Luận văn Thạc sĩ Toán học: Những tính chất và nguyên lý của không gian PMS

Chia sẻ: Elysale Elysale | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn được nghiên cứu với mục tiêu nhằm nghiên cứu mối quan hệ mêtríc hóa được giữa không gian tôpô thuần túy và không gian PMS. Bổ sung và chứng minh một số điều kiện cần thiết để các tính chất trên tôpô thuần túy trở thành tính chất trong không gian PMS. Đề ra một số hướng nghiên cứu về không gian PMS trong tương lai.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Những tính chất và nguyên lý của không gian PMS

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hứa Lâm Phong NHỮNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN LÝ CỦA KHÔNG GIAN PMS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hứa Lâm Phong NHỮNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN LÝ CỦA KHÔNG GIAN PMS Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. Hứa Lâm Phong.
LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người đã tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những thầy cô tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 đã cho tôi những kiến thức toán học về Đại số, Giải tích và Hình học và tôpô. Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe và thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Hình học và tôpô khoa Toán khóa 27 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành thật tốt khóa học. Hứa Lâm Phong
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 4 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô ............................ 4 1.1.1. Định nghĩa.......................................................................................... 4 1.1.2. Lân cận của một điểm ........................................................................ 4 1.1.3. Tập mở, tập đóng ............................................................................... 4 1.1.4. Tôpô cảm sinh .................................................................................... 4 1.1.5. Tôpô tích ............................................................................................ 5 1.1.6. Cơ sở của không gian tôpô ................................................................ 5 1.1.7. Tiên đề đếm được thứ nhất ................................................................ 5 1.1.8. Tiên đề đếm được thứ hai .................................................................. 5 1.1.9. Định nghĩa phủ................................................................................... 6 1.1.10. Định nghĩa phủ con .......................................................................... 6 1.1.11. Định nghĩa tập compact và không gian compact ............................. 6 1.1.12. Định nghĩa không gian compact địa phương ................................... 6 1.1.13. Không gian Lindelöf ........................................................................ 6 1.1.14. Không gian liên thông...................................................................... 6 1.1.15. Liên thông địa phương ..................................................................... 6 1.1.16. Tập liên thông .................................................................................. 7 1.1.17. Thành phần liên thông ..................................................................... 7 1.2. Các tiên đề tách ........................................................................................ 7 1.2.1. Định nghĩa không gian T0 ................................................................. 7
1.2.2. Định nghĩa không gian T1 .................................................................. 7 1.2.3. Định nghĩa không gian T2 ................................................................. 7 1.2.4. Định nghĩa không gian T3 ................................................................. 7 1.2.5. Định nghĩa không gian T4 ................................................................. 8 1.2.6. Tính chất ............................................................................................ 8 1.3. Không gian mêtríc ................................................................................... 8 1.3.1. Định nghĩa.......................................................................................... 8 1.3.2. Không gian mêtríc đầy đủ.................................................................. 8 1.3.3. Không gian mêtríc hóa ....................................................................... 9 1.3.4. Định nghĩa giống-khoảng cách .......................................................... 9 1.3.5. Không gian mêtríc có trọng số........................................................... 9 1.3.6. Không gian mêtríc bị chặn ................................................................. 9 1.3.7. Không gian mêtríc compact ............................................................. 10 1.3.8. Không gian mêtríc thông thường ..................................................... 10 1.4. Phần trong, bao đóng, biên, đường kính của một tập hợp, tập hợp trù mật ........................................................................................................... 