Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát với hàm mục tiêu và các ánh xạ ràng buộc đều là hàm và ánh xạ đa trị trong các trường hợp: hàm mục tiêu là tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng; hàm mục tiêu là tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————— NGUYỄN QUỲNH HOA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM - OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUỲNH HOA BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG DẠNG BLUM - OETTLI TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán Giải tích Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn THÁI NGUYÊN - 2018
i Lời cam đoan Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tôi xin cam đoan đây là công trình của tôi. Các kết quả đưa vào luận án đều được sự đồng ý của các đồng tác giả là GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn và PGS.TS. Nguyễn Bá Minh. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Quỳnh Hoa
ii Lời cảm ơn Luận án này được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới người thầy của mình. Thầy đã tận tình dìu dắt, hướng dẫn và luôn động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, cùng các thầy, các cô tham gia giảng dạy đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản và Bộ môn Toán của trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên đã luôn tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể học tập và hoàn thành luận án của mình. Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các anh chị em nghiên cứu sinh đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và làm luận án. Tác giả Nguyễn Quỳnh Hoa
iii Mục lục Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt vi Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức cơ bản 7 1.1 Không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . . . . 12 1.2 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Các khái niệm cơ bản về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Ánh xạ đa trị và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị liên tục . . . 27 Chương 2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát 31 2.1 Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát . . . . . . . . . . 33 2.2 Bài toán với hàm mục tiêu là tích Đề các của hai ánh xạ . . . . . . . . 52 Chương 3. Các bài toán liên quan 72 3.1 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.2.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
iv 3.3 Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.3.2 Định lý tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Kết luận chung và kiến nghị 103 Tài liệu tham khảo 105
v
vi Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm 2X tập các tập con của tập hợp X X∗ không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X hp, xi giá trị của p ∈ X ∗ tại x ∈ X F : X → 2Y ánh xạ đa trị từ tập Xvào tập Y Gr(F ) đồ thị của hàm F dom(F ) miền xác định của hàm F F −1 hàm ngược của hàm F u.s.c nửa liên tục trên l.s.c nửa liên tục dưới ∀x với mọi x ∃x tồn tại x ∅ tập rỗng {xα } dãy suy rộng coA bao lồi của tập hợp A coneA bao nón lồi của tập hợp A clA, A¯ bao đóng tôpô của tập hợp A intA phần trong tôpô của tập hợp A
vii A⊆B Alà tập con của B A∪B hợp của hai tập hợp Avà B A∩B giao của hai tập hợp Avà B A×B tích Đề các của hai tập hợp Avà B A\B hiệu của hai tập hợp Avà B
1 Mở đầu Khi nghiên cứu các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội, cũng như trong các ngành khoa học, chúng ta thường gặp những câu hỏi: Tồn tại hay không tồn tại? Tồn tại như thế nào? Theo thuật ngữ toán học, câu hỏi thứ nhất làm ta liên hệ với sự tồn tại hay không tồn tại nghiệm của phương trình, bài toán được phát biểu như sau: Tìm x ∈ D sao cho F (x) = 0, (1) trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian X và F là ánh xạ đi từ D vào không gian tuyến tính Y . Bài toán này còn được gọi là phương trình toán tử. Câu hỏi thứ hai, trong toán học, ta có thể liên hệ với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x), với mọi x ∈ D, (2) với D là tập con của không gian X và f là hàm số từ tập D vào không gian các số thực R. Bài toán này còn được gọi là bài toán tối ưu. Bài toán (1) và (2) đóng vai trò quan trọng trong việc ứng dụng toán học vào giải quyết những vấn đề đặt ra trong thực tiễn cuộc sống. Các nhà toán học đã xây dựng những lý thuyết để giải hai bài toán (1) và (2). Lý thuyết để giải bài toán (1) được gọi là lý thuyết phương trình toán tử. Lý thuyết để giải bài toán (2) được gọi là lý thuyết tối ưu. Hai bài toán trên đóng vai trò trọng tâm của hai lý thuyết này. Lý thuyết phương trình toán tử và lý thuyết tối ưu có mối liên hệ qua lại, tương tác lẫn nhau. Trong nhiều trường hợp, bài toán (1) có thể đưa về bài toán (2) và ngược lại. Ví dụ: Khi X là không gian Hilbert, f là hàm lồi và có đạo hàm f 0 , bài toán (2)
