . (tiên đề tam giác) Nếu d là mêtric trên X thì cặp  X ,d  được gọi là một không gian mêtric. Nếu d là mêtric trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau x, y, u, v  X  d  x, y   d  u, v   d  x, u   d  y, v  . 1.3.2. Không gian mêtric đầy đủ  xn n1  X ,d   Dãy trong không gian mêtric được gọi là dãy Cauchy (hoặc dãy cơ bản) nếu:   0, n0  : i, j  n0  d  xi , x j    . Không gian mêtric  X , d  được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Trong các nghiên cứu ở chương sau, khái niệm dãy Cauchy sẽ đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính đầy đủ của các không gian mêtric mờ. 1.3.3. Định nghĩa ánh xạ đẳng cự Cho  X , d  , Y , p  là 2 không gian mêtric. Một ánh xạ f :  X , d   Y , p  thỏa mãn d  a, b   p  f  a  , f  b   với mọi a, b  X gọi là một ánh xạ đẳng cự. 1.3.4. Không gian khả mêtric Không gian tôpô X được gọi là không gian khả mêtric nếu trên X có  một mêtric d : X  X  sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô trên X. 1.3.5. Không gian mêtric bị chặn Lấy M   A, d  là một không gian mêtric và M '   B, d B  là không gian
11 con của M . M ' bị chặn trong M nếu a  A, K  : x  B : d  x, a   K , Điều này có nghĩa là tồn tại phần tử thuộc A mà khoảng cách đến mọi phần tử thuộc B là hữu hạn. Hoặc ta có định nghĩa tương đương như sau: M ' bị chặn nếu K  : x, y  M ': d  x, y   K , có nghĩa là tồn tại một số thực dương K sao cho khoảng cách giữa hai phần tử bất kỳ thuộc B đều bé hơn hoặc bằng K . 1.3.6. Không gian mêtric thông thường n n Không gian mêtric thông thường trên X là mêtric Ơ-clit trên X 1  n 2 hay mêtric d 2  x, y  :    xi  yi   2  i 1  trong đó x   x1, x2 ,..., xn  , y   y1 , y2 ,..., yn   n . 1.4. Phần trong, bao đóng, biên, đường kính của một tập hợp, tập trù mật Cho không gian mêtric ( X ,  ) . 1.4.1. Phần trong Giả sử A là tập con của không gian mêtric X . Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập A . o Ký hiệu: int A hoặc A . Phần trong của một tập hợp có thể là tập rỗng. Theo định nghĩa, ta có kết quả sau: 1) Phần trong của tập A là tập mở lớn nhất chứa trong A . 2) A là tập mở  int A  A . 3) Nếu A  B thì int A  int B . 1.4.2. Bao đóng Giả sử A là tập con của không gian mêtric X . Giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng của tập A . Ký hiệu: A .
12 Vì X  A nên bao đóng của một tập hợp luôn tồn tại. Theo định nghĩa, ta có kết quả sau: 1) Bao đóng của tập A là tập đóng nhỏ nhất chứa trong A . 2) A là tập đóng  A  A . 3) Nếu A  B thì A  B . 1.4.3. Không gian mêtric compact Cho không gian mêtric ( X ,  ) . Ta nói X compact nếu mọi dãy điểm xn  trong X đều chứa một dãy   con xnk hội tụ về một điểm x  X . Cho A  X , ta nói A là tập con compact của không gian mêtric ( X ,  )   nếu mọi dãy  xn n  A đều chứa một dãy con xnk hội tụ về một điểm x  A . Nếu A là tập compact thì A được gọi là compact tương đối. 1.4.4. Trù mật Cho A  X , B  X . A được gọi là trù mật trong B nếu B  A . Nếu A  X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X . 1.4.5. Định nghĩa cái làm đầy của không gian mêtric Một cái làm đầy của không gian mêtric  X , d  là một cặp gồm không gian mêtric đầy đủ  X ', d ' và một ánh xạ đẳng cự  : X  X ' sao cho   X  trù mật trong X ' . 1.4.6. Định lý về cái làm đầy của không gian mêtric Mọi không gian mêtric đều có một cái làm đầy. 1.4.7. Biên Cho  X ,  là một không gian tôpô và A  X . Một điểm x  X được gọi là điểm biên của A nếu x nằm trong bao đóng của A nhưng không nằm trong
13 phần trong của A, tức là x  A \ int  A  . Tập hợp tất cả các điểm biên của A thì được gọi là biên của A . 1.4.8. Đường kính Cho ( X ,  ) , định nghĩa đường kính của một tập A  X được định nghĩa: DiamA  sup   x, y  | x, y  A nếu giá trị này tồn tại. Nếu A là compact thì khi đó tồn tại a1 , a2  A sao cho DiamA    a1, a2  1.5. Không gian khả ly 1.5.1. Định nghĩa Không gian mêtric ( X ,  ) được gọi là không gian khả ly (tách được) nếu tồn tại một tập con đếm được trù mật khắp nơi trong X . Ta có: X khả ly  A  X : A đếm được và A  X . 1.5.2. Mệnh đề Không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian khả ly. 1.6. Ánh xạ liên tục 1.6.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục Cho các không gian mêtric  X , d X  và Y , dY  và ánh xạ f : X  Y . Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0  X nếu   0,   0: x  X , d X  x, x0     dY  f  x  , f  x0    . Ta nói ánh xạ f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x  X . 1.6.2. Nửa nhóm tôpô Cho X là không gian tôpô được trang bị phép toán 2 ngôi thỏa mãn tính chất kết hợp: *: X  X  X  x, y  x y
14  X , gọi là một nửa nhóm tôpô nếu  : X  X  X là một ánh xạ liên tục. 1.6.3. Định nghĩa ánh xạ liên tục đều Cho các không gian mêtric  X , dX  và Y , dY  và ánh xạ f : X  Y được gọi là liên tục đều nếu:   0,   0 : x1 , x2  X , d X  x1 , x2     dY  f  x1  , f  x2     . Hiển nhiên một ánh xạ liên tục đều là ánh xạ liên tục nhưng điều ngược lại là không đúng. 1.6.4. Ánh xạ liên tục bảo toàn tính compact Cho X ,Y là hai không gian mêtric, f : X  Y là ánh xạ liên tục và A  X là tập compact. Khi đó, f  A là tập compact trong Y . 1.6.5. Ánh xạ liên tục bảo toàn tính liên thông Cho X ,Y là hai không gian mêtric, f : X  Y là ánh xạ liên tục và A là tập liên thông trong X . Khi đó, f  A là liên thông trong Y .