10 1.4.1. Phần trong ........................................................................................ 10 1.4.2. Bao đóng .......................................................................................... 11 1.4.3. Trù mật ............................................................................................. 11 1.4.4. Biên .................................................................................................. 11 1.4.5. Đường kính ...................................................................................... 11 1.5. Không gian khả ly .................................................................................. 12 1.5.1. Định nghĩa........................................................................................ 12 1.5.2. Mệnh đề ........................................................................................... 12 1.6. Ánh xạ liên tục ....................................................................................... 12 1.6.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục ............................................................... 12 1.6.2. Định nghĩa ánh xạ liên tục đều ........................................................ 12
1.6.3. Ánh xạ liên tục bảo toàn tính compact ............................................ 12 1.6.4. Ánh xạ liên tục bảo toàn tính liên thông .......................................... 12 1.7. Không gian Baire ................................................................................... 13 1.8. Định lý Baire .......................................................................................... 13 1.9. Ánh xạ Lispchitz .................................................................................... 13 1.10. Nguyên lý Ekeland .............................................................................. 13 Chương 2. KHÔNG GIAN MÊTRÍC RIÊNG PHẦN (PMS) ................... 15 2.1. Không gian mêtríc riêng phần ............................................................... 15 2.1.1. Định nghĩa ........................................................................................ 15 2.1.2. Bổ đề ................................................................................................ 16 2.1.3. Một số định nghĩa trong không gian PMS ....................................... 17 2.2. Các tiên đề tách trong PMS ................................................................... 18 2.3. Mối liên hệ giữa không gian đếm được thứ hai và không gian khả ly............................................................................................................. 27 2.4. Mối liên hệ giữa không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai và tính chất Lindelöf ................................................................................................. 31 Chương 3. NHỮNG NGUYÊN LÝ VÀ TÍNH CHẤT CỦA CÁC KHÔNG GIAN PMS................................................................. 34 3.1. Không gian mêtríc riêng phần ............................................................... 35 3.2. Không gian mêtríc riêng phần đầy đủ ................................................... 41 3.3. Tính compact trong các không gian mêtríc riêng phần ......................... 50 3.4. Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian PMS .......................... 51 KẾT LUẬN..................................................................................................... 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 60
1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài 1.1. Những ghi nhận ban đầu Không gian PMS (không gian mêtríc riêng phần) vốn là một khái quát hóa của không gian mêtríc thông thường, trong đó khoảng cách của nó không cần bằng 0. Khái niệm này lần đầu tiên được giới thiệu vào năm 1992 bởi Steve G.Matthews với mô hình tính toán trên không gian mêtríc. Vốn được xem như là một nhánh con của tôpô thuần túy. Chúng ta đặc biệt quan tâm đến những tính chất tôpô quen thuộc như tiên đề tách được, tính đếm được, liên thông, compact, đầy đủ và nguyên lý biến phân Ekeland liệu có thể áp dụng trong không gian PMS được hay không? Cũng như cần có thêm một số giả thiết nào khác để chúng vẫn giữ nguyên tính đúng đắn của nó? Đây cũng là nội dung nghiên cứu của luận văn này. 1.2. Thực tiễn của đề bài Michael Bukatin, Ralph Kopperman, Steve Matthews, và Homeira Pojaahesh cho rằng “Một không gian PMS là một tổ hợp của các khái niệm mêtríc như khoảng cách, trọng số và là tập hợp được sắp xếp thứ tự riêng phần (Partially ordered set-poset) trong một mối quan hệ nào đó.” Tuy nhiên, việc nghiên cứu những tính chất tôpô của không gian PMS vẫn còn là một bài toán mở và nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. 2. Khung lí thuyết tham chiếu Với các kiến thức tôpô đại cương và những nghiên cứu về các khái niệm và tính chất trong không gian PMS của các nhà toán học trên thế giới và Việt Nam, cũng như từ bài báo Properties And Principles On Partial Spaces của ba tác giả Suzhen Han, Jiangfend Wu và Dong Zhang xuất bản trong tạp chí Topology and its Applications năm 2017.