2 tương đương với bài toán: Tìm x ∈ D sao cho x = PD (x − f 0 (x)), với PD (x) là hình chiếu trực giao của điểm x lên tập D. Hay F (x) = 0, với F (x) = PD (x − f 0 (x)) − x. Tức là, bài toán (1) tương đương với bài toán (2). Để giải bài toán (2), người ta phân loại thành những lớp bài toán dựa theo đặc tính hàm số f và tập D. Khi f là hàm tuyến tính và D là đa diện lồi trong không gian Euclid n chiều Rn , bài toán (2) được gọi là qui hoạch tuyến tính. Năm 1947, G. B. Danzig, nhà toán học Mỹ đã tìm ra thuật toán đơn hình để giải bài toán này. Khi D là tập lồi đóng trong không gian Rn và f là hàm lồi thì (2) được gọi là bài toán quy hoạch lồi. Những năm 1960 - 1970, nhà toán học Mỹ, T. Rockaffelar đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi để xây dựng môn giải tích lồi nhằm giải quyết bài toán quy hoạch lồi. Tiếp theo, khi f là hàm Lipschitz địa phương và D là tập đóng, (2) được gọi là bài toán quy hoạch Lipschitz. Sau những năm 1970, nhà toán học Mỹ, F. H. Clarke đã xây dựng dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương để giải bài toán quy hoạch Lipschitz. Khi hàm f là hàm liên tục, D là tập đóng, bài toán (2) được gọi là bài toán quy hoạch liên tục. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, D. T. Luc và V. Jeyakumar đã đưa ra lý thuyết Jacobian xấp xỉ để giải bài toán quy hoạch liên tục. Tới những năm 1960 của thế kỷ trước, Stampachia [41] đã đưa ra bài toán bất đẳng thức biến phân: Cho D là tập con khác rỗng của không gian Rn , T : D → Rn . Tìm x ∈ D sao cho hT (x), x − xi ≥ 0, với mọi x ∈ D. (3) Sau đó, bài toán này được mở rộng thành bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát: Tìm x ∈ D sao cho hT (x), x − xi + φ(x) − φ(x) ≥ 0, với mọi x ∈ D, (4) trong đó, D là tập con khác rỗng của không gian Banach X, X ∗ là không gian đối ngẫu của X, T : D → X ∗ là ánh xạ đơn trị, φ : D → R là hàm số thực.
3 Năm 1994, Blum và Oettli [14] đã đưa ra bài toán điểm cân bằng (EP): Cho ánh xạ f : D × D → R, f (x, x) = 0, với x ∈ D. Tìm x ∈ D sao cho f (t, x) ≥ 0, với mọi t ∈ D. (5) Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (5), các tác giả đã sử dụng Định lý về sự tương giao của ánh xạ KKM, một dạng tương đương của Định lý về điểm bất động Browder. Bài toán điểm cân bằng bao hàm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điển yên ngựa, bài toán minimax, bài toán điểm bất động, ... như những trường hợp đặc biệt. Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu thuật toán nhằm tìm nghiệm cho những bài toán này đã được rất nhiều các nhà toán học trong nước cũng như quốc tế mở rộng và phát triển mạnh mẽ. Tiếp theo, các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm cân bằng được mở rộng khi các hàm số liên quan là những hàm véctơ và chúng lần lượt được gọi là: Bài toán tối ưu véctơ, bất đẳng thức biến phân véctơ, bài toán điểm cân bằng véctơ. Những năm cuối của Thế kỷ 20 và những năm đầu của Thế kỷ 21, các tác giả N. X. Tan [46], D. T. Luc [11], P. N. Tinh [58], P. H. Sach [53], P. Q. Khanh [32], L. J. Lin [40], T. T. T. Duong [22], B. T. Hung [35], N. T. Q. Anh [8], ... đã phát biểu các bài toán trên và chứng minh sự tồn tại nghiệm của chúng khi các ánh xạ liên quan là những ánh xạ đa trị. Những bài toán (1), (2) và những bài toán mở rộng, liên quan đến hàm vectơ, ánh xạ đa trị đều có thể quy về bài toán: Cho ánh xạ đa trị F : D → 2Y . Tìm x ∈ D sao cho 0 ∈ F (x), (6) trong đó, X, Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D là một tập con của X. Bài toán (6) được gọi là bài toán cân bằng tổng quát hay còn được gọi là phương trình đa trị. Trong thực tế, nhiều khi miền ràng buộc D thay đổi, phụ thuộc bởi một ánh xạ, P : D → 2D . Khi đó, ta cần xét bài toán: Tìm x ∈ D sao cho