2 3. Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu 3.1. Mục tiêu nghiên cứu Từ thực tiễn của đề tài, luận văn này sẽ tiếp tục tìm hiểu một cách chi tiết hơn về các tính chất và nguyên lý trong không gian PMS cụ thể là:  Nghiên cứu mối quan hệ mêtríc hóa được giữa không gian tôpô thuần túy và không gian PMS.  Bổ sung và chứng minh một số điều kiện cần thiết để các tính chất trên tôpô thuần túy trở thành tính chất trong không gian PMS.  Đề ra một số hướng nghiên cứu về không gian PMS trong tương lai. 3.2. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích và tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp một số công trình đã có làm cơ sở lý luận hoặc sử dụng các kết quả nghiên cứu đã có để chứng minh một số định lý và tính chất trong bài. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, 3 và phần kết luận. Mở đầu: Nội dung của phần mở đầu nhằm đề cập đến những ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Các kiến thức chuẩn bị về đại số, nhóm tôpô, tính compact, tính liên thông, không gian mêtríc, các kiến thức về tiền đề Hausdorff, tiên đề tách được, ba tiên đề đếm được (đếm được thứ 2, tách được và Lindelof) trên không gian tôpô thông thường. Chương 2: Không gian mêtríc riêng phần (PMS): Giới thiệu khái niệm, các tính chất trong không gian PMS, cũng như mối liên hệ giữa các tiên đề tách, giữa các không gian đếm được thứ hai, không gian khả ly và không gian Lindelöf.
3 Chương 3: Những nguyên lý và tính chất trong không gian PMS: Tập trung vào không gian PMS đầy đủ và tính chất đầy đủ của nó. Chúng ta cũng đưa ra nhiều kết quả cơ bản như định lý giao Cantor và định lý phạm trù Baire. Cuối chương, chúng tôi bàn đến tính compact của không gian PMS và những kết quả cơ bản, được đặt tên dưới bổ đề bao phủ Lebesgue. Kết luận: Tôi đã hệ thống lại các kết quả đã được trình bày trong chương 2 và chương 3 cùng một số vấn đề nhằm phát triển phương hướng nghiên cứu trong tương lai.
4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung của chương này giới thiệu và nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản nhằm làm cơ sở cho việc nghiên cứu các chương sau. 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trong không gian tôpô 1.1.1. Định nghĩa Cho X là tập hợp khác rỗng và  là một họ các tập con của X sao cho: 1) , X  ; 2) U ,V   U V  ; 3) U i  , i  I  U i  . iI Khi đó  được gọi là một tôpô trên X và cặp  X ;  là một không gian tôpô. 1.1.2. Lân cận của một điểm Cho không gian tôpô  X ;  và điểm x  X , U  X được gọi là một lân cận của x nếu tồn tại một tập mở V  sao cho x V và V  U . 1.1.3. Tập mở, tập đóng Tập A  X được gọi là tập mở nếu với mỗi x  A tồn tại một lân cận U x của x được chứa trong A . Tập B  X được gọi là tập đóng nếu X \ B là tập mở. 1.1.4. Tôpô cảm sinh Cho không gian tôpô  X ;  và A  X . Họ  A   A  U :U mở trong X  được cảm sinh từ tôpô  là một tôpô trên A . Khi đó  A; A  được gọi là không gian tôpô con của không gian tôpô  X ;  .
5 1.1.5. Tôpô tích Cho  X ,  i i iI là một họ các không gian tôpô. Đặt X :  X i và iI pi : X  X i là phép chiếu thứ i . Tôpô tích trên X là tôpô yếu nhất để tất cả các phép chiếu pi liên tục với mọi i  I . Tôpô tích còn được gọi là tôpô Tychonoff. Tập X cùng với tôpô Tychonoff gọi là tích của họ không gian tôpô đã cho. 1.1.6. Cơ sở của không gian tôpô Cho không gian tôpô  X ;  và x  X . Họ x những lân cận của điểm x được gọi là cơ sở địa phương của tôpô  tại x (hay là cơ sở lân cận tại x ) nếu với mỗi lân cận bất kỳ U của x luôn tồn tại V  x sao cho x V  U . Họ con B các phần tử của tôpô  được gọi là cơ sở của  trên X nếu mọi phần tử thuộc  đều là hợp nào đó của các phần tử thuộc B . Họ con được gọi là tiền cơ sở của tôpô  nếu họ tất cả các giao hữu hạn có thể của các phần tử thuộc lớp tập thành một cơ sở của tôpô  . Cơ sở tôpô B được gọi là đếm được nếu B gồm một số đếm được (hay không quá đếm được) những tập mở. 1.1.7. Tiên đề đếm được thứ nhất Không gian tôpô  X ,  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x  X tồn tại một cơ sở lân cận đếm được. 1.1.8. Tiên đề đếm được thứ hai Không gian tôpô  X ,  được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu nó có một cơ sở đếm được. Rõ ràng, nếu không gian X thỏa tiên đề đếm được thứ hai thì nó cũng thỏa tiên đề đếm được thứ nhất.