4 1) x ∈ P (x); (7) 2) 0 ∈ F (x). Bài toán (7) được gọi là bài toán tựa cân bằng tổng quát. Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán này đã được nghiên cứu trong trường hợp P là ánh xạ liên tục với giá trị khác rỗng, lồi, compact và F là ánh xạ u.s.c với giá trị khác rỗng, lồi, compact. Trong những năm gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát qua việc giảm nhẹ tính liên tục của các ánh xạ P, F . Tức là, cho X, Y, Z là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z, các ánh xạ đa trị P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F : D × K → 2Y . Ta xét bài toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) x ∈ P (x, y); 2) y ∈ Q(x, y); (8) 3) 0 ∈ F (x, y). Các ánh xạ P, Q được gọi là các ánh xạ ràng buộc, F được gọi là hàm mục tiêu. Ta thấy, nếu đặt D0 = D × K, P 0 = P × Q thì bài toán (8) trở về dạng bài toán (7). Bài toán tựa cân bằng tổng quát (8) bao hàm rất nhiều lớp bài toán tối ưu mà ta đã biết như bài toán tựa bao hàm thức biến phân, bài toán tựa quan hệ biến phân,... Điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (8) đã được rất nhiều các tác giả nghiên cứu như L. J. Lin và S. Park [39], M. P. Chen, L. J. Lin và S. Park [19], S. Park [51], Jian Wen Peng và Dao Li Zhu [52], ... Đặc biệt, các tác giả N. X. Tan và D. T. Luc [43], N. X. Tan và L. J. Lin [40], N. X. Tan và T. T. T. Duong [22], N. X. Tan và B. T. Hung [35], N. X. Tan và N. T. Q. Anh [8] xét trong trường hợp P là ánh xạ liên tục, Q là ánh xạ u.s.c và F là ánh xạ u.s.c hoặc l.s.c và tất cả các ánh xạ P, Q, F đều cần có giá trị lồi, đóng, khác rỗng. Mở rộng hướng nghiên cứu này, chúng tôi xét bài toán (8) với hàm mục tiêu là dạng tổng của hai ánh xạ: F (x, y) = G(x, y) + H(x, y). Tức là, chúng tôi xét bài
5 toán: Tìm (x, y) ∈ D × K sao cho 1) x ∈ P (x, y); 2) y ∈ Q(x, y); 3) 0 ∈ G(x, y) + H(x, y), với các điều kiện đặt trên hai hàm G và H khác nhau và ta gọi là "Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát". Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về những bài toán dạng Blum - Oettli, tức là các bài toán đa trị có hàm mục tiêu là tổng của hai ánh xạ như N. X. Tan và P. N. Tinh [58], T. Y. Fu [29], G. Kassay và M. Miholca [37], G. Kassay, M. Miholca và N. T. Vinh [38],... Mục tiêu của luận án là: (1) Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của Bài toán tựa cân bằng dạng Blum - Oettli tổng quát với hàm mục tiêu và các ánh xạ ràng buộc đều là hàm và ánh xạ đa trị trong các trường hợp: - hàm mục tiêu là tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng; - hàm mục tiêu là tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và ánh xạ nửa liên tục trên yếu vô hướng. (2) Ứng dụng những kết quả ở (1), chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan: Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I, Bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II và Bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp. Xuất phát từ mục tiêu và nội dung nghiên cứu của luận án, nghiên cứu sinh đã lựa chọn tên luận án là “Bài toán tựa cân bằng dạng Blum – Oettli tổng quát và ứng dụng”. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được trình bày thành ba chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, của nón và các ánh xạ đa trị. Đồng thời, trong chương này, ta nhắc lại một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới, nửa liên tục trên,...
6 Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2 chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới tổng của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô hướng. Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát liên quan tới tích Đề các của ánh xạ nửa liên tục dưới yếu vô hướng và nửa liên tục trên yếu vô hướng. Trong chương này, chúng tôi cũng đưa ra một số kết quả mở rộng nối định lý Ky Fan và định lý Fan - Browder với nhau (Hệ quả 2.1.7, Hệ quả 2.1.8, ...). Chương 3 trình bày một số ứng dụng, xét sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng suy rộng loại I (Định lý 3.1.1, Hệ quả 3.1.1), bài toán tựa cân bằng suy rộng loại II (Định lý 3.2.1, Hệ quả 3.2.2, Hệ quả 3.2.3) và bài toán tựa cân bằng suy rộng hỗn hợp (Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) dựa trên các kết quả có được từ Chương 2. Nội dung cơ bản của luận án được viết dựa trên cơ sở là các bài báo trong Danh mục công trình nghiên cứu.
7 Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong toán học cũng như trong cuộc sống tự nhiên và xã hội, muốn giải quyết một vấn đề nào đó, người ta thường mô hình hóa dưới dạng một bài toán. Bài toán đưa ra phải được đặt trong không gian nhất định, nghiệm của bài toán đó cũng phải được xác định trong một không gian nào đó. Không gian phải có những cấu trúc để đảm bảo cho bài toán có nghiệm và có thể tính được nghiệm theo thuật toán. Do đó, trước khi nghiên cứu các bài toán được nêu trong luận án, ta cần nhắc lại những kiến thức cơ bản về các không gian thường dùng và các khái niệm liên quan đến các bài toán ta cần nghiên cứu. 1.1 Không gian thường dùng 1.1.1 Không gian tôpô Để định nghĩa không gian tôpô, người ta đưa ra khái niệm tôpô trên một tập hợp, mỗi phần tử của nó được gọi là tập mở. Những điều kiện mà họ các tập mở cho phép xây dựng một cấu trúc (gọi là cấu trúc tôpô) trên tập hợp đó. Nội dung chính của phần này được tham khảo trong quyển Hàm thực và giải tích hàm của H. Tuy ([3]). Ta có định nghĩa.
8 Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Ta nói một họ τ những tập con của X là một tôpô trên X nếu: 1) Hai tập ∅ và X đều thuộc họ τ ; 2) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó; 3) τ kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là hợp của một số bất kỳ (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó. Tập X, cùng với một tôpô τ trên X, gọi là không gian tôpô (X, τ ) (thường gọi tắt là không gian tôpô X). Và khi đó ta nói trên X có một cấu trúc tôpô. Trước hết, ta có định nghĩa. Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp I với quan hệ thứ tự ≤ được gọi là tập định hướng nếu: 1) Với mọi x ∈ I, x ≤ x; 2) Với mọi x, y, z ∈ I thỏa mãn x ≤ y, y ≤ z, ta luôn có x ≤ z; 3) Với mọi x, y ∈ I, tồn tại t ∈ I sao cho x ≤ t, y ≤ t. Định nghĩa 1.1.3. Cho X là không gian tôpô, I là một tập định hướng với quan hệ thứ tự ≤. Khi đó, một dãy suy rộng (hay còn gọi là lưới) trong X là ánh xạ x : I −→ X α 7−→ xα = x(α). Ta thường ký hiệu là {xα }α∈I . Từ khái niệm tập mở, ta có một số khái niệm. Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian tôpô (X, τ ). 1) Tập A ⊂ X được gọi là tập đóng nếu X\A ∈ τ ; 2) Tập U ⊆ X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại một tập mở B ⊂ U sao cho x ∈ B;
9 3) Ux ⊂ X được gọi là họ cơ sở lân cận của điểm x nếu (a) Với mọi U ∈ Ux thì x ∈ U ; (b) U1 , U2 ∈ Ux thì U1 ∩ U2 ∈ Ux ; (c) U1 ∈ Ux và U1 ⊂ U2 thì U2 ∈ Ux ; (d) Với mỗi U ∈ Ux có một V ∈ Ux sao cho U ∈ Uy cho mọi y ∈ V. 4) Cho {xα } ⊂ X với α thuộc tập chỉ số I được sắp xếp theo thứ tự trong N, ta nói rằng xα hội tụ đến x (theo một tôpô τ ) nếu với lân cận U của x, tồn tại α0 ∈ I, sao cho với mọi α ≥ α0 , xα ∈ U. Nhận xét 1.1.1. Ta thấy rằng bốn khái niệm này đều tạo ra cùng một cấu trúc tôpô trên X. Ngoài ra, ta có định nghĩa. Định nghĩa 1.1.5. Cho Ux là một họ cơ sở lân cận của điểm x trong không gian tôpô X. Một tập Bx ⊂ Ux được gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với mọi V ∈ Bx , tồn tại W ∈ Bx sao cho W ⊂ V . Trong nội dung chính của luận án, ta luôn nhắc đến không gian Hausdorff. Nó được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.6. Một không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọi cặp điểm khác nhau x1 , x2 ∈ X đều có hai lân cận V1 , V2 của x1 , x2 sao cho V1 ∩ V2 = ∅ được gọi là không gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô của nó được gọi là tôpô tách hay tôpô Hausdorff. Định nghĩa 1.1.7. 