6 1.1.9. Định nghĩa phủ Cho tập X tùy ý khác rỗng và A  X . Một họ  Bi iI các tập con của X được gọi là một phủ của tập con A hay  Bi iI phủ tập A nếu A  Bi . iI  Bi iI là phủ hữu hạn của A nếu I là tập hợp hữu hạn. 1.1.10. Định nghĩa phủ con Cho  Bi iI là một phủ của tập A . Họ con  B j  jK K  I  của họ  Bi iI được gọi là phủ con của phủ trên nếu họ  B j  jK cũng là một phủ của A. 1.1.11. Định nghĩa tập compact và không gian compact Cho không gian tôpô X và A  X . Tập A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A trong X đều có một phủ con hữu hạn. Không gian tôpô X được gọi là không gian compact nếu X là tập compact. 1.1.12. Định nghĩa không gian compact địa phương Không gian tôpô X được gọi là không gian compact địa phương nếu mọi điểm của nó đều có một lân cận U là tập compact. 1.1.13. Không gian Lindelöf Không gian tôpô  X ;  được gọi là không gian Lindelöf nếu mọi phủ mở đều tồn tại một phủ con đếm được. 1.1.14. Không gian liên thông Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu không tồn tại các tập mở khác rỗng A và B trong X sao cho A  B   và X  A  B . 1.1.15. Liên thông địa phương
7 Không gian tôpô X được gọi là liên thông địa phương nếu với mọi x  X và mọi lân cận U mở của x thì có một lân cận liên thông V của x sao cho V  U . 1.1.16. Tập liên thông Tập con M của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông nếu M cùng với tôpô cảm sinh là không gian liên thông. 1.1.17. Thành phần liên thông Tập liên thông lớn nhất trong không gian X chứa phần tử x  X được gọi là thành phần liên thông của điểm x . Nếu x  A  X thì thành phần liên thông của x trong không gian con A được gọi là thành phần liên thông của x trong A . 1.2. Các tiên đề tách 1.2.1. Định nghĩa không gian T0 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T0  không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại một lân cận U1 của x sao cho y U1 hoặc một lân cận U 2 của y sao cho x U 2 . 1.2.2. Định nghĩa không gian T1 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T1  không gian nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại một lân cận U1 của x sao cho y U1 và một lân cận U 2 của y sao cho x U 2 . 1.2.3. Định nghĩa không gian T2 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T2  không gian (hay không gian Hausdorff) nếu với hai điểm phân biệt bất kì x, y của X thì tồn tại các lân cận U1 , U 2 sao cho x U1 , y U 2 và U1  U 2   . 1.2.4. Định nghĩa không gian T3
8 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T3  không gian nếu X là T1  không gian và với mọi x  X và với tập đóng A  X sao cho x  A thì tồn tại các tập mở U1 ,U 2 sao cho x U1 , A  U 2 và U1  U 2   . 1.2.5. Định nghĩa không gian T4 Không gian tôpô  X ;  được gọi là T4  không gian nếu X là T1  không gian và với hai tập đóng A, B bất kì phân biệt trong X thì tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U , B  V và U  V   . 