1) Cho A ⊂ X, tập mở lớn nhất nằm trong A được gọi là phần trong của A và ký hiệu là intA; 2) Cho A ⊂ X, tập đóng nhỏ nhất chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là A (hoặc clA). Ta có thể chứng minh A = {x ∈ X| tồn tại xα ⊂ A sao cho xα → x},
10 Ta có mệnh đề. Mệnh đề 1.1.1. 1) A là tập mở khi và chỉ khi A = intA; 2) A là tập đóng khi và chỉ khi A = A. Định nghĩa 1.1.8. Tập A được gọi là tập compact nếu với mọi {xα } ⊂ A, tồn tại một dãy con {xαk } ⊂ {xα } hội tụ tới một phần tử trong A. Định lý 1.1.1. Một tập M của một không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: S 1) Mọi phủ mở của M đều chứa một phủ con hữu hạn, nghĩa là, nếu X ⊂ Gα và α n S Gα là các tập mở thì phải có các tập Gα1 , Gα2 , ..., Gαn sao cho X ⊂ Gαi ; i=1 2) Bất kỳ họ tập đóng nào trong X mà có giao không cắt M thì phải chứa một họ con hữu hạn vẫn có giao không cắt M . Ta có, các khái niệm về tập mở, tập đóng, lân cận và sự hội tụ trên một không gian tôpô. Khi một ánh xạ từ không gian tôpô này tới một không gian tôpô khác người ta đưa ra khái niệm ánh xạ liên tục. Định nghĩa 1.1.9. Một ánh xạ f từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là liên tục tại x0 , nếu với mọi lân cận Uy0 của điểm y0 = f (x0 ) đều có một lân cận Vx0 của điểm x0 sao cho f (Vx0 ) ⊂ Uy0 . Ánh xạ f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X. Mệnh đề 1.1.2. Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y là liên tục khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở (đóng) trong Y đều là tập mở (đóng) trong X. Mệnh đề trên còn tương đương với mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1.3. Ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian tôpô Y là liên tục tại x ∈ X khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng xα ⊂ X, xα → x thì f (xα ) → f (x).
11 1.1.2 Không gian tuyến tính Cho tập hợp X. Trên X xác định hai ánh xạ: 00 +00 : X × X −→ X 00 00 . : R × X −→ X (x, y) 7−→ x + y; (α, x) 7−→ αx. (một ánh xạ được gọi là phép cộng và ánh xạ còn lại được gọi là phép nhân) thỏa mãn các tính chất: 1) x + y = y + x với mọi x, y ∈ X; 2) x + (y + x) = (x + y) + z với mọi x, y, z ∈ X; 3) Tồn tại 0 ∈ X (phần tử trung hòa, hay còn gọi là phần tử gốc) sao cho x + 0 = 0 + x = x; 4) Với mọi x ∈ X, tồn tại phần tử −x ∈ X (phần tử đối của x) sao cho x+(−x) = 0; 5) α(βx) = (αβ)x với mọi α, β ∈ R, x ∈ X; 6) (α + β)x = αx + βx với mọi α, β ∈ R, x ∈ X; 7) α(x + y) = αx + αy với mọi α ∈ R, x, y ∈ X; 8) 1.x = x.1 = x với mọi x ∈ X, thì tập X được gọi là không gian véctơ (hay còn gọi là không gian tuyến tính). Các tính chất này tạo nên một cấu trúc đại số trên X. Chú ý 1.1.1. Không gian véctơ X ở định nghĩa trên còn được gọi là không gian véctơ thực. Nếu trong định nghĩa, ta thay số thực bởi số phức thì ta có không gian véctơ phức. Trong không gian tuyến tính, tập lồi là một khái niệm rất quan trọng. Ta có: Định nghĩa 1.1.10. Một tập A trong một không gian véctơ X được gọi là lồi nếu với x, y ∈ A, 0 ≤ α ≤ 1 ta có αx + (1 − α)y ∈ A.