1.2.6. Tính chất 1) T1  không gian là T0  không gian. 2) T2  không gian là T1  không gian. 3) T3  không gian là T2  không gian. 4) T4  không gian là T3  không gian. 1.3. Không gian mêtríc 1.3.1. Định nghĩa  Cho tập X   . Một ánh xạ d : X  X  được gọi là mêtríc trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn x, y, z  X : 1) d  x, y   0 d  x, y   0  x  y. (tiên đề đồng nhất) 2) d  x, y   d  y, x . (tiên đề đối xứng) 3) d  x, y   d  x, z   d  z, y . (tiên đề tam giác) Nếu d là mêtríc trên X thì cặp  X ,d  được gọi là một không gian mêtríc. Nếu d là mêtríc trên X thì nó cũng thỏa mãn tính chất sau x, y, u, v  X  d  x, y   d  u, v   d  x, u   d  y, v  . 1.3.2. Không gian mêtríc đầy đủ
9  xn n1 trong không gian mêtríc  X , d  được gọi là dãy Cauchy  Dãy (hoặc dãy cơ bản) nếu:   0, n0  : i, j  n0  d  xi , x j    . Không gian mêtríc  X , d  được gọi là không gian mêtríc đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 1.3.3. Không gian mêtríc hóa Không gian tôpô X được gọi là không gian mêtríc hóa nếu trên X có  một mêtríc d : X  X  sao cho tôpô sinh bởi mêtríc d trùng với tôpô xuất phát trên X . 1.3.4. Định nghĩa giống - khoảng cách Một ánh xạ  : X  X   , với X là một tập khác rỗng.  được gọi là giống - khoảng cách trên X nếu với mọi x, y, z  X , ta có: 1)   x, y   0  x  y . 2)   x, y     y, x  . 3)   x, z     x, y     y, z  . Cặp  X ,  được gọi là một không gian giống - khoảng cách. 1.3.5. Không gian mêtríc có trọng số Cho không gian mêtríc  X , d  . Một ánh xạ  : X  thỏa: x  X , x  0 và x, y  X , x  y  d  x, y  . Khi đó  X , d ,   được gọi là không gian mêtríc có trọng số. 1.3.6. Không gian mêtríc bị chặn Lấy M   A, d  là một không gian mêtríc và M '   B, d B  là không gian con của M . M ' bị chặn trong M nếu a  A, K  : x  B : d  x, a   K ,
10 Điều này có nghĩa là tồn tại phần tử thuộc A mà khoảng cách đến mọi phần tử thuộc B là hữu hạn. Hoặc ta có định nghĩa tương đương như sau: M ' bị chặn nếu K  : x, y  M ': d  x, y   K , có nghĩa là tồn tại một số thực dương K sao cho khoảng cách giữa hai phần tử bất kỳ thuộc B đều bé hơn hoặc bằng K . 1.3.7. Không gian mêtríc compact Cho không gian mêtríc ( X ,  ) . Ta nói X compact nếu mọi dãy điểm xn  trong X đều chứa một dãy   con xnk hội tụ về một điểm x  X . Cho A  X , ta nói A là tập con compact của không gian mêtríc ( X ,  )   nếu mọi dãy  xn n  A đều chứa một dãy con xnk hội tụ về một điểm x  A . Nếu  A là tập compact thì A được gọi là compact tương đối. 1.3.8. Không gian mêtríc thông thường Không gian mêtríc thông thường trên X n là mêtríc Euclidean trên X n 1  n 2 2 hay mêtríc d 2  x, y  :    xi  yi   với x   x1, x2 ,..., xn  ,  i 1  y   y1 , y2 ,..., yn   n . 1.4. Phần trong, bao đóng, biên, đường kính của một tập hợp, tập hợp trù mật Cho không gian mêtríc ( X ,  ) . 1.4.1. Phần trong Giả sử A là tập con của không gian mêtríc X . Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A được gọi là phần trong của tập A . Ký hiệu: int A hoặc Ao .
11 Phần trong của một tập hợp có thể là tập rỗng. Theo định nghĩa, ta có kết quả sau: 1) Phần trong của tập A là tập mở lớn nhất chứa trong A . 2) A là tập mở  int A  A . 3) Nếu A  B thì int A  int B . 1.4.2. Bao đóng Giả sử A là tập con của không gian mêtríc X . Giao của tất cả các tập hợp đóng chứa A được gọi là bao đóng của tập A . Ký hiệu: A . Vì X  A nên bao đóng của một tập hợp luôn tồn tại. Theo định nghĩa, ta có kết quả sau: 1) Bao đóng của tập A là tập đóng nhỏ nhất chứa trong A . 2) A là tập đóng  A  A . 3) Nếu A  B thì A  B . 1.4.3. Trù mật Cho A  X , B  X . A được gọi là trù mật trong B nếu B  A . Nếu A  X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X . 1.4.4. Biên Cho  X ,  là một không gian tôpô và A  X . Một điểm x  X được gọi là điểm biên của A nếu x thuộc trong bao đóng của A nhưng không thuộc phần trong của A, tức là x  A \ int  A  . Tập hợp tất cả các điểm biên của A thì được gọi là biên của A . 1.4.5. Đường kính Đường kính của một tập A  X được định nghĩa như sau: DiamA  sup   x, y  | x, y  A nếu lượng này tồn tại.
12 Nếu A là compact thì tồn tại a1 , a2  A sao cho DiamA    a1, a2  1.5. Không gian khả ly 1.5.1. Định nghĩa Không gian mêtríc ( X ,  ) được gọi là không gian khả ly (tách được) nếu tồn tại một tập con đếm được trù mật khắp nơi trong X . Ta có: X khả ly  A  X : A đếm được và A  X . 1.5.2. Mệnh đề Không gian thỏa tiên đề đếm được thứ hai là không gian khả ly. 1.6. Ánh xạ liên tục 1.6.1. Định nghĩa ánh xạ liên tục Cho các không gian mêtríc  X , d X  và Y , dY  và ánh xạ f : X  Y . Ta nói ánh xạ f liên tục tại điểm x0  X nếu   0,   0: x  X , d X  x, x0     dY  f  x  , f  x0     . Ta nói ánh xạ f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm x  X . 1.6.2. Định nghĩa ánh xạ liên tục đều Cho các không gian mêtríc  X , dX  và Y , dY  và ánh xạ f : X  Y được gọi là liên tục đều nếu   0,   0 : x1 , x2  X , d X  x1 , x2     dY  f  x1  , f  x2     . Hiển nhiên một ánh xạ liên tục đều là ánh xạ liên tục nhưng điều ngược lại là không đúng. 1.6.3. Ánh xạ liên tục bảo toàn tính compact Cho X ,Y là hai không gian mêtríc, f : X  Y là ánh xạ liên tục và A  X là tập compact. Khi đó, f  A là tập compact trong Y . 1.6.4. Ánh xạ liên tục bảo toàn tính liên thông
13 Cho X ,Y là hai không gian mêtríc, f : X  Y là ánh xạ liên tục và A là tập liên thông trong X . Khi đó, f  A là liên thông trong Y . 1.7. Không gian Baire Một tập M trong không gian tôpô X có phần giao hữu hạn của tất cả tập con mở trù mật của X . Nếu mỗi tập chung là trù mật trong X thì X được gọi là không gian Baire. 1.8. Định lý Baire Một không gian Baire là một không gian tôpô với các tính chất sau đây,  cho mỗi họ đếm được các tập mở trù mật U n n1 , phần giao  n 1 U n là trù mật. 1) Mọi không gian mêtríc đầy đủ là một không gian Baire. Hơn nữa, mọi không gian tôpô với một đồng phôi vào một tập con mở của một không gian khả mêtríc đầy đủ là một không gian Baire. Vì vậy một không gian tôpô khả mêtríc đầy đủ là không gian Baire. 2) Mọi không gian Hausdorff compact địa phương là một không gian Baire. 3) Một không gian mêtríc đầy đủ khác rỗng hoặc bất kì các tập con của nó có phần trong khác rỗng không là hợp đếm được của các tập không đâu trù mật. 1.9. Ánh xạ Lispchitz Cho không gian mêtríc  X , d  ánh xạ f : X  X được gọi là ánh xạ Lipschitz trên X nếu tồn tại M 0;1 sao cho: x, y  X  d  f  x  , f  y    M .d  x, y  M được gọi là hằng số Lipschitz. 1.10. Nguyên lý Ekeland